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Vídeo de la lección: Multiplicación y división de funciones racionales Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo multiplicar y dividir funciones racionales.

22:01

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo multiplicar y dividir funciones racionales. Una función 𝑓 de dominio 𝑋 y rango 𝑌 se llama función racional si se puede escribir en la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, donde 𝑝 y 𝑞 son polinomios y 𝑞 de 𝑥 no es igual a cero para todos los valores 𝑥 en su dominio 𝑋. El dominio 𝑋 depende del polinomio en el denominador, 𝑞. Todo valor de 𝑥 para el cual 𝑞 de 𝑥 es igual a cero debe ser excluido del dominio 𝑋 porque de lo contrario estaríamos dividiendo por cero y 𝑓 de 𝑥 no estaría definida.

Veamos lo que sucede cuando multiplicamos dos funciones racionales. Recuerda que, si tomamos dos números racionales, 𝑝 sobre 𝑞 y 𝑟 sobre 𝑠, y los multiplicamos, su producto es 𝑝𝑟 sobre 𝑞𝑠. Multiplicamos los numeradores 𝑝 y 𝑟 para obtener el nuevo numerador 𝑝𝑟. Y multiplicamos los denominadores 𝑞 y 𝑠 para obtener el nuevo denominador 𝑞𝑠. Las expresiones racionales funcionan exactamente de la misma manera. Supongamos que tenemos dos expresiones racionales: 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑝 de 𝑞 sobre 𝑞 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 igual a 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥. Para multiplicar estas dos expresiones, las tratamos igual que a los números racionales. Tomamos los numeradores y los multiplicamos para obtener el nuevo numerador. Y tomamos los denominadores y los multiplicamos para obtener el nuevo denominador.

Esto nos lleva al siguiente resultado. Sean 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 igual a 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥 dos funciones racionales. Supongamos que su producto 𝑔 de 𝑥 ℎ de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥. Entonces 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑝 de 𝑥 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 𝑠 de 𝑥, y el dominio de 𝑓 de 𝑥 es la intersección de los dominios de 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥. El dominio común de 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 es el dominio de 𝑔 intersecado con el dominio de ℎ, es decir, todos los elementos que son comunes a ambos dominios. Podemos obtener este dominio común hallando todos los valores de 𝑥 que hacen que 𝑞 de 𝑥 o 𝑠 de 𝑥 sea cero y, por lo tanto, que 𝑓 de 𝑥 no esté definida, y eliminándolos del conjunto de los números reales.

Veamos un ejemplo sencillo. 𝑔 de 𝑥 es igual a dos sobre 𝑥 menos tres, y ℎ de 𝑥 es igual a cuatro 𝑥 más uno sobre 𝑥. Para hallar el producto de 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥, tomamos los numeradores y los multiplicamos, y tomamos los denominadores y los multiplicamos. Esto nos da dos por cuatro 𝑥 más uno sobre 𝑥 menos tres por 𝑥. El dominio de 𝑓 son los números reales menos todos los valores de 𝑥 que hacen que 𝑓 de 𝑥 no esté definida. Los valores de 𝑥 que hacen que 𝑓 de 𝑥 no esté definida son los mismos valores de 𝑥 que hacen que 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 no estén definidas.

El valor de 𝑥 que hace que 𝑔 de 𝑥 no esté definido satisface la ecuación 𝑥 menos tres igual a cero. Por lo tanto, 𝑔 de 𝑥 no está definida en 𝑥 igual a tres. El valor de 𝑥 que hace que ℎ de 𝑥 no esté definida satisface la ecuación 𝑥 igual a cero. Por lo tanto, ℎ de 𝑥 no está definida en 𝑥 igual a cero. Como 𝑓 de 𝑥 es el producto de 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥, no está definida en 𝑥 igual a cero y en 𝑥 igual a tres. Por lo tanto, el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ menos el conjunto de los valores cero y tres. Al hallar el producto de dos funciones racionales, siempre necesitamos hallar el dominio de la función resultante antes de simplificarla.

Considera, por ejemplo, que tenemos 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 menos uno por 𝑥 menos uno sobre 𝑥. Este producto nos da 𝑥 al cuadrado por 𝑥 menos uno sobre 𝑥 menos uno por 𝑥. Si simplificamos esta expresión primero cancelando los 𝑥 menos unos en el numerador y el denominador, y luego uno de los 𝑥 en el numerador con el 𝑥 en el denominador, obtenemos 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥, una función que está definida para todo valor real de 𝑥. Pero esto ignora el hecho de que el producto original no estaba definido en dos valores de 𝑥, 𝑥 igual a uno y 𝑥 igual a cero. Por lo tanto, es crucial que hallemos el dominio de 𝑓 antes de cancelar cualquier factor en la expresión.

Veamos ahora una cuestión como ejemplo.

Simplifica la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más 16𝑥 más 64 sobre 𝑥 al cuadrado más ocho 𝑥 por siete 𝑥 menos 56 sobre 64 menos 𝑥 al cuadrado, y determina su dominio.

La mejor manera de abordar un problema como este es descomponer en factores las expresiones antes de hallar el producto. En el primer cociente, tanto el numerador como el denominador son cuadráticos y pueden ser factorizados. Consideremos primero el numerador. Esta expresión se puede factorizar como 𝑥 más ocho por 𝑥 más ocho, que se puede reescribir como 𝑥 más ocho al cuadrado. Ahora, veamos el denominador. Esto se puede factorizar a 𝑥 por 𝑥 más ocho. Veamos también el numerador del segundo término. Aquí, podemos sacar un factor común de siete para obtener siete por 𝑥 menos ocho. Y finalmente, para el denominador del segundo término, tenemos una diferencia de dos cuadrados ya que 64 es igual a ocho al cuadrado. Por lo tanto, podemos factorizar esto como ocho menos 𝑥 por ocho más 𝑥.

Y, podemos expresar la totalidad de 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 más ocho todo al cuadrado sobre 𝑥 por 𝑥 más ocho por siete por 𝑥 menos ocho sobre ocho menos 𝑥 por ocho más 𝑥. Necesitamos hallar el dominio de 𝑓 de 𝑥 antes de hacer el producto y simplificar mediante cancelaciones. 𝑓 de 𝑥 no está definido si alguno de los factores en los productos en el denominador es igual a cero. Entonces, si 𝑥 es igual a cero, 𝑥 más ocho es igual a cero, ocho menos 𝑥 es igual a cero u ocho más 𝑥 es igual a cero.

Los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 de 𝑥 no está definido son los valores que satisfacen alguna de estas ecuaciones. Así que tenemos 𝑥 igual a cero, 𝑥 igual a menos ocho, 𝑥 igual a ocho y 𝑥 igual a menos ocho una vez más. Por lo tanto, el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ menos el conjunto de valores menos ocho, cero y ocho. Por supuesto, no ponemos menos ocho dos veces.

Y ahora podemos continuar y cancelar términos para simplificar las expresiones. Para el primer término en el producto, podemos cancelar uno de los 𝑥 más ocho en el numerador con 𝑥 más ocho en el denominador. Y para el segundo término, observa que uno de los términos en el numerador, 𝑥 menos ocho, es exactamente menos uno por uno de los términos en el denominador, ocho menos 𝑥. Si sacamos un factor común menos uno de 𝑥 menos ocho en el numerador, se convierte en ocho menos 𝑥. Esto luego se cancelará con el término en el denominador. Así que hemos simplificado 𝑓 de 𝑥 a 𝑥 más ocho sobre 𝑥 por menos siete sobre ocho más 𝑥.

Si hallamos este producto multiplicando los numeradores y los denominadores, obtenemos 𝑥 más ocho por menos siete partido por 𝑥 por ocho más 𝑥. El 𝑥 más ocho en el numerador se cancelará con el ocho más 𝑥 en el denominador. Esto nos da la otra parte de nuestra respuesta, 𝑓 de 𝑥 es igual a menos siete sobre 𝑥.

En este ejemplo, hemos trabajado con expresiones cuadráticas en los numeradores y denominadores. Veamos un ejemplo donde tenemos expresiones cúbicas.

Simplifica la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo más 343 sobre dos 𝑥 al cuadrado más 14𝑥, todo multiplicado por 𝑥 más tres sobre 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49, y determina su dominio.

Antes de hallar el producto, es mejor simplificar por factorización las expresiones tanto como sea posible, y esto nos permitirá también determinar fácilmente 𝑓 el dominio de 𝑥. Comencemos con el numerador del primer término, 𝑥 al cubo más 343. Recuerda que, si tenemos una suma de dos cubos, 𝑥 al cubo y 𝑐 al cubo, podemos factorizar esta expresión como 𝑥 más 𝑐 por 𝑥 al cuadrado menos 𝑐𝑥 más 𝑐 al cuadrado. La expresión aquí es una suma de dos cubos ya que tenemos 𝑥 al cubo y 343, que será algo al cubo. De hecho, 343 es exactamente siete al cubo. Por lo tanto, podemos descomponer en factores esta expresión para obtener 𝑥 más siete por 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más siete al cuadrado, que es 49.

Podríamos intentar factorizar esto aún más factorizando este término cuadrático. Sin embargo, si calculamos el discriminante de este término cuadrático, 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐, obtenemos menos 147, que es menor que cero. Por lo tanto, esta expresión no tiene raíces reales y no se puede descomponer en factores. A continuación, mirando el denominador del primer término, dos al cuadrado más 14𝑥, esto se puede factorizar sacando un factor común de dos 𝑥 para obtener dos 𝑥 por 𝑥 más siete. El numerador en el término de la derecha, 𝑥 más tres, ya está lo más simplificado posible. Y en el denominador del término de la derecha, tenemos exactamente la misma expresión que aquí, 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49. Por lo tanto, esto no se puede descomponer en factores.

Así que hemos simplificado 𝑓 de 𝑥 a 𝑥 más siete por 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49 sobre dos 𝑥 por 𝑥 más siete por 𝑥 más tres sobre 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49. Antes de simplificar el producto, necesitamos establecer el dominio de 𝑓 hallando para ello todos los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 de 𝑥 no está definida y quitándolos del conjunto de los números reales. 𝑓 de 𝑥 no estará definida en todo valor de 𝑥 que haga que alguno de los denominadores en este producto sea igual a cero. Por lo tanto, estos valores de 𝑥 satisfarán que dos 𝑥 es igual a cero, que 𝑥 más siete es igual a cero, o que 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49 es igual a cero. Estas dos primeras ecuaciones las podemos resolver fácilmente para obtener 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a menos siete.

Con respecto a la ecuación final, ya hemos demostrado que esta expresión cuadrática tiene un discriminante menor que cero y, por lo tanto, no tiene soluciones reales. Por lo tanto, no hay valores de 𝑥 que hagan que esta expresión sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ excepto los valores cero y siete. Ahora, podemos proceder a multiplicar estas dos expresiones multiplicando para ello los numeradores y los denominadores para obtener 𝑥 más siete por 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49 por 𝑥 más tres todo sobre dos 𝑥 por 𝑥 más siete por 𝑥 al cuadrado. menos siete 𝑥 más 49.

Como hemos hallado el dominio de 𝑓, podemos cancelar sin problemas términos. El 𝑥 más siete en el numerador se cancelará con el 𝑥 más siete en el denominador. Y 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49 en el numerador se cancelará con lo mismo en el denominador. Y esto nos da la otra parte de nuestra respuesta, que es 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 más tres sobre dos 𝑥.

A veces, en lugar de hallar el dominio de un producto de expresiones racionales, simplemente necesitamos hallar el valor de la función en un punto dado. En esta situación, no necesitamos simplificar ni cancelar ningún término, pues necesitamos simplemente sustituimos el valor de 𝑥 en la expresión. Veamos un ejemplo.

Sabiendo que la función 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 menos seis, partido por 𝑥 al cuadrado menos 15𝑥 más 54, multiplicado por 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos 28, partido por dos 𝑥 al cuadrado menos 15𝑥 más siete, halla 𝑓 de siete si es posible.

Para hallar 𝑓 de siete, todo lo que necesitamos hacer es sustituir 𝑥 por siete en la expresión y operar. Hacerlo nos da 𝑓 de siete igual a siete menos seis sobre siete al cuadrado menos 15 por siete más 54, todo multiplicado por siete al cuadrado menos tres por siete menos 28 sobre dos por siete al cuadrado menos 15 por siete más siete. Simplificando ambos términos en la expresión obtenemos uno dividido por menos dos por cero dividido por cero, que no está definido. Por lo tanto, no podemos calcular 𝑓 de siete porque 𝑓 no está definida en este punto.

Hasta ahora hemos explorado cómo multiplicar dos expresiones racionales. Pero ¿y si queremos dividir una expresión racional por otra? Considera cómo hacemos esto con números racionales, digamos, 𝑝 sobre 𝑞 y 𝑟 sobre 𝑠. Para hacer 𝑝 sobre 𝑞 dividido por 𝑟 sobre 𝑠, intercambiamos el segundo número racional, 𝑟 sobre 𝑠, y luego hacemos el producto. Esto nos da 𝑝 sobre 𝑞 multiplicado por 𝑠 sobre 𝑟. Luego, multiplicamos como de costumbre, obteniendo 𝑝𝑠 sobre 𝑞𝑟. Recuerda también que, al dividir números racionales, debemos tener aún más cuidado con los ceros.

Para empezar, tanto 𝑞 como 𝑠 deben ser diferentes de cero para que los números racionales estén definidos. Pero luego, al tomar el producto, 𝑟 también debe ser distinto de cero ya que estamos dividiendo por él aquí. Lo mismo se aplica a las expresiones racionales. Si 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 y ℎ de 𝑥 igual a 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥 son dos expresiones racionales y su cociente es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥 sobre ℎ de 𝑥, entonces 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑝 de 𝑥 𝑠 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 𝑟 de 𝑥. Y el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ menos 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 menos 𝑍 de 𝑟 de 𝑥 menos 𝑍 de 𝑠 de 𝑥. 𝑍 denota los ceros de una función.

Así que, por ejemplo, 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 es el conjunto de valores de 𝑥 que satisfacen 𝑞 de 𝑥 igual a cero. Necesitamos quitar los ceros de 𝑞 de 𝑥, 𝑟 de 𝑥 y 𝑠 de 𝑥 del dominio de 𝑓 porque al estar 𝑞, 𝑟 y 𝑠 en algún denominador, no pueden ser iguales a cero.

Veamos exactamente cómo funciona esto con un ejemplo.

Determina el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 menos 15, partido por 𝑥 menos seis, todo dividido por seis 𝑥 menos 30, partido por cuatro 𝑥 menos 24.

Recordemos que cuando tenemos una función 𝑓 de 𝑥 que es el cociente de dos expresiones racionales, 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 y 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥, necesitamos asegurarnos de excluir cualquier valor de 𝑥 del dominio de 𝑓 que satisface 𝑞 de 𝑥 es igual a cero, 𝑟 de 𝑥 es igual a cero y 𝑠 de 𝑥 es igual a cero. 𝑞 de 𝑥 y 𝑠 de 𝑥 nunca deben ser iguales a cero porque entonces estaríamos dividiendo por cero y 𝑓 no estaría definida. Además, 𝑟 de 𝑥 tampoco debe ser igual a cero ya que al tomar el cociente aquí, estamos tomando el recíproco de 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥 y luego multiplicamos las dos fracciones. Así que el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ menos 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 menos 𝑍 de 𝑟 de 𝑥 menos 𝑍 de 𝑠 de 𝑥, donde 𝑍 denota los ceros de la función, es decir, los valores de 𝑥 para los cuales la función es igual a cero.

En nuestro caso, 𝑞 de 𝑥 es igual a 𝑥 menos seis, 𝑟 de 𝑥 es seis 𝑥 menos 30 y 𝑠 de 𝑥 es cuatro 𝑥 menos 24. Por lo tanto, necesitamos resolver estas tres ecuaciones para 𝑥 y restar estos valores de 𝑥 del conjunto de números reales para obtener el dominio de 𝑓. La primera ecuación da 𝑥 igual a seis, la segunda ecuación da 𝑥 igual a cinco y la tercera ecuación da 𝑥 igual a seis una vez más. Concluimos que el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ menos el conjunto formado por los valores cinco y seis. Y, por supuesto, no ponemos seis dos veces.

En nuestro último ejemplo, vamos a ver el cociente de funciones racionales que contienen expresiones cúbicas.

Simplifica la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado menos 12𝑥 más 36, sobre 𝑥 al cubo menos 216, todo dividido por siete 𝑥 menos 42, sobre 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36, y determina su dominio.

Para simplificar 𝑓 de 𝑥, comencemos por descomponer en factores cada uno de los términos en las expresiones racionales, empezando con el numerador del término de la izquierda, 𝑥 al cuadrado menos 12𝑥 más 36. Esto se descompone en factores fácilmente a 𝑥 menos seis por 𝑥 menos seis, que es 𝑥 menos seis al cuadrado. Para el denominador del término de la izquierda, tenemos una diferencia de dos cubos. Recuerda que cuando tenemos una diferencia de dos cubos, 𝑥 al cubo menos 𝑐 al cubo, podemos factorizar esto como 𝑥 menos 𝑐 por 𝑥 al cuadrado más 𝑐𝑥 más 𝑐 al cuadrado. 216 será algo al cubo, y, efectivamente, es un cubo perfecto, seis al cubo. Por lo tanto, podemos factorizar esto como 𝑥 menos seis por 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más seis al cuadrado, que es 36.

Vamos a intentar factorizar aún más esta expresión cuadrática. Tomando el discriminante 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐, obtenemos un resultado de menos 108, que es menor que cero. Por lo tanto, esta expresión cuadrática no tiene raíces reales y no se puede descomponer en factores. Para el numerador de la segunda expresión racional, tenemos siete 𝑥 menos 42. Podemos sacar un factor común de siete para obtener siete por 𝑥 menos seis. Y finalmente, para el denominador de la segunda expresión racional, tenemos 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36. Acabamos de demostrar que esta expresión no tiene raíces reales y, por lo tanto, no se puede factorizar.

Así que podemos expresar 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 menos seis todo al cuadrado, partido por 𝑥 menos seis por 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36, todo dividido por siete por 𝑥 menos seis, partido por 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36. Recordemos que, si tenemos una función 𝑓 de 𝑥 que es el cociente de dos funciones racionales, 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 y 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥, el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ menos 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 menos 𝑍 de 𝑟 de 𝑥 menos 𝑍 de 𝑠 de 𝑥, donde 𝑍 denota los ceros de la función. En nuestro caso, 𝑞 de 𝑥 es el denominador de la primera función racional, 𝑥 menos seis por 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36. 𝑟 de 𝑥 es el numerador de la segunda función racional, siete por 𝑥 menos seis. Y 𝑠 de 𝑥 es el denominador de la segunda función racional, 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36.

Necesitamos hallar todos los valores de 𝑥 que satisfacen alguna de las ecuaciones 𝑞 de 𝑥 igual a cero, 𝑟 de 𝑥 igual a cero o 𝑠 de 𝑥 igual a cero, y quitarlos del conjunto de números reales para así hallar el dominio de 𝑓. Para la primera ecuación, 𝑥 menos seis debe ser igual a cero o 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36 debe ser igual a cero. Si 𝑥 menos seis es igual a cero, 𝑥 es igual a seis.

En relación con esta expresión cuadrática, ya vimos anteriormente que el discriminante, 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐, es menor que cero. Por lo tanto, esta expresión no tiene raíces reales y no puede ser igual a cero para ningún valor real de 𝑥. La segunda ecuación se puede resolver fácilmente, y da 𝑥 igual a seis, una vez más. Y con respecto a la tercera ecuación, tenemos exactamente la misma expresión cuadrática con el discriminante menor que cero. Lo que implica que no hay valores reales de 𝑥 que resuelvan esta ecuación. Por lo tanto, el único valor de 𝑥 para el cual alguna de estas funciones es igual a cero es seis. Y el dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales ℝ menos el elemento seis.

Ahora ya podemos seguir adelante con la división y simplificando. Para hallar el cociente, escribimos el recíproco de la expresión racional en el divisor. Intercambiamos el numerador y el denominador y luego cambiamos la división a la multiplicación. Multiplicando todos los numeradores y los denominadores, obtenemos 𝑥 menos seis, todo al cuadrado, por 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36, todo sobre 𝑥 menos seis por 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36 por siete por 𝑥 menos seis. 𝑥 menos seis todo al cuadrado en el numerador se cancelará con ambos términos 𝑥 menos seis en el denominador. Y 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más 36 se cancelará con lo mismo en el denominador. Esto nos deja con solo uno en el numerador y siete en el denominador, por lo que 𝑓 de 𝑥 es igual a un séptimo.

Terminemos este video recapitulando algunos puntos clave. Si tenemos dos expresiones racionales, 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 y 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥, su producto está dado por 𝑝 de 𝑥 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥 𝑠 de 𝑥. El dominio de la función resultante es el conjunto de los números reales ℝ menos los valores de 𝑥 que hacen que la función no esté definida, es decir, los ceros de 𝑞 de 𝑥 y 𝑠 de 𝑥. Para hallar el cociente de dos expresiones racionales, damos la vuelta a la función racional que divide, 𝑟 de 𝑥 sobre 𝑠 de 𝑥, intercambiando el numerador con el denominador. Y luego multiplicamos las dos expresiones racionales resultantes, obteniendo 𝑝 de 𝑥 𝑠 de 𝑥, partido por 𝑞 de 𝑥 𝑟 de 𝑥. El dominio de la función resultante será el conjunto de los números reales ℝ menos los ceros de 𝑞 de 𝑥, 𝑟 de 𝑥 y 𝑠 de 𝑥.

Recuerda que necesitamos eliminar también los ceros de 𝑟 de 𝑥 porque este polinomio está en el denominador de la función resultante. Por lo tanto, si este polinomio vale cero la función resultante no está definida. Recuerda también que debemos hallar el dominio de la función resultante antes de simplificar y cancelar cualquier término.

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