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Vídeo de la lección: Operaciones con vectores de forma gráfica Matemáticas • Duodécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo realizar operaciones con vectores gráficamente usando las reglas del triángulo y del paralelogramo.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo realizar operaciones con vectores gráficamente usando las reglas del triángulo y del paralelogramo. Comencemos recordando lo que sabemos sobre los vectores. Una cantidad vectorial tiene tamaño, el cual llamamos módulo o magnitud, y también tiene dirección y sentido. Los representamos en columnas o en filas, usando paréntesis de diferentes formas, y, por ejemplo, el vector dos, cinco representa un movimiento de dos unidades hacia la derecha y cinco unidades hacia arriba. Y el vector menos uno, menos cuatro representa un movimiento de una unidad hacia la izquierda y cuatro unidades hacia abajo.

De vez en cuando, usaremos la notación 𝑖 y 𝑗, donde 𝑖 es un vector unitario en la dirección horizontal y 𝑗 es un vector unitario en la dirección vertical. Gráficamente, un vector es representado mediante un segmento marcado con una flecha. Y decimos que el vector que va de A a B es el vector AB, con una flecha sobre A y B, como se muestra.

Los vectores se pueden sumar, restar y multiplicar por un escalar. Escalar es cómo se llama a un número real en este contexto. Y podemos usar los vectores para resolver problemas geométricos. Veamos un par de ejemplos para recordar cómo interpretamos los vectores representados en un plano de coordenadas.

Considera el vector en el diagrama a continuación. ¿Cuáles son las coordenadas de su punto terminal? ¿Cuáles son las coordenadas de su punto inicial? ¿Cuáles son las componentes (o coordenadas) del vector?

Decimos que un vector tiene un origen, que es el punto donde comienza, y un extremo, que es el punto donde termina. Por lo tanto, para hallar las coordenadas del extremo del vector en nuestro diagrama, o sea, del vector 𝐯, necesitamos hallar el punto en el que termina el segmento que representa ese vector. Recuerda, la flecha muestra la dirección del vector. En este caso, nos movemos de izquierda a derecha. Esto significa que el vector termina aquí. Por lo tanto, podemos decir que su punto terminal o extremo tiene coordenadas dos, uno.

A continuación, buscamos las coordenadas de su origen o punto inicial. Y recuerda, dijimos que ese es el inicio del segmento. Eso es aquí. Las coordenadas de este punto son menos uno, tres. Así que esas son las coordenadas del origen de nuestro vector.

La tercera y última parte de esta cuestión nos pide que encontremos las coordenadas del vector. Expresamos los vectores bidimensionales mediante componentes (o coordenadas) que representan el desplazamiento horizontal y el desplazamiento vertical por separado. Para ver cuáles son, vamos a agregar un triángulo rectángulo a nuestro vector 𝐯. Esto mostrará sus componentes horizontal y vertical. El triángulo rectángulo que añadimos es como se muestra.

Veamos el movimiento en dirección horizontal. Comenzamos en 𝑥 igual a menos uno, y nos movemos uno, dos, tres espacios a la derecha. A continuación, analizamos el movimiento vertical. Comenzamos en una coordenada 𝑦 de tres, y nos movemos una, dos unidades hacia abajo. Por lo tanto, podemos escribir el vector 𝐯 como se muestra. Podemos usar paréntesis o paréntesis angulares. Y el vector es tres, menos dos.

En nuestro segundo ejemplo, vamos a considerar lo que queremos decir con vectores equipolentes y cómo la geometría de un hexágono puede ayudarnos a identificarlos.

En la figura dada, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es un hexágono regular con centro 𝑚. Completa lo siguiente. ¿El vector AB es equipolente a qué? ¿(A) al vector BE (B) al vector FM, (C) al vector BM, (D) al vector DC o (E) al vector DM?

Decimos que dos vectores son iguales o equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Y esto es independientemente de dónde se encuentren. Por ejemplo, sea el vector 𝐚 igual a uno, tres y sea 𝐛 igual a uno, tres. Ambos representan un movimiento de una unidad hacia la derecha y tres unidades hacia arriba. Son vectores equipolentes. Decimos que el vector 𝐚 es igual al vector 𝐛.

Ahora, buscamos un vector que sea equipolente al vector AB. Realmente no conocemos oficialmente la magnitud y la dirección del vector AB. Pero podemos inferir sus vectores equipolentes de nuestro diagrama usando un poco de razonamiento geométrico. El vector AB representa un movimiento de A a B, como se muestra. Y sabemos que, en un hexágono regular, los lados opuestos son paralelos e iguales en longitud. También sabemos que podemos dividir un hexágono regular en seis triángulos equiláteros alrededor del centro. Y al hacerlo, sabemos que estos lados son paralelos a estos lados.

Como los triángulos son equiláteros, esto significa que cada uno de estos lados también debe tener la misma longitud. Y esto significa, además, que el vector AB tiene varios vectores equipolentes. Nos movemos de izquierda a derecha, y vemos que es equipolente al vector FM. Del mismo modo, es equipolente, es decir, es igual al vector MC. Y todavía hay otro vector equipolente. El vector ED es igual en módulo, dirección y sentido. De esos vectores en nuestra lista, podemos ver que la respuesta correcta es (B). Es el vector FM.

Fíjate en que, si el vector hubiera sido MF, no podríamos haber deducido que AB y MF son iguales. Sin embargo, podríamos decir que el vector AB es igual al vector menos MF, ya que cambiar el signo cambia el sentido del movimiento.

Ahora bien, en realidad hay muchos otros vectores equivalentes en nuestro hexágono regular. Tomemos el vector AF por ejemplo. Es igual en dirección y magnitud al vector BM por las mismas razones. Es equipolente al vector ME. Y cada uno de estos vectores también es equipolente al vector CD.

En este ejemplo, vamos a descubrir cómo calcular el valor del escalar usado para multiplicar un vector.

Dada la información en el diagrama a continuación, si el vector BC es igual a 𝑘 veces el vector ED, halla 𝑘.

En nuestro diagrama, nos han dado dos triángulos semejantes. Es decir, uno es una ampliación del otro. El triángulo 𝐀𝐃𝐄 ha sido ampliado a 𝐀𝐁𝐂. Sabemos esto porque el ángulo 𝐴 aquí es un ángulo común. Vemos que los ángulos 𝐴𝐸𝐷 y 𝐴𝐶𝐵 son iguales, así como los ángulos 𝐴𝐷𝐸 y 𝐴𝐵𝐶. Y esto se debe a que los ángulos correspondientes son iguales y sabemos que los lados 𝐸𝐷 y 𝐶𝐵 son paralelos.

Como los triángulos tienen ángulos iguales, son triángulos semejantes. Y esto significa que podemos calcular la razón de semejanza. Esta se obtiene dividiendo una longitud del triángulo agrandado por la longitud correspondiente del triángulo original. A veces escribimos esto como longitud nueva dividida por longitud anterior.

Si tomamos el triángulo agrandado como 𝐴𝐵𝐶 y el triángulo original como 𝐴𝐷𝐸, vemos que podemos hallar el factor de escala dividiendo la longitud 𝐴𝐵 por la longitud 𝐴𝐷. La longitud 𝐴𝐵 es, por supuesto, la suma de las dos longitudes dadas. Es 7.8 más 5.2, que es 13 centímetros. Así que el factor de escala de la ampliación aquí es 13 dividido por 5.2, que es cinco sobre dos.

El factor de escala es simplemente un multiplicador. Sabemos que para agrandar el triángulo 𝐴𝐷𝐸 a 𝐴𝐵𝐶, basta con multiplicar cualquiera de sus longitudes por el factor de escala cinco sobre dos. Ahora bien, estamos tratando de hallar una relación entre los vectores BC y ED. Bien, sabemos que la longitud 𝐶𝐵 debe ser cinco sobre dos por la longitud 𝐸𝐷. Pero como estas rectas también son paralelas, sabemos que tienen la misma dirección. Y esto significa que podemos decir que el vector CB es cinco sobre dos veces el vector ED.

El problema es que queremos expresar el vector BC en términos del vector ED. Y, en realidad, tenemos el vector CB en términos de ED. Así que estamos viajando en el sentido opuesto. Y recordamos que para hacer esto con vectores, cambiamos el signo, de modo que el vector BC es igual al vector menos CB. Acabamos de demostrar, pues, que el vector CB es cinco sobre dos veces el vector ED. Así que esto debe significar que el vector BC es menos cinco sobre dos veces el vector ED. Comparando esto con la igualdad original en la pregunta, vemos que 𝑘 es igual a menos cinco sobre dos.

En nuestro siguiente ejemplo, veremos cómo hallar la suma de dos vectores y qué queremos decir con la regla del triángulo para la suma de vectores.

El vector azul representa el número complejo 𝐳 uno. El vector verde representa el número complejo 𝐳 dos. ¿Qué representa el vector rojo?

No te preocupe que los nombres de los ejes no sean a los que estás acostumbrado. Vamos a ver que esto es esencialmente lo mismo que un plano 𝑥𝑦. Tenemos dos vectores, dados por 𝐳 uno y 𝐳 dos. Luego, si miramos la línea roja, vemos que va desde el origen de 𝐳 uno hasta el extremo, que es el punto terminal, de 𝐳 dos.

Cuando trabajamos con vectores, es útil pensar en ellos como trayectos en el metro. A veces queremos ir de una estación a otra pero no podemos llegar directamente. Y en vez de eso, vamos primero a una estación intermedia, cambiamos de tren y así nos dirigimos al destino final. Nuestro destino final es el mismo. Solo teníamos que hacerlo de una manera diferente. En este caso, el trayecto es desde el punto cero, cero hasta el punto siete, uno. En lugar de ir directamente allí, viajamos de cero, cero a dos, tres a lo largo del vector 𝐳 uno. Y luego viajamos de dos, tres a siete, uno a lo largo del vector 𝐳 dos.

En forma vectorial, decimos que nuestro viaje es 𝐳 uno más 𝐳 dos. Ahora, podemos verificar esto observando las componentes de cada vector. 𝐳 uno está dado por el vector dos, tres. Para ir desde el punto inicial al terminal de nuestro segundo vector, nos desplazamos cinco hacia la derecha y dos hacia abajo. Así que sus componentes son cinco, menos dos.

Dijimos que el vector rojo es la suma de estos. Dos, tres más cinco, menos dos. Bien, hallamos la suma de estos vectores sumando sus coordenadas. Sumamos dos y cinco para obtener siete. Luego sumamos tres y menos dos para obtener uno. Así que 𝐳 uno más 𝐳 dos es siete, uno. Y si lo comparamos con el vector rojo, vemos que también es siete, uno. El vector rojo representa 𝐳 uno más 𝐳 dos.

Ahora bien, el vector rojo tiene un nombre formal. Se llama el vector resultante de los vectores 𝐳 uno y 𝐳 dos. Y debido a la figura que forma, definimos la regla del triángulo para la suma de vectores de la siguiente manera. Decimos que, si dos vectores están representados como dos lados de un triángulo, entonces el tercer lado de ese triángulo representa el módulo y la dirección de su suma. Esto se muestra en el diagrama general. El vector AC es la suma de los vectores AB y BC. Y decimos que AC es igual a AB más BC.

En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo hallar la suma de dos vectores usando el método del paralelogramo.

La figura muestra dos vectores, 𝐯 y 𝐮, donde la magnitud de 𝐯 es igual a cinco y la magnitud de 𝐮 es igual a siete. Usa el método del paralelogramo para hallar el módulo de la suma de estos dos vectores. Da la respuesta con dos cifras decimales.

El método del paralelogramo se llama así por la figura que se crea, como se muestra en la figura. El método dice que si dos vectores que tienen un mismo origen pueden ser representados tanto en magnitud como en dirección por los lados adyacentes de un paralelogramo. Entonces el vector resultante tiene también el mismo origen y está representado por la diagonal del paralelogramo que pasa por ese punto.

Como muestra el diagrama, el vector resultante de 𝐯 y 𝐮, su suma, está dado por la diagonal del paralelogramo que está dibujada en rosa. ¿Pero cómo nos ayuda esto? Bien, nos han dado información sobre los módulos de los vectores 𝐮 y 𝐯. Recuerda, el módulo es el tamaño o la longitud del vector. Así que podemos señalar 𝐮 como siete unidades y 𝐯 como cinco unidades. También podemos agregar algunos ángulos faltantes. Sabemos que los ángulos interiores suman 180 grados. Y sabemos que estos lados son paralelos. Es un paralelogramo. Así que este ángulo aquí está dado por 180 menos 125, que es igual a 55 grados.

De hecho, podemos indicar las longitudes de dos lados más en nuestro paralelogramo. Sabemos que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud. Así que podemos señalar estos lados como cinco y siete. Y ahora vamos a dividir nuestro paralelogramo en dos triángulos. Estamos tratando de hallar la magnitud de 𝐯 más 𝐮, es decir, la longitud de esa línea diagonal.

Llamemos a esa longitud 𝑥 unidades. Ahora vemos que tenemos un triángulo no rectángulo, del cual conocemos las longitudes de dos de sus lados y el ángulo entre ellos. Esto significa que podemos usar la regla del coseno para hallar la longitud faltante 𝑥. La regla del coseno dice que 𝑎 al cuadrado es igual a 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado menos dos 𝑏𝑐 cos 𝐴. Como el ángulo que tenemos es de 55 grados, llamamos este vértice 𝐴. Entonces el lado opuesto es 𝑎 minúscula. Podemos nombrar los otros dos lados en cualquier orden. Señalemos cinco como 𝑏 y siete como 𝑐.

Y ahora podemos sustituir todo lo que sabemos sobre nuestro triángulo en esta fórmula. Y obtenemos 𝑥 al cuadrado es igual a cinco al cuadrado más siete al cuadrado menos dos por cinco por siete por cos de 55 grados. Evaluar esta expresión en el lado derecho nos da 33.84 etcétera. Ahora, vamos a despejar 𝑥 sacando la raíz cuadrada de ambos lados. Eso nos da 5.818 etcétera, que, con dos cifras decimales, es 5.82. Hallamos que la longitud de 𝑥 es 5.82 unidades, lo que significa que la magnitud de la suma de 𝐮 y 𝐯 es 5.82.

Resumamos pues, los puntos clave de este video. En este video, hemos aprendido que los vectores pueden ser descritos por su origen o punto de inicio, y su extremo o punto final; o usando sus coordenadas. Y estas coordenadas (o componentes) representan las partes horizontales y verticales del movimiento. Hemos visto que podemos usar las propiedades geométricas de las figuras para resolver problemas de vectores equipolentes y para hallar el factor que relaciona dos vectores paralelos.

Hemos aprendido sobre la regla del triángulo. La cual dice que si dos vectores están representados por dos lados de un triángulo, entonces el tercer lado de ese triángulo representa la magnitud y la dirección del vector resultante. Si nuestros dos vectores son 𝐚 y 𝐛, el vector resultante es 𝐚 más 𝐛. Y, por supuesto, lo marcamos con una flecha como se muestra.

Para terminar, hemos aprendido sobre el método del paralelogramo. Este dice que si dos vectores tienen un origen común y están representados en magnitud, dirección y sentido por lados contiguos de un paralelogramo dibujado desde un punto. Entonces el vector resultante está representado en magnitud, dirección y sentido por la diagonal del paralelogramo que pasa por ese punto, como se muestra.

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