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Vídeo de la lección: Integrales indefinidas: funciones trigonométricas Matemáticas • Educación superior

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular integrales indefinidas de algunas funciones trigonométricas básicas.

16:32

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar integrales indefinidas de algunas funciones trigonométricas básicas. Antes de ver cómo nos puede ayudar una primitiva o antiderivada a integrar funciones trigonométricas conviene repasar su definición.

Recordemos cuál es la primitiva de una función. 𝐹 mayúscula es la primitiva o antiderivada de 𝑓 minúscula si 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥. Y aquí, 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es la derivada con respecto a 𝑥 de 𝐹 mayúscula de 𝑥. De hecho, podemos decir que esto es cierto para cualquier función 𝐺 de 𝑥, donde 𝐺 de 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑥 más 𝑐, para cualquier constante 𝑐. Esto es muy útil porque vamos a usarlo para definir la integral indefinida.

Decimos que la integral indefinida de 𝑓 minúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑥 más 𝑐, donde 𝐹 mayúscula es una primitiva de 𝑓 minúscula. Y es importante que nos acordemos de añadir la constante de integración 𝑐 cuando escribimos una integral indefinida. La integral indefinida recibe este nombre porque no hay límites de integración especificados. Es decir, no estamos integrando en un intervalo específico de valores de 𝑥 como lo haríamos en una integral definida. Esto no entra dentro de los objetivos de este vídeo, pues tiene que ver con el teorema fundamental del cálculo.

Sin embargo, si realizamos la operación inversa en nuestra ecuación integral indefinida, podemos ver por qué la constante 𝑐 es necesaria. O sea, derivamos con respecto a 𝑥. Y como estamos realizando la operación inversa en la izquierda, la derivada con respecto a 𝑥 de la integral de 𝑓 minúscula de 𝑥 es 𝑓 minúscula de 𝑥. Y en el lado derecho, cuando derivamos 𝐹 mayúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥, obtenemos 𝐹 prima de 𝑥. Y la constante 𝑐 desaparece porque derivar una constante da cero. Y si hacemos el proceso contrario en nuestra integral, la constante volverá a aparecer. Pero como no conocemos el valor de esta constante, la denotamos como 𝑐. Es una constante desconocida.

Podemos usar esta concepción de la integral como antiderivada junto con nuestro conocimiento de las derivadas de varias funciones trigonométricas para hallar algunas integrales específicas. Comencemos por la función 𝑓 de 𝑥 igual a seno de 𝑎𝑥, para una constante real 𝑎, y, para que todo esto sea válido, 𝑥 debe estar en radianes. Queremos hallar la integral indefinida de 𝑓 de 𝑥 calculada con respecto a 𝑥. Recordemos que la derivada del coseno de 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a menos 𝑎 por el seno de 𝑎𝑥. Así que decimos que la integral indefinida de menos 𝑎 seno de 𝑎𝑥 calculada con respecto a 𝑥 debe ser coseno de 𝑎𝑥. Pero no hay que olvidar que, como estamos operando con una integral indefinida, tenemos que añadir la constante de integración, que denotaremos como 𝑐 minúscula.

Parece que vamos bien. Pero fíjate en que lo que queremos es hallar la integral indefinida del seno de 𝑎𝑥, no de menos 𝑎 por el seno de 𝑎𝑥. Así que vamos a sacar la constante, menos 𝑎, fuera de la integral. Y obtenemos que menos 𝑎 por la integral indefinida de seno 𝑎𝑥 es igual al coseno de 𝑎𝑥 más la constante 𝑐. Y como menos 𝑎 es una constante, podemos dividir ambos lados por menos 𝑎. Al hacerlo obtenemos que la integral indefinida de seno 𝑎𝑥 es menos uno entre 𝑎 por el coseno de 𝑎𝑥 más 𝐶 mayúscula. Fíjate en que hemos cambiado de 𝑐 minúscula a 𝐶 mayúscula porque hemos dividido nuestra constante original por otra constante, menos 𝑎, así que tenemos que señalar este cambio de algún modo.

Tomamos nota de nuestro primer resultado de la integral indefinida de seno 𝑎𝑥, y vamos a repetir el mismo procedimiento para la función 𝑓 de 𝑥 igual a cos 𝑎𝑥, donde 𝑎 es una constante real y 𝑥 está en radianes. Vamos a usar el hecho de que la derivada con respecto a 𝑥 de seno de 𝑎𝑥 es igual a 𝑎 por el coseno de 𝑎𝑥. Y, por lo tanto, podemos decir que la integral indefinida de 𝑎 cos 𝑎𝑥 calculada con respecto a 𝑥 es igual a seno de 𝑎𝑥 más la constante de integración 𝑐 minúscula. Y, al igual que hicimos antes, sacamos la constante 𝑎 fuera de la integral, y el lado derecho permanece igual. Por último, dividimos por 𝑎 y obtenemos que la integral indefinida de cos 𝑎𝑥 calculada con respecto a 𝑥 es uno partido entre 𝑎 por el seno de 𝑎𝑥 más la constante de integración 𝐶 mayúscula.

Seguramente sabrás que las derivadas de las funciones seno y coseno forman un ciclo. La derivada de seno 𝑥 es igual a cos 𝑥, donde aquí nuestra constante 𝑎 es igual a uno. Derivamos de nuevo, y obtenemos menos seno de 𝑥. Derivamos otra vez, y obtenemos menos coseno de 𝑥. Derivamos una vez más, y obtenemos nuestra función original, seno de 𝑥. Para la integración, el ciclo es el mismo, pero se recorre en el sentido contrario. Veamos ahora algunos ejemplos que ilustran la integración de las funciones seno y coseno.

Determina la integral indefinida de menos seno 𝑥 menos nueve por coseno de 𝑥 calculado con respecto a 𝑥.

Antes de calcular la integral, conviene repasar algunas de las propiedades de las integrales. Una de las propiedades dice que la integral de la suma de dos o más funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones respectivas. También sabemos que podemos sacar cualquier factor constante fuera de la integral para integrar la expresión en términos de 𝑥. Por tanto, aplicando estas propiedades, reescribimos nuestra integral como menos la integral de seno 𝑥 calculada con respecto a 𝑥 menos nueve por la integral de coseno de 𝑥 calculada con respecto a 𝑥.

Recordemos los resultados generales de las integrales de las funciones seno y coseno. La integral indefinida de seno de 𝑎𝑥 es igual a menos uno entre 𝑎 por coseno de 𝑎𝑥 más la constante de integración 𝑐. Y la integral de coseno de 𝑎𝑥 calculada con respecto a 𝑥 es igual a uno entre 𝑎 por seno de 𝑎𝑥 más la constante 𝑐. En nuestro caso, la constante 𝑎 vale uno, y nuestra integral es menos menos coseno 𝑥 más la constante 𝐴 menos nueve por seno 𝑥 más la constante 𝐵. Hemos denotado las constantes como 𝐴 y 𝐵 para indicar que pueden tener valores distintos.

Ahora desarrollamos los paréntesis, combinamos las dos constantes 𝐴 y 𝐵 en una sola constante 𝐶, y obtenemos que la integral indefinida de menos seno de 𝑥 menos nueve coseno de 𝑥 calculada con respecto a 𝑥 es igual a coseno de 𝑥 menos nueve por seno de 𝑥 más una constante 𝐶.

Determina la integral indefinida con respecto a 𝑥 de menos ocho seno de ocho 𝑥 menos siete coseno de cinco 𝑥.

Para resolver este problema hemos de integrar la suma de dos funciones de 𝑥. Recordemos que una de las propiedades de las integrales dice que la integral de la suma de dos o más funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones. Así que escribimos nuestra integral como menos ocho seno de ocho 𝑥 con respecto a 𝑥 más la integral de menos siete coseno de cinco 𝑥 d𝑥. También sabemos que podemos sacar cualquier factor constante fuera de las integrales para centrarnos en integrar cada una de las expresiones en términos de 𝑥. Esto significa que podemos reescribir nuestras integrales como menos ocho por la integral con respecto a 𝑥 de seno ocho 𝑥 menos siete por la integral de coseno cinco 𝑥 d𝑥.

Recordemos ahora los resultados generales de las integrales de seno de 𝑎𝑥 y coseno de 𝑎𝑥. La integral indefinida con respecto a 𝑥 de seno de 𝑎𝑥 es igual a menos uno partido entre 𝑎 por cos 𝑎𝑥 más la constante de integración 𝑐. Y la integral indefinida de cos 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido por 𝑎 sen 𝑎𝑥 más la constante 𝑐. En este caso, la constante 𝑎 vale ocho en la primera integral y cinco en la segunda integral. Aplicando estos resultados a nuestras integrales, obtenemos que la integral del seno de ocho 𝑥 es menos uno entre ocho coseno de ocho 𝑥 más la constante 𝐴. Y la integral con respecto a 𝑥 de coseno de cinco 𝑥 es uno sobre cinco por el seno de cinco 𝑥 más 𝐵. Hemos usado 𝐴 y 𝐵 para denotar las constantes de integración, en vez de usar solo una 𝑐, para indicar que estas constantes son distintas.

Ahora solo nos queda desarrollar los paréntesis. Menos ocho por menos uno partido por ocho. coseno de ocho 𝑥 es coseno de ocho 𝑥. Y menos siete por uno entre cinco seno de cinco 𝑥 es menos siete entre cinco seno de cinco 𝑥. Por último, multiplicamos menos ocho por 𝐴 y menos siete por 𝐵. Y como no conocemos los valores de 𝐴 y 𝐵, representamos esto como una única constante 𝑐. Así, hemos hallado que la integral que buscábamos es coseno de ocho 𝑥 menos siete partido entre cinco por seno de cinco 𝑥 más la constante 𝑐.

Veamos ahora algunas derivadas alternativas. Recordemos que la derivada de tan 𝑎𝑥 es 𝑎 sec al cuadrado 𝑎𝑥. Puede que necesites dar pausa al vídeo durante unos instantes para pensar en lo que esto nos está diciendo sobre la integral de sec al cuadrado 𝑎𝑥. Veamos qué es. Recordemos que una integral puede considerarse como la antiderivada, también denominada primitiva. Es decir, la integración es el proceso contrario a la derivación. Por tanto, vemos que la integral indefinida de 𝑎 sec al cuadrado 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 debe ser tangente de 𝑎𝑥 más la constante de integración 𝑐. Sacamos el factor constante de 𝑎. Seguidamente dividimos por 𝑎. Y obtenemos que la integral de sec al cuadrado 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido por 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 más 𝐶 mayúscula.

Y haciendo uso de este mismo método, es fácil obtener las siguientes integrales de funciones trigonométricas recíprocas. La integral de csc 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es menos uno partido entre 𝑎 por csc 𝑎𝑥 más 𝑐. La integral de sec 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido entre 𝑎 sec 𝑎𝑥 más 𝑐. Y la integral de csc al cuadrado de 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 menos uno partido entre 𝑎 por cot de 𝑎𝑥 más 𝑐. Ahora vamos a ver algunos ejemplos de estos resultados y la frecuencia con la que usamos las identidades trigonométricas para ayudarnos a calcular estas integrales.

Determina la integral indefinida de menos sec al cuadrado seis 𝑥 con respecto a 𝑥.

Para resolver este problema, basta con citar el resultado general de la integral de sec al cuadrado 𝑎𝑥, donde, en nuestro caso la constante 𝑎 es igual a seis. El resultado nos dice que la integral de sec al cuadrado 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido entre 𝑎 por la tangente de 𝑎𝑥 más una constante 𝑐. Pero, antes de usar este resultado, vamos a sacar el factor de menos uno fuera de la integral, como se muestra. Así, cuando integramos, obtenemos que la solución es menos uno por un sexto de tangente de seis 𝑥 más 𝑐, y, en nuestro caso, la constante 𝑎 es igual a seis.

Ahora solo nos falta desarrollar el paréntesis. Menos uno por un sexto de tangente seis 𝑥 es menos un sexto tangente de seis 𝑥. Y menos uno por la constante 𝑐 nos da esta nueva constante 𝐶 mayúscula. De esta forma, hemos hallado que nuestra integral indefinida es menos un sexto de tangente de seis 𝑥 más 𝐶.

Determina la integral indefinida de dos coseno al cubo de tres 𝑥 más uno partido entre nueve coseno al cuadrado de tres 𝑥 con respecto a 𝑥.

A primera vista esta integral parece bastante complicada. Pero si nos fijamos, nos damos cuenta de que podemos simplificar el cociente. Para hacerlo, realizamos el proceso contrario que seguimos cuando sumamos dos fracciones. Vemos que podemos escribir el cociente como dos coseno al cubo tres 𝑥 partido por nueve coseno al cuadrado tres 𝑥 más uno partido por nueve coseno al cuadrado tres 𝑥. Dividimos la primera fracción por coseno al cuadrado de tres 𝑥 de modo que nuestro primer término se simplifica a dos partido entre nueve coseno de tres 𝑥. Seguidamente reescribimos la segunda fracción como un noveno por uno partido entre coseno al cuadrado de tres 𝑥.

Ahora recordamos que la integral de la suma de dos o más funciones es la suma de sus integrales. Y también sabemos que podemos sacar cualquier factor constante fuera de la integral para centrarnos en integrar la expresión en términos de 𝑥. Aplicamos estas propiedades, y obtenemos dos entre nueve por la integral del coseno de tres 𝑥 con respecto a 𝑥 más uno entre nueve por la integral de uno partido por el coseno al cuadrado de tres 𝑥 respecto a 𝑥. Ahora citamos el resultado de la integral del coseno de 𝑎𝑥. Es uno entre 𝑎 por el seno de 𝑎𝑥 más la constante de integración 𝑐. Esto significa que la integral de coseno de tres 𝑥 es un tercio seno de tres 𝑥 más una constante de integración que vamos a llamar 𝐴.

Pero, ¿qué hacemos con la segunda integral? Bueno, sabemos que la función trigonométrica uno entre coseno de 𝑥 es sec 𝑥. Así que reescribimos uno entre coseno al cuadrado de tres 𝑥 como secante al cuadrado de tres 𝑥. Y ahora usamos el resultado general de la integral de secante al cuadrado de 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥. Es uno entre 𝑎 por la tangente de 𝑎𝑥 más una constante 𝑐. Esto significa que podemos escribir la integral de secante al cuadrado tres 𝑥 con respecto a 𝑥 como uno entre tres tangente de tres 𝑥 más una constante de integración que llamaremos 𝐵.

Por último, desarrollamos los paréntesis, y obtenemos que dos entre nueve por un tercio de seno de tres 𝑥 es igual a dos entre 27 por seno de tres 𝑥. Y uno entre nueve por uno partido entre tres tangente de tres 𝑥 es igual a uno partido por 27 tan tres 𝑥. Multiplicamos cada una de nuestras constantes por dos novenos y un noveno, respectivamente. Y obtenemos una nueva constante 𝐶. De esta forma hemos hallado que nuestra integral es dos entre 27 por el seno de tres 𝑥 más uno entre 27 por tangente de tres 𝑥 más la constante de integración 𝐶.

Veamos un último ejemplo en el que tendremos que hallar una integral indefinida aplicando algunas identidades trigonométricas.

Determina la integral indefinida de menos tres tangente al cuadrado de ocho 𝑥 por cosecante al cuadrado ocho 𝑥 calculada con respecto a 𝑥.

Esta expresión a primera vista parece bastante complicada. Pero si recordamos algunas de nuestras identidades trigonométricas, podemos simplificar la expresión. Sabemos que tan 𝑥 es igual a sen 𝑥 entre cos 𝑥 y que cosecante 𝑥 es igual a uno entre seis 𝑥. Así que reescribimos nuestro integrando, la función que queremos integrar, como menos tres por seno al cuadrado de ocho 𝑥 partido por coseno al cuadrado de ocho 𝑥 por uno partido entre seno al cuadrado de ocho 𝑥. Nos damos cuenta de que podemos cancelar el seno al cuadrado de ocho 𝑥. Podemos sacar el factor de menos tres fuera de nuestra integral para facilitar el siguiente paso. Y obtenemos menos tres por la integral de uno entre coseno al cuadrado de ocho 𝑥 calculada con respecto a 𝑥.

Sabemos que uno entre coseno de 𝑥 es igual a sec 𝑥. Así que nuestra integral se convierte en menos tres por la integral de secante al cuadrado de ocho 𝑥 con respecto a 𝑥. Y sabemos que la integral de secante al cuadrado de 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido por 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 más la constante 𝑐. Y, como en este caso la constante 𝑎 es igual a ocho, la integral de secante al cuadrado de ocho 𝑥 con respecto a 𝑥 es uno entre ocho por la tangente de ocho 𝑥 más la constante 𝑐. Desarrollamos los paréntesis y obtenemos la solución de menos tres octavos por tangente de ocho 𝑥 más una nueva constante, ya que hemos multiplicado nuestra constante original por menos tres. Así que la denotamos como 𝐶 mayúscula.

Vamos a completar este vídeo recordando algunos de los puntos clave que hemos visto. En este vídeo hemos visto que podemos usar el hecho de que la integración es el proceso inverso a la derivación para calcular las integrales indefinidas de seno de 𝑎𝑥, coseno de 𝑎𝑥 y secante al cuadrado de 𝑎𝑥. También hemos visto que recordar ciertas identidades trigonométricas, como que la tangente es igual al seno de 𝑥 partido por el coseno de 𝑥 o que uno entre coseno de 𝑥 es igual a secante de 𝑥, nos ayuda a calcular las integrales.

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