Vídeo: Combinar las reglas del producto y del cociente, y la regla de la cadena

En este video, vamos a aprender cómo hallar la derivada de una función combinando la regla del producto, la del cociente, y la regla de la cadena.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver cómo tres reglas de derivación pueden ser combinadas para ayudarnos a derivar funciones cada vez más complicadas. Primero vamos a repasar estas tres reglas, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena. Y seguidamente, vamos a aplicar combinaciones de estas reglas a un puñado de ejemplos diferentes.

Recordemos, pues, primero estas tres reglas y sus usos. La primera regla es la regla del producto, la cual nos ayuda a derivar multiplicaciones de funciones. Nos dice que la derivada del producto 𝑓𝑔, o sea, 𝑓𝑔 prima, es igual a 𝑓𝑔 prima más 𝑓 prima 𝑔. Lo que estamos haciendo es multiplicar cada función por la derivada de la otra función y sumar estos dos términos.

La segunda regla es la regla del cociente, la cual nos permite derivar divisiones de funciones, eso es 𝑓 entre 𝑔. Y nos dice que la derivada de 𝑓 entre 𝑔 es igual a 𝑔𝑓 prima menos 𝑓𝑔 prima dividido por 𝑔 al cuadrado. Es importante tener en cuenta que a diferencia de la regla del producto, que es simétrica en 𝑓 y 𝑔, la regla del cociente no es simétrica en 𝑓 y 𝑔. Por tanto, debemos asegurarnos de que definimos 𝑓 como la función en el numerador y 𝑔 como la función en el denominador.

La tercera regla es la regla de la cadena, la cual nos ayuda a derivar funciones compuestas; es decir, funciones de otras funciones. Aquí tenemos la función 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, que significa que hemos aplicado primero 𝑓 y después 𝑔. Esta derivada está dada por 𝑓 prima de 𝑥 multiplicado por 𝑔 prima de 𝑓 de 𝑥. Esto es la derivada de la función interna multiplicada por la derivada de la función externa, con la función interna aún dentro de ella.

Es importante que tengamos claros los diferentes significados de la notación. En la regla del producto, 𝑓𝑔 significa 𝑓 multiplicado por 𝑔. Mientras que en la regla de la cadena, 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 representa la función compuesta que obtenemos al aplicar 𝑓 primero y 𝑔 después. También podemos expresar cada una de estas reglas usando la notación de Leibniz. Y para ello, es más común usar las letras 𝑢 y 𝑣, a pesar de que esto no es realmente importante.

La regla del producto nos dice que la derivada con respecto a 𝑥 de 𝑢𝑣 es igual a 𝑢 d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 d𝑢 sobre d𝑥. La regla del cociente nos dice que la derivada con respecto a 𝑥 de 𝑢 sobre 𝑣 es igual a 𝑣 d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 d𝑣 sobre d𝑥, todo dividido por 𝑣 al cuadrado. Y finalmente, la regla de la cadena nos dice que si 𝑦 es igual a la función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, y definimos 𝑢 como 𝑓 de 𝑥, de modo que 𝑦 se convierte en una función de 𝑢, 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑢. Entonces, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥. Derivamos 𝑦 con respecto a 𝑢 y después multiplicamos por la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥. A continuación, vamos a aplicar combinaciones de estas tres reglas a algunos ejemplos.

Halla la primera derivada de 𝑦 igual a 𝑥 menos cinco multiplicado por 𝑥 menos dos elevado a seis en uno, menos cuatro.

Comencemos fijándonos bien en esta función que nos han dado. Podemos ver que es el producto de dos funciones, 𝑥 menos cinco y 𝑥 menos dos elevado a seis. Esto sugiere que vamos a necesitar usar la regla del producto para hallar su primera derivada. Así que podemos definir una función como 𝑓 y la otra como 𝑔. Aquí está la regla del producto, pero como es simétrica en 𝑓 y 𝑔, en realidad no importa en qué orden hagamos esta definición. Hagamos 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos cinco y 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 menos dos elevado a seis.

Y para poder aplicar la regla del producto, necesitamos hallar las derivadas de 𝑓 y de 𝑔. 𝑓 prima de 𝑥. Es uno. Pero ¿qué sucede con 𝑔 prima? Tenemos un exponente de seis, y no queremos desarrollar todos los paréntesis para obtener un polinomio. ¿Cómo vamos a hallar esta derivada? 𝑔 es una función compuesta, lo que significa que podemos aplicar la regla de la cadena para hallar su primera derivada, d𝑦 sobre d𝑥, que es igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥. Debemos sustituir la letra 𝑦 en la regla de la cadena por la letra 𝑔. Y después, debemos hacer 𝑢 igual a 𝑥 menos dos, lo que hace que 𝑔 sea igual a 𝑢 elevado a seis.

La derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥 es uno. Y aplicando la regla de la potencia, la derivada de 𝑔 con respecto a 𝑢 es seis 𝑢 elevado a cinco. Aplicando la regla de la cadena, d𝑔 sobre d𝑥 es igual a seis 𝑢 elevado a cinco, esto es d𝑔 sobre d𝑢, multiplicado por uno, esto es d𝑢 por d𝑥. Obviamente, multiplicar por uno no tiene ningún efecto. Así que, d𝑔 sobre d𝑥 es igual a seis 𝑢 elevado a cinco.

Pero necesitamos tener esta derivada en términos de 𝑥, así que deshacemos la sustitución. 𝑢 igual a 𝑥 menos dos, d𝑔 sobre d𝑥 en términos de 𝑥 es igual a seis multiplicado por 𝑥 menos dos elevado a cinco. También podríamos haber visto esto aplicando la extensión por la regla de la cadena de la regla de la potencia. Una vez que hemos hallado todas las derivadas, podemos comenzar a sustituirlas en la regla del producto para hallar la derivada de 𝑦.

d𝑦 sobre d𝑥 será igual a 𝑓, esto es 𝑥 menos cinco, multiplicado por 𝑔 prima, esto es seis multiplicado por 𝑥 menos dos elevado a cinco. Después sumamos 𝑓 prima, que es uno, multiplicado por 𝑔, que es 𝑥 menos dos elevado a seis. Podemos extraer un factor común de 𝑥 menos dos elevado a cinco. Y después, simplificando en el segundo paréntesis, nos da 𝑥 menos dos elevado a cinco multiplicado por siete 𝑥 menos 32. Y esta es, por lo tanto, la primera derivada de 𝑦.

Pero nos piden evaluar esta derivada en un punto particular, el punto uno, menos cuatro. Esto significa que necesitamos sustituir valores. Necesitamos sustituir el valor de 𝑥 en este punto en nuestra función derivada, y obtenemos uno menos dos elevado a cinco multiplicado por siete multiplicado por uno menos 32. Esto nos da menos uno elevado a cinco multiplicado por menos 25, que es 25.

Así que en esta cuestión, hemos necesitado una combinación de la regla del producto y la regla de la cadena para obtener la respuesta.

A continuación, vamos a ver un ejemplo que requiere una combinación de reglas diferente.

Determina la derivada de la función 𝑔 de 𝑢 igual a 𝑢 al cuadrado más cinco sobre 𝑢 al cuadrado menos uno todo elevado a cuatro.

Comencemos pensando un poco en las reglas que nos serán útiles en esta pregunta. Podemos ver que tenemos una división, 𝑢 al cuadrado más cinco sobre 𝑢 al cuadrado menos uno. Por tanto, vamos a necesitar usar la regla del cociente. Hemos escrito la regla del cociente aquí usando letras 𝑝 y 𝑞 porque ya tenemos las letras 𝑢 y 𝑔 en la pregunta. Y esto nos permitirá hallar la derivada de esta expresión dentro de los paréntesis.

Pero todavía tenemos una cuarta potencia. Igualemos 𝑣 a la expresión dentro de los paréntesis. Es igual a 𝑢 al cuadrado más cinco sobre 𝑢 al cuadrado menos uno. Por tanto, 𝑔 será igual a 𝑣 a la cuarta. Y podemos aplicar la regla de la cadena, d𝑔 sobre d𝑢 igual a d𝑔 sobre d𝑣 multiplicado por d𝑣 sobre d𝑢.

d𝑔 sobre d𝑣 puede ser calculado fácilmente aplicando la regla del producto. Es igual a cuatro 𝑣 al cubo. Pero para calcular d𝑣 sobre d𝑢, necesitamos aplicar la regla del cociente. Igualamos 𝑝 al numerador de 𝑣, esto es 𝑢 al cuadrado más cinco, y 𝑞 al denominador, esto es 𝑢 al cuadrado menos uno. Tanto d𝑝 sobre d𝑢 como d𝑞 sobre d𝑢 pueden ser hallados aplicando la regla de la potencia. Y tanto la una como la otra son iguales a dos 𝑢. Ahora podemos reemplazar en la regla del cociente y hallar d𝑣 sobre d𝑢.

Tenemos 𝑞, que es 𝑢 al cuadrado menos uno, multiplicado por 𝑝 prima o d𝑝 sobre d𝑢, que es dos 𝑢, menos 𝑝, que es 𝑢 al cuadrado más cinco, multiplicado por 𝑞 prima o d𝑞 sobre d𝑢, que es dos 𝑢. Todo dividido por 𝑞 al cuadrado, esto es 𝑢 al cuadrado menos uno al cuadrado. El siguiente paso es simplificar. Desarrollando los paréntesis en el numerador, obtenemos dos 𝑢 al cubo menos dos 𝑢 menos dos 𝑢 al cubo menos 10𝑢. Y el denominador se mantiene como 𝑢 al cuadrado menos uno todo al cuadrado. Los dos 𝑢 al cubo se cancelan mutuamente, dejándonos con menos 12𝑢 sobre 𝑢 al cuadrado menos uno al cuadrado.

Ahora eliminaremos algunos de estos resultados de la regla del cociente para tener espacio en la página. Tenemos que d𝑔 sobre d𝑣 es igual a cuatro 𝑣 al cubo y d𝑣 sobre d𝑢 es igual a menos 12𝑢 sobre 𝑢 al cuadrado menos uno todo al cuadrado. Así que ahora podemos sustituir en la regla de la cadena. d𝑔 entre d𝑢 es igual a cuatro 𝑣 al cubo multiplicado por menos 12𝑢 sobre 𝑢 al cuadrado menos uno todo al cuadrado. Recuerda que d𝑔 sobre d𝑢 debe estar únicamente en términos de 𝑢. Por tanto, necesitamos revertir nuestra sustitución.

𝑣 es igual a 𝑢 al cuadrado más cinco sobre 𝑢 al cuadrado menos uno. Así que tenemos cuatro por 𝑢 al cuadrado más cinco sobre 𝑢 al cuadrado menos uno al cubo multiplicado por menos 12𝑢 sobre 𝑢 al cuadrado menos uno al cuadrado. Simplificando obtenemos menos 48𝑢 multiplicado por 𝑢 al cuadrado más cinco al cubo, todo sobre 𝑢 al cuadrado menos uno elevado a cinco.

En esta pregunta, hemos tenido que aplicar una combinación de la regla del cociente y la regla de la cadena para hallar la derivada de la función 𝑔 de 𝑢.

Veamos ahora un ejemplo que incluye funciones trigonométricas.

Determina la derivada de la función 𝑠 de 𝑡 igual a raíz cuadrada de menos sen 𝑡 más siete sobre menos cos 𝑡 más siete.

Podemos ver inmediatamente en esta cuestión que tenemos un cociente. Por tanto, vamos a necesitar aplicar la regla del cociente en algún momento. Pero ¿vamos a necesitar hacer algo más? No solo tenemos este cociente. Tenemos la raíz cuadrada de este cociente, lo que significa que tenemos una función compuesta. Así que, también vamos a necesitar aplicar la regla de la cadena. Comenzaremos llamando 𝑢 a ese cociente debajo de la raíz cuadrada. 𝑢 es igual a menos sen 𝑡 más siete partido por menos cos 𝑡 más siete. Y así 𝑠 se convierte en una función de 𝑢. Es igual a la raíz cuadrada de 𝑢, que, usando notación de potencias, podemos expresar como 𝑢 elevado a un medio.

La regla de la cadena, usando las letras 𝑠, 𝑡 y 𝑢 que aparecen en esta pregunta, nos dice que la derivada de 𝑠 con respecto a 𝑡 es igual a d𝑠 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑡. Aplicando la regla de la potencia, vemos que d𝑠 sobre d𝑢 es igual a un medio por 𝑢 elevado a menos un medio. Pero para hallar d𝑢 sobre d𝑡, vamos a necesitar aplicar la regla del cociente.

Vamos a definir 𝑓 como la función en el numerador, esto es, menos sen 𝑡 más siete, y 𝑔 como la función en el denominador, esto es, menos cos 𝑡 más siete. Para hallar las derivadas de estas dos funciones, necesitamos recordar cómo derivar sen y cos. Hay un pequeño ciclo muy útil que podemos recordar. La derivada de sen 𝑡 es cos 𝑡. La derivada de cos 𝑡 es menos sen 𝑡. La derivada de menos sen 𝑡 es menos cos 𝑡. Y la derivada de menos cos 𝑡 es sen 𝑡. Y luego damos la vuelta al ciclo nuevamente.

Recordando que la derivada de una constante es simplemente cero, tenemos que 𝑓 prima es igual a menos cos 𝑡 y 𝑔 prima es igual a sen 𝑡. Podemos sustituir en la regla del cociente para hallar d𝑢 sobre d𝑡. Es 𝑔, eso es menos cos 𝑡 más siete, multiplicado por 𝑓 prima, menos cos 𝑡, menos 𝑓, eso es menos sen 𝑡 más siete, multiplicado por 𝑔 prima, eso es sen 𝑡, todo sobre 𝑔 al cuadrado. Necesitamos hacer alguna simplificación. Desarrollamos los paréntesis en el numerador, que da cos al cuadrado 𝑡 menos siete cos 𝑡 más sen al cuadrado 𝑡 menos siete sen 𝑡, todo sobre menos cos 𝑡 más siete al cuadrado.

Podemos recordar, en este punto, una de nuestras identidades trigonométricas, cos al cuadrado de 𝑡 más sen al cuadrado de 𝑡 es igual a uno. Por lo tanto, esto se simplifica a uno menos siete cos de 𝑡 menos siete sen de 𝑡, todo sobre menos cos 𝑡 más siete al cuadrado. Habiendo hallado d𝑢 sobre d𝑡 y d𝑠 sobre d𝑢, podemos sustituirlos en la regla de la cadena. Hallamos que d𝑠 sobre d𝑡 es igual a d𝑠 sobre d𝑢, eso es un medio 𝑢 elevado a menos un medio, multiplicado por d𝑢 sobre d𝑡, eso es uno menos siete cos 𝑡 menos siete sen 𝑡, todo sobre menos cos 𝑡 más siete al cuadrado.

Recordemos que d𝑠 sobre d𝑡 debe estar únicamente en términos de 𝑡. Así que necesitamos revertir nuestra sustitución. Obtenemos menos sen 𝑡 más siete sobre menos cos 𝑡 más siete elevado a menos un medio multiplicado por uno menos siete cos 𝑡 menos siete sen 𝑡 sobre dos multiplicado por menos cos 𝑡 más siete al cuadrado. La potencia de menos un medio significa recíproco, es decir que podemos lidiar con eso dando la vuelta a la fracción. Y la primera parte se convierte en menos cos 𝑡 más siete sobre menos sen 𝑡 más siete elevado a un medio.

Podemos simplificar las potencias. Tenemos menos cos 𝑡 más siete elevado a un medio en el numerador y después menos cos 𝑡 más siete elevado a dos en el denominador. Lo que conducirá a un exponente de menos tres medios en general. Eso es un exponente de tres sobre dos en el denominador. Esto nos lleva a uno menos siete cos 𝑡 menos siete sen 𝑡 en el numerador. Y en el denominador dos por la raíz cuadrada de menos sen 𝑡 más siete. Esto es dos por menos sen 𝑡 más siete elevado a un medio multiplicado por menos cos 𝑡 más siete elevado a tres medios.

En esta pregunta, hemos visto que a veces tenemos que aplicar tanto la regla del cociente como la regla de la cadena a cuestiones que incluyen derivadas de funciones trigonométricas.

Resumamos lo que hemos visto en este video. Hemos repasado la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena, las cuales están mostradas aquí utilizando la notación de Leibniz. Hemos visto cómo estas tres reglas pueden ser aplicadas al mismo tiempo para hallar derivadas de funciones cada vez más complicadas.

Y, aunque no hemos mostrado un ejemplo de esto en nuestro video, podemos, por supuesto, aplicar estas reglas varias veces si el problema así lo requiere. Estas tres reglas son muy útiles. Y al combinarlas o al usar una misma regla en sucesión, esto nos abre una amplia clase de funciones complicadas cuyas derivadas ahora somos capaces de hallar.

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