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Vídeo de la lección: El teorema del emparedado Matemáticas • Educación superior

En este video vamos a aprender cómo usar el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje) para evaluar algunos límites cuando el valor de la función está acotado por los valores de otras dos funciones.

15:53

Transcripción del vídeo

En este video vamos a aprender sobre el teorema del emparedado. El teorema del emparedado es muy útil e importante porque nos ayuda a evaluar límites que no pueden ser evaluados usando otras técnicas más básicas. Comencemos por intentar comprender el enunciado del teorema.

Si 𝑓 de 𝑥 es menor o igual que 𝑔 de 𝑥 que a su vez es menor o igual que ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 está cerca de un valor 𝑎 y el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual al límite de ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎. Llamemos a este límite 𝐿. Entonces el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 también será 𝐿. Esto se entiende mejor cuando usamos un dibujo. La acción ocurre cuando 𝑥 está cerca de determinado valor 𝑎. Así que marquemos este valor especial. Cerca de 𝑎, en otras palabras, en algún intervalo alrededor de 𝑎, nos dicen que 𝑓 de 𝑥 es menor o igual que 𝑔 de 𝑥, que es menor o igual que ℎ de 𝑥. Pero antes de dibujar las curvas, debemos tener en mente que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es el mismo que el límite de ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

Aquí tenemos un boceto de las gráficas de las dos funciones 𝑓 y ℎ, las cuales tienen los mismos límites cuando 𝑥 tiende a 𝑎 como es requerido, y además 𝑓 de 𝑥 es siempre menor o igual que ℎ de 𝑥 para cualquier valor de 𝑥 cercano a 𝑎 como es requerido. Pero todavía tenemos que dibujar la gráfica de 𝑔 de 𝑥, cuyo valor ha de estar siempre entre los de 𝑓 de 𝑥 y ℎ de 𝑥. Intentemos dibujarla. Como 𝑔 de 𝑥 se halla entre 𝑓 de 𝑥 y ℎ de 𝑥, la gráfica de 𝑔 de 𝑥 debe estar entre la gráfica de 𝑓 de 𝑥 y la gráfica de ℎ de 𝑥. Empezamos con bastante espacio entre las gráficas de 𝑓 de 𝑥 y ℎ de 𝑥. Pero cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 y las gráficas de 𝑓 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 se acercan, estamos siendo comprimidos hasta este punto donde se encuentran. Por supuesto, pasado este punto, comenzamos a tener algo de espacio nuevamente. Una función entre otras dos es el «emparedado» al que se hace referencia en el nombre del teorema.

Y el teorema del emparedado establece exactamente lo que hemos encontrado al intentar dibujar una gráfica de la función adecuada 𝑔. Que el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 también debe ser 𝐿. Tenemos muchas opciones sobre el valor de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 no está cerca de 𝑎. Pero a medida que 𝑥 se aproxima a 𝑎, el valor de 𝑔 de 𝑥 debe acercarse a 𝐿. El teorema del emparedado es un teorema muy general. No necesitamos que las funciones involucradas seas continuas. Esto también se aplica a funciones que no son continuas. Y podemos hacer este enunciado incluso más general al no requerir que 𝑓 de 𝑥 sea menor o igual que 𝑔 de 𝑥 y esta, a su vez, menor o igual que ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 es exactamente 𝑎, sino que basta con que esta desigualdad se cumpla en las cercanías de 𝑎.

Con suerte, ahora entendemos lo que afirma el teorema del emparedado mucho mejor que al principio de este video. No vamos a demostrar el teorema del emparedado en este video. Lo que vamos a hacer es aplicarlo a varios problemas para ver por qué es útil y para entenderlo mejor. La figura muestra las gráficas de las funciones 𝐴 y 𝐵 con 𝐴 de 𝑥 menor o igual a 𝐵 de 𝑥 para 𝑥 entre dos y 3.8. Así que, mirando el diagrama, vemos que esta debe ser 𝐴 de 𝑥 y esta debe ser 𝐵 de 𝑥.

Nos preguntan qué nos dice el teorema del emparedado sobre una función continua 𝑓 cuya gráfica se encuentra en la región sombreada en el intervalo de dos a 3.8. Bien, ¿qué dice el teorema del emparedado? Dice que si 𝑓 de 𝑥 es menor o igual que 𝑔 de 𝑥, la cual es menor o igual que ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 está cerca de 𝑎, y el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual al límite de ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎, que es igual a 𝐿. Entonces, el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 también es igual a 𝐿. ¿Cómo nos ayuda esto a responder nuestra pregunta?

Nos dicen que la gráfica de 𝑓 se encuentra en el área sombreada. Es decir, entre la gráfica de 𝐴 de 𝑥 y la de 𝐵 de 𝑥. De modo que, para todos los valores de 𝑥 en 𝐵 de 𝑥 en el intervalo abierto de dos a 3.8, el valor de 𝑓 de 𝑥 debe estar entre el de 𝐴 de 𝑥 y el de 𝐵 de 𝑥. Podemos cambiar los nombres de las funciones en el teorema del emparedado. Al hacer esto obtenemos que 𝐴 de 𝑥 es menor o igual que 𝑓 de 𝑥 la cual es menor o igual que 𝐵 de 𝑥 cuando 𝑥 está cerca de 𝐴 o al menos en algún intervalo. Ahora, también necesitamos que los límites de 𝐴 de 𝑥 y 𝐵 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 sean iguales.

En la gráfica, podemos ver que los límites de 𝐴 de 𝑥 y 𝐵 de 𝑥 son iguales. Cuando 𝑥 se acerca a tres el límite es uno. Así que esta condición está satisfecha con 𝑎 igual a tres y 𝐿 igual a uno. Y podemos concluir que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual a 𝐿. Usando el hecho de que 𝑎 es tres y 𝐿 es uno, obtenemos que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a tres es uno. Esta es nuestra respuesta. Esto es lo que el teorema del emparedado nos dice sobre la función continua 𝑓 cuya gráfica se encuentra en la región sombreada.

Este resultado tiene sentido. Si intentamos dibujar una gráfica en la región sombreada, terminaremos pasando por el punto tres, uno. Por lo tanto, tiene sentido que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a tres haya de ser uno. De hecho, cuando nos dicen que 𝑓 es una función continua, podemos ir más allá y decir que el valor de 𝑓 de tres, ya que es igual al límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a tres, debe ser uno. Veamos un ejemplo en donde el teorema del emparedado nos ayuda a evaluar un límite importante.

Considera el siguiente arco de una circunferencia unitaria, en donde la semirrecta 𝑂𝑃 está inclinada 𝜃 radianes. Primera parte: ¿cuáles, en términos de 𝜃, son las coordenadas de 𝑃?

Bien, aquí tenemos 𝑃. Y si tomamos el ángulo 𝑂𝑇𝑃 como un ángulo recto, podemos ver que 𝑃 está directamente sobre el punto 𝑇 de coordenadas uno, cero. Y así, la coordenada 𝑥 de 𝑃 debe ser uno. Sin embargo, ¿qué pasa con la coordenada 𝑦? Bueno, la coordenada 𝑦 de 𝑃 es simplemente la longitud 𝑇𝑃. Podemos hallar esta longitud usando el triángulo rectángulo 𝑂𝑇𝑃. El origen 𝑂 tiene coordenadas cero, cero. Y así, podemos ver que la longitud 𝑂𝑇 es la unidad.

Sabemos la longitud del lado adyacente al ángulo 𝜃. Y queremos saber la longitud de su lado opuesto. Entonces, debemos usar tan 𝜃, que es igual a la longitud del lado opuesto del ángulo 𝜃. Esto es 𝑇𝑃 dividido por la longitud del lado adyacente, es decir 𝑂𝑇, el cual sabemos que tiene una longitud de uno. 𝑇𝑃, que, recordemos, es la coordenada 𝑦 de 𝑃, es, por lo tanto, tan 𝜃. Y por eso, las coordenadas de 𝑃 son uno, tan 𝜃.

Segunda parte: escribe las siguientes desigualdades en términos de sen 𝜃, 𝜃, y cos 𝜃. La longitud de 𝑄𝑅 es menor que la longitud del arco de 𝑇 a 𝑄, la cual es menor que la longitud 𝑇𝑃.

Comencemos por 𝑄𝑅. Una vez más es mejor hallar esto haciendo uso de un triángulo rectángulo, en este caso el triángulo 𝑂𝑅𝑄. Puesto que 𝑄 se halla en una circunferencia unitaria, su distancia desde el origen es uno. Así que 𝑂𝑄 es uno. Esta es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo. Y queremos saber la longitud del lado opuesto al ángulo 𝜃. Esta es la longitud 𝑄𝑅. Entonces, como queremos hallar el lado opuesto y conocemos la hipotenusa, usamos seno. Sen de 𝜃 es el opuesto, eso es 𝑄𝑅, sobre la hipotenusa, que vale uno. Y, por lo tanto, 𝑄𝑅 es sen 𝜃.

Ahora calculamos la longitud del arco de 𝑇 a 𝑄. Esa es esta longitud de aquí. Bien, podemos ver que este arco subtiende un ángulo de 𝜃 en el centro de este círculo unitario. Y la pregunta nos dice que 𝜃 se mide en radianes. Por definición, la longitud del arco de 𝑇 a 𝑄 es 𝜃. Alternativamente, podemos hallar 𝜃 en radianes como la relación entre la longitud del arco y el radio. Pero como estamos en la circunferencia unitaria, el radio es uno. Y así, 𝜃 es solo la longitud del arco 𝑇𝑄. ¿Qué sucede con la longitud 𝑇𝑃?

Si recordamos la primera parte de la pregunta, hallamos que esto es tan 𝜃. 𝑇𝑃 era la coordenada 𝑦 del punto 𝑃. Pero nos han pedido expresar una respuesta en términos de sen 𝜃, 𝜃, y cos 𝜃 solo. Así que, reescribimos tan 𝜃 como sen 𝜃 sobre cos 𝜃. Nuestra desigualdad se convierte en sen 𝜃 menor que 𝜃 lo que es menor que sen 𝜃 sobre cos 𝜃.

Finalmente, la tercera parte: dividiendo nuestras desigualdades por sen 𝜃, usando el teorema del emparedado y el hecho de que el límite de cos 𝜃 cuando 𝜃 tiende a cero es uno, ¿cuál de las siguientes conclusiones podemos sacar? A) el límite de 𝜃 sobre sen 𝜃 cuando 𝜃 tiende a cero es cero, B) que este límite no existe, o C) que este límite tiene el valor uno.

Comenzamos por dividir las desigualdades obtenidas en la segunda parte de la pregunta por sen 𝜃. Sen 𝜃 dividido por sen 𝜃 es uno. 𝜃 dividido por sen 𝜃 no se puede simplificar más. Pero sen 𝜃 sobre cos 𝜃 dividido por sen 𝜃 sí se puede seguir simplificando. Obtenemos uno sobre cos 𝜃. Ahora usamos el teorema del emparedado. Pero ¿cómo deberíamos usarlo? Bueno, las opciones nos dan alguna pista. Básicamente, se nos pide hallar el límite de 𝜃 sobre sin 𝜃 cuando 𝜃 tiende a cero. Entonces, ¿cuál es este límite? Bien, tenemos una función a cada lado de 𝜃 sobre sen 𝜃. El límite de uno es, por supuesto, solo uno. El límite de uno sobre cos 𝜃 es un poco más complicado. Tenemos que usar el hecho de que el límite de un cociente es el cociente del límite.

Pero habiendo hecho esto, sabemos cuál es el límite de cos 𝜃 cuando 𝜃 tiende a cero. Nos lo han dicho en la pregunta. Este valor es uno. Por lo tanto, el límite de uno sobre cos 𝜃 cuando 𝜃 tiende a cero es uno sobre uno que es igual a uno. Ambas, la función uno y la función uno sobre cos 𝜃 tienen el mismo límite: el límite cuando 𝜃 tiende a cero vale uno. Y así, puesto que 𝜃 sobre sen 𝜃 se encuentra entre estas dos funciones para valores de 𝜃 cercanos a cero, podemos aplicar el teorema del emparedado. El límite de 𝜃 sobre sen 𝜃 cuando 𝜃 tiende a cero también debe ser uno, lo mismo que los otros dos límites. Esta es nuestra respuesta, la cual corresponde a la opción C.

Como consecuencia de ello, podemos hallar el recíproco y decir que el límite de sen 𝜃 sobre 𝜃 cuando 𝜃 tiende a cero es uno. Este es un límite realmente importante. Porque junto con el límite correspondiente al coseno, nos permite hallar la derivada de las funciones trigonométricas. El hecho de que obtengamos una respuesta tan simple y agradable puede ser sorprendente. De hecho, solo obtenemos el valor uno porque estamos midiendo 𝜃 en radianes. Si medimos 𝜃 en grados, entonces nuestra respuesta sería 𝜋 dividido por 180, mucho menos elegante. De hecho, la razón por la que usamos radianes en lugar de algunas otras unidades de ángulo es precisamente para hacer que este límite sea uno. Veamos ahora nuestro último ejemplo.

Calcula el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑥 al cubo por cos de dos sobre 𝑥 usando el teorema del emparedado.

Recordemos el teorema del emparedado. Este dice que si 𝑓 de 𝑥 es menor o igual a 𝑔 de 𝑥, la cual es menor o igual a ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 está cerca de 𝑎 y el límite de 𝑓 de 𝑥 es igual al límite de ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎. Y llamamos a este límite 𝐿. Entonces el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es también 𝐿. Ahora, ¿cómo usamos este teorema para calcular este límite de aquí? Bien, si 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cubo por cos de dos sobre 𝑥 y 𝑎 es igual a cero, el límite que tenemos que hallar es el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

Si logramos hallar funciones 𝑓 y ℎ que subestimen y sobreestimen la función 𝑔, respectivamente, y que tengan el mismo límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎, el cual es cero. Entonces el límite que buscamos también tendrá este valor. Escribamos esta idea para recordarla. Todo lo que tenemos que hacer es hallar una subestimación 𝑓 de 𝑥 y una sobreestimación ℎ de 𝑥 para que nuestra función tenga el mismo límite cuando 𝑥 tiende a cero. ¿Cómo vamos a hacer esto?

La parte complicada de nuestra función es el factor cos dos sobre 𝑥. Esta es la parte de la función que significa que no podemos sustituir directamente. De hecho, el límite de cos de dos sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero no está definido, podemos darnos cuenta al graficar la función usando una computadora o una calculadora gráfica. Sin embargo, no hay asíntotas aquí. El rango del coseno es de menos uno a uno. El coseno de cualquier número ha de estar entre menos uno y uno. Y esto sigue siendo cierto incluso cuando ese número es dos sobre 𝑥. Otra forma de decir esto es que el valor absoluto del coseno de dos sobre 𝑥 siempre es menor o igual a uno. Como resultado, el valor absoluto de nuestra función 𝑔 de 𝑥 es menor o igual al valor absoluto de 𝑥 al cubo. Y también podemos decir que 𝑥 al cubo cos dos sobre 𝑥 está entre el valor absoluto de menos 𝑥 al cubo y el valor absoluto de 𝑥 al cubo.

¿Hemos encontrado nuestras funciones 𝑓 de 𝑥 y ℎ de 𝑥? Tal vez. Pero necesitamos verificar que sus límites cuando 𝑥 tiende a cero son los mismos. Hagamos un poco de espacio para hacer esto. Necesitamos hallar el límite de 𝑓 de 𝑥, lo que es el valor absoluto de menos 𝑥 al cubo cuando 𝑥 tiende a cero, y el límite de ℎ de 𝑥. Ese es el valor absoluto de 𝑥 al cubo cuando 𝑥 se acerca a cero. Estas dos funciones son continuas. Y, por lo tanto, estos límites pueden ser evaluados utilizando sustitución directa. Menos valor absoluto de cero al cubo es simplemente cero ya que es el valor absoluto de cero al cubo. Entonces sí, los límites de 𝑓 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero son los mismos.

El valor límite 𝐿 es cero. Y, según el teorema del emparedado, el límite de 𝑥 al cubo multiplicado por cos de dos sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero también es cero. Esta es nuestra respuesta. Observando este diagrama, podemos ver cómo la gráfica de la función 𝑥 al cubo por cos de dos sobre 𝑥 se comprime entre las gráficas de valor absoluto de 𝑥 al cubo y su opuesto. Y así, su límite cuando 𝑥 tiende a cero debe ser cero, aunque la función en sí no está definida en 𝑥 igual a cero.

Bien, entonces recapitulemos lo que hemos aprendido en este video. Hemos visto el enunciado del teorema: si 𝑓 de 𝑥 es menor o igual que 𝑔 de 𝑥, que a su vez es menor o igual que ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 y el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual al límite de ℎ 𝑥 cuando 𝑥 tiende 𝑎, que es 𝐿. Entonces el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es también 𝐿. Podemos evaluar el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 hallando funciones 𝑓 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 de modo que 𝑓 de 𝑥 sea menor o igual que 𝑔 de 𝑥, la cual sea a su vez menor o igual que ℎ de 𝑥 cerca de 𝑎 y tales que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 sea igual al límite de ℎ de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎. Llamamos a esto 𝐿 y aplicamos el teorema del emparedado. Aplicando dicho teorema, hallamos que el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 también es 𝐿. Este método nos permite hallar límites de funciones que combinan polinomios, funciones trigonométricas y cocientes. Algunos de estos límites son muy importantes.

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