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Vídeo de la lección: Número de resultados usando variaciones Matemáticas • Duodécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo usar permutaciones y variaciones para resolver problemas de combinatoria.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar permutaciones y variaciones para resolver problemas de combinatoria.

Un tipo especial de variación es una permutación, que es un orden particular de una colección de elementos. Por ejemplo, digamos que tenemos las letras A, B y C. Podemos ordenarlas como ABC o BCA, BAC, etcétera. Cada arreglo diferente es un ejemplo de permutación. Fíjate en que, para las permutaciones, el orden importa; BCA no es lo mismo que ABC. Tampoco está permitida la repetición, por lo que AAB no es una permutación válida de nuestras letras. Veamos si podemos encontrar una manera de contarlas. Vamos a ver un ejemplo para ayudarnos a hallar una fórmula.

¿De cuántas maneras se puede formar un número de tres cifras, sin cifras repetidas, usando los números dos, nueve y ocho?

Tenemos tres dígitos que podemos usar. Y queremos contar el número de formas en que podemos ordenar estos dígitos, suponiendo que no hay dígitos repetidos. Como el orden importa, es decir, el número 298 no es lo mismo que 928, lo que queremos es hallar el número de permutaciones de estas cifras. Un método válido es enumerar todas las opciones posibles. A esto se le llama enumeración sistemática. Como su nombre indica, estamos tratando de hallar una técnica que evite que nos saltemos algún número. Comencemos con el número 298. Seguidamente intercambiamos el ocho por el nueve, y obtenemos 289. A continuación sacamos el ocho delante, y obtenemos 829, cambiamos el dos por el nueve y obtenemos 892. Por último, sacamos el nueve delante. Y obtenemos 928. Y si intercambiamos el ocho por el dos, obtenemos 982.

Por lo que tenemos seis permutaciones distintas. Hay seis números distintos de tres cifras que podemos formar usando los números dos, nueve y ocho. Pero este no es necesariamente el método más eficiente de contar, por lo que vamos a ver si encontramos un método más eficaz. Vamos a fijarnos en cada uno de los dígitos de nuestro número. Para elegir el primer número, podemos elegir entre el número dos, el número nueve y el número ocho. Hay tres opciones posibles para el primer dígito de nuestro número. Cuando pasamos a la segunda opción, ya hemos elegido uno de los números. Y como no podemos repetir las cifras, tenemos dos opciones posibles para elegir el segundo dígito.

Por último, cuando pasamos al tercer dígito, solo nos queda una opción. El principio fundamental de la combinatoria o regla del producto dice que podemos calcular el número total de variaciones multiplicando estos números. Eso es tres por dos por uno, que es seis. El número total de permutaciones, o sea, el número total de números de tres cifras que podemos formar es seis. Vamos a generalizar esto un poco y decir que el número de permutaciones que hay de un conjunto de 𝑛 elementos es 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos, y así sucesivamente hasta uno. Esto puede representarse más sucintamente como 𝑛 factorial. Así que el número de permutaciones de un conjunto de 𝑛 elementos es 𝑛 factorial.

Pero las permutaciones no son siempre suficientes, y por eso necesitamos las variaciones, que son una generalización de las permutaciones. Por ejemplo, ¿qué hacemos si queremos hallar el número de posibilidades de extraer 𝑟 elementos de entre un conjunto de 𝑛 elementos? Volvamos a nuestro ejemplo. Preguntémonos, ¿cuántos números de dos cifras podemos formar de un conjunto de tres dígitos? Esta vez, tenemos tres formas de elegir la primera cifra y dos formas de elegir la segunda. E igualmente, ¿cuántos números de una cifra podemos formar a partir de un conjunto de tres números? Hay tres formas de elegir este dígito, por lo que la respuesta es tres.

Introducimos la notación 𝑛 P 𝑟 para representar el número de variaciones de 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos, y obtenemos que tres P tres es tres por dos por uno, que tres P dos es tres por dos y que tres P uno es tres. Y es fácil expresar esto usando la notación factorial que acabamos de ver. Si consideramos tres P dos, por ejemplo, vemos que se parece un poco a tres factorial, que es tres por dos por uno, y dividido luego por uno factorial. Los unos se cancelan, con lo que nos queda tres por dos. Del mismo modo, podemos representar tres P uno como tres factorial dividido por dos factorial. Los dos y los unos se cancelan, así que nos quedamos con tres.

Y si nos damos cuenta de que la diferencia entre 𝑛 y 𝑟 es siempre el argumento del factorial en el denominador, vemos que podemos generalizar. El número de formas en que podemos colocar 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos sin repetición se denota por 𝑛 P 𝑟. Y eso se expresa como 𝑛 factorial partido por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Es importante señalar que, mientras la notación del factorial es universal el resto de la notación de las variaciones varía bastante de una región a otra, así que dependerá de la región en la que estudies. Diferentes letras son utilizadas y la colocación de los dos números varía también.

Ahora que tenemos una definición y una fórmula para el número de variaciones de 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos, vamos a ver un ejemplo en el que vamos a tener que aplicar la fórmula.

¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al número de formas en que podemos formar un número de cuatro cifras a partir de cinco dígitos sabiendo que no podemos usar cada cifra más de una vez? ¿Es (A) cinco P cuatro, (B) seis P cuatro, (C) cuatro P cuatro o (D) nueve P cuatro?

Recordemos que el número de formas que hay de ordenar 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos sin repetición y donde el orden importa, es 𝑛 P 𝑟. La notación para representar este numero varía bastante, y para este ejemplo vamos a usar la primera que se muestra en esta lista. Las diferentes formas de colocar los elementos se llaman variaciones. En este problema se nos pide hallar el número de formas que hay de hacer un número de cuatro cifras de entre cinco cifras. Hacemos 𝑛 igual a cinco, pues ese es el número total de cifras que tenemos. Y hacemos 𝑟 igual a cuatro, pues esa es la cantidad de cifras que queremos elegir. Usando la primera notación en esta definición, escribimos cinco P cuatro. Así que la respuesta correcta es (A). El número de formas de elegir cuatro dígitos de un conjunto de cinco, sabiendo que cada dígito no puede usarse más de una vez, es cinco P cuatro.

En el siguiente ejemplo se nos pedirá calcular variaciones, y para ello vamos a usar algunos atajos.

Calcula 123 P tres.

Esta notación se refiere a hallar el número de formas de colocar tres elementos de un conjunto de 123 sin repetición y donde el orden importa. Es el número de variaciones. Y la fórmula general que usamos para hallar las variaciones de 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos sin repetición es 𝑛 factorial partido por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Si comparamos la expresión que se nos ha dado en el enunciado con la fórmula general, vemos que tenemos que hacer 𝑛 igual a 123 y 𝑟 igual a tres. Así que 123 P tres es 123 factorial entre 123 menos tres factorial, y como tenemos que seguir el orden correcto de las operaciones, lo primero que hacemos es hallar 123 menos tres. Obtenemos que 123 P tres es igual a 123 factorial partido por 120 factorial.

Y aunque podríamos calcular esto con una calculadora, vamos a tratar de simplificar un poco nuestra expresión. Escribimos 123 factorial como 123 por 122 por 121 y así sucesivamente. Pero 120 por 119 etcétera es, de hecho, 120 factorial. Así que reescribimos 123 P tres como 123 por 122 por 121 por 120 factorial partido por 120 factorial. Este paso es importante porque ahora podemos dividir tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción por 120 factorial. Y, haciendo esto, obtenemos un denominador de uno. Así que nuestra fracción se simplifica a 123 por 122 por 121. Y, por lo tanto, 123 P tres, que es el número de formas de extraer tres elementos de un conjunto de 123 elementos sin repetición, es 123 por 122 por 121.

Esta técnica puede ser realmente útil, ya que nos permite simplificar un cálculo bastante complicado para poder hacerlo después a mano. Veamos ahora cómo usar variaciones para resolver un problema en un contexto del mundo real.

En las carreras de caballos, se produce una trifecta cuando un apostante acierta los tres caballos finalistas en el orden correcto: primer lugar, segundo lugar y tercer lugar. ¿Cuántas trifectas distintas son posibles si hay 14 caballos en una carrera?

Lo que esta pregunta realmente nos está preguntando es cuántas formas diferentes hay de colocar tres caballos de un conjunto de 14. Sabemos que ningún caballo puede terminar en diferentes puestos en una carrera. Es decir, el mismo caballo no puede acabar, por ejemplo, en el primer y en el segundo lugar en la misma carrera. Y se nos dice que el orden importa. Así que queremos hallar el número de variaciones, concretamente el número de variaciones de tres elementos de un conjunto de 14. Para ello, hemos de recordar que el número de variaciones de 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos es 𝑛 P 𝑟, y es igual a 𝑛 factorial partido por 𝑛 menos 𝑟 factorial.

Hacemos 𝑛 igual a 14, pues es el número total de caballos y 𝑟 igual a tres, el número de caballos finalistas. Estamos interesados en los tres primeros finalistas, por lo que el número de variaciones es 14 P tres. Y eso es 14 factorial partido por 14 menos tres factorial. 14 menos tres es 11, así que obtenemos 14 factorial partido por 11 factorial. Y como podemos escribir 14 factorial como 14 por 13 por 12 por 11 por 10 y así sucesivamente, sabemos que también podemos escribirlo como 14 por 13 por 12 por 11 factorial. Esto es muy útil porque ahora podemos dividir por un factor común de 11 factorial. Y vemos que 14 P tres se simplifica a 14 por 13 por 12, que es 2184. Hemos hallado, pues, que hay un total de 2184 trifectas posibles cuando hay 14 caballos en una carrera.

En el último ejemplo vamos a ver lo que sucede cuando tratamos de combinar más de un conjunto de variaciones.

Una empresa etiqueta sus productos con códigos que comienzan con tres letras, sin incluir la «ñ», seguidas de ocho dígitos distintos de cero. ¿Cuál de las siguientes opciones representa el número de códigos que pueden crearse sin repetición de ninguna letra o dígito? ¿Es (A) tres P tres más ocho P ocho? ¿(B) 26 P tres más nueve P ocho? ¿(C) tres P tres por ocho P ocho? ¿O (D) 26 P tres por nueve P ocho?

Comencemos considerando las dos partes del código. La primera parte consta de tres letras, ninguna de las cuales puede ser «ñ». A continuación, tenemos ocho dígitos distintos de cero. Y para calcular el número de formas de elegir u ordenar las tres letras, hemos de recordar que el número de formas en que podemos ordenar 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos sin repetición, y donde el orden importa, es 𝑛 P 𝑟. Que es 𝑛 factorial partido por 𝑛 menos 𝑟 factorial.

Hemos de elegir tres letras de un total de 26 letras, pues la «ñ» no entra Y se nos dice que el orden importa; es decir, ABC no es lo mismo que BAC. Así que el número de formas que hay de elegir estas letras es 26 P tres. Y, si lo que queremos es elegir ocho dígitos distintos de cero, podemos elegir cualquier dígito entre uno y nueve inclusive. Así que elegimos ocho dígitos de un total de nueve. Sabemos que el orden importa y que no puede haber repetición. Así que, para elegir ocho dígitos de entre nueve, el número de opciones es nueve P ocho.

Si el número de formas que hay de elegir las tres letras (sin incluir la «ñ») es 26 P tres y el número de formas que hay de elegir las ocho cifras es nueve P ocho, entonces el principio fundamental de la combinatoria, o sea, la regla del producto, nos dice que el número total de posibilidades, el número total de códigos, es el producto de estos dos números. Es 26 P tres por nueve P ocho. Y si comparamos esto con las opciones que se dan en nuestra pregunta, vemos que la respuesta es (D). El número total de códigos que pueden crearse sin repetición de ninguna letra o dígito es 26 P tres por nueve P ocho.

En este vídeo hemos aprendido que el número de formas que hay de elegir 𝑟 elementos de entre 𝑛 elementos es 𝑛 P 𝑟 o P de 𝑛, 𝑟. Y hemos aprendido que en diferentes regiones del mundo se utilizan varias notaciones diferentes, con diferentes letras y con los números en diferentes posiciones. Hemos visto, además, que podemos calcular las variaciones usando la fórmula 𝑛 factorial partido por 𝑛 menos 𝑟 factorial o usando la función de variaciones en la calculadora. También hemos aprendido que, cuando operamos con permutaciones o variaciones, debemos asegurarnos de que tenemos una situación en la que el orden importa y de que no puede haber repetición. Y, para poner en práctica la teoría de las variaciones, hemos considerado una serie de situaciones en contextos del mundo real.

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