Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo hallar, en forma vectorial, la ecuación de una recta. Hay muchas formas distintas de escribir la ecuación de una recta en el plano 𝑥𝑦. Recordemos algunas.
En primer lugar, tenemos la forma explícita, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente o gradiente de la recta y 𝑏 es la ordenada del punto de intersección con el eje de las 𝑦. En forma de punto y pendiente, tenemos 𝑦 menos 𝑦 sub cero igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 sub cero, donde, una vez más, 𝑚 es la pendiente, y el punto 𝑥 sub cero, 𝑦 sub cero es un punto cualquiera de la recta. En tercer lugar, tenemos la forma estándar, que es 𝐴𝑥 más 𝐵𝑦 igual a 𝐶, donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son números y 𝐴 no es negativo. También es importante hacer notar que solo uno de 𝐴 o 𝐵 puede ser cero.
Los tres tipos de ecuación tienen ventajas y desventajas. Como tanto la forma explícita como la forma de punto y pendiente no sirven para rectas verticales, para evitar este inconveniente vamos a usar la ecuación vectorial de la recta. Podemos hallar el vector posición de cualquier punto en una recta usando un punto conocido 𝑃 con coordenadas 𝑥 sub cero, 𝑦 sub cero en la recta que tiene un vector posición 𝐫 sub cero junto con cualquier vector distinto de cero 𝐝 que sea paralelo a la recta. El vector 𝐝 se llama vector director de la recta.
Esto nos lleva a la siguiente definición. El vector posición 𝐫 de un punto arbitrario en una recta que contiene el punto 𝑃 con vector posición 𝐫 sub cero viene dado por 𝐫 igual a 𝐫 sub cero más 𝑡 multiplicado por 𝐝, donde 𝐝 es el vector director de la recta y 𝑡 es un escalar (número) arbitrario. Esto se debe a que, si el punto 𝑃 se halla en la recta, y la recta es paralela al vector 𝐝, entonces podemos hallar el vector posición de cualquier punto en la recta sumando un múltiplo escalar de 𝐝 al vector posición de 𝑃.
Consideremos la recta con vector director uno, dos que pasa por el punto de coordenadas uno, uno; es decir, 𝐫 sub cero es igual a uno, uno. La ecuación vectorial de esta recta es, por lo tanto, igual a uno, uno más 𝑡 multiplicado por uno, dos. Vamos a representar esto en el plano de coordenadas. Sabemos que la recta pasa por el punto de coordenadas uno, uno. Y que el vector director es uno, dos. Recordemos, además, que la primera componente nos dice el desplazamiento horizontal y la segunda componente, el desplazamiento vertical. Esto significa que el vector uno, dos representa un desplazamiento de una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba. Nos movemos a lo largo de la recta desde el punto uno, uno en múltiplos escalares del vector director uno, dos.
Si el múltiplo escalar es dos, entonces el desplazamiento a lo largo de la recta está dado por el vector dos, cuatro. De hecho, cualquier vector distinto de cero paralelo a la recta es válido como vector director de la recta, así que podemos tomar cualquier múltiplo escalar del vector director. Veamos ahora cómo podemos hallar las intersecciones con los ejes 𝑥 e 𝑦 usando la ecuación de una recta en forma vectorial.
Para hallar las intersecciones con los ejes 𝑥 e 𝑦, igualamos la coordenada correspondiente de la ecuación vectorial a cero y despejamos 𝑡. Recordando la ecuación de una recta en forma vectorial, sabemos que este vector tendrá componentes 𝑥 e 𝑦. Cuando la recta corta el eje de las 𝑦, sabemos que 𝑥 es igual a cero. Simplificamos el lado derecho de la ecuación, y obtenemos las componentes uno más 𝑡 y uno más dos 𝑡. E igualamos las componentes 𝑥. Y al resolver esto obtenemos que 𝑡 es igual a menos uno. Como 𝑦 es igual a uno más dos 𝑡, 𝑦 también es igual a menos uno. Por lo tanto, hallamos que la ordenada 𝑦 en el origen es 𝑦 igual a menos uno.
Usando el mismo método e igualando la componente 𝑦 a cero, vemos que la recta corta el eje de las 𝑥 en 𝑥 igual a un medio. Ya hemos icho que una gran ventaja al usar la ecuación vectorial de una recta es que sirve para todo tipo de rectas, incluidas las verticales.
Antes de pasar a ver una serie de cuestiones, es importante considerar esto. La recta 𝑥 igual a menos uno pasa por el punto menos uno, cero y su dirección es vertical. Esto significa que no requiere ningún desplazamiento horizontal. Por lo tanto, la primera componente del vector director será igual a cero. Usando la ecuación de una recta en forma vectorial, obtenemos que 𝐫 es igual a menos uno, cero más 𝑡 por cero, uno. Esto se puede ver en el plano 𝑥𝑦, como se muestra. Tenemos un vector posición menos uno, cero y un vector director cero, uno. Veamos ahora algunas cuestiones en las que se nos pide hallar, en forma vectorial, la ecuación de una recta.
Escribe, en forma vectorial, la ecuación de la recta que pasa por el punto seis, menos nueve y tiene vector director nueve, menos dos. ¿Es (A) 𝐫 es igual a nueve, menos dos más 𝑘 multiplicado por seis, menos nueve? ¿(B) 𝐫 es igual a seis, menos nueve más 𝑘 multiplicado por nueve, menos dos? ¿Es la opción (C) 𝑘 es igual a seis, menos nueve más el vector 𝐫 multiplicado por nueve, menos dos? ¿O la opción (D) 𝑘 es igual a nueve, menos dos más el vector 𝐫 multiplicado por seis, menos nueve?
Recordemos que la ecuación de una recta en forma vectorial se escribe como 𝐫 igual a 𝐫 sub cero más 𝑡 multiplicado por 𝐝, donde 𝐫 sub cero es un vector posición de un punto arbitrario de la recta y 𝐝 es un vector director de la recta. En este problema se nos han dado ambos. La recta pasa por el punto seis, menos nueve, así que podemos tomar 𝐫 sub como seis, menos nueve. También se nos dice que el vector director es nueve, menos dos. Así que 𝐫 es igual a seis, menos nueve más 𝑡 multiplicado por nueve, menos dos. Teniendo en cuenta que 𝑡 simplemente representa un número arbitrario, para poder comparar con las opciones, haremos que sea igual a 𝑘. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción (B).
Antes de pasar al siguiente ejemplo, conviene saber cómo escribir la ecuación de una recta conocida su pendiente. Sabemos que la pendiente o gradiente de una recta es igual al cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥. Consideremos la recta dibujada que tiene una pendiente de menos ocho tercios. Esto significa que, por cada tres unidades que nos movemos horizontalmente hacia la derecha, tenemos que movernos ocho unidades verticalmente hacia abajo. Esto puede representarse mediante el vector tres, menos ocho.
Y esto quiere decir que el vector menos tres, ocho es un vector director de la recta Esto demuestra un truco muy útil para hallar el vector director conocida la pendiente de una recta. Si una recta tiene pendiente 𝑚, entonces la recta tendrá el vector director uno, 𝑚. Si la pendiente es igual a una fracción 𝑝 partido por 𝑞 como en este caso, la recta tendrá un vector director 𝑞, 𝑝. Consideremos ahora una cuestión en la que tenemos que hacer uso de esta información que acabamos de ver.
Halla, en forma vectorial, la ecuación de la recta que pasa por los puntos seis, menos siete y menos cuatro, seis. ¿Es (A) 𝐫 es igual a seis, menos siete más 𝑘 multiplicado por 10, menos 13? ¿(B) 𝐫 es igual a menos cuatro, seis más 𝑘 multiplicado por menos 13, 10? ¿(C) 𝐫 es igual a seis, menos cuatro más 𝑘 multiplicado por menos siete, seis? ¿O (D) 𝐫 es igual a menos cuatro, seis más 𝑘 multiplicado por 10, 13?
Recordemos que la ecuación de una recta en forma vectorial se escribe como 𝐫 es igual a 𝐫 sub cero más 𝑘 multiplicado por 𝐝, donde 𝐫 sub cero es el vector posición de un punto arbitrario de la recta, 𝐝 es un vector director de la recta, y 𝑘 es un escalar arbitrario. Se nos dan las coordenadas de dos puntos, seis, menos siete y menos cuatro, seis, que se encuentran en la recta. Y podemos usar cualquiera de estos como vector inicial para ayudarnos a hallar la ecuación vectorial de la recta. En la opción (A), el vector inicial es seis, menos siete. Y en las opciones (B) y (D), el vector inicial es menos cuatro, seis.
Comencemos suponiendo que el vector inicial 𝐫 sub cero es seis, menos siete. Ahora tenemos que hallar un vector director haciendo uso de los dos puntos que se hallan en la recta. Recordemos que la pendiente de cualquier recta es igual al cambio en 𝑦 partido por el cambio en 𝑥. Al sustituir los puntos que se nos han dado, obtenemos que la pendiente es igual a menos siete menos seis partido por seis menos menos cuatro. Esto es igual a menos 13 partido por 10. Si recordamos que una recta con pendiente 𝑚 igual a 𝑝 partido por 𝑞 tiene un vector director 𝑞, 𝑝, vemos que un vector director aquí es igual a 10, menos 13. Como este es un posible vector director de nuestra recta, tenemos que 𝐫 es igual a seis, menos siete más 𝑘 multiplicado por 10 menos 13.
Como ves, esto se corresponde con la opción (A), por lo que esta es, en forma vectorial, la ecuación de la recta que pasa por los puntos seis, menos siete y menos cuatro, seis. Si nos fijamos en las otras opciones, recordamos que las opciones (B) y (D) pasan por el punto menos cuatro, seis. Pero no tienen un vector director igual o paralelo a 10, menos 13. Así que descartamos las opciones (B) y (D). El vector director de la opción (C) es menos siete, seis. Que tampoco es paralelo al vector director 10, menos 13.
Llegados a este punto, conviene aclarar que una recta tiene muchas —infinitas, de hecho— ecuaciones vectoriales. Otras ecuaciones vectoriales posibles de la recta a partir de la información dada son 𝐫 igual a menos cuatro, seis más 𝑘 multiplicado por 10, menos 13; 𝐫 igual a seis, menos siete más 𝑘 multiplicado por menos 10, 13; y 𝐫 igual a menos cuatro, seis más 𝑘 multiplicado por menos 10, 13. Los vectores directores en las dos últimas opciones tienen sentido opuesto. Cualquiera de estas cuatro ecuaciones es válida. Sin embargo, entre las opciones que se nos han dado, la única válida es 𝐫 igual a seis, menos siete más 𝑘 multiplicado por 10, menos 13.
Esto nos lleva a un resultado útil sobre cómo hallar el vector director de una recta cuando conocemos dos puntos de la recta. Dados dos puntos distintos 𝐴 y 𝐵 con coordenadas 𝑥 sub uno, 𝑦 sub uno y 𝑥 sub dos, 𝑦 sub dos, la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos es igual a 𝑥 sub uno, 𝑦 sub uno más 𝑘 multiplicado por 𝑥 sub dos menos 𝑥 sub uno, 𝑦 sub dos menos 𝑦 sub uno.
También podemos usar esta información para determinar si tres puntos en el plano 𝑥𝑦 son colineales. Veamos una última cuestión que trata sobre esto.
Usando la ecuación de una recta en forma vectorial, comprueba si los puntos menos siete, cinco; menos uno, dos; y cinco, menos uno son colineales.
Recordemos que un conjunto de puntos es colineal si todos los puntos están en la misma recta. Hay varias formas de comprobarlo. Una forma es comenzar hallando la ecuación de la recta que pasa por dos cualesquiera de los puntos, y luego comprobar si el tercer punto satisface la ecuación. Comenzaremos hallando la ecuación vectorial de la recta que pasa por menos siete, cinco y menos uno, dos. Recordemos que esta recta tiene ecuación 𝐫 igual a 𝑥 sub uno, 𝑦 sub uno más 𝑘 multiplicado por 𝑥 sub dos menos 𝑥 sub uno, 𝑦 sub dos menos 𝑦 sub uno.
Sustituyendo los valores que se nos han dado, en el lado derecho obtenemos menos siete, cinco más 𝑘 multiplicado por menos uno menos menos siete, dos menos cinco. Esto, a su vez, se simplifica a menos siete, cinco más 𝑘 multiplicado por seis, menos tres. Agrupando las componentes correspondientes en el lado derecho, obtenemos que 𝐫 es igual a menos siete más seis 𝑘, cinco menos tres 𝑘. Si los tres puntos son colineales, nuestro tercer punto cinco, menos uno, estará en esta recta. Vamos a comprobarlo sustituyendo su vector posición cinco, menos uno en la ecuación vectorial de la recta. Igualando las componentes, obtenemos que cinco es igual a menos siete más seis 𝑘 y que menos uno es igual a cinco menos tres 𝑘.
Podemos resolver la primera ecuación sumando siete a ambos lados y luego dividiendo por seis. Esto nos da 𝑘 igual a dos. La segunda ecuación también nos da una solución de 𝑘 igual a dos. Como este valor de 𝑘 es el mismo, podemos concluir que el punto cinco, menos uno, se encuentra en la recta. Por lo tanto, la respuesta correcta es que sí, los tres puntos son colineales. También podríamos demostrar este hecho gráficamente en el plano 𝑥𝑦.
Resumamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Vimos que la ecuación de una recta en forma vectorial es 𝐫 igual a 𝐫 sub cero más 𝑡 multiplicado por 𝐝, donde 𝐫 sub cero es el vector posición de un punto arbitrario de la recta, 𝐝 es un vector director de la recta, y 𝑡 es un número arbitrario. Si tenemos dos puntos distintos 𝐴 y 𝐵 que están en la recta, podemos hallar su vector director como se muestra, donde las coordenadas de los dos puntos son 𝑥 sub uno, 𝑦 sub uno y 𝑥 sub dos, 𝑦 sub dos.
También hemos visto en este vídeo que una recta de pendiente 𝑚 tiene vector director uno, 𝑚. Y que, si este valor de 𝑚 es igual a la fracción 𝑝 partido por 𝑞, entonces el vector director puede escribirse como 𝑞, 𝑝. Vimos, además, que la ecuación vectorial de una recta no es única, ya que podemos elegir cualquier punto en la recta como vector inicial y cualquier vector distinto de cero paralelo a la recta como vector director. Por último, hemos visto que tres o más puntos son colineales si las rectas definidas por cada par de puntos son paralelas.
