Video Transcript
En este vídeo vamos a aprender cómo resolver inecuaciones de segundo grado. Para ello, vamos a aplicar primero un método gráfico y luego un método algebraico. Para poder aplicar estos métodos, es necesario saber cómo hallar raíces de ecuaciones de segundo grado o resolver ecuaciones cuadráticas. Pero debes andarte con ojo a la hora de hacer los cálculos para evitar cometer un error muy común al final. Veamos una serie de ejemplos.
Consideremos el primero.
Usando la gráfica, halla los valores de 𝑥 para los que 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que cero. Se nos dice que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥. Y nos dan la gráfica de la ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, que representa esa función cuadrática. Esta gráfica es una parábola, que es simétrica, y que corta el eje de las 𝑥 en cero y cinco, y el eje de las 𝑦 en cero. La cuestión nos pide hallar el intervalo en el que 𝑓 de 𝑥 es mayor que cero; es decir, el intervalo en el que la coordenada 𝑦 es mayor o igual que cero.
Tenemos la gráfica 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, y queremos saber dónde es 𝑓 de 𝑥 mayor o igual que cero, es decir, estamos buscando todos los puntos en la curva en los que la coordenada 𝑦 es mayor o igual que cero. Vemos que aquí en el punto cero y aquí en el punto cinco en el eje de las 𝑥, la coordenada 𝑦 es cero. Y en todos estos puntos en la curva entre medias, la coordenada 𝑦 es mayor que cero. Así que esa es la región que nos interesa. Queremos saber las coordenadas 𝑥 que generan esta parte de la gráfica. Tenemos cero, cinco, y todo lo que está entre medias en términos de la coordenada 𝑥, o sea, de cero a cinco, y todo lo que está fuera de esa región. O sea, la parte que va de cinco en adelante o de cero hasta menos infinito, no está incluida en nuestra región porque estas partes de la curva no son mayores o iguales que cero. Esto lo representamos de esta forma, cero es menor o igual que 𝑥, que es menor o igual que cinco.
También podemos expresarlo en forma de intervalo. Los valores críticos son cero y cinco. Son los extremos del intervalo. Cero está incluido en el intervalo, así que colocamos un corchete a la izquierda. Y cinco también está incluido, así que ponemos un corchete en el otro extremo. Esto está en notación de intervalos. Pero también podemos escribirlo en notación de conjuntos. Tenemos el conjunto de los 𝑥 tales que 𝑥 está en el conjunto de los números reales entre cero y cinco. Lo que hemos hecho aquí es fijarnos bien en la gráfica e identificar los puntos en la gráfica que cumplen con los criterios que estamos buscando. En este caso es que 𝑓 de 𝑥 ha de ser mayor o igual que cero. Por tanto, para resolver un problema de este tipo tenemos que hallar qué coordenadas 𝑥 cumplen con los criterios y qué coordenadas 𝑥 no cumplen con esos criterios, y luego escribir la respuesta en una de estas notaciones: como una inecuación, en notación de intervalos o en notación de conjuntos, dependiendo de cuál nos pida el problema.
Veamos la siguiente cuestión.
En este caso se nos pide usar la gráfica para hallar los valores de 𝑥 para los que 𝑓 de 𝑥 es mayor que cero, o sea, estrictamente mayor que, no igual a cero. En este caso, en 𝑥 igual a uno, tenemos una coordenada 𝑦 de cero, por lo que 𝑓 de 𝑥 es igual a cero. Así que esto no está en la región que estamos buscando. Y cuando 𝑥 es cuatro, tenemos una coordenada 𝑦 de cero, o sea, 𝑓 de 𝑥 es igual a cero. Así que esto tampoco está en la región que estamos buscando. Pero cuando 𝑓 de 𝑥 es mayor que cero, eso son todos estos puntos aquí arriba en la gráfica y yendo hacia el infinito en esta dirección, y todos estos puntos aquí arriba en la gráfica y yendo hacia el infinito en esta dirección.
Si consideramos los valores de 𝑥 correspondientes, no incluimos el cuatro, pero todo lo que está a la derecha está incluido. No incluimos el uno, pero todo lo que está a la izquierda está incluido. Así que las partes que no queremos, porque la coordenada 𝑦 es menor o igual que cero, es todo lo que hay desde 𝑥 igual a uno hasta 𝑥 igual a cuatro inclusive.
¿Cómo representamos esto? Tenemos una región discontinua. Así que tenemos todo a la izquierda de uno y todo a la derecha de cuatro. Así que tenemos que expresarlo como dos inecuaciones. Obtenemos, pues, 𝑥 es menor que uno o 𝑥 es mayor que cuatro. Si lo escribimos en notación de intervalos, vamos desde menos infinito hasta uno, pero sin incluirlo. Y vamos desde cuatro, sin incluirlo, hasta más infinito.
Los valores críticos son uno y cuatro. Ten en cuenta que siempre ponemos paréntesis al lado de infinito. No incluimos uno en nuestra región, así que ponemos paréntesis. Tampoco incluimos cuatro, así que ponemos paréntesis. Luego tenemos más infinito, que también tiene paréntesis. Ambas regiones son válidas, pero no es válido nada de lo que hay entre medias. Es la unión de esas dos regiones. Y, en forma de intervalo, lo expresamos así. También podemos escribir nuestra respuesta en notación de conjuntos: el conjunto de los 𝑥 tales que 𝑥 está en el conjunto de los números reales, y 𝑥 es menor que uno o 𝑥 es mayor que cuatro.
Otra forma de decirlo es escribiendo que, el conjunto de los números reales son todos estos números de aquí, a lo largo del eje de las 𝑥, podemos decir toda esta recta numérica. Y queremos excluir esta región de aquí desde 𝑥 igual a uno hasta 𝑥 igual a cuatro, esta región de aquí. Por lo tanto, son todos los números reales menos esta parte. Lo representamos de esta manera, los números reales, y restamos este intervalo de aquí de uno a cuatro, ambos inclusive, porque el uno y el cuatro no están dentro de nuestra región. Queremos excluir eso de nuestra región de soluciones, y, como ves, hay muchas formas distintas de expresar nuestros conjuntos de soluciones.
En la cuestión número tres vamos a aplicar un método puramente algebraico.
Halla los valores de 𝑥 que satisfacen 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos diez es menor o igual que cero. Consideremos la función 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos diez. Estamos igualando esta parte a nuestra coordenada 𝑦. Esta es una función de segundo grado, y el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es uno, que es positivo. Por lo que la gráfica de la función será una parábola «feliz». También sabemos que el término constante al final es menos diez, por lo que 𝐶 es igual a menos diez. Ese es el punto donde la curva atraviesa el eje de las 𝑦. Y la curva corta el eje de las 𝑥 cuando la coordenada 𝑦 es igual a cero. Así que, como 𝑦 es igual a 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos diez, entonces la gráfica corta el eje de las 𝑥 cuando 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos diez es igual a cero.
Descomponemos en factores la expresión, y obtenemos que 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos diez se convierte en 𝑥 más dos por 𝑥 menos cinco. Y está en esta forma. Tenemos algo multiplicado por algo igual a cero, así que uno de los factores debe ser igual a cero para que el producto sea cero. Por lo tanto, 𝑥 más dos es igual a cero o 𝑥 menos cinco es igual a cero. Eso significa que 𝑥 debe ser igual a menos dos para que esto sea igual a cero o 𝑥 debe ser igual a cinco para que esto sea igual a cero.
Ya tenemos suficiente información para esbozar la curva de 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos diez. Sabemos que corta el eje de las 𝑦 en menos diez, y que corta el eje de las 𝑥 en menos dos y en más cinco. Esto está más o menos por aquí, menos dos; y más cinco está por aquí. Es una ecuación de segundo grado, así que su gráfica será una parábola simétrica. Por lo tanto, el eje de simetría, que estará a mitad de camino entre menos dos y más cinco, debe estar por aquí. La curva tendrá más o menos este aspecto. Como hemos dicho al principio, 𝑦 es igual a todo esto, y lo que estamos tratando de hallar son los valores de 𝑥 para los que es menor o igual que cero. Estamos buscando en este gráfico la parte en la que 𝑦 es menor o igual que cero.
Bueno, 𝑦 es igual a cero aquí e 𝑦 es igual a cero aquí, menos dos y menos cinco son los valores de 𝑥 que generan una coordenada 𝑦 de cero. Y también estamos buscando la región en la que 𝑦 es menor que cero, que es toda la región que hay entre medias. Es todo esto de aquí. En términos de los valores de 𝑥 que generan esas coordenadas 𝑦, 𝑥 puede ser igual a menos dos, 𝑥 puede ser igual a cinco o igual a cualquier número entre medias. Estas son las coordenadas 𝑥 que nos sirven. Las coordenadas de 𝑥 que no nos interesan son estas de aquí, donde la coordenada 𝑦 es mayor que cero, así que no nos interesan. En términos de la región que no nos interesa, es esta región hacia el infinito de aquí; y no incluye menos dos, pero es esta región que tiende a menos infinito aquí.
Por lo tanto, los valores de 𝑥 que estamos buscando y que producen la coordenada 𝑦 menor o igual que cero, son menos dos es menor o igual que 𝑥, que es menor o igual que cinco. Esto está escrito como una inecuación. Si lo escribimos en forma de intervalo, tenemos que los extremos del intervalo son menos dos y cinco, y ambos están incluidos. Así que lo ponemos entre corchetes. Ya tenemos la respuesta en forma de intervalo. Y si queremos escribirla en notación de conjuntos, tenemos el conjunto de los 𝑥 tales que 𝑥 está en el conjunto de los números reales, donde menos dos es menor o igual que 𝑥, que es menor o igual que cinco.
Lo que hemos hecho en esta cuestión fue, en primer lugar, pensar en una ecuación para 𝑦 igual a una expresión en 𝑥, una función de 𝑥, y luego hemos hallado los puntos en los que generaba un valor de cero. Después hemos hallado los lugares en los que la función es menor o igual que cero en este caso, o igual a cero o mayor que cero en otros casos. Estamos haciendo estas comparaciones. La parte importante de la que hablábamos al principio es esbozar la gráfica. Si esbozamos la gráfica, podremos ver claramente si estamos buscando puntos por encima del eje de las 𝑥 o puntos por debajo del eje de las 𝑥. Si no lo hacemos, hallaremos igualmente estos valores críticos de 𝑥, pero no sabremos con certeza si nos encontramos entre los valores de 𝑥 o fuera de los valores de 𝑥. Así que este boceto de aquí nos ayuda a tener bien claro si estamos buscando los puntos de coordenadas 𝑦 por encima de o por debajo de esta recta, el eje de las 𝑥.
En el último ejemplo vamos a hallar los valores de 𝑥 que satisfacen menos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 es menor que menos doce. Vamos a reorganizar la inecuación. Vamos a expresar la inecuación de manera que sea equivalente y contenga el mismo conjunto de soluciones pero que sea más sencilla de resolver. No conviene operar con este término menos 𝑥 al cuadrado ni tener algunos términos en un lado de la inecuación y otros términos en el otro. Es mucho más sencillo si tenemos una inecuación referida a cero, de modo que sea acerca de los puntos que están por encima y por debajo del eje de las 𝑥. Así que vamos a sumar 𝑥 al cuadrado y 𝑥 en ambos lados de esta inecuación. Para obtener así algo que es mayor que cero.
Comencemos sumando 𝑥 al cuadrado en ambos lados. En el lado izquierdo, como tenemos 𝑥 al cuadrado, nos queda menos 𝑥 porque menos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado es cero. Ese término se cancela a sí mismo. Y luego, en el lado derecho, tenemos 𝑥 al cuadrado, así que más 𝑥 al cuadrado menos doce. También podemos escribir menos doce más 𝑥 al cuadrado, pero resulta más sencillo escribirlo así. Ahora sumamos 𝑥 a ambos lados, y obtenemos que cero es menor que 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos doce.
Ya tenemos la inecuación que vamos a resolver; cero es menor que 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos doce. Y genera un conjunto de soluciones para 𝑥 completamente equivalente al de la inecuación original. Consideremos entonces la ecuación cuadrática 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos doce. Estamos tratando de hacer que esta expresión de aquí sea nuestra coordenada 𝑦 y queremos hallar la región en la que esa coordenada 𝑦 es mayor que cero. Por lo tanto, si esto es igual a 𝑦, recordemos que tenemos «mayor que»; que está en el lado de apertura del signo de desigualdad a cero. Nos referimos a la región en la que 𝑦 es mayor que cero. Es importante no cometer ningún error en este paso.
Si consideramos esta ecuación de segundo grado, vemos que hay un término 𝑥 al cuadrado, por lo que nuestro valor de 𝑎 es positivo. Así que tenemos otra parábola «feliz». Y el término constante al final es menos doce, lo que significa que corta el eje de las 𝑦 en menos doce. La gráfica de esta ecuación de segundo grado corta el eje de las 𝑥 donde 𝑦 es igual a cero; pues el eje de las 𝑥 significa que la coordenada 𝑦 es cero. Así que es donde 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos doce es igual a cero. Descomponemos en factores la expresión 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos doce, y obtenemos 𝑥 más cuatro por 𝑥 menos tres, por lo que tenemos de nuevo dos factores cuyo producto vale cero. El producto solo puede ser cero cuando uno de los dos factores es igual a cero.
Así que, o bien 𝑥 más cuatro es igual a cero, o bien 𝑥 menos tres es igual a cero. Por lo tanto, cuando 𝑦 es cero, cuando la parábola corta el eje de las 𝑥, debe ser donde 𝑥 es igual a menos cuatro o 𝑥 es igual a tres. Ya tenemos suficiente información para esbozar una curva. Sabemos que corta el eje de las 𝑦 en menos doce y que corta el eje de las 𝑥 en menos cuatro y en más tres. Y hay un eje de simetría, pues recordemos que la gráfica de una ecuación de segundo grado es siempre una parábola, que es simétrica, que en este caso estará un poco a la izquierda del eje de las 𝑦 porque estará a mitad de camino entre esos dos puntos en los que la parábola corta el eje de las 𝑥; menos cuatro está más lejos de cero que tres, por lo que el eje de simetría está ligeramente a la izquierda del eje de las 𝑦.
Así que la gráfica será así, más o menos, pues es una gráfica aproximada, pues no tiene por qué ser es exacta al cien por cien. Y sabemos que la coordenada 𝑦 en cada punto de esa gráfica es igual al cuadrado de la coordenada 𝑥 más la coordenada 𝑥 menos doce. Así que en este problema estamos buscando la región en la que la coordenada 𝑦 en la gráfica es mayor que cero, cuyas coordenadas 𝑥 generan una coordenada 𝑦 mayor que cero.
Cuando 𝑥 es igual a menos cuatro, la coordenada 𝑦 es igual a cero, por lo que no es mayor que cero. Así que esa no es la región que estamos buscando. Y cuando 𝑥 es tres, la coordenada 𝑦 es igual a cero. Así que esa tampoco es la región que estamos buscando. Y entre estos puntos de aquí abajo, podemos ver que la coordenada 𝑦 es menor que cero, que tampoco nos sirve. Los puntos que estamos buscando están aquí arriba y yendo hacia el infinito en ese sentido, menos infinito. Y aquí en este lado y yendo hacia infinito en ese sentido, ahí es donde 𝑦 es mayor que cero.
Consideremos las coordenadas 𝑥 correspondientes. Hemos dicho que el tres no está incluido, pues genera una coordenada 𝑦 de cero. Pero todo lo que está a la derecha de tres hasta más infinito está incluido en nuestra región porque genera unas coordenadas de 𝑦 mayores que cero. Menos cuatro no está incluido porque genera una coordenada 𝑦 de cero. Pero todo lo que está a la izquierda de eso está incluido porque las coordenadas 𝑦 correspondientes son mayores que cero.
Respecto a la región que no nos interesa; recordemos que dijimos que todos estos puntos aquí son menores que cero, tienen una coordenada 𝑦 menor que cero, por lo que menos cuatro no está incluido, más tres no está incluido, y todo lo que está entre los dos, todo lo que está entre los dos valores no está incluido en la región que estamos buscando. Como podemos ver, la región coloreada en verde está dividida en dos partes. Es una región discontinua. Así que tenemos, expresada en forma de inecuaciones, que 𝑥 es menor que menos cuatro o que 𝑥 es mayor que tres. Recordemos que, en menos cuatro y tres, las coordenadas 𝑦 son iguales a cero. Así que esos valores no están en la región que nos interesa.
En términos de intervalos, vamos desde menos infinito hasta menos cuatro. Y vamos desde tres hasta más infinito. Ahora tenemos que ver si ponemos corchetes o paréntesis en los extremos; sabemos que infinito siempre lleva paréntesis. El cuatro no está incluido en la región, así que usamos paréntesis; y el tres tampoco está incluido, así que ponemos paréntesis también. Y se trata de la unión de esas dos regiones.
En notación de conjuntos, decimos que es el conjunto de los 𝑥 tales que 𝑥 es real y 𝑥 es menor que menos cuatro o 𝑥 es mayor que tres. O, de otra forma, decimos que son todos los valores reales de 𝑥 aparte de esta región de aquí, por lo que debemos excluir esta región de nuestra respuesta. Así que, otra forma de expresar la respuesta es escribiendo el conjunto de números reales menos la región de menos cuatro a tres. La región que estamos excluyendo incluye menos cuatro y tres.
En esta última cuestión hemos reorganizado la inecuación para que sea más fácil de resolver. También hemos visto los puntos de corte con los ejes 𝑥 e 𝑦, y hemos esbozado la gráfica de la ecuación para ayudarnos a hallar correctamente las soluciones, y vimos las distintas notaciones en las que podemos expresar la respuesta.
