Vídeo: Usar el teorema de la bisectriz para hallar medidas de un triángulo

En la figura siguiente, 𝐴𝐵 = 35, 𝐴𝐶 = 30, and 𝐶𝐷 = 12. Si 𝐵𝐷 = 𝑥 + 10, ¿cuánto vale 𝑥?

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En la siguiente figura, 𝐴𝐵 es igual a 35, 𝐴𝐶 es igual a 30 y 𝐶𝐷 es igual a 12. Si 𝐵𝐷 es igual a 𝑥 más 10, ¿cuánto vale 𝑥?

Aquí tenemos un diagrama de un triángulo y las longitudes de varias rectas en el triángulo. Vamos a añadir primero esta información al diagrama. La pregunta nos pide que hallemos el valor de 𝑥, que forma parte de la expresión para 𝐵𝐷. Vamos a pensar en cómo vamos a enfocar este problema.

La recta 𝐴𝐷 es una bisectriz del ángulo 𝐶𝐴𝐵. Sabemos esto porque las dos partes del ángulo han sido marcadas con un único arco azul, indicando que son iguales. Por lo tanto, tenemos que enfocar este problema usando resultados sobre las bisectrices de los ángulos. La bisectriz del ángulo divide el lado opuesto del triángulo 𝐶𝐵 en dos partes, 𝐶𝐷 y 𝐷𝐵.

La razón entre las longitudes de esas dos partes es la misma que la razón de las longitudes de los otros dos lados del triángulo. O, en otras palabras, para este triángulo, el cociente que obtenemos al dividir 𝐵𝐷 por 𝐶𝐷 es el mismo que el que obtenemos al dividir 𝐴𝐵 por 𝐴𝐶. En ambos casos, este es el lado rosa dividido por el lado verde.

Podemos sustituir los valores, o en el caso de 𝐵𝐷, la expresión, de cada uno de esos lados para obtener una ecuación que podamos resolver para hallar el valor de 𝑥. 𝐵𝐷 sobre 𝐶𝐷 se convierte en 𝑥 más 10 sobre 12. 𝐴𝐵 sobre 𝐴𝐶 se convierte en 35 sobre 30. Esta fracción puede simplificarse al dividir tanto el numerador como el denominador por cinco para obtener una fracción simplificada de siete sobre seis.

Ahora pensemos en cómo resolver esta ecuación. Tenemos un 12 en el denominador de una fracción y un seis en el denominador de la otra. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por 12 se eliminarán ambos denominadores. El 12 que ahora aparece en el numerador en el lado de la derecha se cancelará con el seis del denominador para obtener un factor total de dos.

De este modo, nos queda 𝑥 más 10 igual a siete por dos, que es 14. El último paso para resolver esta ecuación es restar 10 a ambos lados. Esto nos da que 𝑥 es igual a cuatro. Hemos hallado el valor de 𝑥. Recordemos que el resultado clave que hemos utilizado en este problema es que la bisectriz de un ángulo divide el lado opuesto de un triángulo en la misma razón que la que existe entre los otros dos lados del triángulo.

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