Vídeo: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función haciendo uso de la derivada

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función haciendo uso de la derivada.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender lo que significa que una función sea creciente o decreciente en un intervalo dado. Veremos también cómo determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo determinado usando derivadas. Suponemos que ya sabes cómo derivar funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, y que sabes también derivar combinaciones de estas funciones haciendo uso de las reglas del producto, del cociente y de la cadena.

En primer lugar, vamos a ver lo que significan estos términos, creciente y decreciente, en relación con las funciones. La definición formal de una función decreciente en un intervalo es la siguiente. Una función es decreciente en un intervalo 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 uno es mayor que 𝑓 de 𝑥 dos cuando 𝑥 uno es menor que 𝑥 dos para cualquier par de puntos 𝑥 uno y 𝑥 dos en el intervalo 𝐼. Fijémonos en la parte izquierda de la gráfica cuadrática que hemos trazado, y consideremos dos puntos 𝑥 uno y 𝑥 dos, donde 𝑥 uno es menor que 𝑥 dos. Vemos que 𝑓 de 𝑥 uno es mayor que 𝑓 de 𝑥 dos. Y, por lo tanto, la función será decreciente en este intervalo.

En la práctica esto significa que la pendiente de la gráfica de la función es negativa, lo que tiene sentido. Si el valor de la función es decreciente, o sea, se va a haciendo más pequeño, entonces la gráfica debe estar inclinada hacia abajo. Si nos acordamos de que la pendiente de una función está dada por su primera derivada, entonces podremos formar una definición alternativa. Una función es decreciente en un intervalo 𝐼 si su primera derivada 𝑓 prima de 𝑥 es menor que cero, o sea, negativa, para todos los valores de 𝑥 en el intervalo 𝐼.

Aquí vemos la relación con las derivadas. Si hallamos la primera derivada de una función, 𝑓 prima de 𝑥, podremos ver dónde esta derivada es negativa, y determinar así los intervalos en los que la función es decreciente. Vamos a analizar la definición de una función creciente del mismo modo. En primer lugar y en términos formales, una función es creciente en un intervalo 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 uno es menor que 𝑓 de 𝑥 dos cuando 𝑥 uno es menor que 𝑥 dos para cualquier valor de 𝑥 uno y 𝑥 dos en el intervalo 𝐼. Esta vez vemos que a valores mayores de 𝑥 corresponden valores mayores de la función. Por lo tanto, los valores de la función son mayores cuando los valores de 𝑥, la variable independiente, aumentan.

En la práctica, esto significa que la pendiente de la gráfica de nuestra función es positiva. La gráfica estará inclinada hacia arriba. De nuevo, si nos acordamos de que la primera derivada de una función nos da su pendiente, veremos que una función es creciente en un intervalo 𝐼 si la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es mayor que cero para todos los valores de 𝑥 en ese intervalo 𝐼. Veamos ahora cómo podemos aplicar nuestra definición de función creciente y decreciente en términos de su primera derivada en algunos problemas.

Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a cinco 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos el logaritmo neperiano de 𝑥, determina los intervalos en los que 𝑓 es creciente o decreciente.

En primer lugar, conviene recordar que una función es creciente cuando su primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es mayor que cero, y que una función es decreciente cuando su primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es menor que cero. Por lo tanto, vamos a necesitar una expresión para la primera derivada de esta función. Podemos derivar término a término. La derivada de cinco 𝑥 al cuadrado es cinco por dos 𝑥, que es 10𝑥. La derivada de menos tres 𝑥 es menos tres. Y la derivada de menos el logaritmo neperiano de 𝑥 es menos uno partido por 𝑥. Por lo tanto, ya hemos hallado nuestra primera derivada. 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 10𝑥 menos tres menos uno partido por 𝑥.

En primer lugar, según nuestra definición de función creciente, 𝑓 es creciente cuando su primera derivada, 10𝑥 menos tres menos uno sobre 𝑥, es mayor que cero. Y, por lo tanto, tenemos una inecuación en 𝑥 que tenemos que resolver. Ahora sabemos que hay una 𝑥 en el denominador de esta fracción aquí, así que el paso que vamos a tomar primero es multiplicar por 𝑥 para eliminar esta fracción. Pero tenemos que tener cuidado, pues tenemos una inecuación pero no tenemos ninguna garantía de que la 𝑥 sea positiva. Si multiplicamos por un valor de 𝑥 negativo, tendremos que invertir el signo de la inecuación.

Sin embargo, si nos fijamos de nuevo en la función original, veremos que incluye este término, el logaritmo neperiano de 𝑥. Y el logaritmo neperiano de 𝑥 es indefinido para los valores de 𝑥 menores o iguales que cero. Esto significa que el dominio de nuestra función 𝑓 de 𝑥 es 𝑥 mayor que cero. Solo vamos a operar con valores positivos de 𝑥. Y, por lo tanto, podemos multiplicar nuestra inecuación por 𝑥 sin preocuparnos si necesitamos cambiar el signo de la inecuación.

Multiplicamos por 𝑥 y obtenemos 10𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos uno mayor que cero. Como vemos, tenemos una inecuación cuadrática que resolver. Hay varios métodos que podemos utilizar para resolverla, pero lo que primero debemos hacer es factorizar. Seguimos el método de factorización por agrupación, y poniendo también un poco de ensayo y error, obtenemos que la factorización es cinco 𝑥 más uno por dos 𝑥 menos uno.

Seguidamente, tenemos que hallar los valores críticos de la función, que hacemos igualando los dos paréntesis a cero, no haciendo que sean mayores que cero. Después, resolvemos cada ecuación lineal, y obtenemos 𝑥 igual a menos un quinto y 𝑥 igual a un medio. Por lo tanto, estos son los dos valores críticos de la función. Muy bien, ahora tenemos dos formas de avanzar aquí. Una de ellas es usar una tabla de valores para comprobar el signo de nuestra derivada a cada lado y entre los valores críticos. El otro método es trazar una gráfica. Y este es el que vamos a utilizar para hacer una demostración.

Como sabemos, tenemos una función cuadrática con un coeficiente principal positivo. Por lo tanto, su gráfica debe ser una parábola. Y sabemos que los valores críticos, es decir, los valores en los que la gráfica cruza el eje de las 𝑥, son menos un quinto y un medio. Por lo tanto, la gráfica tendrá este aspecto. Recordemos que esta es la gráfica de la primera derivada, 10𝑥 menos tres menos uno partido por 𝑥. Hemos dicho que nuestra función 𝑓 es creciente cuando su primera derivada 𝑓 prima de 𝑥 es mayor que cero. Es decir, cuando la gráfica de su derivada 𝑓 prima de 𝑥 está por encima del eje de las 𝑥.

Esto se corresponde con dos regiones de la gráfica, la región en la que los valores de 𝑥 son menores que menos un quinto y la región en la que los valores de 𝑥 son mayores que un medio. Pero recordemos que el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 es 𝑥 mayor que cero. Y, por lo tanto, podemos hacer caso omiso de la mitad de nuestra gráfica. Podemos decir que nuestra función 𝑓 es creciente en el intervalo abierto un medio, infinito. Es decir, todos los valores de 𝑥 mayores que un medio.

Para ver dónde es decreciente la función, tenemos que hallar los puntos en los que la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es menor que cero, lo que significa que estamos buscando dónde su gráfica está por debajo del eje de las 𝑥. Ahora, en nuestra gráfica original, esto sería el intervalo abierto entre los dos valores críticos. Pero como hemos reducido la gráfica a solo los valores de 𝑥 mayores que cero, entonces serán todos los valores de 𝑥 mayores que cero pero menores que un medio. Por lo tanto, decimos que 𝑓 es decreciente en el intervalo abierto cero, un medio.

Muy bien, ya hemos resuelto la cuestión. Hemos derivado la función 𝑓 de 𝑥 para hallar su primera derivada 𝑓 prima de 𝑥, y luego hemos aplicado lo que sabemos sobre inecuaciones cuadráticas para hallar el intervalo en el que 𝑓 prima de 𝑥 es mayor que cero y el intervalo en el que 𝑓 prima de 𝑥 es menor que cero.

A menudo, sin embargo, hay que aplicar las reglas básicas de derivación, como la regla de la cadena, del producto o del cociente para resolver problemas en los que hay funciones más complejas. Veamos un ejemplo.

Determina el intervalo en el que la función 𝑓 de 𝑥 igual a siete 𝑥 sobre 𝑥 al cuadrado más nueve es creciente y el intervalo en el que es decreciente.

En primer lugar, conviene recordar que podemos determinar si una función es creciente o decreciente a partir de su derivada. Una función es creciente cuando su primera derivada es positiva, y decreciente cuando su primera derivada es negativa. Por lo tanto, tenemos que hallar una expresión para 𝑓 prima de 𝑥. Observamos, en primer lugar, que 𝑓 es un cociente. Por lo tanto, para hallar su derivada, aplicaremos la regla del cociente.

La regla del cociente nos dice que, para dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣, la derivada con respecto a 𝑥 de su cociente, 𝑢 sobre 𝑣, es igual a 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥, todo partido por 𝑣 al cuadrado. Por lo tanto, hacemos que 𝑢 sea igual al numerador de nuestro cociente, siete 𝑥, y 𝑣 igual al denominador, 𝑥 al cuadrado más nueve. Podemos calcular d𝑢 sobre d𝑥 y d𝑣 sobre d𝑥 haciendo uso de la regla de la potencia para la derivación. d𝑢 sobre d𝑥 es siete, y d𝑣 sobre d𝑥 es dos 𝑥.

Si sustituimos esto en la fórmula de la regla del cociente, obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más nueve por siete menos siete 𝑥 por dos 𝑥, todo partido por 𝑥 al cuadrado más nueve todo al cuadrado. Desarrollamos el paréntesis en el numerador y obtenemos siete 𝑥 al cuadrado más 63 menos 14𝑥 al cuadrado, todo partido por 𝑥 al cuadrado más nueve todo al cuadrado. Simplificamos y nos queda 63 menos siete 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 al cuadrado más nueve todo al cuadrado. Muy bien, ya tenemos nuestra expresión para la primera derivada.

Nuestra función 𝑓 es creciente cuando su primera derivada es mayor que cero. Por lo tanto, tenemos una inecuación en 𝑥 que resolver. Podemos simplificarla bastante. Vemos que el denominador de la fracción es algo al cuadrado, 𝑥 al cuadrado más nueve, todo al cuadrado. Y, por lo tanto, el denominador siempre será mayor que cero. Para que toda la fracción sea mayor que cero tenemos que asegurarnos de que su numerador es mayor que cero, pues un término positivo dividido por un término positivo dará como resultado otro positivo.

La inecuación, por lo tanto, se simplifica a 63 menos siete 𝑥 al cuadrado mayor que cero. Dividimos por siete, sumamos 𝑥 al cuadrado a ambos lados, y obtenemos nueve mayor que 𝑥 al cuadrado. O, escrito al revés, 𝑥 al cuadrado es menor que nueve. Por lo tanto, tenemos una inecuación cuadrática relativamente sencilla que resolver. Si 𝑥 al cuadrado debe ser menor que nueve, estrictamente menor que nueve, entonces podemos tener cualquier valor de 𝑥 entre menos tres y tres, pero sin incluir ninguno de estos dos valores. Entonces, la solución de esta inecuación cuadrática es que menos tres es menor que 𝑥, que es menor que tres, o sea, el intervalo abierto menos tres, tres.

Muy bien, ya hemos hallado el único intervalo en el que la función 𝑓 de 𝑥 es creciente. Para determinar dónde es la función decreciente, necesitamos que su primera derivada sea menor que cero, lo que a su vez resulta en 63 menos siete 𝑥 al cuadrado menor que cero. Por lo tanto, invertimos el sentido de todos los signos de la inecuación en nuestro cálculo anterior, y obtenemos que 𝑥 al cuadrado es mayor que nueve. Este solamente es el caso para los valores de 𝑥 estrictamente menores que menos tres y para los valores de 𝑥 estrictamente mayores que más tres. Hemos hallado que hay dos intervalos en los que la función es decreciente. Los intervalos abiertos menos infinito, menos tres y tres, infinito.

En suma, hemos hecho uso de la regla del cociente para hallar la primera derivada de la función 𝑓 de 𝑥, y luego hemos resuelto una inecuación cuadrática bastante sencilla. Hemos hallado que la función 𝑓 de 𝑥 es creciente en el intervalo abierto menos tres, tres, y es decreciente en los intervalos abiertos menos infinito, menos tres y tres, infinito.

En el siguiente ejemplo vamos a considerar una cuestión sobre funciones trigonométricas.

Sabiendo que cero es menor que 𝑥, que es menor que dos 𝜋 entre cinco, determina los intervalos en los que 𝑓 de 𝑥 igual a coseno al cuadrado de cinco 𝑥 más tres coseno de cinco 𝑥 es creciente y en cuáles es decreciente.

Primero debemos recordar que una función es creciente si su primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es mayor que cero. Y una función es decreciente si su primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es menor que cero. Así que tenemos que hallar una expresión para la primera derivada 𝑓 prima de 𝑥 de esta función trigonométrica. Y nos acordamos de un resultado estándar de la derivación de coseno de 𝑎𝑥, que dice que su derivada con respecto a 𝑥 es igual a menos 𝑎 seno 𝑎𝑥. Esto nos permite derivar el segundo término. La derivada de tres coseno cinco 𝑥 es tres por menos cinco seno cinco 𝑥. Pero, ¿qué hay del primer término?

Podemos enfocar esto como coseno de cinco 𝑥 todo al cuadrado, y luego aplicar la regla de la potencia. Esta regla nos dice que, si tenemos una función elevada a un exponente, entonces su derivada es igual a ese exponente, en este caso dos, por la derivada de la función, así que tendremos menos cinco seno de cinco 𝑥, por esa función elevada al exponente menos uno. Así que reducimos el exponente de dos a uno.

Por lo tanto, tenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a dos por menos cinco seno de cinco 𝑥 coseno de cinco 𝑥 más tres por menos cinco seno de cinco 𝑥. Podemos sacar el factor común menos cinco seno de cinco 𝑥 para obtener 𝑓 prima de 𝑥 igual a menos cinco seno de cinco 𝑥 por dos coseno cinco 𝑥 más tres. Decimos que nuestra función 𝑓 será creciente donde su primera derivada sea mayor que cero. Pensemos ahora en cómo podemos resolver esta inecuación. Y nos vamos a fijar primero en el segundo paréntesis.

En primer lugar vemos que la gráfica de coseno de cinco 𝑥 es un alargamiento horizontal de la gráfica de coseno de 𝑥. Y, por lo tanto, aún tiene a menos uno como su valor mínimo y a uno como su valor máximo. La gráfica de dos coseno de cinco 𝑥 es un alargamiento vertical de esta gráfica con un factor de escala de dos. Así que tendrá a menos dos como su mínimo y a dos como su máximo. Sumar tres supone una traslación vertical de esta gráfica, lo que significa que el valor mínimo de dos coseno de cinco 𝑥 más tres será uno, y que el valor máximo será cinco.

Esto nos dice que dos coseno cinco 𝑥 más tres es siempre mayor que cero, pues su valor mínimo es uno. Y, por lo tanto, uno de los factores en nuestro producto es siempre positivo. Para que el producto de dos factores sea positivo, deben tener el mismo signo. Así que 𝑓 también debe ser creciente cuando nuestro primer factor, menos cinco seno de cinco 𝑥, sea positivo. Como vemos, nuestro problema se ha reducido de alguna manera. Ahora solo tenemos que hallar la región en la que menos cinco seno de cinco 𝑥 es mayor que cero.

Podemos simplificar dividiendo ambos lados por menos cinco. Y como estamos dividiendo por un número negativo, debemos invertir la inecuación para obtener seno de cinco 𝑥 menor que cero. Ahora, recordemos que el dominio que se nos ha dado para esta función es cero menor que 𝑥, que es menor que dos 𝜋 entre cinco. Si igualamos 𝑢 a cinco 𝑥, entonces si 𝑥 está entre cero y dos 𝜋 partido entre cinco, 𝑢 estará entre cero y dos 𝜋. Así que ahora estamos buscando dónde seno 𝑢 es menor que cero para los valores de 𝑢 entre cero y dos 𝜋.

Podemos resolver esto dibujando una gráfica de seno de 𝑢 como función de 𝑢 para los valores de 𝑢 entre cero y dos 𝜋. Y vemos que seno 𝑢 es menor que cero para los valores de 𝑢 que están entre 𝜋 y dos 𝜋. Recordemos que 𝑢 es igual a cinco 𝑥, así que para convertir esto en una inecuación en 𝑥, tenemos que dividir por cinco, obteniendo que 𝜋 sobre cinco es menor que 𝑥, que es menor que dos 𝜋 sobre cinco. Este es el intervalo en el que la función 𝑓 es creciente.

Si aplicamos la misma lógica, vemos que 𝑓 es decreciente cuando su primera derivada es menor que cero, lo que a su vez resulta en que seno de 𝑢 ha de ser mayor que cero. Esto es cuando 𝑢 está entre cero y 𝜋, lo que lleva a que 𝑥 ha de estar entre cero y 𝜋 partido entre cinco. Muy bien, ya hemos resuelto el problema. La función 𝑓 de 𝑥 es creciente en el intervalo abierto 𝜋 partido entre cinco, dos 𝜋 sobre cinco, y es decreciente en el intervalo abierto cero, 𝜋 partido entre cinco.

En resumen, hemos visto que la función 𝑓 es creciente cuando su primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es mayor que cero. Y que la función 𝑓 es decreciente cuando su primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es menor que cero. A menudo habremos de hacer uso de las reglas de la derivación, como la regla del cociente, la del producto y la de la cadena, para hallar la primera derivadas de la funciones. Y luego resolver las inecuaciones resultantes para determinar los intervalos en los que esas funciones son crecientes o decrecientes.

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