Vídeo: Hallar todas las soluciones reales de una ecuación logarítmica

Determina el conjunto solución de la ecuación log₈ (𝑥 − 6) + log₈ (𝑥 + 6) = log₈ 64 en ℝ.

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Transcripción del vídeo

Determina el conjunto solución en los números reales de la ecuación log en base ocho de 𝑥 menos seis, más log en base ocho de 𝑥 más seis, igual a log en base ocho de 64.

Para poder empezar a resolver este problema y resolver luego la ecuación, todo lo que tenemos que hacer es aplicar las propiedades de los logaritmos. Y la propiedad que usaremos es que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑚𝑛, es decir, de 𝑚 multiplicado por 𝑛, es igual al logaritmo en base 𝑎 de 𝑚 más el logaritmo en base 𝑎 de 𝑛.

Si nos fijamos en nuestra ecuación, podemos ver que todos los logaritmos tienen la misma base y que esta base es ocho. Es lo mismo que 𝑎 en la propiedad de los logaritmos que estamos usando. Podemos decir, pues, que log en base ocho de 𝑥 menos seis, más log en base ocho de 𝑥 más seis igual a log en base ocho de 64 es equivalente a 𝑥 menos seis multiplicado por 𝑥 más seis igual a 64. Y esto es así porque si nos fijamos en la propiedad de los logaritmos que estamos usando, podemos ver que 𝑥 menos seis es como nuestro 𝑚. Y que 𝑥 más seis es como nuestro 𝑛. Y, por lo tanto, si los multiplicamos, será igual a nuestro 64, que es nuestro 𝑚𝑛.

Ahora solo tenemos que resolver esta ecuación. Y lo primero que hay que hacer es desarrollar los paréntesis. Haciéndolo obtenemos 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos seis 𝑥 menos 36 es igual a 64. Y seguidamente agrupamos los términos.

Una cosa que podemos tener en cuenta aquí es la identidad notable que dice que estos dos paréntesis son la diferencia de dos cuadrados. Esto significa que algunos de nuestros 𝑥 términos se cancelan mutuamente. Así que simplemente nos quedaremos con nuestro 𝑥 cuadrado menos 36. Y esto es igual a 64.

Decimos que se cancelan entre sí. Lo que esto significa es que, si tenemos más seis 𝑥 y también menos seis 𝑥, pues juntos dan cero. Bien, ahora nuestro siguiente paso. Este paso siguiente consiste en sumar 36 a ambos lados. Por lo tanto, obtenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a 100. Y luego, si tomamos raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos que 𝑥 es igual a 10. Por lo tanto, podemos decir que el conjunto solución de la ecuación log en base ocho de 𝑥 menos seis más log en base ocho de 𝑥 más seis igual a log en base ocho de 64 es 10.

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