Lesson Video: Probabilidad teórica

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En este vídeo vamos a aprender cómo hacer uso de datos conocidos y de las reglas básicas de la probabilidad para hallar probabilidades teóricas. Empezaremos repasando el concepto de probabilidad.

La probabilidad de un suceso es una medida de la posibilidad de que el suceso ocurra, por ejemplo, al lanzar un dado o una moneda. La escala de probabilidad va de cero a uno, donde una probabilidad de cero significa que un evento es imposible y una probabilidad de uno significa que es seguro que ocurrirá.

Para expresar las probabilidades usamos fracciones, números decimales o porcentajes. Cuando escribimos una probabilidad como una fracción, usamos la regla de Laplace, que dice que el numerador es el número de resultados favorables y el denominador es el número de resultados posibles. Dicho esto, pasemos a ver una serie de cuestiones de probabilidad teórica.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número entre cero y dos al lanzar un dado?

Un dado tiene forma cúbica, así que tiene seis caras. Las caras están numeradas del uno al seis, de modo que caras opuestas suman siete. La probabilidad de que ocurra un suceso puede escribirse como una fracción en la que el numerador es el número de resultados favorables y el denominador es el número de resultados posibles.

En esta cuestión se nos pregunta por la probabilidad de obtener un número entre cero y dos al lanzar un dado. El único número que aparece en un dado que está entre cero y dos es uno. Esto significa que hay un único resultado favorable en este suceso. Como hay seis números en total en el dado, hay seis resultados posibles. La probabilidad de sacar un número entre cero y dos al lanzar un dado es uno partido por seis, o sea, un sexto.

Consideremos otro problema de probabilidad teórica.

Una caja contiene cinco canicas rojas, ocho canicas verdes y cuatro canicas amarillas. Si se saca una canica de la caja al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la canica sea roja?

El enunciado nos dice que en la caja hay cinco canicas rojas. Y ocho canicas verdes. Y, por último, tenemos cuatro canicas amarillas. Esto significa que tenemos 17 canicas en total, pues cinco más ocho más cuatro es 17. Sabemos, además, que una canica es extraída de la caja al azar. Esto significa que la probabilidad de extraer cada una de las 17 canicas es la misma. Como hemos dicho, podemos expresar la probabilidad en forma de fracción: el número de resultados favorables partido entre el número de resultados posibles.

La cuestión nos pide que calculemos la probabilidad de que la canica extraída sea roja. Como hay cinco canicas rojas en la caja, el número de resultados favorables es cinco. El número de resultados posibles es 17, pues hay 17 canicas en total. La probabilidad de sacar una canica roja de la caja es, pues, cinco entre 17 o cinco diecisieteavos.

En el siguiente problema vamos a calcular la probabilidad de un suceso en un contexto de la vida real.

Un club de fútbol escolar está formado por 25 niños y 13 niñas. De los miembros del club, cinco de los niños y cuatro de las niñas usan gafas. Si un miembro del club es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no use gafas?

Existen distintas formas de resolver este problema. Una forma es construir una tabla de doble entrada. Podemos construir la tabla de doble entrada de la siguiente manera. El enunciado nos dice que hay 25 chicos en el club. Y que hay 13 chicas en el club. Y como 25 más 13 es 38, hay 38 miembros en total. Sabemos, además, que cinco de los niños llevan gafas. Esto significa que 20 de los niños no llevan gafas, ya que 25 menos cinco es 20. Cuatro de las chicas del club usan gafas. Esto significa que nueve no lo hacen. El número total de miembros del club que llevan gafas es nueve, pues cinco más cuatro es nueve. 20 más nueve es 29. Por lo tanto, hay 20 miembros del club que no llevan gafas.

Recordemos que la probabilidad puede calcularse usando la regla de Laplace, o sea, como una fracción en la que el numerador es el número de resultados favorables y el denominador es el número de resultados posibles. Tenemos que calcular la probabilidad de que un miembro del club no lleve gafas. Hay 29 miembros del club que no usan gafas. Así que el numerador es 29. El número total de miembros del club es 38. Así que el denominador es 38. De esta forma, hallamos que la probabilidad de que un miembro del club no lleve gafas es de 29 entre 38.

En la siguiente cuestión también vamos a calcular la probabilidad teórica de un suceso en un contexto de la vida real.

Una bolsa contiene bolas blancas, rojas y negras. La probabilidad de sacar una bola blanca al azar es 11 entre 20, y la probabilidad de sacar una bola roja al azar es tres entre 10. ¿Cuál es el menor número de bolas rojas y negras que puede haber en la bolsa?

El enunciado nos dice que hay bolas de tres colores distintos en una bolsa. Que la probabilidad de extraer una bola blanca es 11 entre 20 u once veinteavos. Y que la probabilidad de extraer una bola roja es tres entre 10 o tres décimos. Pero no se nos da la probabilidad de seleccionar una bola negra.

Para comparar fracciones, debemos asegurarnos de que los denominadores sean los mismos. El mínimo común múltiplo de 10 y 20 es 20, así que tenemos que multiplicar el denominador de la segunda fracción por dos. Y hemos de tener en cuenta que, cualquier operación que hagamos en el denominador, también debemos hacerla en el numerador. Tres por dos es seis, y 10 por dos es 20. Así que las fracciones tres décimos y seis veinteavos son equivalentes.

Sabemos que la suma de todas las probabilidades es uno. En esta cuestión, como nuestro denominador es 20, esto es igual a veinte veinteavos. Once veinteavos más seis veinteavos es diecisiete veinteavos. Como los denominadores son iguales, podemos sumar los numeradores. Restamos esta fracción de uno o veinte veinteavos y obtenemos tres veinteavos. Por lo tanto, la probabilidad de extraer una bola negra es tres veinteavos.

Ahora ya podemos comparar las tres probabilidades, pues los denominadores son todos iguales. La razón de bolas blancas a rojas a negras es 11 a 6 a tres. Esto significa que el menor número de bolas en total es 20, donde 11 serían blancas, seis rojas y tres negras. El menor número de bolas rojas y negras que puede haber en la bolsa es seis y tres, respectivamente.

Como solo se nos han dado las probabilidades, el número total de bolas puede ser cualquier múltiplo de 20. Por ejemplo, podríamos tener 40 bolas en total, donde 22 serían blancas, 12 son rojas y seis son negras. Pero como el problema nos pide hallar el menor número de bolas rojas y negras, la respuesta correcta es seis bolas rojas y tres bolas negras.

Consideremos una última cuestión de probabilidad teórica.

En una feria escolar hubo 68 participantes en un sorteo. Si la probabilidad de que una chica gane el sorteo es de un cuarto y solo se puede participar una vez, ¿cuántas chicas participaron en el sorteo?

El enunciado nos dice que hubo 68 participantes en el sorteo y que solo se puede participar una vez. Esto significa que se vendieron 68 entradas en total. También se nos dice que la probabilidad de que una chica gane el sorteo es un cuarto. Esto significa que una cuarta parte de las entradas fueron compradas por chicas. Para calcular el número de chicas que participaron en el sorteo, tenemos que calcular un cuarto de 68. La palabra «de» en Matemáticas significa multiplicar, así que tenemos que multiplicar un cuarto por 68.

Multiplicar por un cuarto es lo mismo que dividir por cuatro, así que dividimos 68 por cuatro. Seis entre cuatro es uno con un resto de dos, y 28 entre cuatro es siete. Así que 68 dividido por cuatro es 17. Hemos hallado, pues, que en el sorteo participaron 17 chicas.

Otra forma de calcular un cuarto de un número es hallar la mitad y luego volver a hallar la mitad. La mitad de 68 es 34, y la mitad de esto es 17.

Veamos los puntos principales de los que hemos hablado en esta lección. Hemos visto que, para calcular la probabilidad de un suceso, necesitamos lo siguiente: en primer lugar, el número de formas en que podemos obtener un resultado favorable, es decir, el número de formas en que puede ocurrir lo que queremos. En segundo lugar, necesitamos el número total de resultados posibles. Es decir, el número de cosas que pueden ocurrir. También hemos visto que podemos expresar la probabilidad de que ocurra un evento en forma de fracción, número decimal o porcentaje. Y que, cuando expresamos la probabilidad como una fracción, el numerador es el número de resultados favorables y el denominador es el número de resultados posibles.

Por último, vimos que la escala de probabilidad va de cero a uno. Esto significa que, expresada como una fracción, la probabilidad no puede ser una fracción impropia. El numerador debe ser menor o igual que el denominador. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es cero, entonces el suceso es imposible. Y si es igual a uno, es seguro que ocurrirá.