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En esta lección vamos a aprender cómo hacer uso de la integral para calcular el volumen de un sólido cuya sección transversal es variable. Vamos a aplicar un método conocido como método de los discos o método de las rebanadas, y para ello vamos primero a repasar algunas ideas fundamentales. Seguidamente veremos cómo y en qué circunstancias podemos aplicar este método. Y luego consideraremos algunos ejemplos.
Sabemos que el área es una medida del espacio ocupado por una figura de dos dimensiones. Por ejemplo, si la figura es un rectángulo con lados 𝑎 y 𝑏, el área es 𝑎 por 𝑏. Para un círculo con radio 𝑟, el área es 𝜋𝑟 al cuadrado. Y para un trapecio con lados 𝑎 y 𝑏 y altura ℎ, el área es ℎ partido entre dos, por 𝑎 más 𝑏. Recuerda que el área se mide en unidades de longitud al cuadrado.
El volumen es una medida que usamos para expresar la cantidad de espacio tridimensional que ocupa un sólido. Por ejemplo, para un ortoedro con lados 𝑎, 𝑏 y ℎ, el volumen es 𝑎 por 𝑏 por ℎ. Para una esfera con radio 𝑟, el volumen es cuatro, partido por tres, 𝜋𝑟 al cubo. Y para un cilindro de radio 𝑟 y altura ℎ, el volumen es 𝜋𝑟 al cuadrado por ℎ. Y, como sabes, el volumen se mide en unidades de longitud al cubo.
También sabemos que, si tenemos dos curvas 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥, y queremos hallar el área comprendida entre las dos curvas para valores de 𝑥 entre 𝑎 y 𝑏, entonces el área es la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Vamos a ampliar esta idea y vamos a ver cómo hacer uso de una integral definida para calcular el volumen de un sólido tridimensional.
Hacemos esto cortando el sólido en un número infinito de secciones transversales (rebanadas), y haciendo uso luego de la integral para sumar las áreas de todas esas secciones transversales o rebanadas. De esta manera el volumen de una figura tridimensional se puede expresar como una integral con respecto a 𝑥 del área de las secciones transversales. Pero antes de empezar a integrar, veamos más de cerca cómo funciona esto geométricamente.
Aquí tenemos un prisma cuyas secciones transversales tienen forma semicircular, y son paralelas entre sí y perpendiculares a los lados. Los lados tienen longitud ℎ. Si tomamos una sección transversal en cualquier punto en ℎ, vemos que el área de cada sección transversal es la misma. El volumen es, por lo tanto, igual al área de la sección transversal multiplicada por la longitud ℎ. Esto funciona porque el área de la sección transversal es constante, así que tenemos una fórmula para el área. Pero si las áreas de las secciones transversales del sólido no son constantes, debemos aplicar el método de los discos y hacer uso de la integral definida para calcular el volumen. Veamos cómo funciona esto.
Supongamos que tenemos un círculo definido por la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado con centro en el origen. El círculo es la base de nuestro sólido. Ahora, supongamos que las secciones transversales son triángulos equiláteros, el lado inferior de los cuales atraviesa el círculo completamente. Las secciones transversales son perpendiculares al eje de las 𝑥. Para calcular el volumen del sólido generado por estos triángulos, cuya base es el círculo, hacemos 𝐴 de 𝑥 igual al área del triángulo que está en el punto 𝑥 del eje de las 𝑥. Y, claramente, si el valor de 𝑥 cambia, también lo hará el área del triángulo.
Si dividimos el sólido en láminas transversales, de manera que cada lámina tiene un grosor Δ𝑥, y denominamos a la lámina 𝑆 𝑖, entonces el volumen de esta lámina es aproximadamente igual al área de la sección transversal en 𝑥 igual a 𝑥 𝑖 asterisco multiplicada por Δ𝑥. Y aquí, 𝑥 𝑖 asterisco es un punto cualquiera, un punto de muestra entre 𝑥 𝑖 menos uno y 𝑥 𝑖. Por lo tanto, un valor aproximado del volumen total de este sólido se obtiene sumando los volúmenes de estas 𝑛 láminas transversales. Ten en cuenta que esto es solo una aproximación. Pero a medida que el número 𝑛 de láminas transversales aumenta, el grosor Δ𝑥 disminuye, y las láminas se hacen más y más finas.
Podemos definir, por lo tanto, el volumen de este sólido como el límite de esta suma cuando 𝑛 tiende a infinito. Y sabemos que este es el límite de las sumas de Riemann, que es una integral definida. Así que podemos definir el volumen de un sólido 𝑆, entre 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, con un área transversal 𝐴 de 𝑥 perpendicular al eje de las 𝑥, y siendo 𝐴 continua, como la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
Es importante tener en cuenta que esta es la fórmula del volumen de un sólido en el que las secciones transversales son perpendiculares al eje de las 𝑥. Si las secciones transversales fueran perpendiculares al eje de las 𝑦, nuestros límites cambiarían a valores de 𝑦, y las áreas serían funciones de 𝑦, de modo que la integral sería con respecto a 𝑦. Repasemos un poco este método antes de considerar un ejemplo.
Cuando queremos calcular el volumen de un sólido aplicando el método de las rebanadas, lo primero que tenemos que hacer es escoger una dirección longitudinal para el sólido. Seguidamente hemos de determinar la forma de las secciones transversales y tratar de representar gráficamente todo esto. Luego, tenemos que hallar una fórmula para el área de las secciones transversales. Y, por supuesto, si la sección transversal es perpendicular al eje de las 𝑥, entonces el área es una función de 𝑥. Si la sección transversal es perpendicular al eje de las 𝑦, entonces el área será una función de 𝑦. Análogamente, si la sección transversal es perpendicular al eje de las 𝑧, entonces el área debe ser una función de 𝑧. Por último, para obtener el volumen del sólido, integramos el área de la sección transversal a lo largo de un intervalo adecuado. El intervalo de integración estará determinado por la longitud del sólido. Veamos un ejemplo.
Aplica el método de los discos para calcular el volumen de un sólido cuya base es el círculo definido por la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a dos con centro en el origen y cuyas secciones transversales son triángulos equiláteros perpendiculares al eje de las 𝑥.
El problema nos pide que hallemos el volumen de un sólido cuya base es el círculo 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a dos con centro en el origen, y cuyas secciones transversales son triángulos equiláteros perpendiculares al eje de las 𝑥. Vamos a dibujar primero la base y las secciones transversales. La base es el círculo 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a dos. Esto quiere decir que el radio 𝑟 al cuadrado es igual a dos, lo que significa que el radio 𝑟 es igual a más o menos raíz cuadrada de dos.
Las secciones transversales son triángulos equiláteros perpendiculares al eje de las 𝑥. El pico del sólido está formado por los vértices de estos triángulos. Recuerda que nuestro objetivo aquí es calcular el volumen del sólido. Y este es igual a la integral definida de las áreas de las secciones transversales entre los límites definidos por la longitud del objeto. Por lo tanto, nuestra primera tarea es calcular el área de los triángulos.
Recuerda que el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. En nuestro caso, la base de cada triángulo es dos 𝑦, pues está dividida por la mitad por el eje de las 𝑥. Y como este es un triángulo equilátero, la longitud de cada lado es dos 𝑦. Como las secciones transversales son perpendiculares al eje de las 𝑥, tenemos que calcular el área como una función de 𝑥. Y para hacerlo, primero calculamos la altura ℎ en función de 𝑦. Y haciendo uso de la ecuación del círculo, podemos hallar el área como una función de 𝑥.
Para hallar la altura ℎ aplicamos el teorema de Pitágoras. Este teorema dice que, para un triángulo rectángulo de lados 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado. En nuestro caso, esto significa que ℎ al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es igual a dos 𝑦, todo al cuadrado. Esto es igual a cuatro 𝑦 al cuadrado. Por lo tanto, ℎ al cuadrado es cuatro 𝑦 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado, que es tres 𝑦 al cuadrado, por lo que ℎ, que es una longitud, es la raíz cuadrada positiva de tres 𝑦.
Ahora, si aplicamos la fórmula para el área de un triángulo, obtenemos que el área de nuestro triángulo transversal es igual a un medio por dos 𝑦 por la raíz cuadrada de tres 𝑦. Cancelamos los doses y obtenemos que el área es igual a raíz cuadrada de tres 𝑦 al cuadrado. Ahora bien, según la ecuación del círculo, tenemos que 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es igual a dos. Esto significa que 𝑦 al cuadrado es dos menos 𝑥 al cuadrado. Si sustituimos esto en nuestra área, obtenemos áreas en función de 𝑥 de modo que nuestra área es la raíz cuadrada de tres por dos menos 𝑥 al cuadrado.
Recuerda que el volumen es la integral del área entre límites que están definidos por la longitud del sólido. En nuestro caso, los límites son menos raíz de dos y raíz de dos. Así que nuestro volumen es la integral entre menos raíz de dos y raíz de dos de la raíz cuadrada de tres por dos menos 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. Y como raíz de tres es una constante, podemos sacarla fuera de la integral. De esta forma, nuestra integral es raíz de tres por la integral entre menos raíz de dos y raíz de dos de dos menos 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥.
También podemos usar la simetría axial del círculo para facilitar un poco las cosas. Si hacemos uso de la simetría axial del círculo, podemos cambiar el límite inferior a cero y multiplicar la integral por dos. Así que hemos obtenido que el volumen es igual a dos por la raíz cuadrada de tres por la integral entre cero y raíz cuadrada de dos de dos menos 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. La integral de dos con respecto a 𝑥 es dos 𝑥 calculado entre cero y la raíz cuadrada de dos. Y la integral de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 es uno partido por tres 𝑥 al cubo calculado entre los límites de cero y raíz de dos.
Nuestro volumen es, por lo tanto, dos por raíz cuadrada de tres por dos 𝑥 menos 𝑥 al cubo partido por tres calculado entre cero y raíz de dos. Y obtenemos dos por la raíz cuadrada de tres por dos raíz de dos menos raíz de dos al cubo partido entre tres menos cero menos cero. Si calculamos esto obtenemos ocho por la raíz cuadrada de seis sobre tres.
El volumen del sólido cuya base es el círculo 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a dos con centro en el origen y cuyas secciones transversales son triángulos equiláteros perpendiculares al eje de las 𝑥 es ocho por raíz de seis partido por tres unidades de longitud al cubo. Hemos hallado este volumen calculando las áreas de los triángulos de la sección transversal en términos de 𝑥. Y seguidamente hemos integrado esta área en un intervalo definido por la longitud del sólido.
Vamos a aplicar el mismo método a otro ejemplo.
Utiliza el método de los discos para hallar el volumen del sólido cuya base es la región encerrada por la parábola 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado que se halla en el primer cuadrante, y cuyas secciones transversales son cuadrados perpendiculares al eje de las 𝑥 y que tienen un lado en el plano 𝑥𝑦.
Queremos hallar el volumen de un sólido cuya base es la región encerrada por la parábola 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Y que se halla en el primer cuadrante. Y sabemos además que el sólido tiene secciones transversales que son cuadrados perpendiculares al eje de las 𝑥 y que tienen un lado en el plano 𝑥𝑦. Lo primero que vamos a hacer es esbozar la parábola 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado. Si hacemos 𝑦 igual a cero en nuestra ecuación, obtenemos 𝑥 al cuadrado igual a cuatro. Así que la parábola corta el eje de las 𝑥 en 𝑥 igual a menos dos y dos. Cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 es igual a cuatro. Así que la parábola corta el eje de las 𝑦 en 𝑦 igual a cuatro.
La base del sólido es la región encerrada por la parábola en el primer cuadrante. Las secciones transversales del sólido son cuadrados que son perpendiculares al eje de las 𝑥 y con un lado en el plano 𝑥𝑦. Para hallar el volumen, integramos el área de la sección transversal entre los límites de integración definidos por la parábola, de modo que el límite inferior es cero, y el límite superior es dos.
Sabemos que el área de un cuadrado de lado 𝑎 es 𝑎 al cuadrado. En nuestro caso, la longitud de los lados de cada cuadrado es 𝑦. Y el valor de 𝑦 depende de dónde se encuentre el cuadrado en el eje de las 𝑥. El área de cada cuadrado es, por lo tanto, 𝑦 al cuadrado. Y como 𝑦 es igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado, tenemos que el área de la sección transversal es igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado, todo al cuadrado. Así que tenemos el área de la sección transversal como una función de 𝑥. Nuestro volumen es, consecuentemente, la integral entre cero y dos de cuatro menos 𝑥 al cuadrado todo al cuadrado con respecto a 𝑥.
Para hacer la integral un poco más fácil, vamos a desarrollar el paréntesis. Y obtenemos la integral entre cero y dos de 16 menos ocho 𝑥 al cuadrado más 𝑥 a la cuarta con respecto a 𝑥. La integral de 16 con respecto a 𝑥 entre cero y dos es 16𝑥 entre cero y dos. La integral de menos ocho 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 es menos ocho 𝑥 al cubo dividido por tres entre cero y dos. Y la integral de 𝑥 a la cuarta es 𝑥 a la quinta entre cinco calculada entre cero y dos.
Si calculamos esto obtenemos 16 por dos menos ocho por ocho partido por tres más dos a la quinta sobre cinco menos cero. Al calcular esto obtenemos 256 dividido por 15. El volumen del sólido cuya base es la región encerrada por la parábola 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado en el primer cuadrante y cuyas secciones transversales son cuadrados perpendiculares al eje de las 𝑥 —y con un lado en el plano 𝑥𝑦— es igual a 256 dividido por 15 unidades de longitud al cubo.
En este ejemplo, las rebanadas eran cuadrados perpendiculares al eje de las 𝑥 con un lado en el plano 𝑥𝑦. Veamos ahora un ejemplo en el que las secciones transversales son perpendiculares al eje de las 𝑦.
Utiliza el método de los discos para hallar el volumen del sólido cuya base es la región encerrada por la parábola 𝑦 igual a nueve menos 𝑥 al cuadrado y el eje de las 𝑥, y cuyas secciones transversales son cuadrados perpendiculares al eje de las 𝑦.
Se nos ha pedido que calculemos el volumen de un sólido cuya base es la región encerrada por la parábola 𝑦 igual a nueve menos 𝑥 al cuadrado y el eje de las 𝑥. Las secciones del sólido son cuadrados perpendiculares al eje de las 𝑦. Dibujemos primero la base del sólido. Nuestra parábola es 𝑦 igual a nueve menos 𝑥 al cuadrado, de modo que cuando 𝑦 es igual a cero, 𝑥 al cuadrado es igual a nueve, por lo que 𝑥 es igual a más o menos tres. Cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 es igual a nueve. Así que aquí es donde la función cruza el eje de las 𝑦.
La región que se encuentra encerrada por esta curva y por el eje de las 𝑥 es la base del sólido. Las secciones transversales son cuadrados. Y son perpendiculares al eje de las 𝑦. La longitud de los lados de cada cuadrado es dos 𝑥. Y el valor de 𝑥 depende de dónde esté situado el cuadrado en el eje de las 𝑦. El área de un cuadrado transversal es, por lo tanto, dos 𝑥 por dos 𝑥, que es cuatro 𝑥 al cuadrado. Sin embargo, el volumen de nuestro sólido es una integral a lo largo del eje de las 𝑦, entre 𝑦 igual a cero y nueve, del área, en función de 𝑦, de los cuadrados transversales. Así que tenemos que convertir nuestra área en una función de 𝑦.
Sabemos que 𝑦 es igual a nueve menos 𝑥 al cuadrado, lo que nos da 𝑥 al cuadrado igual a nueve menos 𝑦. Nuestra área en función de 𝑥 es cuatro 𝑥 al cuadrado, de modo que cuatro 𝑥 al cuadrado es igual a nueve menos 𝑦 por cuatro. Esto es, cuatro 𝑥 al cuadrado es igual a cuatro por nueve menos 𝑦 de modo que nuestra área, de hecho, es cuatro por nueve menos 𝑦. Ahora ya podemos calcular el volumen, que es la integral entre cero y nueve de cuatro por nueve menos 𝑦 con respecto a 𝑦.
Podemos sacar el cuatro fuera, pues es un factor constante. Sabemos que la integral de nueve con respecto a 𝑦 es nueve 𝑦. Y que la integral de menos 𝑦 con respecto a 𝑦 es menos 𝑦 al cuadrado sobre dos. Así que el volumen es cuatro por nueve 𝑦 menos 𝑦 al cuadrado sobre dos calculado entre cero y nueve. Esto es cuatro por nueve por nueve menos nueve al cuadrado sobre dos menos cero. Que es cuatro por 81 menos 40.5, que es 162. De esta forma hemos hallado que el volumen del sólido cuya base es la región encerrada por la parábola 𝑦 igual a nueve menos 𝑥 al cuadrado y el eje de las 𝑥, y cuyas secciones son cuadrados perpendiculares al eje de las 𝑦, es 162 unidades de longitud al cubo.
Repasemos ahora los puntos clave que hemos aprendido sobre cómo calcular el volumen de un sólido por el método de los discos. Lo primero que tenemos que hacer es elegir la dirección longitudinal de nuestro sólido. Seguidamente determinamos la forma de las secciones transversales del sólido y dibujamos la sección transversal y la base. Por último, debemos hallar una fórmula para el área de las secciones transversales. Si la sección transversal es perpendicular al eje de las 𝑥 esta será una función de 𝑥. Si la sección transversal es perpendicular al eje de las 𝑦, el área será una función de 𝑦. Y si la sección transversal es perpendicular al eje de las 𝑧, entonces el área será una función de 𝑧.
Seguidamente, para calcular el volumen integramos el área de la sección transversal en un intervalo definido por la longitud del sólido. Si las secciones transversales son perpendiculares al eje de las 𝑥, entonces el volumen es igual a la integral entre 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 del área, que es una función de 𝑥 con respecto a 𝑥. Si las secciones transversales son perpendiculares al eje de las 𝑦, entonces los límites son valores de 𝑦, nuestra área es una función de 𝑦, e integramos con respecto a 𝑦. Si las secciones transversales son perpendiculares al eje de las 𝑧, entonces los límites se convierten en valores de 𝑧, nuestra área es una función de 𝑧, e integramos con respecto a 𝑧. Por lo tanto, la clave para hallar el volumen es determinar la dirección longitudinal del sólido, la forma de las secciones transversales, y el punto donde se encuentra cada sección transversal con respecto al eje longitudinal.