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Vídeo de la lección: La forma polar o trigonométrica de un número complejo Matemáticas • Duodécimo grado

En este video vamos a aprender cómo expresar un número complejo en la forma polar o trigonométrica, a calcular su módulo y su argumento, y a usar esto para cambiar la forma de un número complejo.

17:50

Transcripción del vídeo

En este video vamos a aprender sobre la forma polar o trigonométrica de un número complejo. Esta es una forma de escribir un número complejo que es particularmente adecuada para problemas relacionados con la multiplicación. Esta nueva forma se entiende mejor usando una representación gráfica. Así que recapitulemos.

Los números complejos se pueden representar como puntos en un plano, el cual se denomina plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje horizontal o eje de las 𝑥 y los números imaginarios puros en el eje vertical o eje de las 𝑦. ¿Qué punto en este diagrama representa el número complejo cuatro menos cuatro 𝑖? Bien, tomamos la parte real cuatro como la coordenada 𝑥 y la parte imaginaria menos cuatro como la coordenada 𝑦. Así que el punto que representa cuatro menos cuatro 𝑖 está aquí en el cuarto cuadrante del diagrama.

También hemos aprendido sobre dos elementos de los números complejos: el módulo de un número complejo y el argumento de un número complejo. Comencemos por el módulo. El módulo generaliza el concepto de valor absoluto de un número desde los números reales hasta los números complejos. Y se escribe de la misma manera: con dos barras verticales, una a cada lado del número. Escribiendo un número complejo en términos de su parte real 𝑎 y su parte imaginaria 𝑏, obtenemos una fórmula para este módulo. Esta es la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Pero, en realidad, esta fórmula se entiende mejor usando el plano complejo.

Si dibujamos un vector desde el origen al punto que representa nuestro número complejo, el módulo de nuestro número complejo es el módulo o la magnitud de este vector. Su argumento nos da la dirección del vector. El argumento de un número complejo 𝑧 se escribe como arg 𝑧. Y la fórmula para arg 𝑎 más 𝑏𝑖 depende del cuadrante en el cual se encuentra, pero en cualquier caso incluye arctan de 𝑏 sobre 𝑎. Nuevamente, la mejor forma de pensar en el argumento es usando el plano complejo.

Es el ángulo del vector medido en sentido antihorario desde el semieje positivo real. Comenzamos en el semieje positivo real y nos movemos en sentido antihorario hasta alcanzar nuestro vector. Este es el ángulo. No es muy difícil ver que este ángulo agudo mide 45 grados o 𝜋 partido por cuatro radianes. Y considerando el ángulo alrededor de un punto, nuestro argumento es 315 grados o siete 𝜋 partido por cuatro radianes.

Cuando hablamos del argumento de un número complejo, tendemos a usar radianes. Así que podemos escribir que arg de cuatro menos cuatro 𝑖 es siete 𝜋 sobre cuatro. También podemos restar dos 𝜋 para obtener el argumento principal, menos 𝜋 partido por cuatro, que puedes considerar como una medida del ángulo agudo naranja con un signo menos porque este ángulo se ha medido en sentido negativo, es decir, horario.

Habiendo hallado el argumento de nuestro número complejo, podemos también hallar su módulo. Lo hallamos usando la fórmula que tenemos. Siendo 𝑎 igual a cuatro y 𝑏 igual a menos cuatro. Y simplificando, obtenemos la raíz cuadrada de 32, cuya forma más simple es cuatro raíz de dos. Vamos a arreglar y a interpretar un poco nuestro diagrama. Hallamos el módulo y el argumento de nuestro número complejo usando su parte real y su parte imaginaria. Bueno, en realidad, tuvimos suerte con el argumento porque notamos el ángulo de 45 grados. Pero podemos verificar que, calculando arctan de la parte imaginaria, menos cuatro, sobre la parte real, cuatro, hubiéramos obtenido la misma respuesta.

Algo que podemos preguntarnos es si podemos realizar el proceso contrario. Dados el módulo y el argumento de un número complejo 𝑧, ¿podemos hallar su parte real y su parte imaginaria y escribir nuestro 𝑧 en forma binómica? Parece que deberíamos ser capaces de hacerlo. Sabemos que el argumento de nuestro número complejo es menos 𝜋 por cuatro. Y así, si sacamos nuestro transportador, podemos ver que nuestro número complejo debe estar en algún lugar de esta semirrecta. Y, el módulo nos dice qué tan lejos debemos ir a lo largo de la semirrecta. Tomamos nuestra regla y medimos cuatro raíz de dos desde el origen para hallar que nuestro número complejo debe estar aquí.

La idea de que podemos especificar un punto dando su distancia desde el origen y su dirección como el ángulo medido desde el semieje positivo de las 𝑥, en lugar de sus coordenadas 𝑥 y 𝑦, da origen a las coordenadas polares, las cuales tal vez conozcas. La aplicación de esta misma idea en el plano complejo a números complejos da lugar a la forma polar o trigonométrica de un número complejo. Veamos cómo podemos escribir un número complejo 𝑧 en términos de su módulo y argumento.

Sabiendo que el módulo de 𝑧 es 𝑟 y que el argumento de 𝑧 es 𝜃, halla 𝑧.

Hacemos uso del plano complejo para ayudarnos. Y como el módulo de 𝑧 es 𝑟, el punto que representa a 𝑧 en el plano complejo debe estar a una distancia 𝑟 del origen. Así que se encuentra en la circunferencia con centro el origen y radio 𝑟. Y como su argumento es 𝜃, debe estar en algún lugar en esta línea púrpura también. Aquí está 𝑧 en la intersección. Pero habiendo hallado 𝑧, lo que debemos hacer ahora es escribirlo en la forma 𝑎 más 𝑏𝑖.

Y para hacer esto, tenemos que hallar la parte real 𝑎 y la parte imaginaria 𝑏. Podemos leer la parte real 𝑎; es la coordenada 𝑥 de nuestro punto y, de manera similar, para la parte imaginaria 𝑏. ¿Cómo se escriben 𝑎 y 𝑏 en términos de 𝑟 y 𝜃? Bien, si estuviésemos en una circunferencia unitaria, 𝑎 sería cos 𝜃 y 𝑏 sería sen 𝜃. Pero, desafortunadamente, no lo estamos. El radio es 𝑟. Y así, todo se amplía con 𝑟, lo que significa que 𝑎 es 𝑟 cos 𝜃 y 𝑏 es 𝑟 sen 𝜃.

Podemos ver esto de otra forma, tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa 𝑟, el radio de la circunferencia, la longitud 𝑎 del lado adyacente al ángulo 𝜃 y la del lado 𝑏 opuesto a él. Sen 𝜃 es, por lo tanto, el opuesto 𝑏 sobre la hipotenusa 𝑟. Y así, 𝑟 sen 𝜃 es igual a 𝑏. Y lo que tenemos que hacer es intercambiar los lados. De manera similar, cos 𝜃 es la longitud del lado adyacente 𝑎 sobre la hipotenusa 𝑟. Y así, nuestro cos 𝜃 es igual a 𝑎. Nuevamente, solo necesitamos intercambiar los lados para hallar que 𝑎 es 𝑟 cos 𝜃.

Habiendo hallado las partes real e imaginaria de 𝑧 en términos de 𝑟 y 𝜃, podemos escribir 𝑧 en términos de 𝑟 y 𝜃 por sustitución. 𝑧 es 𝑟 cos 𝜃 más 𝑟 sen 𝜃 𝑖. Y esto basta como respuesta a nuestra pregunta. Significa que el número complejo 𝑧 cuyo modulo es 𝑟 y cuyo argumento es 𝜃 está representado por el punto 𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sen 𝜃 en el plano complejo. Estas expresiones te deben ser familiares si ya habías aprendido sobre las coordenadas polares. Si conocemos el módulo y el argumento de un número complejo, podemos usar esta fórmula para hallar el número complejo en forma binómica.

Sabiendo que el módulo de 𝑧 es cuatro raíz de dos y que el argumento de 𝑧 es menos 𝜋 partido por cuatro, halla 𝑧.

Bien, vemos que el módulo 𝑟 es cuatro raíz dos y el argumento 𝜃 es menos 𝜋 por cuatro. Los ponemos en nuestra fórmula. Y podemos hallar los valores usando una calculadora o usando ángulos notables e identidades de paridad. Cos es una función par. Así que cos de menos 𝜋 partido por cuatro es cos de 𝜋 partido por cuatro. Y 𝜋 partido por cuatro es un ángulo notable cuyo coseno es raíz de dos sobre dos. Del mismo modo, usando el hecho de que seno es una función impar, obtenemos que sen de menos 𝜋 partido por cuatro es menos raíz de dos sobre dos. Sustituyendo estos valores y simplificando, obtenemos cuatro menos cuatro 𝑖. Pero a veces, no queremos simplificar. Aun así, podemos reescribir nuestra fórmula sacando el factor común de 𝑟, obteniendo 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃.

Tengamos en cuenta que también hemos intercambiado la posición de 𝑖 y de sen 𝜃 aquí. Y resulta muy útil escribir un número complejo de esta forma. Aplicando esto a nuestro ejemplo, en donde el módulo de 𝑧 es cuatro raíz de dos y su argumento es menos 𝜋 partido por cuatro, escribimos 𝑧 en la forma 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 por sen 𝜃. Simplemente poniendo cuatro raíz de dos en vez de 𝑟 y menos 𝜋 partido por cuatro en vez de 𝜃, obtenemos que 𝑧 es cuatro raíz de dos por menos cos 𝜋 partido por cuatro más 𝑖 sen menos 𝜋 partido por cuatro. Este no es solo un paso para obtener el valor de 𝑧. Es una forma válida de expresar el valor de 𝑧.

Aquí hay una definición. Cuando se escribe un número complejo 𝑧 en la forma 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, se dice que está en la «forma polar». Esta también se suele llamar «forma trigonométrica» porque incluye las funciones trigonométricas coseno y seno o «forma módulo-argumento» ya que esta forma hace que sea fácil leer el módulo y el argumento. Con 𝑧 como en la definición, su módulo es 𝑟 y su argumento es 𝜃.

Esto nos deja con la pregunta de cuál es la llamada forma original 𝑎 más 𝑏𝑖. Esta se llama «forma binómica», «forma cartesiana» o «forma rectangular». Cuatro menos cuatro 𝑖 está en esta forma. Y cuatro raíz de dos por cos menos 𝜋 por cuatro más 𝑖 sen menos 𝜋 por cuatro es el mismo número complejo, pero escrito en forma trigonométrica. Veamos un ejemplo en donde algunos números están correctamente escritos en forma polar y otros no.

¿Cuáles de los siguientes números complejos están correctamente expresados en forma polar?

Usa un momento ahora para pausar el video y ver cada opción cuidadosamente antes de analizarlas juntos. ¿De acuerdo, ya estás listo? Aquí vamos. Decimos que nuestro número complejo está expresado en forma polar si está escrito en la forma 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 para algún valor de 𝑟 y de 𝜃. Y, por supuesto, queremos que el valor de 𝑟 sea mayor o igual que cero. Es el módulo de nuestro número complejo. Y a menudo queremos que 𝜃 esté en el intervalo de menos 𝜋 a 𝜋, incluyendo 𝜋 pero no menos 𝜋, para que sea el argumento principal del número complejo. Pero no nos preocuparemos por eso por el momento.

Bien, comencemos con la opción A; ¿Está escrita en la forma requerida? El valor de raíz de dos fuera de los paréntesis se ve bien. Pero dentro de los paréntesis, tenemos sen de algo más 𝑖 cos de algo, cuando lo que queremos es cos de algo más 𝑖 sen de algo. Esto no está expresado correctamente en forma polar.

¿Qué tal la opción B? Bueno, vemos que fuera de los paréntesis el valor de 𝑖 es cinco, lo cual es correcto. Eso está muy bien. Y dentro de los paréntesis, tenemos cos de algo más 𝑖 sen de algo que es lo que queremos. Y lo más importante, en ambos términos es el mismo algo; menos cinco 𝜋 partido por seis es el valor de 𝜃. Este valor de 𝜃 es negativo. Pero eso está bien. Está permitido. De hecho, es incluso el argumento principal de nuestro número complejo. Y sí, B está correctamente expresado en forma polar.

Pasando a C, vemos que el valor de 𝑟 es 𝑒 al cuadrado, nuevamente un número positivo. Pero dentro de los paréntesis, tenemos cos algo menos 𝑖 sen algo. Y necesitaríamos que ese menos sen fuera un más sen para que este número complejo estuviera correctamente expresado en forma trigonométrica.

Pasamos a D. El valor de 𝑟 aquí es tres 𝜋 partido por cuatro. Dentro de los paréntesis, tenemos cos algo más 𝑖 sen algo como es requerido. Y de nuevo, esos algo son lo mismo. El valor de 𝜃 es raíz de 35. Tal vez pienses que es extraño que este número complejo tenga un módulo de tres 𝜋 partido por cuatro y un argumento de raíz de 35. Seguramente, debería ser al revés, ¿verdad? Pero técnicamente hablando, no hay nada de malo en esto. Está en forma polar. Sin embargo, si alguna vez escribes un número complejo como este donde el módulo es un múltiplo de 𝜋 y el argumento es la raíz cuadrada de un número, debes asegurarte de no haber intercambiado accidentalmente esos dos valores.

Finalmente, en la opción E, tenemos un valor positivo de 𝑟 fuera de los paréntesis y cos de algo más 𝑖 sen de algo dentro de los paréntesis. Pero estos algo no son lo mismo. Tenemos 35𝜋 sobre siete y 35𝜋 sobre seis. Deben tener el mismo valor 𝜃, que es el argumento del número complejo. Como no son lo mismo, este número no está escrito correctamente en forma trigonométrica.

Nuestra respuesta es, por lo tanto, que solo B y D están escritos correctamente en forma polar. Como una extensión, tal vez quieras utilizar algunas identidades del seno y del coseno que conoces para expresar correctamente las opciones A y C en forma polar. Desafortunadamente, no hay una manera fácil de hacer esto para la opción E.

Veamos un ejemplo rápido de conversión de una forma trigonométrica a una forma rectangular antes de intentar convertir a la inversa.

Halla cos 𝜋 partido por seis. Halla sen 𝜋 partido por seis. Y, consecuentemente, expresa el número complejo 10 cos 𝜋 partido por seis más 𝑖 sen 𝜋 partido por seis en forma rectangular.

Bueno, 𝜋 partido por seis radianes que es 30 grados es un ángulo especial. Y así, recordamos que cos de 𝜋 partido por seis es la raíz de tres partido por dos y sen de 𝜋 partido por seis es un medio. Alternativamente, la calculadora puede darnos estos valores. Y ahora que tenemos estos dos valores, podemos escribirlos en nuestro número complejo en forma trigonométrica, obteniendo 10 por raíz de tres sobre dos más un medio 𝑖. Y distribuyendo ese 10 a los términos entre paréntesis, obtenemos cinco raíz de tres más cinco 𝑖 que, según se nos pide, está en forma rectangular, también conocida como forma binómica o forma cartesiana, la forma 𝑎 más 𝑏𝑖. Convirtamos ahora un número complejo de forma binómica a forma polar.

Halla el módulo del número complejo uno más 𝑖. Halla el argumento del número complejo uno más 𝑖. Y, seguidamente, escribe el número complejo uno más 𝑖 en forma polar.

Podemos representar el número en el plano complejo para ayudarnos. Y podemos dibujar el vector desde el origen cero en el plano complejo hasta el número complejo uno más 𝑖. El módulo de uno más 𝑖 es simplemente la magnitud de este vector. Y considerando un triángulo rectángulo y aplicando el teorema de Pitágoras, encontramos que el módulo es la raíz cuadrada de uno al cuadrado más uno al cuadrado, que es la raíz cuadrada de dos. Por supuesto, la fórmula para el módulo de 𝑎 más 𝑏𝑖 nos habría dado la misma respuesta. Ese es el módulo de uno más 𝑖. ¿Qué hay de su argumento?

Bueno, eso es la medida de este ángulo aquí, que llamaremos 𝜃. Y debido a que tenemos un triángulo rectángulo con la longitud del lado opuesto uno y la longitud del lado adyacente uno, sabemos que tan 𝜃 es igual al opuesto dividido por el adyacente. Es decir, 𝜃 es arctan de uno sobre uno, es decir, arctan de uno, que es 𝜋 partido por cuatro. También podríamos haber llegado a esto notando que estamos tratando con un triángulo rectángulo isósceles. Y así, 𝜃 debe ser 45 grados, que es 𝜋 partido por cuatro en radianes. Ahora que tenemos el módulo y el argumento de nuestro número complejo, podemos escribirlo en forma polar.

Decimos que nuestro número complejo está escrito en forma polar si está expresado en la forma 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. Y lo más importante para nosotros, si el número complejo 𝑧 está expresado de esta forma, su módulo es 𝑟 y su argumento es 𝜃. Bueno, conocemos el módulo y el argumento de nuestro número complejo, por lo que podemos sustituirlos como valores de 𝑟 y 𝜃. El valor de 𝑟 es el módulo raíz de dos y el valor de 𝜃 es el argumento 𝜋 partido por cuatro. Esto es el número complejo uno más 𝑖 en forma polar. Así es como pasamos un número complejo de forma binómica a forma polar. Hallamos su módulo y su argumento y luego los reemplazamos en la fórmula.

Veamos otro ejemplo.

Expresa el número complejo 𝑧 igual a cuatro 𝑖 en forma trigonométrica.

Hacemos esto en tres pasos. Hallamos 𝑟, que es el módulo de 𝑧. Hallamos 𝜃, que es su argumento. Y reemplazamos estos valores en 𝑧 igual a 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. Pero primero, representemos el número en el plano complejo, con cuatro 𝑖, por supuesto, en el eje imaginario. Podemos ver que su módulo, su distancia desde el origen, es cuatro. Podríamos haber conseguido esto también usando nuestra fórmula. En cualquier caso, 𝑟 es cuatro. ¿Cuánto es su argumento?

Intentar usar una fórmula que contenga arctan 𝑏 sobre 𝑎 no funcionará ya que 𝑎 es cero. Y no podemos dividir por cero. Pero, afortunadamente, tenemos nuestro diagrama y el argumento no es otra cosa que este ángulo de aquí, cuya medida es 90 grados o 𝜋 partido por dos radianes. Por tanto, el argumento de 𝑧 es 𝜋 partido por dos. Este es un valor que tenemos que sustituir por 𝜃. Y ahora estamos listos para sustituir. Y al hacerlo, obtenemos cuatro por cos 𝜋 partido por dos más 𝑖 sen 𝜋 partido por dos.

Estos son los puntos clave que hemos tratado en el video. Así como los puntos en el plano se pueden dar usando coordenadas cartesianas o polares, los números complejos se pueden dar en forma binómica, o en forma polar o trigonométrica. La forma polar o trigonométrica de un número complejo 𝑧 es 𝑧 igual a 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, en donde 𝑟, que es mayor o igual que cero, es el módulo y 𝜃 es el argumento. Para convertir 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖 de la forma binómica a la forma polar, calculamos su módulo 𝑟 y su argumento 𝜃 y reemplazamos estos valores en la fórmula anterior. Para convertir 𝑧 igual a 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃 de la forma trigonométrica a la forma binómica, evaluamos el seno y el coseno, distribuimos 𝑟 y simplificamos.

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