Lesson Video: Multiplicación y división de funciones racionales | Nagwa Lesson Video: Multiplicación y división de funciones racionales | Nagwa

Lesson Video: Multiplicaci贸n y divisi贸n de funciones racionales Matemáticas

En este video, vamos a aprender c贸mo multiplicar y dividir funciones racionales.

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En este video, vamos a aprender c贸mo multiplicar y dividir funciones racionales. Una funci贸n 饾憮 de dominio 饾憢 y rango 饾憣 se llama funci贸n racional si se puede escribir en la forma 饾憮 de 饾懃 igual a 饾憹 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃, donde 饾憹 y 饾憺 son polinomios y 饾憺 de 饾懃 no es igual a cero para todos los valores 饾懃 en su dominio 饾憢. El dominio 饾憢 depende del polinomio en el denominador, 饾憺. Todo valor de 饾懃 para el cual 饾憺 de 饾懃 es igual a cero debe ser excluido del dominio 饾憢 porque de lo contrario estar铆amos dividiendo por cero y 饾憮 de 饾懃 no estar铆a definida.

Veamos lo que sucede cuando multiplicamos dos funciones racionales. Recuerda que, si tomamos dos n煤meros racionales, 饾憹 sobre 饾憺 y 饾憻 sobre 饾憼, y los multiplicamos, su producto es 饾憹饾憻 sobre 饾憺饾憼. Multiplicamos los numeradores 饾憹 y 饾憻 para obtener el nuevo numerador 饾憹饾憻. Y multiplicamos los denominadores 饾憺 y 饾憼 para obtener el nuevo denominador 饾憺饾憼. Las expresiones racionales funcionan exactamente de la misma manera. Supongamos que tenemos dos expresiones racionales: 饾憯 de 饾懃 igual a 饾憹 de 饾憺 sobre 饾憺 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃 igual a 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃. Para multiplicar estas dos expresiones, las tratamos igual que a los n煤meros racionales. Tomamos los numeradores y los multiplicamos para obtener el nuevo numerador. Y tomamos los denominadores y los multiplicamos para obtener el nuevo denominador.

Esto nos lleva al siguiente resultado. Sean 饾憯 de 饾懃 igual a 饾憹 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃 igual a 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃 dos funciones racionales. Supongamos que su producto 饾憯 de 饾懃 鈩 de 饾懃 es igual a 饾憮 de 饾懃. Entonces 饾憮 de 饾懃 es igual a 饾憹 de 饾懃 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 饾憼 de 饾懃, y el dominio de 饾憮 de 饾懃 es la intersecci贸n de los dominios de 饾憯 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃. El dominio com煤n de 饾憯 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃 es el dominio de 饾憯 intersecado con el dominio de 鈩, es decir, todos los elementos que son comunes a ambos dominios. Podemos obtener este dominio com煤n hallando todos los valores de 饾懃 que hacen que 饾憺 de 饾懃 o 饾憼 de 饾懃 sea cero y, por lo tanto, que 饾憮 de 饾懃 no est茅 definida, y elimin谩ndolos del conjunto de los n煤meros reales.

Veamos un ejemplo sencillo. 饾憯 de 饾懃 es igual a dos sobre 饾懃 menos tres, y 鈩 de 饾懃 es igual a cuatro 饾懃 m谩s uno sobre 饾懃. Para hallar el producto de 饾憯 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃, tomamos los numeradores y los multiplicamos, y tomamos los denominadores y los multiplicamos. Esto nos da dos por cuatro 饾懃 m谩s uno sobre 饾懃 menos tres por 饾懃. El dominio de 饾憮 son los n煤meros reales menos todos los valores de 饾懃 que hacen que 饾憮 de 饾懃 no est茅 definida. Los valores de 饾懃 que hacen que 饾憮 de 饾懃 no est茅 definida son los mismos valores de 饾懃 que hacen que 饾憯 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃 no est茅n definidas.

El valor de 饾懃 que hace que 饾憯 de 饾懃 no est茅 definido satisface la ecuaci贸n 饾懃 menos tres igual a cero. Por lo tanto, 饾憯 de 饾懃 no est谩 definida en 饾懃 igual a tres. El valor de 饾懃 que hace que 鈩 de 饾懃 no est茅 definida satisface la ecuaci贸n 饾懃 igual a cero. Por lo tanto, 鈩 de 饾懃 no est谩 definida en 饾懃 igual a cero. Como 饾憮 de 饾懃 es el producto de 饾憯 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃, no est谩 definida en 饾懃 igual a cero y en 饾懃 igual a tres. Por lo tanto, el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos el conjunto de los valores cero y tres. Al hallar el producto de dos funciones racionales, siempre necesitamos hallar el dominio de la funci贸n resultante antes de simplificarla.

Considera, por ejemplo, que tenemos 饾憮 de 饾懃 igual a 饾懃 al cuadrado sobre 饾懃 menos uno por 饾懃 menos uno sobre 饾懃. Este producto nos da 饾懃 al cuadrado por 饾懃 menos uno sobre 饾懃 menos uno por 饾懃. Si simplificamos esta expresi贸n primero cancelando los 饾懃 menos unos en el numerador y el denominador, y luego uno de los 饾懃 en el numerador con el 饾懃 en el denominador, obtenemos 饾憮 de 饾懃 igual a 饾懃, una funci贸n que est谩 definida para todo valor real de 饾懃. Pero esto ignora el hecho de que el producto original no estaba definido en dos valores de 饾懃, 饾懃 igual a uno y 饾懃 igual a cero. Por lo tanto, es crucial que hallemos el dominio de 饾憮 antes de cancelar cualquier factor en la expresi贸n.

Veamos ahora una cuesti贸n como ejemplo.

Simplifica la funci贸n 饾憮 de 饾懃 igual a 饾懃 al cuadrado m谩s 16饾懃 m谩s 64 sobre 饾懃 al cuadrado m谩s ocho 饾懃 por siete 饾懃 menos 56 sobre 64 menos 饾懃 al cuadrado, y determina su dominio.

La mejor manera de abordar un problema como este es descomponer en factores las expresiones antes de hallar el producto. En el primer cociente, tanto el numerador como el denominador son cuadr谩ticos y pueden ser factorizados. Consideremos primero el numerador. Esta expresi贸n se puede factorizar como 饾懃 m谩s ocho por 饾懃 m谩s ocho, que se puede reescribir como 饾懃 m谩s ocho al cuadrado. Ahora, veamos el denominador. Esto se puede factorizar a 饾懃 por 饾懃 m谩s ocho. Veamos tambi茅n el numerador del segundo t茅rmino. Aqu铆, podemos sacar un factor com煤n de siete para obtener siete por 饾懃 menos ocho. Y finalmente, para el denominador del segundo t茅rmino, tenemos una diferencia de dos cuadrados ya que 64 es igual a ocho al cuadrado. Por lo tanto, podemos factorizar esto como ocho menos 饾懃 por ocho m谩s 饾懃.

Y, podemos expresar la totalidad de 饾憮 de 饾懃 como 饾懃 m谩s ocho todo al cuadrado sobre 饾懃 por 饾懃 m谩s ocho por siete por 饾懃 menos ocho sobre ocho menos 饾懃 por ocho m谩s 饾懃. Necesitamos hallar el dominio de 饾憮 de 饾懃 antes de hacer el producto y simplificar mediante cancelaciones. 饾憮 de 饾懃 no est谩 definido si alguno de los factores en los productos en el denominador es igual a cero. Entonces, si 饾懃 es igual a cero, 饾懃 m谩s ocho es igual a cero, ocho menos 饾懃 es igual a cero u ocho m谩s 饾懃 es igual a cero.

Los valores de 饾懃 para los cuales 饾憮 de 饾懃 no est谩 definido son los valores que satisfacen alguna de estas ecuaciones. As铆 que tenemos 饾懃 igual a cero, 饾懃 igual a menos ocho, 饾懃 igual a ocho y 饾懃 igual a menos ocho una vez m谩s. Por lo tanto, el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos el conjunto de valores menos ocho, cero y ocho. Por supuesto, no ponemos menos ocho dos veces.

Y ahora podemos continuar y cancelar t茅rminos para simplificar las expresiones. Para el primer t茅rmino en el producto, podemos cancelar uno de los 饾懃 m谩s ocho en el numerador con 饾懃 m谩s ocho en el denominador. Y para el segundo t茅rmino, observa que uno de los t茅rminos en el numerador, 饾懃 menos ocho, es exactamente menos uno por uno de los t茅rminos en el denominador, ocho menos 饾懃. Si sacamos un factor com煤n menos uno de 饾懃 menos ocho en el numerador, se convierte en ocho menos 饾懃. Esto luego se cancelar谩 con el t茅rmino en el denominador. As铆 que hemos simplificado 饾憮 de 饾懃 a 饾懃 m谩s ocho sobre 饾懃 por menos siete sobre ocho m谩s 饾懃.

Si hallamos este producto multiplicando los numeradores y los denominadores, obtenemos 饾懃 m谩s ocho por menos siete partido por 饾懃 por ocho m谩s 饾懃. El 饾懃 m谩s ocho en el numerador se cancelar谩 con el ocho m谩s 饾懃 en el denominador. Esto nos da la otra parte de nuestra respuesta, 饾憮 de 饾懃 es igual a menos siete sobre 饾懃.

En este ejemplo, hemos trabajado con expresiones cuadr谩ticas en los numeradores y denominadores. Veamos un ejemplo donde tenemos expresiones c煤bicas.

Simplifica la funci贸n 饾憮 de 饾懃 igual a 饾懃 al cubo m谩s 343 sobre dos 饾懃 al cuadrado m谩s 14饾懃, todo multiplicado por 饾懃 m谩s tres sobre 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s 49, y determina su dominio.

Antes de hallar el producto, es mejor simplificar por factorizaci贸n las expresiones tanto como sea posible, y esto nos permitir谩 tambi茅n determinar f谩cilmente 饾憮 el dominio de 饾懃. Comencemos con el numerador del primer t茅rmino, 饾懃 al cubo m谩s 343. Recuerda que, si tenemos una suma de dos cubos, 饾懃 al cubo y 饾憪 al cubo, podemos factorizar esta expresi贸n como 饾懃 m谩s 饾憪 por 饾懃 al cuadrado menos 饾憪饾懃 m谩s 饾憪 al cuadrado. La expresi贸n aqu铆 es una suma de dos cubos ya que tenemos 饾懃 al cubo y 343, que ser谩 algo al cubo. De hecho, 343 es exactamente siete al cubo. Por lo tanto, podemos descomponer en factores esta expresi贸n para obtener 饾懃 m谩s siete por 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s siete al cuadrado, que es 49.

Podr铆amos intentar factorizar esto a煤n m谩s factorizando este t茅rmino cuadr谩tico. Sin embargo, si calculamos el discriminante de este t茅rmino cuadr谩tico, 饾憦 al cuadrado menos cuatro 饾憥饾憪, obtenemos menos 147, que es menor que cero. Por lo tanto, esta expresi贸n no tiene ra铆ces reales y no se puede descomponer en factores. A continuaci贸n, mirando el denominador del primer t茅rmino, dos al cuadrado m谩s 14饾懃, esto se puede factorizar sacando un factor com煤n de dos 饾懃 para obtener dos 饾懃 por 饾懃 m谩s siete. El numerador en el t茅rmino de la derecha, 饾懃 m谩s tres, ya est谩 lo m谩s simplificado posible. Y en el denominador del t茅rmino de la derecha, tenemos exactamente la misma expresi贸n que aqu铆, 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s 49. Por lo tanto, esto no se puede descomponer en factores.

As铆 que hemos simplificado 饾憮 de 饾懃 a 饾懃 m谩s siete por 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s 49 sobre dos 饾懃 por 饾懃 m谩s siete por 饾懃 m谩s tres sobre 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s 49. Antes de simplificar el producto, necesitamos establecer el dominio de 饾憮 hallando para ello todos los valores de 饾懃 para los cuales 饾憮 de 饾懃 no est谩 definida y quit谩ndolos del conjunto de los n煤meros reales. 饾憮 de 饾懃 no estar谩 definida en todo valor de 饾懃 que haga que alguno de los denominadores en este producto sea igual a cero. Por lo tanto, estos valores de 饾懃 satisfar谩n que dos 饾懃 es igual a cero, que 饾懃 m谩s siete es igual a cero, o que 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s 49 es igual a cero. Estas dos primeras ecuaciones las podemos resolver f谩cilmente para obtener 饾懃 igual a cero y 饾懃 igual a menos siete.

Con respecto a la ecuaci贸n final, ya hemos demostrado que esta expresi贸n cuadr谩tica tiene un discriminante menor que cero y, por lo tanto, no tiene soluciones reales. Por lo tanto, no hay valores de 饾懃 que hagan que esta expresi贸n sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 excepto los valores cero y siete. Ahora, podemos proceder a multiplicar estas dos expresiones multiplicando para ello los numeradores y los denominadores para obtener 饾懃 m谩s siete por 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s 49 por 饾懃 m谩s tres todo sobre dos 饾懃 por 饾懃 m谩s siete por 饾懃 al cuadrado. menos siete 饾懃 m谩s 49.

Como hemos hallado el dominio de 饾憮, podemos cancelar sin problemas t茅rminos. El 饾懃 m谩s siete en el numerador se cancelar谩 con el 饾懃 m谩s siete en el denominador. Y 饾懃 al cuadrado menos siete 饾懃 m谩s 49 en el numerador se cancelar谩 con lo mismo en el denominador. Y esto nos da la otra parte de nuestra respuesta, que es 饾憮 de 饾懃 es igual a 饾懃 m谩s tres sobre dos 饾懃.

A veces, en lugar de hallar el dominio de un producto de expresiones racionales, simplemente necesitamos hallar el valor de la funci贸n en un punto dado. En esta situaci贸n, no necesitamos simplificar ni cancelar ning煤n t茅rmino, pues necesitamos simplemente sustituimos el valor de 饾懃 en la expresi贸n. Veamos un ejemplo.

Sabiendo que la funci贸n 饾憮 de 饾懃 es igual a 饾懃 menos seis, partido por 饾懃 al cuadrado menos 15饾懃 m谩s 54, multiplicado por 饾懃 al cuadrado menos tres 饾懃 menos 28, partido por dos 饾懃 al cuadrado menos 15饾懃 m谩s siete, halla 饾憮 de siete si es posible.

Para hallar 饾憮 de siete, todo lo que necesitamos hacer es sustituir 饾懃 por siete en la expresi贸n y operar. Hacerlo nos da 饾憮 de siete igual a siete menos seis sobre siete al cuadrado menos 15 por siete m谩s 54, todo multiplicado por siete al cuadrado menos tres por siete menos 28 sobre dos por siete al cuadrado menos 15 por siete m谩s siete. Simplificando ambos t茅rminos en la expresi贸n obtenemos uno dividido por menos dos por cero dividido por cero, que no est谩 definido. Por lo tanto, no podemos calcular 饾憮 de siete porque 饾憮 no est谩 definida en este punto.

Hasta ahora hemos explorado c贸mo multiplicar dos expresiones racionales. Pero 驴y si queremos dividir una expresi贸n racional por otra? Considera c贸mo hacemos esto con n煤meros racionales, digamos, 饾憹 sobre 饾憺 y 饾憻 sobre 饾憼. Para hacer 饾憹 sobre 饾憺 dividido por 饾憻 sobre 饾憼, intercambiamos el segundo n煤mero racional, 饾憻 sobre 饾憼, y luego hacemos el producto. Esto nos da 饾憹 sobre 饾憺 multiplicado por 饾憼 sobre 饾憻. Luego, multiplicamos como de costumbre, obteniendo 饾憹饾憼 sobre 饾憺饾憻. Recuerda tambi茅n que, al dividir n煤meros racionales, debemos tener a煤n m谩s cuidado con los ceros.

Para empezar, tanto 饾憺 como 饾憼 deben ser diferentes de cero para que los n煤meros racionales est茅n definidos. Pero luego, al tomar el producto, 饾憻 tambi茅n debe ser distinto de cero ya que estamos dividiendo por 茅l aqu铆. Lo mismo se aplica a las expresiones racionales. Si 饾憯 de 饾懃 igual a 饾憹 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 y 鈩 de 饾懃 igual a 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃 son dos expresiones racionales y su cociente es 饾憮 de 饾懃 igual a 饾憯 de 饾懃 sobre 鈩 de 饾懃, entonces 饾憮 de 饾懃 es igual a 饾憹 de 饾懃 饾憼 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 饾憻 de 饾懃. Y el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos 饾憤 de 饾憺 de 饾懃 menos 饾憤 de 饾憻 de 饾懃 menos 饾憤 de 饾憼 de 饾懃. 饾憤 denota los ceros de una funci贸n.

As铆 que, por ejemplo, 饾憤 de 饾憺 de 饾懃 es el conjunto de valores de 饾懃 que satisfacen 饾憺 de 饾懃 igual a cero. Necesitamos quitar los ceros de 饾憺 de 饾懃, 饾憻 de 饾懃 y 饾憼 de 饾懃 del dominio de 饾憮 porque al estar 饾憺, 饾憻 y 饾憼 en alg煤n denominador, no pueden ser iguales a cero.

Veamos exactamente c贸mo funciona esto con un ejemplo.

Determina el dominio de la funci贸n 饾憮 de 饾懃 igual a tres 饾懃 menos 15, partido por 饾懃 menos seis, todo dividido por seis 饾懃 menos 30, partido por cuatro 饾懃 menos 24.

Recordemos que cuando tenemos una funci贸n 饾憮 de 饾懃 que es el cociente de dos expresiones racionales, 饾憹 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 y 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃, necesitamos asegurarnos de excluir cualquier valor de 饾懃 del dominio de 饾憮 que satisface 饾憺 de 饾懃 es igual a cero, 饾憻 de 饾懃 es igual a cero y 饾憼 de 饾懃 es igual a cero. 饾憺 de 饾懃 y 饾憼 de 饾懃 nunca deben ser iguales a cero porque entonces estar铆amos dividiendo por cero y 饾憮 no estar铆a definida. Adem谩s, 饾憻 de 饾懃 tampoco debe ser igual a cero ya que al tomar el cociente aqu铆, estamos tomando el rec铆proco de 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃 y luego multiplicamos las dos fracciones. As铆 que el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos 饾憤 de 饾憺 de 饾懃 menos 饾憤 de 饾憻 de 饾懃 menos 饾憤 de 饾憼 de 饾懃, donde 饾憤 denota los ceros de la funci贸n, es decir, los valores de 饾懃 para los cuales la funci贸n es igual a cero.

En nuestro caso, 饾憺 de 饾懃 es igual a 饾懃 menos seis, 饾憻 de 饾懃 es seis 饾懃 menos 30 y 饾憼 de 饾懃 es cuatro 饾懃 menos 24. Por lo tanto, necesitamos resolver estas tres ecuaciones para 饾懃 y restar estos valores de 饾懃 del conjunto de n煤meros reales para obtener el dominio de 饾憮. La primera ecuaci贸n da 饾懃 igual a seis, la segunda ecuaci贸n da 饾懃 igual a cinco y la tercera ecuaci贸n da 饾懃 igual a seis una vez m谩s. Concluimos que el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos el conjunto formado por los valores cinco y seis. Y, por supuesto, no ponemos seis dos veces.

En nuestro 煤ltimo ejemplo, vamos a ver el cociente de funciones racionales que contienen expresiones c煤bicas.

Simplifica la funci贸n 饾憮 de 饾懃 igual a 饾懃 al cuadrado menos 12饾懃 m谩s 36, sobre 饾懃 al cubo menos 216, todo dividido por siete 饾懃 menos 42, sobre 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36, y determina su dominio.

Para simplificar 饾憮 de 饾懃, comencemos por descomponer en factores cada uno de los t茅rminos en las expresiones racionales, empezando con el numerador del t茅rmino de la izquierda, 饾懃 al cuadrado menos 12饾懃 m谩s 36. Esto se descompone en factores f谩cilmente a 饾懃 menos seis por 饾懃 menos seis, que es 饾懃 menos seis al cuadrado. Para el denominador del t茅rmino de la izquierda, tenemos una diferencia de dos cubos. Recuerda que cuando tenemos una diferencia de dos cubos, 饾懃 al cubo menos 饾憪 al cubo, podemos factorizar esto como 饾懃 menos 饾憪 por 饾懃 al cuadrado m谩s 饾憪饾懃 m谩s 饾憪 al cuadrado. 216 ser谩 algo al cubo, y, efectivamente, es un cubo perfecto, seis al cubo. Por lo tanto, podemos factorizar esto como 饾懃 menos seis por 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s seis al cuadrado, que es 36.

Vamos a intentar factorizar a煤n m谩s esta expresi贸n cuadr谩tica. Tomando el discriminante 饾憦 al cuadrado menos cuatro 饾憥饾憪, obtenemos un resultado de menos 108, que es menor que cero. Por lo tanto, esta expresi贸n cuadr谩tica no tiene ra铆ces reales y no se puede descomponer en factores. Para el numerador de la segunda expresi贸n racional, tenemos siete 饾懃 menos 42. Podemos sacar un factor com煤n de siete para obtener siete por 饾懃 menos seis. Y finalmente, para el denominador de la segunda expresi贸n racional, tenemos 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36. Acabamos de demostrar que esta expresi贸n no tiene ra铆ces reales y, por lo tanto, no se puede factorizar.

As铆 que podemos expresar 饾憮 de 饾懃 como 饾懃 menos seis todo al cuadrado, partido por 饾懃 menos seis por 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36, todo dividido por siete por 饾懃 menos seis, partido por 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36. Recordemos que, si tenemos una funci贸n 饾憮 de 饾懃 que es el cociente de dos funciones racionales, 饾憹 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 y 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃, el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos 饾憤 de 饾憺 de 饾懃 menos 饾憤 de 饾憻 de 饾懃 menos 饾憤 de 饾憼 de 饾懃, donde 饾憤 denota los ceros de la funci贸n. En nuestro caso, 饾憺 de 饾懃 es el denominador de la primera funci贸n racional, 饾懃 menos seis por 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36. 饾憻 de 饾懃 es el numerador de la segunda funci贸n racional, siete por 饾懃 menos seis. Y 饾憼 de 饾懃 es el denominador de la segunda funci贸n racional, 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36.

Necesitamos hallar todos los valores de 饾懃 que satisfacen alguna de las ecuaciones 饾憺 de 饾懃 igual a cero, 饾憻 de 饾懃 igual a cero o 饾憼 de 饾懃 igual a cero, y quitarlos del conjunto de n煤meros reales para as铆 hallar el dominio de 饾憮. Para la primera ecuaci贸n, 饾懃 menos seis debe ser igual a cero o 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36 debe ser igual a cero. Si 饾懃 menos seis es igual a cero, 饾懃 es igual a seis.

En relaci贸n con esta expresi贸n cuadr谩tica, ya vimos anteriormente que el discriminante, 饾憦 al cuadrado menos cuatro 饾憥饾憪, es menor que cero. Por lo tanto, esta expresi贸n no tiene ra铆ces reales y no puede ser igual a cero para ning煤n valor real de 饾懃. La segunda ecuaci贸n se puede resolver f谩cilmente, y da 饾懃 igual a seis, una vez m谩s. Y con respecto a la tercera ecuaci贸n, tenemos exactamente la misma expresi贸n cuadr谩tica con el discriminante menor que cero. Lo que implica que no hay valores reales de 饾懃 que resuelvan esta ecuaci贸n. Por lo tanto, el 煤nico valor de 饾懃 para el cual alguna de estas funciones es igual a cero es seis. Y el dominio de 饾憮 es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos el elemento seis.

Ahora ya podemos seguir adelante con la divisi贸n y simplificando. Para hallar el cociente, escribimos el rec铆proco de la expresi贸n racional en el divisor. Intercambiamos el numerador y el denominador y luego cambiamos la divisi贸n a la multiplicaci贸n. Multiplicando todos los numeradores y los denominadores, obtenemos 饾懃 menos seis, todo al cuadrado, por 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36, todo sobre 饾懃 menos seis por 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36 por siete por 饾懃 menos seis. 饾懃 menos seis todo al cuadrado en el numerador se cancelar谩 con ambos t茅rminos 饾懃 menos seis en el denominador. Y 饾懃 al cuadrado m谩s seis 饾懃 m谩s 36 se cancelar谩 con lo mismo en el denominador. Esto nos deja con solo uno en el numerador y siete en el denominador, por lo que 饾憮 de 饾懃 es igual a un s茅ptimo.

Terminemos este video recapitulando algunos puntos clave. Si tenemos dos expresiones racionales, 饾憹 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 y 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃, su producto est谩 dado por 饾憹 de 饾懃 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憺 de 饾懃 饾憼 de 饾懃. El dominio de la funci贸n resultante es el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos los valores de 饾懃 que hacen que la funci贸n no est茅 definida, es decir, los ceros de 饾憺 de 饾懃 y 饾憼 de 饾懃. Para hallar el cociente de dos expresiones racionales, damos la vuelta a la funci贸n racional que divide, 饾憻 de 饾懃 sobre 饾憼 de 饾懃, intercambiando el numerador con el denominador. Y luego multiplicamos las dos expresiones racionales resultantes, obteniendo 饾憹 de 饾懃 饾憼 de 饾懃, partido por 饾憺 de 饾懃 饾憻 de 饾懃. El dominio de la funci贸n resultante ser谩 el conjunto de los n煤meros reales 鈩 menos los ceros de 饾憺 de 饾懃, 饾憻 de 饾懃 y 饾憼 de 饾懃.

Recuerda que necesitamos eliminar tambi茅n los ceros de 饾憻 de 饾懃 porque este polinomio est谩 en el denominador de la funci贸n resultante. Por lo tanto, si este polinomio vale cero la funci贸n resultante no est谩 definida. Recuerda tambi茅n que debemos hallar el dominio de la funci贸n resultante antes de simplificar y cancelar cualquier t茅rmino.

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