Vídeo: Integrales indefinidas: funciones de proporcionalidad inversa y funciones exponenciales

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la integral indefinida de la función de proporcionalidad inversa (1/𝑥) y de las funciones exponenciales.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar integrales indefinidas de funciones de proporcionalidad inversa y de funciones exponenciales. Primero, vamos a repasar la primera parte del teorema fundamental del cálculo y después veremos cómo este teorema nos puede ayudar a integrar funciones exponenciales de la forma 𝑒 elevado a 𝑥 y funciones de proporcionalidad inversa de la forma 𝑎 partido por 𝑥.

Empezamos recordando la primera parte del teorema fundamental del cálculo. Sea 𝑓 una función real definida y continua en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏. Sea, además, 𝐹 mayúscula la función definida para todos los valores de 𝑥 en este intervalo cerrado mediante 𝐹 mayúscula de 𝑥 igual a la integral calculada entre 𝑎 y 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡. Entonces, 𝐹 mayúscula es uniformemente continua en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 y derivable en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏, y 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏. Es decir, 𝐹 mayúscula es la antiderivada de la función 𝑓, o sea, la función cuya derivada es igual a la función original.

Básicamente, lo que esto nos dice es que la integración es el proceso inverso a la derivación. Consideremos ahora la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Sabemos que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Por lo tanto, la antiderivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es también 𝑒 elevado a 𝑥. Así que la integral indefinida de 𝑒 elevado a 𝑥 calculada con respecto a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Y, como se trata de una integral indefinida, añadimos la constante de integración. Llamémosla 𝑐.

Y, ¿qué hay de la integración de una función 𝑎 elevado a 𝑥, siendo 𝑎 una constante real? Bueno, una vez más, debemos pensar en las derivadas. Y es conveniente conocer la propiedad que dice que la derivada de 𝑎 elevado a 𝑥 es 𝑎 elevado a 𝑥 por el logaritmo neperiano de 𝑎. Por lo tanto, la integral indefinida de 𝑎 elevado a 𝑥 por el logaritmo neperiano de 𝑎 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥, pues es su antiderivada. Y, como se trata de una integral indefinida, sumamos la constante de integración 𝑐.

Sin embargo, esto no es exactamente lo que estamos buscando. Lo que queremos es calcular la integral de 𝑎 elevado a 𝑥. Así que sacamos esta constante, el logaritmo neperiano de 𝑎, fuera de la integral. Luego dividimos ambos lados por el logaritmo neperiano de 𝑎. Y obtenemos que la integral de 𝑎 elevado a 𝑥 es 𝑎 elevado a 𝑥 partido por el logaritmo neperiano de 𝑎 más 𝐶. Como puedes ver, hemos escrito esta constante como 𝐶 mayúscula. Esto lo hemos hecho para señalar que hemos dividido la constante original por otra constante, por lo que este número ha cambiado. Conviene saber de dónde vienen estos resultados, aunque suele ser suficiente con enunciarlos. Ahora vamos a ver algunos ejemplos en los que hay que hallar la integral de estas funciones exponenciales.

Determina la integral indefinida de ocho 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos 𝑒 elevado a dos 𝑥 más nueve, partido por siete 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥.

Puede que este problema parezca demasiado complicado, y que, por tanto, te preguntes cómo puede ayudarnos un cambio de variable. Sin embargo, es fácil ver que podemos simplificar el integrando dividiendo cada parte del numerador por siete 𝑒 elevado a 𝑥, y debemos recordar que solo tenemos que restar los exponentes. Al hacerlo, obtenemos la integral indefinida de ocho séptimos de 𝑒 elevado a dos 𝑥 menos un séptimo de 𝑒 elevado a 𝑥 más nueve séptimos de 𝑒 elevado a menos 𝑥.

Ahora es conveniente recordar que podemos separar esta integral. La integral de la suma de un número de funciones es igual a la suma de las integrales de cada función. Asimismo, podemos sacar cualquier factor constante fuera de la integral y encargarnos de él más tarde. Así que tenemos ocho séptimos de la integral de 𝑒 elevado a dos 𝑥 con respecto a 𝑥 menos un séptimo de la integral de 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 más nueve séptimos de la integral de 𝑒 elevado a menos 𝑥 con respecto a 𝑥. Muy bien, ¿qué viene ahora?

Sabemos que la integral indefinida de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝑐. Pero ¿y la integral de 𝑒 elevado a dos 𝑥? Tal vez hagas una suposición de cuál va a ser la respuesta. Hay, de hecho, un resultado general que podríamos utilizar. Pero vamos a efectuar esta integración aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Definamos 𝑢 igual a dos 𝑥. Así que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a dos. Sabemos, por supuesto, que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, pero podemos tratarla como si lo fuera a efectos del método de integración por sustitución. Así vemos que un medio de d𝑢 es igual a d𝑥.

A continuación, vemos que podemos sustituir dos 𝑥 por 𝑢 y d𝑥 por un medio de d𝑢, y luego sacar el factor un medio. Ahora, lo que vamos a hacer es integrar 𝑒 elevado a 𝑢 con respecto a 𝑢. Obtenemos un medio por 𝑒 elevado a 𝑢. Y, como 𝑢 es igual a dos 𝑥, la integral indefinida de 𝑒 elevado a dos 𝑥 es un medio por 𝑒 elevado a dos 𝑥 más una constante de integración. Llamémosla 𝐴. Esto está muy bien, pues nos da el resultado general de la integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 para una constante real 𝑎. Es uno sobre 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥.

Vamos a usar este resultado. Y vemos que la integral de 𝑒 elevado a menos 𝑥 es uno partido entre menos uno por 𝑒 elevado a menos 𝑥 más 𝑐. Si juntamos esto, vemos que la integral indefinida es ocho séptimos por un medio de 𝑒 elevado a dos 𝑥 más 𝐴 menos un séptimo por 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝐵 más nueve séptimos por uno sobre menos uno por 𝑒 elevado a menos 𝑥 más 𝐶. Desarrollamos el paréntesis, agrupamos las constantes, y obtenemos que la solución es cuatro séptimos por 𝑒 elevado a dos 𝑥 menos 𝑒 elevado a 𝑥 partido entre siete menos nueve séptimos por 𝑒 elevado a menos 𝑥 más 𝐷.

En este ejemplo hemos visto que, aplicando el método de cambio de variable, podemos obtener la integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 a partir del resultado general de 𝑒 elevado a 𝑥. Pero es mucho más práctico usar el resultado general. Este dice que la integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido por 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más 𝑐. Podemos generalizar un poco más y decir que la integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más 𝑏 es 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más 𝑏 sobre 𝑎.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo puede ayudarnos el método de sustitución a obtener el resultado de la integral de 𝑎 elevado a 𝑏𝑥, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes reales.

Determina la integral de dos elevado a nueve 𝑥 con respecto a 𝑥.

Primero, escribimos lo que sabemos sobre la integral de 𝑎 elevado a 𝑥. Es 𝑎 elevado a 𝑥 dividido por el logaritmo neperiano de 𝑎. Sin embargo, nuestro integrando es un poco distinto, es una constante elevada a otra constante que está multiplicada por 𝑥. Así que vamos a introducir algo nuevo, una nueva letra. Igualamos 𝑢 a nueve 𝑥, y este método se denomina integración por cambio de variable. Obtenemos que la derivada de d𝑢 con respecto a 𝑥 es igual a nueve. Ahora bien, recordemos que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, pero que podemos tratarla como tal a efectos del método de integración por sustitución. Por lo tanto, un noveno de d𝑢 es igual a d𝑥.

Sustituimos 𝑢 por nueve 𝑥 y d𝑥 por un noveno de d𝑢. Luego, extraemos el factor constante de un noveno. Así, la integral es ahora un noveno de la integral de dos elevado a 𝑢 con respecto a 𝑢. Y la integral de dos elevado a 𝑢 es dos elevado a 𝑢 partido por el logaritmo neperiano de dos. A continuación, sustituimos 𝑢 por nueve 𝑥. Y hemos hallado la integral de dos elevado a nueve 𝑥 con respecto a 𝑥. Es dos elevado a nueve 𝑥 sobre nueve por el logaritmo neperiano de dos más la constante de integración 𝐶, que hemos expresado como 𝐶 mayúscula para señalar que su valor es distinto al que teníamos antes.

En este ejemplo hemos visto el resultado general de la integración de 𝑎 elevado a 𝑏𝑥, con constantes reales 𝑎 y 𝑏. Es 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 sobre 𝑏 multiplicado por el logaritmo neperiano de 𝑎 más la constante de integración 𝐶. Veamos ahora algunas funciones de proporcionalidad inversa. Es decir, funciones de la forma 𝑎 sobre 𝑥. Puede que, al principio, pienses que esto va a ser sencillo. Podemos reescribir esta función como 𝑎 por 𝑥 elevado a menos uno y partir de aquí. Pero vamos a ver lo que pasa si aplicamos la regla de la potencia para integrales.

Aumentamos el exponente en uno. Eso es 𝑥 elevado a cero. Y dividimos por cero. Pero esto es una operación sin sentido. Pues obtendríamos algo que no está definido. Entonces, ¿qué podemos hacer? Bueno, vamos a pensar en las derivadas. Y, como sabemos, la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 es uno sobre 𝑥. Así obtenemos que la integral de uno sobre 𝑥 es el logaritmo neperiano de 𝑥.

Sin embargo, debemos reformular esto un poco. El logaritmo neperiano de 𝑥 solo puede calcularse en valores reales positivos de 𝑥. Por lo tanto, en vez de eso, decimos que la integral de uno sobre 𝑥 para valores de 𝑥 distintos de cero es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥. Y tenemos la constante de integración 𝑐. Si generalizamos para 𝑎 sobre 𝑥, hallamos que la integral de 𝑎 sobre 𝑥 es 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝑐.

Determina la integral indefinida de menos dos partido por siete 𝑥 d𝑥.

Vamos a empezar extrayendo el factor constante de esta expresión. Así, obtenemos menos dos séptimos por la integral de uno sobre 𝑥 d𝑥. A continuación, escribimos el resultado general de la integral de uno sobre 𝑥. Es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥. Y, por lo tanto, nuestra integral es menos dos séptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝑐. Por último, desarrollamos el paréntesis. Y obtenemos la solución de menos dos séptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝐶 mayúscula.

Como ves, hemos escrito 𝐶 mayúscula para señalar que la constante original ha sido multiplicada por menos dos séptimos, por lo que su valor ha cambiado. Es conveniente recordar que podemos comprobar la solución realizando el proceso inverso, la derivación. La derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 es uno sobre 𝑥. Por lo tanto, la derivada de menos dos séptimos por el logaritmo neperiano de 𝑥 es menos dos séptimos por uno sobre 𝑥. Y la derivada de una constante 𝐶 es cero. Multiplicamos y obtenemos que la derivada es menos dos partido por siete 𝑥, como se nos ha pedido.

Halla, si hay, una antiderivada 𝐹 mayúscula de 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre dos 𝑥 menos uno que satisfaga las condiciones 𝐹 mayúscula de cero igual a uno y 𝐹 mayúscula de uno igual a menos uno.

Hallar la antiderivada es lo mismo que hallar la integral indefinida. Por lo tanto, lo que vamos a hacer es integrar uno sobre dos 𝑥 menos uno con respecto a 𝑥 y considerar sus condiciones. Para integrar uno sobre dos 𝑥 menos uno, vamos a aplicar el método de sustitución o cambio de variable. Hacemos 𝑢 igual a dos 𝑥 menos uno, y, por lo tanto, d𝑢 sobre d𝑥 es igual a dos. Aunque sabemos que d𝑢 sobre d𝑥 no es una fracción, la podemos tratar como tal a efectos del método de integración por sustitución, así que decimos que un medio de d𝑢 es igual a d𝑥.

Vamos a hacer algunas sustituciones. Sustituimos dos 𝑥 menos uno por 𝑢 y d𝑥 por un medio de d𝑢. Sacamos el factor constante de un medio y obtenemos un medio por la integral de uno sobre 𝑢. Como ya hemos visto, la integral de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥. Por lo tanto, podemos decir que la integral de uno sobre dos 𝑥 menos uno d𝑥 es un medio por el logaritmo neperiano de 𝑢 más 𝑐. Sustituimos 𝑢 por dos 𝑥 menos uno y obtenemos la antiderivada. Desarrollamos el paréntesis y vemos que la antiderivada de 𝑓 es igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos 𝑥 menos uno más 𝐶 mayúscula.

Consideremos ahora las condiciones. Primero debemos tener en cuenta que dos 𝑥 menos uno no puede ser igual a cero. Por lo tanto, la antiderivada va a ser una función definida a trozos. La primera parte de la función en la que nos fijamos es cuando dos 𝑥 menos uno es mayor que cero. Despejamos 𝑥 y obtenemos que 𝑥 es mayor que un medio. La segunda parte es cuando uno menos dos 𝑥 es mayor que cero. Resolvemos para 𝑥 y obtenemos que 𝑥 es menor que un medio. Vamos a hacer algo de espacio para escribir esto.

Tenemos que nuestra antiderivada, 𝐹 mayúscula de 𝑥, es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos 𝑥 más una constante, cuando 𝑥 es menor que un medio, e igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos 𝑥 menos uno más una constante cuando 𝑥 es mayor que un medio. Ahora vamos a usar las condiciones en la antiderivada para calcular 𝑐. La primera es que 𝐹 mayúscula de cero es igual a uno. Por lo tanto, cuando 𝑥 es igual a cero, 𝐹 es igual a uno.

Como 𝑥 es menor que un medio, vamos a usar la primera parte de la función. Sustituimos 𝑥 igual a cero y 𝐹 mayúscula igual a uno. Y obtenemos que uno es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos por cero. El logaritmo neperiano de uno menos dos por cero es el logaritmo neperiano de uno, que es cero. Así, obtenemos que 𝑐 es igual a uno.

La segunda condición que tenemos es que, cuando 𝑥 es igual a uno, 𝐹 mayúscula es igual a menos uno. Esta vez 𝑥 es mayor que un medio, así que vamos a usar la segunda parte de la función. Como vemos, menos uno es igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos por uno menos uno más 𝑐. El logaritmo neperiano de dos por uno menos uno es cero. Por lo tanto, 𝑐 en la segunda parte es igual a menos uno. Así que la antiderivada, 𝐹 mayúscula, sí existe. Y hemos visto que 𝐹 mayúscula de 𝑥 es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos 𝑥 más uno, para 𝑥 menor que un medio, y un medio por el logaritmo neperiano de dos 𝑥 menos uno menos uno, para 𝑥 mayor que un medio.

En este vídeo hemos visto que podemos usar la primera parte del teorema fundamental del cálculo para integrar funciones exponenciales y funciones de proporcionalidad inversa. También hemos visto que la integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 es igual a uno sobre 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥. La integral de 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 es 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 sobre 𝑏 por el logaritmo neperiano de 𝑎. Y la integral de 𝑎 sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 cuando 𝑥 es distinto de cero. Y, como estamos operando con integrales indefinidas, debemos añadir una constante de integración 𝑐.

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