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Vídeo de la lección: Simplificación de fracciones algebraicas Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo descomponer en factores una expresión algebraica y cómo simplificar una fracción algebraica.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo descomponer en factores una expresión algebraica y cómo simplificar una fracción algebraica. Para ello, vamos a recordar primero el método general para simplificar fracciones numéricas, como 27 partido por 63. Lo que tenemos que hacer es hallar el máximo común divisor del numerador y el denominador de la fracción, y luego dividir el uno y el otro por este valor.

Consideremos, pues, la fracción 27 partido por 63. Vamos a hallar el máximo común divisor de estos números. El máximo común divisor de 27 y 63 es nueve. Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador de la fracción por nueve, y obtenemos tres séptimos. Tres y siete son coprimos. El único factor que comparten es uno. Por lo que nuestra fracción está en su forma irreducible. Y, aunque no te lo creas, con las fracciones algebraicas el procedimiento a seguir es el mismo.

Tenemos cinco 𝑥 al cuadrado partido por 10𝑥 a la quinta. Esta vez tenemos que calcular el máximo común divisor de cinco 𝑥 al cuadrado y 10𝑥 a la quinta. El máximo común divisor de la parte numérica —o sea, de cinco y de 10—es cinco, y el de la parte algebraica es 𝑥 al cuadrado. Por lo tanto, el máximo común divisor del numerador y el denominador es cinco 𝑥 al cuadrado. Seguidamente dividimos las dos partes de la fracción por cinco 𝑥 al cuadrado. Cinco 𝑥 al cuadrado entre cinco 𝑥 al cuadrado es uno. Y 10𝑥 a la quinta entre cinco 𝑥 al cuadrado da dos 𝑥 al cubo. De esta forma, en su forma irreducible, nuestra fracción es uno partido por dos 𝑥 al cubo. Pero, ¿y si nos dan una fracción algebraica más complicada? Veamos qué haríamos en este caso.

Simplifica completamente 𝑥 más cuatro por 𝑥 más tres, todo partido entre 𝑥 más dos por 𝑥 más cuatro.

En primer lugar, sabemos que para simplificar una fracción tenemos que dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor. Consideremos el numerador y el denominador de nuestra fracción. Los factores del numerador son 𝑥 más cuatro y 𝑥 más tres. Y los factores del denominador son 𝑥 más dos y 𝑥 más cuatro. Por lo tanto, el máximo común divisor es 𝑥 más cuatro. Es el único factor, aparte de uno, que tienen en común estas dos expresiones.

Por tanto, para simplificar esta fracción algebraica, vamos a dividir sus dos partes por 𝑥 más cuatro. Si dividimos 𝑥 más cuatro por 𝑥 más tres entre 𝑥 más cuatro nos queda 𝑥 más tres en el numerador. Del mismo modo, 𝑥 más dos por 𝑥 más cuatro entre 𝑥 más cuatro nos deja con 𝑥 más dos en el denominador. De esta forma obtenemos la fracción 𝑥 más tres partido entre 𝑥 más dos. 𝑥 más tres y 𝑥 más dos son coprimos. No comparten ningún otro factor más que uno. Así que hemos terminado. En su forma más simple, nuestra fracción es 𝑥 más tres partido entre 𝑥 más dos.

Esta fracción ha sido muy sencilla de simplificar porque tanto el numerador como el denominador estaban completamente factorizados. En el siguiente ejemplo veremos qué hacer cuando este no es el caso.

Simplifica completamente 𝑥 menos tres por 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 más nueve, todo partido por 𝑥 menos tres al cubo.

Recuerda que para simplificar una fracción dividimos el numerador y el denominador por su máximo común divisor. Vemos que hay un factor común de 𝑥 menos tres. El binomio 𝑥 menos tres está en el numerador y en el denominador. Pero, ¿es ese el máximo común divisor? Para comprobarlo vamos a intentar factorizar las expresiones que no están factorizadas. Así que vamos a intentar descomponer completamente en factores la expresión 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 más nueve en el numerador de la fracción. Esta es una expresión cuadrática, y no hay factores comunes en 𝑥 al cuadrado, menos seis 𝑥 y nueve. Así que vamos a factorizar usando dos paréntesis.

Sabemos que para obtener 𝑥 al cuadrado, necesitamos una 𝑥 aquí y otra 𝑥 aquí. Y tenemos que hallar dos números cuyo producto sea nueve y cuya suma dé menos seis. Estos son menos tres y menos tres, pues menos tres por menos tres es más nueve. Y menos tres más menos tres es menos seis. Si reemplazamos 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 más nueve por su forma simplificada, nuestra fracción se convierte en 𝑥 menos tres por 𝑥 menos tres por 𝑥 menos tres, todo partido entre 𝑥 menos tres al cubo. Y nos damos cuenta de que 𝑥 menos tres por 𝑥 menos tres por 𝑥 menos tres es en realidad 𝑥 menos tres al cubo.

Fíjate en que el numerador y el denominador son iguales. Estamos dividiendo un número por sí mismo. Y cuando dividimos un número por sí mismo, obtenemos uno. Así que en forma simplificada, esta fracción es uno. Observa, además, que podríamos haber resuelto esto tomando un camino distinto. En vez de factorizar al principio 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 más nueve, podríamos haber dividido por el factor de 𝑥 menos tres. Es cierto que al final nos dimos cuenta de que este no era el máximo común divisor, pero es un buen comienzo. Dividimos el numerador y el denominador por 𝑥 menos tres, y vemos que 𝑥 menos tres al cubo dividido por 𝑥 menos tres es 𝑥 menos tres al cuadrado.

Seguidamente podríamos haber factorizado y descubierto que teníamos otros factores comunes de 𝑥 menos tres al cuadrado. Con cualquiera de los dos métodos habríamos acabado dividiendo tanto el numerador como el denominador por el máximo común divisor de 𝑥 menos tres al cuadrado. Y con cualquiera de los métodos habríamos obtenido la misma respuesta: uno.

Veamos ahora un ejemplo en el que hay que descomponer en factores más de una expresión.

Simplifica completamente 𝑥 más dos por 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más 12, todo partido entre 𝑥 más siete por 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 21.

Como hemos visto, para simplificar una fracción dividimos el numerador y el denominador por su máximo común divisor. Sin embargo, si nos fijamos en nuestra fracción vemos que no es tan sencillo determinar cuál es el máximo común divisor. Así que las expresiones que no están factorizadas vamos a tratar de descomponerlas en factores. Vemos que hay dos. En el numerador tenemos 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más 12 y en el denominador 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 21. Observa que 12 y 21 comparten un factor común de tres. Esto nos indica que tal vez podremos cancelar un factor común de, por ejemplo, 𝑥 más tres. De momento no vamos a tener que hacerlo, pero viene bien tenerlo en cuenta.

Vamos a escribir la expresión 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más 12 como un producto de factores. Es un polinomio cuadrático o de segundo grado. Y los coeficientes no tienen factores comunes. Así que escribimos dos paréntesis con una 𝑥 en cada uno. Buscamos dos números cuyo producto es 12 y cuya suma es siete. Son tres y cuatro. Así que 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más 12 puede expresarse como 𝑥 más tres por 𝑥 más cuatro. Vamos a repetir este proceso para la expresión 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 21.

Una vez más tenemos dos paréntesis con una 𝑥 en cada uno. No obstante, esta vez buscamos dos números cuyo producto es 21 y cuya suma es 10. Son siete y tres. Así que esta expresión se convierte en 𝑥 más siete por 𝑥 más tres. Volvamos ahora a nuestra fracción original y reemplacemos cada expresión por su forma factorizada o simplificada. Al hacerlo, obtenemos 𝑥 más dos por 𝑥 más tres por 𝑥 más cuatro, todo partido entre 𝑥 más siete por 𝑥 más siete por 𝑥 más tres. Ahora ya estamos listos para hallar el máximo común divisor del numerador y denominador de nuestra fracción. Si nos fijamos bien veremos que ambas partes comparten un factor de 𝑥 más tres.

Así que vamos a dividir el numerador y el denominador por 𝑥 más tres. Dividimos el numerador por 𝑥 más tres y nos queda 𝑥 más dos por 𝑥 más cuatro. Hacemos lo mismo con el denominador, es decir, dividimos por 𝑥 más tres, y nos queda 𝑥 más siete por 𝑥 más siete. Y sabemos que podemos escribir 𝑥 más siete multiplicado por sí mismo como 𝑥 más siete al cuadrado, por lo que la fracción se simplifica a 𝑥 más dos por 𝑥 más cuatro partido entre 𝑥 más siete al cuadrado. Recuerda, además, que la multiplicación es conmutativa. Podemos escribir el numerador como 𝑥 más cuatro por 𝑥 más dos. Y seguimos obteniendo el mismo resultado. Así, hemos simplificado completamente la fracción original.

En el siguiente ejemplo vamos a considerar una fracción en la que ni el numerador ni el denominador están factorizados.

Simplifica completamente 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos 24, todo partido por 𝑥 al cuadrado más 15𝑥 más 56.

Como ya sabemos, para simplificar una fracción debemos dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor. Pero no salta a la vista cuál es el máximo común divisor de 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos 24 y de 𝑥 al cuadrado más 15𝑥 más 56. Así que todas aquellas expresiones que no estén factorizadas vamos a factorizarlas completamente. Así que vamos a empezar descomponiendo en factores 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos 24. Tenemos una expresión cuadrática cuyos tres términos son coprimos. Es decir, su máximo común divisor es uno. Esto nos dice que vamos a tener que factorizar la expresión usando dos paréntesis, dentro de los cuales estará 𝑥.

Para calcular los valores numéricos, tenemos que encontrar dos números cuyo producto es menos 24 y cuya suma es cinco. Son menos tres y ocho. Así que 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos 24 se puede escribir como 𝑥 menos tres por 𝑥 más ocho. Lo que tenemos que hacer ahora es escribir el denominador 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 más 56 como un producto de factores. Vemos que 56 tiene un factor de ocho. Eso nos indica que puede que terminemos dividiéndolo por un factor de 𝑥 más ocho al final. Factoricemos esta expresión. Una vez más, tenemos dos paréntesis. Y esta vez buscamos dos números cuyo producto es 56 y cuya suma es 15. Son siete y ocho. Así, la expresión se descompone en factores como 𝑥 más siete por 𝑥 más ocho.

Ahora reescribimos nuestra fracción completamente. La escribimos como 𝑥 menos tres por 𝑥 más ocho, todo partido entre 𝑥 más siete por 𝑥 más ocho. Y vemos que el máximo común divisor de 𝑥 menos tres por 𝑥 más ocho y de 𝑥 más siete por 𝑥 más ocho es 𝑥 más ocho. Así que dividimos el numerador y el denominador por este valor. Dividimos el numerador por 𝑥 más ocho y nos queda 𝑥 menos tres. Hacemos lo mismo con el denominador, lo dividimos por 𝑥 más ocho y nos queda 𝑥 más siete. De esta forma hemos simplificado completamente la fracción original. Es 𝑥 menos tres partido por 𝑥 más siete.

En el último ejemplo, vamos a aprender cómo simplificar completamente una fracción algebraica en la que el coeficiente de 𝑥 al cuadrado del numerador o del denominador no es igual a uno.

Simplifica completamente 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos 20, todo partido por dos 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 más cuatro.

Sabemos que para simplificar una fracción cualquiera tenemos que dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor. El problema nos lo encontramos con las fracciones algebraicas, donde no podemos deducir a simple vista cuál es el máximo común divisor. Así que para poder simplificar al máximo tenemos que descomponer en factores completamente cualquier expresión factorizable que no esté factorizada. Vemos que hay dos. Tenemos el numerador, 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos 20, y el denominador, dos 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 más cuatro. Vamos a escribir 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos 20 como un producto de factores. Es un polinomio cuadrático, o de segundo grado, cuyos tres términos son coprimos. No comparten otros factores más que uno.

Esto nos dice que para factorizar vamos a tener que usar dos paréntesis con una 𝑥 en cada uno. Ahora tenemos que hallar dos números cuyo producto es menos 20 y cuya suma es menos uno. Son menos cinco y más cuatro. Así que factorizamos completamente el numerador. Pero, ¿y el denominador? Descomponer en factores el denominador va a ser un poco más difícil ya que el coeficiente de 𝑥 al cuadrado no es uno, sino dos. Esto nos dice que en uno de los paréntesis vamos a tener dos 𝑥 delante. Y, por lo tanto, no podemos aplicar las técnicas habituales. Queremos hallar dos números cuyo producto es cuatro. Podrían ser uno y cuatro, lo que significa que podríamos tener cuatro y uno entre paréntesis. De otro modo, podríamos tener dos y dos.

Podríamos aplicar el método de ensayo y error, pero vamos a fijarnos primero en el numerador. Uno de los factores del numerador es 𝑥 más cuatro. Esto nos sugiere que el denominador tal vez comparta ese factor, lo que significa que podría factorizarse en la forma dos 𝑥 más uno por 𝑥 más cuatro. Vamos a comprobar esto desarrollando los paréntesis. Multiplicamos dos 𝑥 por 𝑥 y obtenemos dos 𝑥 al cuadrado. Luego multiplicamos dos 𝑥 por cuatro y obtenemos ocho 𝑥. Multiplicamos uno por 𝑥 para obtener 𝑥. Por último, multiplicamos uno por cuatro para obtener cuatro. Reagrupamos los términos semejantes, y vemos que tenemos dos 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 más cuatro, que es lo que buscábamos.

Vemos, pues, que podemos escribir nuestra fracción como 𝑥 menos cinco por 𝑥 más cuatro, todo partido entre dos 𝑥 más uno por 𝑥 más cuatro. Por lo tanto, el máximo común divisor es 𝑥 más cuatro. Así que dividimos el numerador y el denominador por 𝑥 más cuatro. Dividimos el numerador y nos queda 𝑥 menos cinco, y al hacer lo mismo con el denominador nos queda dos 𝑥 más uno. De esta forma hemos simplificado completamente la fracción algebraica. Es 𝑥 menos cinco partido por dos 𝑥 más uno.

Volvamos un momento a este paso de aquí, donde escribimos dos 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 más cuatro como un producto de factores. Supusimos que nuestra fracción algebraica se podía simplificar y que debía haber un factor común de 𝑥 más cuatro. Resultó ser así, y esa suposición nos ayudó a factorizar dos 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 más cuatro. Pero podría haber ocurrido que, al factorizar, no hubiéramos terminado con un factor común, y en ese caso habríamos deducido que nuestra fracción ya estaba en su forma irreducible.

En este vídeo hemos aprendido cómo simplificar una fracción algebraica aplicando el mismo procedimiento que seguimos con una fracción numérica, dividiendo el numerador y el denominador por el máximo común divisor. Hemos visto, además, que hay veces en las que no podemos ver a simple vista cuál es el máximo común divisor. Y que en esos casos lo que tenemos que hacer es descomponer en factores las expresiones que no están factorizadas para averiguarlo.

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