Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo representar gráficamente funciones racionales cuyos denominadores son lineales, cómo determinar los tipos de sus asíntotas y cómo describir su comportamiento en el infinito.
Una función racional es una fracción algebraica en la que tanto el numerador como el denominador son polinomios. Por ejemplo, 𝑓 de 𝑥 igual a cinco 𝑥 más siete sobre dos 𝑥 menos uno es una función racional. Es importante tener en cuenta que una función polinómica, por ejemplo, 𝑔 de 𝑥 igual a tres 𝑥 menos cinco, también es una función racional. Podemos reescribir tres 𝑥 menos cinco como tres 𝑥 menos cinco sobre uno, y uno es un polinomio de grado cero.
Sin embargo, las funciones polinómicas como 𝑔 de 𝑥 son diferentes a otras funciones racionales. Esto es porque cualquier valor de 𝑥 es válido en el dominio de 𝑔, mientras que una función racional con un polinomio de grado uno en su denominador, como este, tendrá un valor de 𝑥 para el cual el polinomio vale cero. Y por lo tanto, la función 𝑓 de 𝑥 no está definida. En este caso, si dos 𝑥 menos uno es igual a cero, entonces 𝑥 es igual a un medio. Por lo tanto, el valor de un medio debe excluirse del dominio de 𝑓 porque no está definida en este valor.
La función racional más simple con un polinomio de grado distinto de cero en su denominador es la función de proporcionalidad inversa 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥. La gráfica de la función 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 es una hipérbola, que tiene esta forma. La hipérbola es simétrica con respecto a las rectas 𝑦 igual a 𝑥 y 𝑦 igual a menos 𝑥. En el primer cuadrante, la curva tiende a la recta 𝑦 igual a cero cuando 𝑥 tiende a ∞, sin llegar nunca a tocarla. La recta 𝑦 igual a cero —o sea, el eje 𝑥— se llama asíntota. La curva también tiende a la recta 𝑦 igual a cero en el tercer cuadrante, esta vez desde abajo, cuando 𝑥 tiende a menos ∞. De manera similar, la curva tiende a ∞ cuando 𝑥 tiende a cero desde el lado positivo y a menos ∞ cuando 𝑥 tiende a cero desde el lado negativo. La gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 tiene, por lo tanto, una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero y una asíntota vertical en 𝑥 igual a cero.
Podemos usar esta función básica, 𝑦 igual a uno sobre 𝑥, y aplicar transformaciones de funciones para obtener diferentes gráficas de diferentes funciones racionales. En el primer ejemplo, identificaremos la gráfica de una función racional usando una transformación de función de la gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 más uno?
Comencemos recordando la gráfica de la función racional básica 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. Esta gráfica tiene una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero y una asíntota vertical en 𝑥 igual a cero. Podemos obtener la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 más uno aplicando una transformación de función a 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. Para transformar la función uno sobre 𝑥 a uno sobre 𝑥 más uno, simplemente llevamos 𝑥 a 𝑥 más uno. Y debemos saber que una transformación de función de 𝑥 a 𝑥 más 𝑎 corresponde a un desplazamiento horizontal hacia la izquierda de 𝑎 unidades. Por lo tanto, la gráfica de 𝑦 igual a uno partido por 𝑥 más uno es la misma que la gráfica de 𝑦 igual a uno partido 𝑥, pero está desplazada hacia la izquierda en una unidad.
Mirando las posibles respuestas, podemos ver que la gráfica (c) es la misma que la gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 desplazada hacia la izquierda en una unidad. Su asíntota vertical 𝑥 igual a cero se ha desplazado hacia la izquierda a 𝑥 igual a menos uno. Y su asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero no cambia.
Veamos ahora el tipo opuesto de ejemplo donde nos dan una gráfica y nos piden que hallemos la ecuación de la función.
¿Qué función está representada en la siguiente figura?
Para empezar, notamos que la gráfica se parece a la gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. Podemos obtener esta gráfica a partir de la gráfica de la función básica, 𝑦 igual a uno sobre 𝑥, aplicando algunas transformaciones de función. La gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 tiene una asíntota horizontal, 𝑦 igual a cero, y una asíntota vertical, 𝑥 igual a cero. Nuestra gráfica también tiene una asíntota vertical 𝑥 igual a cero, pero su asíntota horizontal es 𝑦 igual a menos tres. Esto significa que un desplazamiento hacia abajo de tres unidades es una de las transformaciones de función que se ha usado para obtener la gráfica que se muestra a partir de la gráfica de la función racional básica. Antes de aplicar este desplazamiento vertical, debemos verificar si hay otras transformaciones de funciones involucradas, ya que el orden de las transformaciones de funciones es muy importante.
Hay tres tipos diferentes de transformaciones que debemos tener en cuenta: traslaciones, alargamientos y reflexiones. Ya hemos visto que hay una traslación de tres unidades hacia abajo. Si nos fijamos en estos dos puntos indicados en el gráfico dado, vemos que, si trasladamos estos dos puntos hacia arriba tres unidades, obtenemos los puntos menos uno, uno y uno, menos uno. Estos dos puntos claramente no están en la gráfica de la función racional básica, 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. Por lo tanto, debe haber habido al menos otra transformación involucrada. Esto dos puntos son similares a los puntos menos uno, menos uno y uno, uno. Los dos puntos están separados por la misma distancia y tienen los mismos valores absolutos de sus coordenadas 𝑥 y 𝑦. Por lo tanto, no parece haber habido ningún alargamiento involucrado, pues habría aumentado o disminuido la distancia entre los puntos.
La gráfica parece estar al revés cuando es comparada con la función de proporcionalidad directa básica. Más específicamente, el valor de 𝑦 tiende a más ∞ cuando 𝑥 tiende a cero desde la izquierda. Y tiende a menos ∞ cuando 𝑥 tiende a cero desde la derecha. Este es exactamente el comportamiento opuesto al de la gráfica de la función racional básica, y demuestra que hay una reflexión involucrada. Debido a la simetría de la gráfica de la función racional básica 𝑦 igual a uno sobre 𝑥, una reflexión en el eje 𝑥 es lo mismo que una reflexión en el eje 𝑦. Por defecto, diremos que esto es una reflexión en el eje 𝑥.
Cuando combinamos transformaciones, los alargamientos y reflexiones deben hacerse antes que las traslaciones. Una reflexión con respecto al eje 𝑥 significa que intercambiamos el signo de la ordenada 𝑦 de todos los puntos de la gráfica. 𝑓 pasa a ser menos 𝑓 de 𝑥. Esto significa que multiplicamos la función original por menos uno. Hasta aquí, hemos tomado la función racional básica uno sobre 𝑥 y la hemos multiplicado por menos uno para obtener menos uno sobre 𝑥. Hagamos un poco de espacio y veamos la gráfica de lo que tenemos ahora: 𝑦 igual a menos uno sobre 𝑥. La gráfica ha sido reflejada en el eje 𝑥. Y el punto menos uno, menos uno se ha convertido en menos uno, uno, y el punto uno, uno se ha convertido en uno, menos uno. Estos son los dos puntos que obtuvimos en la gráfica al subir tres unidades.
Todo lo que necesitamos hacer ahora es aplicar la traslación de tres unidades hacia abajo. Una traslación vertical de 𝑐 unidades significa sumar 𝑐 a los valores de 𝑦 de todos los puntos en la gráfica. Entonces, 𝑓 de 𝑥 pasa a ser 𝑓 de 𝑥 más 𝑐. Y el signo de 𝑐 indicará la dirección en la que se mueve la gráfica. Si 𝑐 es positivo, se moverá hacia arriba y, si es negativo, se moverá hacia abajo. Por lo tanto, para trasladar esta gráfica tres unidades hacia abajo, restamos tres de 𝑓 de 𝑥. Menos uno sobre 𝑥 se convierte en menos uno sobre 𝑥 menos tres. Por lo tanto, la gráfica que se muestra representa la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos uno sobre 𝑥 menos tres. Y podemos sustituir las coordenadas dos puntos de la gráfica, menos uno, menos dos y uno, menos cuatro para comprobar que, efectivamente, satisfacen esta ecuación.
En el siguiente ejemplo, vamos a hallar los parámetros faltantes en una función racional a partir de una gráfica.
La gráfica representa la función 𝑦 igual a 𝑘 sobre 𝑥 menos 𝑎 más 𝑏. Hay un solo punto marcado en la gráfica. ¿Cuáles son los valores de las constantes 𝑎, 𝑏 y 𝑘?
Comenzamos notando que esta gráfica se parece a la gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. Podemos obtener la gráfica a partir de la gráfica de la función racional básica, 𝑦 igual a uno sobre 𝑥, aplicando algunas transformaciones de función. La gráfica de la función racional básica 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 tiene una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero y una asíntota vertical en 𝑥 igual a cero. La gráfica que se muestra tiene una asíntota horizontal en 𝑦 igual a menos dos y una asíntota vertical en 𝑥 igual a tres. Esto significa que un desplazamiento hacia abajo de dos unidades y un desplazamiento hacia la derecha de tres unidades podrían ser las transformaciones de función utilizadas para obtener esta gráfica a partir de la gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥.
Sin embargo, antes de aplicar estas traslaciones, primero debemos verificar si hay otras transformaciones involucradas, ya que el orden de las transformaciones es muy importante. Hay tres tipos diferentes de transformaciones que debemos considerar: traslación, alargamiento y reflexión. La gráfica que se muestra está orientada de la misma manera que la función básica, por lo que podemos descartar una reflexión. Alargamientos son una posibilidad, pero es difícil de juzgar a simple vista. Como tenemos el punto seis, menos uno en la gráfica, podemos usar este punto para determinar las razones de los alargamientos, si los hay. Recordemos que, al combinar transformaciones, los alargamientos y las reflexiones deben hacerse antes de las traslaciones.
Recuerda que un alargamiento horizontal de razón 𝑑 uno significa que cambiamos 𝑥 por 𝑥 sobre 𝑑 uno. En otras palabras, antes de aplicar la ecuación de la función, hemos de dividir los valores de 𝑥 por 𝑑 uno. Un alargamiento vertical de razón 𝑑 dos significa llevar 𝑓 de 𝑥 a 𝑑 dos por 𝑓 de 𝑥. En otras palabras, después de aplicar la función, hemos de multiplicar los valores de 𝑦 por 𝑑 dos. Comenzando con la función básica 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 y aplicando un alargamiento horizontal, obtenemos uno sobre 𝑥 sobre 𝑑 uno.
A continuación, aplicando un alargamiento vertical, multiplicamos esta nueva 𝑓 de 𝑥 por 𝑑 dos, obteniendo 𝑑 dos sobre 𝑥 sobre 𝑑 uno. Esto se simplifica a 𝑑 uno 𝑑 dos sobre 𝑥. 𝑑 uno por 𝑑 dos es solo otra constante en sí misma. Podemos llamar a esta constante 𝑘. Aún no conocemos el valor de 𝑘. Primero, necesitamos hablar de las traslaciones. Las posiciones de las asíntotas no se ven afectadas por los alargamientos. Por lo tanto, las asíntotas solo pueden haber sido movidas por una traslación de dos unidades hacia abajo y tres unidades hacia la derecha. Una traslación vertical de 𝑐 unidades significa llevar 𝑓 de 𝑥 a 𝑓 de 𝑥 más 𝑐. Por lo tanto, cambiamos todos los valores de 𝑦 de los puntos en la gráfica de 𝑦 a 𝑦 más 𝑐. 𝑐 positivo significa que la gráfica se mueve hacia arriba y negativo significa que se mueve hacia abajo.
En nuestro caso, primero necesitamos realizar los alargamientos. La función madre uno sobre 𝑥 va a 𝑘 sobre 𝑥. Luego, trasladando esto dos unidades hacia abajo, obtenemos 𝑘 sobre 𝑥 menos dos. Recordemos que para una traslación horizontal de 𝑐 unidades, llevamos todos los valores de 𝑥 a 𝑥 menos 𝑐. Nuevamente, el valor de 𝑐 determinará la dirección, siendo 𝑐 positivo para un desplazamiento hacia la derecha y 𝑐 negativo para un desplazamiento hacia la izquierda. Pero, por supuesto, el signo se invertirá siempre ya que estamos restando 𝑐 de 𝑥. Comenzando con 𝑘 partido por 𝑥 menos dos, para realizar un desplazamiento hacia la derecha de tres unidades, necesitamos cambiar 𝑥 a 𝑥 menos tres. Esto nos da 𝑘 sobre 𝑥 menos tres menos dos. Esta gráfica representa la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑘 sobre 𝑥 menos tres menos dos. Hasta aquí, hemos hallado dos de los parámetros en la cuestión. 𝑎 es igual a tres y 𝑏 es igual a menos dos.
Ahora solo necesitamos hallar el valor de 𝑘. Esta ecuación tiene tres incógnitas. Tenemos 𝑓 de 𝑥, 𝑥 y 𝑘. Nos dan un punto en la gráfica: seis, menos uno. Y esto corresponde a los valores de 𝑓 de 𝑥 y 𝑥, respectivamente, que luego podemos sustituir en la ecuación y reorganizar para hallar 𝑘. Tenemos 𝑓 de 𝑥 igual a menos uno y 𝑥 igual a seis. Simplificando y reorganizando obtenemos 𝑘 igual a tres. Hemos hallado, por lo tanto, los valores de las tres constantes. 𝑎 es igual a tres, 𝑏 es igual a menos dos y 𝑘 es igual a tres.
En el ejemplo anterior, vimos cómo los alargamientos de una gráfica son difíciles de determinar a simple vista. Hemos usado un factor de escala desconocido, 𝑘, y luego hemos hallado este factor de escala usando un punto en la gráfica. Específicamente, si comenzamos con la función básica 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 y aplicamos un alargamiento horizontal de factor de escala de 𝑑 uno, obtenemos uno sobre 𝑥 sobre 𝑑 uno. Y si luego realizamos un alargamiento vertical de factor de escala 𝑑 dos obtenemos 𝑑 dos sobre 𝑥 sobre 𝑑 uno, que se simplifica a 𝑑 uno 𝑑 dos sobre 𝑥.
Como 𝑑 uno y 𝑑 dos se multiplican al final, esto significa que esta transformación no hace distinción entre alargamientos horizontales y verticales. Por ejemplo, si el factor de escala horizontal 𝑑 uno es igual a uno y el factor de alargamiento vertical 𝑑 dos es igual a dos, obtenemos dos sobre 𝑥. Por el contrario, si el factor de alargamiento horizontal es dos y el factor de alargamiento vertical es uno, obtenemos exactamente el mismo resultado: dos sobre 𝑥. Esta es una demostración clara de la simetría de la función recíproca, pero en realidad esto va más allá.
Si tomamos la función después de aplicar un alargamiento horizontal y uno vertical y la reflejamos en el eje 𝑥, intercambiamos el signo de 𝑓 de 𝑥. Por lo tanto, esto nos da menos 𝑑 uno 𝑑 dos sobre 𝑥. Si reflejamos la función sobre el eje 𝑦, intercambiamos el signo de 𝑥, lo que nos da 𝑑 uno 𝑑 dos sobre menos 𝑥. Reorganizando esto, obtenemos exactamente el mismo resultado que la reflexión sobre el eje 𝑥. Además, tal como hicimos en el ejemplo anterior, este numerador aquí sigue siendo una constante, a la que podemos llamar 𝑘.
Después de un alargamiento horizontal, un alargamiento vertical y una reflexión con respecto a cualquiera de los ejes o ambos, obtenemos simplemente 𝑘 sobre 𝑥. Por lo tanto, esta constante escalar, 𝑘, representa todas las homotecias horizontales y verticales y todas las reflexiones. Esto simplifica enormemente las transformaciones de la función ya que podemos representar todos los alargamientos y reflexiones simplemente multiplicando por una constante 𝑘.
Todo lo que queda por hacer son las traslaciones. Podemos realizar una traslación horizontal de 𝑎 unidades cambiando 𝑥 por 𝑥 menos 𝑎. Y trasladamos verticalmente la gráfica en 𝑏 unidades sumando 𝑏 a 𝑦. Por lo tanto, una hipérbola con asíntota vertical 𝑥 igual a 𝑎 y asíntota horizontal 𝑦 igual a 𝑏 es la gráfica de una función racional 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑘 partido por 𝑥 menos 𝑎 más 𝑏, para algún 𝑘 diferente de cero.
En el siguiente ejemplo, vamos a usar esto para identificar el rango de valores de un parámetro desconocido en la gráfica dada de una función racional.
La gráfica muestra 𝑦 igual a 𝑘 sobre 𝑥 menos tres menos dos. Podemos ver que la intersección de sus asíntotas está en tres, menos dos y que los puntos 0.5, menos 1.5 y 1.5, menos uno están por debajo y por encima de la gráfica, respectivamente. Halla el intervalo en el que se encuentra 𝑘.
Recordemos primero que una hipérbola con una asíntota horizontal 𝑥 igual a 𝑎 y una asíntota vertical 𝑦 igual a 𝑏 es la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑘 sobre 𝑥 menos 𝑎 más 𝑏, siendo 𝑘 distinto de cero. En nuestra cuestión, la asíntota vertical es 𝑥 igual a tres. Así que, 𝑎 es igual a tres. Y la asíntota horizontal es 𝑦 igual a menos dos. Así que 𝑏 es igual a menos dos. Esto se corresponde con la ecuación de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑘 sobre 𝑥 menos tres menos dos.
El valor de 𝑘 no se puede determinar exactamente a menos que tengamos alguno de los puntos en la gráfica, lo cual no es así. En cambio, tenemos un punto por encima y un punto por debajo de la gráfica, que podemos usar para determinar un intervalo en el que debe estar 𝑘. Considera el punto por encima la gráfica: 1.5, menos uno. Como este punto está por encima de la gráfica, su valor 𝑦 es mayor que 𝑓 de 𝑥 en este punto. En otras palabras, 𝑓 de 1.5 es menor que el valor 𝑦 de este punto, menos uno. Por lo tanto, 𝑘 sobre 1.5 menos tres menos dos es menor que menos uno. Llevando el dos al otro lado y simplificando obtenemos menos 𝑘 sobre 1.5 es menor que uno. Y reorganizar para 𝑘 nos da que 𝑘 es mayor que menos 1.5. Así que tenemos un límite inferior para 𝑘 de menos 1.5.
Consideremos ahora el punto por debajo de la gráfica: 0.5, menos 1.5. Como este punto está por debajo de la gráfica, su valor 𝑦 es menor que el valor 𝑦 de 𝑓 de 𝑥 en este punto. En otras palabras, 𝑓 de 0.5 es mayor que menos 1.5, lo que significa que 𝑘 sobre 0.5 menos tres menos dos es mayor que menos 1.5. Llevando el dos al lado derecho y simplificando nos da menos 𝑘 sobre 2.5 es mayor que 0.5. Despejando 𝑘 obtenemos el límite superior de 𝑘. 𝑘 es menor que menos 1.25. Esto nos da nuestra respuesta final, el intervalo para 𝑘. 𝑘 es mayor que menos 1.5 y menor que menos 1.25.
Terminemos este video recapitulando algunos puntos clave. A diferencia de una gráfica de un polinomio no constante, la gráfica de una función racional puede tener asíntotas verticales y horizontales, es decir, rectas a las que la gráfica se acerca más y más, pero sin llegar a tocarla. La gráfica de la función racional básica 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 es una hipérbola con una asíntota horizontal 𝑦 igual a cero y una asíntota vertical 𝑥 igual a cero. Y finalmente, una hipérbola con asíntota vertical 𝑥 igual a 𝑎 y asíntota horizontal 𝑦 igual a 𝑏 es la gráfica de una función racional 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑘 sobre 𝑥 menos 𝑎 más 𝑏, para alguna 𝑘 no igual a cero, la cual se puede obtener de la función racional básica aplicando una combinación de alargamientos, reflexiones y traslaciones.
