Vídeo: La regla de L'Hôpital

En este video vamos a aprender cómo aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites de las formas indeterminadas 0/0 y ∞/∞.

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Transcripción del vídeo

La regla de L’Hôpital.

En este video vamos a aprender cómo aplicar la regla de L’Hôpital para evaluar los límites de las formas indeterminadas cero sobre cero, y más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. Vamos a ver algunos ejemplos de cómo usar la regla de L’Hôpital.

Comencemos analizando un límite. Y este es el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑥 sobre sen de cinco 𝑥. Si queremos evaluar este límite, podemos comenzar probando la sustitución directa. Obtenemos cero sobre sen de cinco por cero. Ya que cinco por cero es cero, esto es lo mismo que cero sobre cero. Sen de cero nos da cero. Esto debe ser igual a cero sobre cero, que no está definido. Por lo tanto, este límite no puede ser evaluado directamente con el uso de la sustitución directa.

De hecho, ninguna de las técnicas que conocemos hasta ahora puede ser usada para evaluar este límite. Es aquí donde entra la regla de L’Hôpital. La regla de L’Hôpital nos dice que si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a cero sobre cero o el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. Donde 𝑎 puede ser cualquier número real, más infinito o menos infinito. Entonces, el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥.

Algo que debemos notar sobre la regla de L’Hôpital es que para que funcione, tanto 𝑓 de 𝑥 como 𝑔 de 𝑥 deben ser derivables. Aparte de eso, cuando decimos que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 puede ser igual a más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. No tiene que ser igual a más infinito sobre más infinito o menos infinito sobre menos infinito. La regla funciona igualmente cuando el límite es igual a más infinito sobre menos infinito o menos infinito sobre más infinito.

Con esto hemos cubierto la definición de la regla de L’Hôpital, y podemos aplicarla al límite que estamos tratando de hallar. Y este es el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑥 sobre sen de cinco 𝑥. Y hemos visto que, usando sustitución directa, nuestro límite es igual a cero sobre cero. Por lo tanto, satisface la primera condición de la regla de L’Hôpital. Podemos ver que el valor de 𝑎 en nuestro límite es cero. Debido a que 𝑎 es un número real, también satisface la segunda condición. Ahora podemos decir que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 es igual a sen de cinco 𝑥. Evidentemente, estas dos funciones, 𝑓 y 𝑔, son derivables. Por lo tanto, estamos listos para aplicar la regla de L’Hôpital.

Primero necesitamos hallar 𝑓 prima de 𝑥 y 𝑔 prima de 𝑥. Derivando 𝑥 con respecto a 𝑥, hallamos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a uno. Para hallar 𝑔 prima de 𝑥, necesitamos derivar sen de cinco 𝑥. Esta es una función compuesta. Por lo tanto, debemos usar la regla de la cadena. Derivamos el interior de la función, que es cinco 𝑥, para obtener una constante de cinco. Después derivamos el seno para hallar cos de cinco 𝑥, dando como resultado que 𝑔 prima de 𝑥 es igual a cinco cos de cinco 𝑥.

Aplicando la regla de L’Hôpital, podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑥 sobre sen de cinco 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a cero de uno sobre cinco cos de cinco 𝑥. Y ahora podemos utilizar la sustitución directa. Y vemos que nuestro límite es igual a uno sobre cinco por cos de cinco por cero. Cinco por cero es cero. Y cos de cero es uno. Por tanto, podemos decir que nuestro límite es igual a uno sobre cinco por uno, que es un quinto.

La regla de L’Hôpital puede ser muy útil para hallar límites que parecen no existir. Veamos un ejemplo.

Halla el límite cuando 𝑥 tiende a cero de siete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 menos siete sobre menos 𝑒 elevado a ocho 𝑥 más uno.

Comenzaremos tratando de resolver este límite usando la sustitución directa. Obtenemos siete por 𝑒 elevado a cinco por cero menos siete sobre menos 𝑒 elevado a cinco por cero más uno. Ya que 𝑒 elevado a cero es igual a uno, hallamos que esto es igual a siete menos siete sobre menos uno más uno, lo cual se simplifica a cero sobre cero. Y, por lo tanto, esto no está definido. A pesar de que obtenemos que nuestro límite no puede calcularse usando sustitución directa, es igual a cero sobre cero. Y esto nos dice que podemos usar la regla de L’Hôpital.

La regla de L’Hôpital nos dice que si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a cero sobre cero, o a más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. En donde 𝑎 es un número real, más infinito o menos infinito. Entonces el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥.

Nuestro límite satisface la condición de ser igual a cero sobre cero. Y como estamos tomando el límite cuando 𝑥 tiende a cero, esto significa que nuestra 𝑎 es igual a cero, que es un número real. Por eso, podemos usar la regla de L’Hôpital. 𝑓 de 𝑥 es el numerador de la función cuyo límite estamos tomando. Así que tenemos siete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 menos siete. Y 𝑔 de 𝑥 es el denominador. Esto es menos 𝑒 elevado a ocho 𝑥 más uno.

Ahora debemos hallar 𝑓 prima de 𝑥 y 𝑔 prima de 𝑥. Ya que vamos a derivar términos exponenciales, debemos usar la regla que nos dice que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑘 por 𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Derivemos 𝑓 de 𝑥 término a término. Siete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 es un término exponencial. Usaremos, por lo tanto, la regla que acabamos de mencionar. Nuestro valor de 𝑘 es cinco. Notamos que tenemos una constante de siete multiplicando nuestro término exponencial. Por consiguiente, eso debe seguir igual también, lo que nos da siete por cinco 𝑒 elevado a cinco 𝑥. Y siete por cinco es 35. Así que podemos escribir esto como 35𝑒 elevado a cinco 𝑥.

El segundo término en 𝑓 de 𝑥 es menos siete, que es una constante. Y cuando derivamos una constante, obtenemos simplemente cero. Hemos hallado que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 35𝑒 elevado a cinco 𝑥. El primer término en 𝑔 de 𝑥 es menos 𝑒 elevado a ocho 𝑥, que es nuevamente un término exponencial. Usando nuestra regla, obtenemos que la derivada de este término es menos ocho 𝑒 elevado a ocho 𝑥. El segundo término en 𝑔 de 𝑥 es uno, el cual también es una constante. Y esto, al ser derivado, nos da cero.

Ahora estamos listos para aplicar la regla de L’Hôpital. Hallamos que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de siete 𝑒 elevado a cinco 𝑥 menos siete sobre menos 𝑒 elevado a ocho 𝑥 más uno. Es igual al límite cuando 𝑥 tiende a cero de 35 por 𝑒 elevado a cinco 𝑥 sobre menos ocho por 𝑒 elevado a ocho 𝑥. Y ahora podemos aplicar la sustitución directa, obteniendo 35 por 𝑒 elevado a cero sobre menos ocho por 𝑒 elevado a cero. Ya que 𝑒 elevado a cero es igual a uno, obtenemos el resultado de que nuestro límite debe ser igual a menos 35 sobre ocho. A continuación, vamos a ver un ejemplo que satisface una condición diferente de la regla de L’Hôpital.

Halla el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de dos por 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos cinco sobre tres por 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos uno.

Podemos comenzar intentando hallar este límite usando sustitución directa. Vamos a usar el hecho de que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑒 elevado a 𝑥 es igual a más infinito. Partiendo de esto, hallamos que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑒 elevado a tres 𝑥 es también igual a más infinito. Y esto nos dice que cuando usamos sustitución directa para hallar nuestro límite, este será igual a más infinito sobre más infinito. Y no está definido. Por tanto, aún no hemos hallado nuestra solución.

No obstante, el hecho de que esto sea igual a más infinito sobre más infinito nos indica que podemos usar la regla de L’Hôpital. La regla de L’Hôpital nos dice que si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a cero sobre cero, o a más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. En donde 𝑎 es un número real, más infinito, o menos infinito. Entonces el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥.

Nuestro límite es igual a infinito sobre infinito. Y estamos hallando el límite cuando 𝑥 tiende a más infinito. Por lo tanto, podemos usar la regla de L’Hôpital. En nuestro caso, 𝑓 de 𝑥 es igual a dos por 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos cinco. Y 𝑔 de 𝑥 es igual a tres por 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos uno.

Hallamos 𝑓 prima y 𝑔 prima derivando 𝑓 y 𝑔. Derivando dos 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos cinco con respecto a 𝑥, hallamos que 𝑓 prima de 𝑥 debe ser igual a seis 𝑒 elevado a tres 𝑥. Y derivando tres por 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos uno con respecto a 𝑥, hallamos que 𝑔 prima de 𝑥 debe ser igual a nueve 𝑒 elevado a tres 𝑥. Obtenemos, pues, que nuestro límite debe ser igual al límite cuando 𝑥 tiende a infinito de seis por 𝑒 elevado a tres 𝑥 sobre nueve por 𝑒 elevado a tres 𝑥.

Aquí, nos podemos dar cuenta de que tenemos un factor de tres por 𝑒 elevado a tres 𝑥 tanto en el numerador como en el denominador. Ya que podemos escribir nuestro numerador como dos por tres 𝑒 elevado a tres 𝑥 y nuestro denominador como tres por tres 𝑒 elevado a tres 𝑥. Por lo tanto, estos factores de tres por 𝑒 elevado a tres 𝑥 se cancelarán, dejándonos con el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de dos sobre tres. Como no hay dependencia en 𝑥 dentro de nuestro límite, nuestro límite es simplemente igual a dos tercios. Y esta es la solución a la pregunta. Muchos límites diferentes nos dan una de las formas de las indeterminaciones requeridas para usar la regla de L’Hôpital. Veamos algunos ejemplos más.

Determina el límite cuando 𝑥 tiende a uno de menos 11 por el logaritmo natural de 𝑥 sobre menos nueve 𝑥 más nueve.

Vamos a tratar de hallar este límite usando sustitución directa. Obtenemos menos 11 multiplicado por el logaritmo natural de uno sobre menos nueve más nueve. Y ahora usamos el hecho de que el logaritmo natural de uno es igual a cero. Y esto nos dice que nuestro límite es igual a cero sobre cero, lo cual no está definido. Sin embargo, esta es una condición que podemos utilizar para poder usar la regla de L’Hôpital.

Esta es la regla de L’Hôpital. Y como nuestro límite es igual a cero sobre cero, podemos ver que hemos satisfecho la primera condición. Estamos tomando el límite cuando 𝑥 tiende a uno. Así que podemos decir que 𝑎 es igual a uno. Y uno es un número real. Por lo tanto, hemos satisfecho también la segunda condición. Y esto nos dice que podemos usar la regla de L’Hôpital. Y en este caso 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 11 por el logaritmo neperiano de 𝑥. Y 𝑔 de 𝑥 es igual a menos nueve 𝑥 más nueve.

Para derivar 𝑓 con respecto a 𝑥, vamos a usar el hecho de que la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥. Como 𝑓 de 𝑥 es una constante multiplicada por el logaritmo neperiano de 𝑥, en donde la constante es igual a menos 11, hallamos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a menos 11 sobre 𝑥. Ahora, 𝑔 de 𝑥 es igual a menos nueve 𝑥 más nueve, que es un polinomio. Así que podemos derivar esto usando la regla de derivación de las potencias, y hallamos que 𝑔 prima de 𝑥 es igual a menos nueve.

Ahora podemos aplicar la fórmula de la regla de L’Hôpital, que dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥. Lo que nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a uno de menos 11 por el logaritmo natural de 𝑥 sobre menos nueve más nueve. Es igual al límite cuando 𝑥 tiende a uno de menos 11 sobre menos nueve 𝑥. Vemos que tenemos un signo menos tanto en el numerador como en el denominador. Así que pueden cancelarse, dándonos el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 11 sobre nueve 𝑥. Y aquí podemos aplicar la sustitución directa, obteniendo como resultado 11 sobre nueve por uno. Y con esto obtenemos el resultado de que nuestro límite debe ser igual a 11 sobre nueve.

En el siguiente ejemplo, vamos a ver cómo usar la regla de L’Hôpital para hallar otro resultado.

Dadas las funciones 𝑓 minúscula y 𝐹 mayúscula, que son positivas para valores grandes de 𝑥, decimos que 𝐹 mayúscula domina 𝑓 minúscula cuando 𝑥 tiende a infinito si el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝐹 de 𝑥 es igual a cero. Usa la regla de L’Hôpital para determinar cuál es la dominante cuando 𝑥 tiende a infinito. El logaritmo neperiano de 𝑥 o la raíz cuadrada de 𝑥.

Usando la definición de dominante dada en la pregunta, para hallar si el logaritmo natural de 𝑥 o la raíz cuadrada de 𝑥 es dominante. Necesitamos mostrar que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito del logaritmo neperiano de 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥, es igual a cero. O mostrar que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de la raíz cuadrada de 𝑥 sobre el logaritmo natural de 𝑥 es igual a cero.

Comencemos por analizar la segunda de estas dos opciones. Necesitamos hallar el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de la raíz cuadrada de 𝑥 sobre el logaritmo natural de 𝑥. Debido a que tanto la raíz cuadrada de 𝑥 como el logaritmo natural de 𝑥 son funciones crecientes, sabemos que el límite de cada una de estas individualmente es más infinito cuando 𝑥 tiende a más infinito. Por tanto, el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de la raíz cuadrada de 𝑥 sobre el logaritmo natural de 𝑥 es igual a infinito sobre infinito. Y esto no está definido. Sin embargo, cumple con la condición principal para usar la regla de L’Hôpital.

La regla de L’Hopital nos dice que si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a cero sobre cero, o a más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. En donde 𝑎 es un número real, infinito positivo, o infinito negativo. Entonces, el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥.

Ahora, ya que nuestro límite es igual a más infinito sobre más infinito, hemos satisfecho la primera condición. Y estamos tomando el límite cuando 𝑥 tiende a más infinito. Por tanto, hemos cumplido también con la segunda condición. Así que podemos aplicar la regla de L’Hôpital.

Sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 y que 𝑔 de 𝑥 es igual al logaritmo neperiano de 𝑥. La raíz cuadrada de 𝑥 es lo mismo que 𝑥 elevado a un medio. Así que, para poder hallar 𝑓 prima de 𝑥, vamos a usar la regla de derivación de las potencias. Multiplicamos por el exponente y disminuimos el exponente en uno, y hallamos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a un medio multiplicado por 𝑥 elevado a menos un medio.

Para derivar 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥, usamos el hecho de que la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥. Así que 𝑔 prima de 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥. Aplicando la regla de L’Hôpital, hallamos que nuestro límite es igual al límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑥 elevado a menos un medio sobre dos por uno sobre 𝑥.

Simplificando obtenemos límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑥 sobre dos por 𝑥 elevado a un medio. Ahora podemos cancelar un factor de 𝑥 elevado a un medio de arriba y de abajo. Obtenemos límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑥 elevado a un medio sobre dos. Y el único término con 𝑥 aquí tiene un exponente positivo. Y está en el numerador de la fracción. Por lo tanto, este límite debe ser igual a infinito. Y por tanto no es igual a cero. Partiendo de esto concluimos que el logaritmo natural de 𝑥 no domina a la raíz cuadrada de 𝑥.

Ahora comprobemos que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito del logaritmo natural de 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 es igual a cero. El logaritmo natural de 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 es el recíproco de la raíz cuadrada de 𝑥 sobre el logaritmo natural de 𝑥. Por lo tanto, cuando usamos la sustitución directa para hallar el límite cuando 𝑥 tiende a infinito, obtenemos nuevamente infinito sobre infinito. Así que podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito del logaritmo neperiano de 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 debe ser igual a infinito sobre infinito, valor que no está definido. Sin embargo, podemos usar la regla de L’Hôpital porque sus dos condiciones se satisfacen.

Nuestro límite es igual a más infinito sobre más infinito. Y estamos tomando el límite cuando 𝑥 tiende a más infinito. Ya que estamos tomando el límite del recíproco de la raíz cuadrada, nuestra 𝑓 y 𝑔 estarán al revés. Por consiguiente, para nuestra tarea final, simplemente vamos a usar el límite de la función recíproca. Y debido a que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de la raíz cuadrada de 𝑥 sobre el logaritmo natural de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑥 elevado a un medio sobre dos. Esto nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito del logaritmo natural de 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 será igual al límite cuando 𝑥 tiende a infinito del recíproco de la raíz cuadrada de 𝑥 elevado a un medio sobre dos. Y este es el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de dos sobre 𝑥 elevado a un medio.

En este límite, nuestra 𝑥 tiene el exponente positivo un medio. Sin embargo, está en el denominador de la fracción. Y, por eso, si tomamos el límite cuando 𝑥 tiende a infinito, será igual a cero. Y así, hemos demostrado que el límite cuando 𝑥 tiende a infinito del logaritmo neperiano de 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 es igual a cero. Según esto, podemos concluir que la raíz cuadrada de 𝑥 domina al logaritmo neperiano de 𝑥. Como hemos visto en este ejemplo, la regla de L’Hôpital puede ser útil para resolver casi cualquier cosa que contenga un límite, ya que nos permite hallar límites que de otro modo no estarían definidos.

Hemos visto una variedad de ejemplos que se resuelven aplicando la regla de L’Hôpital. Echemos una ojeada a los puntos clave del video. Puntos clave. La regla de L’Hopital se puede usar para hallar los límites de las formas indeterminadas cero sobre cero, más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. La regla de L’Hopital es la siguiente. Supongamos que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a cero sobre cero. O el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a más infinito o menos infinito sobre más infinito o menos infinito. En donde 𝑎 puede ser cualquier número real, más infinito o menos infinito. Entonces el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥.

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