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Vídeo de la lección: Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función Matemáticas • Duodécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo determinar los intervalos en los cuales una función crece, se mantiene constante o decrece.

17:44

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo determinar los intervalos en los cuales una función crece, se mantiene constante o decrece.

Decimos que una función es creciente cuando el valor de la función 𝑓 de 𝑥 aumenta si el valor de 𝑥 aumenta. Esto dará como resultado una gráfica que, de izquierda a derecha, está inclinada hacia arriba. Por lo tanto, la pendiente de la gráfica de una función en un intervalo en el cual aumenta es positiva. Decimos, por el contrario, que una función es decreciente si el valor de 𝑓 de 𝑥 disminuye si el valor de 𝑥 aumenta. Por lo tanto, deducimos que, si una función es decreciente en un intervalo, la pendiente de su gráfica será negativa en ese intervalo.

Para que una función sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente, no puede haber partes planas en la gráfica de esa función. Si tenemos una gráfica plana en un intervalo, en otras palabras, una línea horizontal, la función es constante en este intervalo. Por supuesto, es posible que no nos den necesariamente la gráfica de la función, así que debemos precisar estas ideas. Una función es creciente si cuando 𝑥 dos es mayor que 𝑥 uno, 𝑓 de 𝑥 dos es mayor o igual que 𝑓 de 𝑥 uno. Y es estrictamente creciente si 𝑓 de 𝑥 dos es mayor que 𝑓 de 𝑥 uno. Si cuando 𝑥 dos es mayor que 𝑥 uno, 𝑓 de 𝑥 uno es igual a 𝑓 de 𝑥 dos, la función es constante en ese intervalo.

De manera similar, definimos funciones que son decrecientes o estrictamente decrecientes. A lo largo de este video, también vamos a usar notación de intervalos para describir los intervalos de aumento y disminución. Así que recordémosla. 𝑅 es el conjunto de los números reales. Estos son los números que usamos con más frecuencia, e incluyen números racionales e irracionales. Pero no incluyen números imaginarios, ni más ni menos infinito ∞. Usamos corchetes para un intervalo cuando queremos incluir extremos. Y usamos paréntesis cuando los extremos no están en nuestro intervalo. A continuación, vamos a considerar una serie de ejemplos usando gráficas para determinar intervalos de crecimiento o decrecimiento, y también sobre cómo hallarlos a partir de las ecuaciones.

La gráfica de una función se muestra a continuación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la función es verdadera? ¿Es (A) la función decreciente en el conjunto de los números reales? ¿Es (B) la función es constante en el conjunto de los números reales? (C) La función es creciente en el intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha desde menos ∞ a cero. ¿Es (D) la función es creciente en el conjunto de los números reales? O (E) la función es constante en el intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha desde menos ∞ a cero.

Comencemos recordando lo que las palabras decreciente, creciente y constante nos dicen sobre la gráfica de una función. Si una función 𝑓 de 𝑥 es decreciente en algún intervalo, entonces el valor de 𝑓 de 𝑥 disminuye según aumenta el valor de 𝑥. En términos de la gráfica, podemos decir que la gráfica tendrá una pendiente descendente en ese intervalo. Lo contrario es cierto si una función es creciente en un intervalo. A medida que aumenta el valor de 𝑥, el valor de la función también aumenta. Y luego esto se ve como una gráfica inclinada hacia arriba. Y si una función es constante, a medida que aumenta el valor de 𝑥, el valor de la función permanece igual. Y en términos de la gráfica, esto corresponde a una línea horizontal.

Y si comparamos nuestra gráfica con estos tres términos y estos criterios, vemos que tenemos una línea horizontal. Por tanto, nuestra función es constante. Si comparamos estas opciones con nuestras opciones desde (A) hasta (E), estamos hablando de (B) y (E). (B) dice que la función es constante en el conjunto de números reales, mientras que (E) dice que la función es constante en el intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha desde menos ∞ a cero.

Entonces, ¿cuál de estos conjuntos vamos a elegir? Si pensamos en esta notación, esto nos dice que la función es constante para todos los valores menores que cero o iguales. Y, de hecho, este es un subconjunto del conjunto de números reales, el cual se extiende desde menos ∞ a más ∞ pero no incluye esos puntos finales. Si miramos la línea horizontal que representa nuestra función, vemos que tiene flechas en ambos extremos. Y, por lo tanto, nuestra línea se extiende hacia la derecha hasta más ∞ y hacia la izquierda hasta menos ∞. Así que podemos decir que la respuesta correcta es (B); la función es constante en el conjunto de los números reales.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo usar la notación de intervalos para describir si una función es creciente, decreciente o constante en intervalos particulares.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la monotonía de la función representada en la siguiente figura? ¿Es (A) la función creciente en el intervalo abierto de cinco a ocho, constante en el intervalo abierto de menos uno a cinco, y decreciente en el intervalo abierto de menos dos a menos uno? ¿Es (B) la función es creciente en el intervalo abierto de menos dos a menos uno, constante en el intervalo abierto de menos uno a cinco y decreciente en el intervalo abierto de cinco a ocho? ¿Es (C) la función es creciente en el intervalo abierto de cinco a ocho y decreciente en el intervalo abierto de menos dos a cinco? O (D) la función es creciente en el intervalo abierto de menos dos a cinco y decreciente en el intervalo abierto de cinco a ocho.

Al leer la pregunta, probablemente habrás inferido lo que queremos decir con la monotonía de una función. Monotonía de una función es otra forma de referirnos al crecimiento y decrecimiento de una función. Y, por supuesto, recordamos que, si una función crece en un intervalo, tiene una pendiente positiva. Si decrece, tiene una pendiente negativa. Y si es constante, su gráfica es horizontal. Veamos, pues, la gráfica de nuestra función. Vemos que tiene tres tramos. El primer tramo está entre menos dos y menos uno. Luego, el siguiente tramo está entre menos uno y cinco, mientras que el tercer tramo está entre cinco y ocho.

Así que vamos a considerar cada tramo por turno. Podemos ver que la pendiente del primer tramo de nuestra función es positiva. La gráfica está inclinada hacia arriba. Luego tenemos una línea horizontal entre 𝑥 igual a menos uno y cinco. Y la tercera parte de nuestra gráfica tiene pendiente negativa. Está inclinada hacia abajo. Por lo tanto, nuestra función es primero creciente en un tramo, luego es constante y, finalmente, es decreciente. Necesitamos determinar los intervalos en los que ocurre cada una de estas cosas. Tiene una pendiente positiva entre 𝑥 igual a menos dos y menos uno. Así que expresamos esto usando el intervalo abierto de menos dos a menos uno.

No vamos a usar un intervalo cerrado. No sabemos bien que pasa en los puntos finales de este intervalo. Por ejemplo, cuando 𝑥 es igual a menos uno, la gráfica de nuestra función hace una especie de esquina. Así que vamos a dejar 𝑥 igual a menos dos y 𝑥 igual a menos uno fuera de nuestro intervalo. De manera similar, la función es constante en el intervalo abierto de menos uno a cinco. Y es decreciente en el intervalo abierto de cinco a ocho. Y no sabemos bien qué pasa en esos puntos finales, solo que hay esquinas. Por lo tanto, en esos puntos no podemos decir si la función aumenta, disminuye o es constante. Así que la respuesta correcta es (B): la función es creciente en el intervalo abierto de menos dos a menos uno, es constante en el intervalo abierto de menos uno a cinco y es decreciente en el intervalo abierto de cinco a ocho.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo identificar las regiones de crecimiento y de decrecimiento en una gráfica de proporcionalidad inversa.

La gráfica de una función se muestra a continuación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la función es verdadera? ¿Es (A) la función es creciente en el intervalo abierto de menos ∞ a cero y creciente en el intervalo abierto de cero a ∞? ¿Es (B) la función es decreciente en el intervalo abierto de menos ∞ a menos cinco y de menos cinco a ∞? ¿Es (C) la función es creciente en el intervalo abierto de menos ∞ a menos cinco y en el intervalo abierto de menos cinco a ∞? O (D) la función es decreciente en el intervalo abierto de menos ∞ a cero y decreciente en el intervalo abierto de cero a ∞.

Cada una de las afirmaciones se refiere a la monotonía de la gráfica. Nos preguntan si la gráfica aumenta o disminuye en intervalos dados. Y recordemos que podemos decir que una función es creciente si el valor de 𝑓 de 𝑥 aumenta a medida que aumenta el valor de 𝑥. En términos de la gráfica, la Pendiente en este caso es positiva. Por otro lado, si una función es decreciente, su gráfica tiene pendiente negativa en ese intervalo. Así que echemos un vistazo a nuestra gráfica. Parece ser la gráfica de una función de proporcionalidad inversa. Y la gráfica tiene dos asíntotas. Vemos que el eje 𝑦, que es la recta 𝑥 igual a cero, es una asíntota vertical. Y luego tenemos una asíntota horizontal dada por la recta 𝑦 igual a menos cinco.

Lo que esto significa es que la gráfica de nuestra función se acercará más y más a estas rectas, pero nunca las intersecará. Y esto significa también que la gráfica de nuestra función nunca se convertirá en una línea completamente horizontal o completamente vertical. Así que veamos qué sucede a medida que nuestro valor de 𝑥 aumenta. A medida que nos movemos de menos ∞ a cero, la función 𝑓 de 𝑥 aumenta. Su pendiente es siempre positiva, y cada valor de 𝑓 de 𝑥 es mayor que el valor anterior de 𝑓 de 𝑥. Después, cuando nos movemos de 𝑥 igual a cero a más ∞, sucede lo mismo. Y esto significa que la gráfica aumenta de menos ∞ a cero y de cero a ∞. ¿Pero qué pasa en cero?

Bien, vemos que la función no tiene un valor en 𝑥 igual a cero. La gráfica de nuestra función se acerca más y más a la recta 𝑥 igual a cero, pero nunca la alcanza. Así que usamos estos paréntesis para mostrar que la gráfica aumenta entre 𝑥 igual a menos ∞ y cero y entre 𝑥 igual a cero y ∞, pero que no queremos incluir los valores finales en estas afirmaciones. Ten en cuenta que no incluimos menos ∞ o más ∞ porque no son números reales. Por lo tanto, la respuesta correcta es (A), la función es creciente en el intervalo abierto de menos ∞ a cero y creciente en el intervalo abierto de cero a ∞.

A continuación, vamos a considerar los criterios para que una función exponencial sea puramente creciente.

¿Qué condición debe haber en 𝑧 para que 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑧 sobre siete elevado a 𝑥, donde 𝑥 es un número positivo, sea una función creciente?

Para que una función sea creciente, sabemos que a medida que nuestros valores para 𝑥 aumentan, el resultado 𝑓 de 𝑥 también debe aumentar. Entonces, ¿cómo podemos asegurarnos de que nuestra función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑧 sobre siete elevado a 𝑥 aumenta en todo su dominio, en otras palabras, para todos los valores de 𝑥? Bien, recordemos lo que sabemos sobre las funciones exponenciales. Esta es una función exponencial. Y la forma general de una función exponencial es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 elevado a 𝑥. Ahora bien, 𝑎 ha de ser un número positivo y distinto de la unidad, y la función es creciente si 𝑎 es mayor que uno y decreciente si 𝑎 es menor que uno.

Así que vamos a hacer 𝑎 igual a 𝑧 sobre siete. Y, para que nuestra función sea creciente, 𝑧 sobre siete debe ser mayor que uno. Esta es una inecuación que podemos resolver tal como resolveríamos cualquier ecuación normal. Vamos a multiplicar ambos lados por siete. 𝑧 sobre siete por siete es 𝑧, y uno por siete es siete. Así que 𝑧 debe ser mayor que siete para que la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑧 sobre siete elevado a 𝑥 sea una función creciente.

Veamos un último ejemplo. Y vamos a buscar identificar los intervalos crecientes y decrecientes de una función de proporcionalidad inversa cuando no disponemos de una gráfica.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para la función ℎ de 𝑥 igual a menos uno partido por siete menos 𝑥 menos cinco? ¿Es (A), ℎ de 𝑥 es decreciente en los intervalos de menos ∞ a siete y de siete a ∞? ¿Es (B), ℎ de 𝑥 es decreciente en los intervalos de menos ∞ a menos siete y de menos siete a ∞? (C) ℎ de 𝑥 es creciente en los intervalos de menos ∞ a menos siete y de menos siete a ∞. O (D) ℎ de 𝑥 es creciente en los intervalos de menos ∞ a siete y siete a ∞.

Si nos fijamos bien, veremos que ℎ de 𝑥 es una función de proporcionalidad inversa. Es uno sobre un binomio de primer grado. Así que sabemos que probablemente habrá asíntotas en nuestra gráfica. Pensemos en cómo podríamos dibujar la gráfica de ℎ de 𝑥. Vamos a comenzar con la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥. Y vamos a tratar de determinar la serie de transformaciones que convierten la función uno sobre 𝑥 en la función ℎ de 𝑥. Aquí está la función uno sobre 𝑥. Tiene asíntotas horizontales y verticales que coinciden con los ejes 𝑥 y 𝑦. Ahora vamos a considerar cómo convertimos 𝑓 de 𝑥 en uno sobre menos 𝑥. Esto está representado por una reflexión en el eje 𝑦.

¿Y cómo podemos transformar esto en la función uno sobre siete menos 𝑥? Bien, sumar siete a la parte interna de nuestra función compuesta nos da una traslación horizontal por menos siete. Esa es una traslación a la izquierda de siete unidades. Al hacer esto, nuestra asíntota horizontal permanece igual; sigue siendo el eje 𝑥. Pero nuestra asíntota vertical también se desplaza a la izquierda siete unidades. Y pasa de ser el eje 𝑦, que es la recta 𝑥 igual a cero, a ser la recta 𝑥 igual a menos siete. Pero, por supuesto, ℎ de 𝑥 es menos uno sobre siete menos 𝑥. Esta vez, reflejamos de nuevo el gráfico en el eje 𝑦. Y así nuestra asíntota horizontal permanece sin cambios, pero nuestra asíntota vertical ahora está en 𝑥 igual a siete.

Nuestra última transformación convierte esta función en ℎ de 𝑥. Que es menos uno sobre siete menos 𝑥 menos cinco. Desplazamos toda la gráfica cinco unidades hacia abajo. Así que ya tenemos la gráfica de ℎ de 𝑥, que es menos uno sobre siete menos 𝑥 menos cinco, y estamos listos para decidir si la función es creciente o decreciente en los distintos intervalos. Recuerda, si una función es decreciente, su gráfica tendrá una pendiente negativa, y si es creciente, su gráfica tendrá una pendiente positiva. A medida que movemos nuestros valores de 𝑥 de izquierda a derecha, es decir, desde menos ∞ hasta 𝑥 igual a siete, vemos que la gráfica se inclina hacia abajo. Se acercará a menos ∞, pero nunca lo alcanzará del todo.

Luego, cuando 𝑥 tiende a más ∞ desde siete, la gráfica continúa inclinada hacia abajo. Esta vez, sin embargo, se acerca a menos cinco. Y, por lo tanto, la función es definitivamente decreciente en estos intervalos de menos ∞ a siete y de siete a ∞. Como la función no puede tomar un valor en 𝑥 igual a siete, y esta es la razón por la que tenemos la asíntota horizontal, debemos utilizar intervalos abiertos. Debemos usar paréntesis. Por lo tanto, la respuesta correcta debe ser (A), ℎ de 𝑥 es decreciente en el intervalo abierto menos ∞ a siete y siete a ∞.

Resumamos los puntos clave de esta lección. En este video, hemos aprendido que una función es creciente si el valor de 𝑓 de 𝑥 aumenta a medida que aumenta el valor de 𝑥. En estos intervalos, la gráfica de la función tendrá pendiente positiva. Y si la función disminuye a medida que 𝑥 aumenta, decimos que la función es decreciente y la gráfica tendrá pendiente negativa. Recuerda, decimos que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, si no hay partes planas en la gráfica. Finalmente, hemos visto que una función es constante si el valor de 𝑓 de 𝑥 permanece sin cambios cuando el valor de 𝑥 aumenta, y, en ese caso, la gráfica de una función constante es una línea horizontal.

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