Vídeo: El orden de las operaciones: evaluar expresiones numéricas

Hacemos uso de varios ejemplos para explicar cómo aplicar las reglas del orden de operaciones para evaluar consistentemente expresiones aritméticas como 11 − 10/5 ∗ 4 + 9. Utilizamos el acrónimo PEMDAS para ayudarnos a recordar el orden.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a ver el orden en el que se realizan las operaciones, y para ello a usar el acrónimo PEMDAS. A veces se utilizan los acrónimos PAPOMUDAS o PAPOMUDISURE, y PEMDAS es básicamente lo mismo.

Cuando tenemos que evaluar expresiones complicadas, PEMDAS nos ayuda a decidir qué hacer primero y qué hacer después. Vamos a comenzar analizando las reglas y después vamos a ver algunos ejemplos. Lo primero en la lista es P, de paréntesis. Y se refiere a los paréntesis y otros símbolos de agrupación.

Esto se aplica cuando tenemos paréntesis, como aquí en tres más cinco. Podemos tener también corchetes, cuatro menos dos. O quizás una fracción y el numerador implica agrupación. Veamos, por ejemplo, una expresión como cinco más tres entre paréntesis, multiplicado por seis. Primero tenemos que evaluar cinco más tres, que, obviamente, es igual a ocho. Y una vez que hemos evaluado esto, podemos quitar los paréntesis. Y nuestra expresión se convirtió en ocho por seis, lo que es igual a 48.

Otro ejemplo es cinco más tres todo sobre dos. Esto significa cinco más tres dividido por dos. Pero, como cinco más tres es el numerador, debemos resolverlo primero, pues los números están agrupados. Es casi como si tuviéramos paréntesis alrededor del numerador. Por tanto, resolviéndolo primero, obtenemos ocho sobre dos. Obviamente, en ocho sobre dos, ya no necesitamos paréntesis. Y sabemos que ocho sobre dos realmente significa ocho dividido por dos, y ocho dividido por dos es cuatro. Otro ejemplo es tres más dos entre paréntesis por siete menos dos entre paréntesis. P es lo primero en la lista, así que vamos a evaluar los paréntesis primero. Pero tenemos dos, ¿qué hacemos? Pues resolvemos el de la izquierda primero y después seguimos hacia la derecha. Es decir, evaluamos el izquierdo primero, después el derecho. Y tres más dos es igual a cinco, que es igual a cinco por siete menos dos. Ahora podemos evaluar el paréntesis derecho. Y siete menos dos es cinco, por lo tanto, tenemos cinco por cinco, que es igual a 25.

Es importante recordar que cuando usamos PEDMAS, si dos términos diferentes tienen la misma agrupación, ambos tienen paréntesis, digamos, entonces trabajaremos de izquierda a derecha. Por eso hicimos este primero, y luego hicimos este. Ahora E, exponentes. Por ejemplo, 𝑥 al cuadrado, 𝑥 a la potencia de dos. Y después de que hemos evaluado los paréntesis, necesitamos evaluar los exponentes, y debemos ser cuidadosos en elevar únicamente las bases a sus exponentes. Veamos algunos ejemplos. Dos más tres al cuadrado. Bien, esto contiene paréntesis, así que debemos evaluar el paréntesis primero. Y dos más tres es igual a cinco, es decir cinco al cuadrado, es decir cinco multiplicado por cinco, que es igual a 25.

Pero ¿qué sucede si tenemos que hacer dos más tres sin que haya paréntesis? Bien, si no hay paréntesis, no pasa nada. Sencillamente, comenzamos con nuestros exponentes. Tenemos que evaluar tres al cuadrado que es tres por tres, que es igual a nueve, y luego es dos más nueve que es igual a 11. Es importante que apliquemos el exponente solo a su base, el tres, no toda la expresión de dos más tres. Habríamos necesitado paréntesis para que fuera de esta forma. Bien, ¿qué hay acerca de menos tres al cuadrado? Bueno no hay paréntesis, así que no debemos preocuparnos por esto. Lo siguiente en la lista son los exponentes, tenemos que calcular el tres al cuadrado. ¿Qué sucede con el signo menos delante del tres? Este puede ser interpretado como menos uno por tres al cuadrado, como cero menos tres al cuadrado, o simplemente menos tres al cuadrado. En cualquiera de los casos, es una multiplicación o una resta; y estas dos operaciones están mucho después de los exponentes en nuestra lista. Por consiguiente, lo primero que vamos a hacer es tres al cuadrado. Tres al cuadrado es igual a nueve, y tenemos menos nueve. Aquí está nuestra respuesta: menos nueve. Puede que estés pensando «¡Espera!, menos tres al cuadrado es menos tres por menos tres. ¡Esto debe ser igual a más nueve!» Pero eso es lo que lo escribimos, no escribimos menos tres al cuadrado, sino que escribimos menos tres al cuadrado. De haber escrito menos tres entre paréntesis, sería el cuadrado de todo lo que está dentro del paréntesis. Es decir menos tres por menos tres, que es igual a nueve. Vemos, pues, que debemos prestar mucha atención cuando estamos evaluando casos como este.

Lo siguiente en la lista es la multiplicación y la división. Es muy importante recordar que la multiplicación y la división tienen el mismo nivel de precedencia; ambos tienen la misma jerarquía en esta lista. Pero trabajamos de izquierda a derecha a lo largo de la expresión que evaluamos. Por ejemplo, 15 dividido por cinco por dos. Que la M aparezca antes que la D en PEMDAS no significa que primero tenemos que hacer la multiplicación. Trabajamos de izquierda a derecha, ¿recuerdas? Tienen la misma prioridad, así que primero dividimos 15 por cinco, que es igual a tres, y luego hacemos tres por dos. Y ahora solo nos queda una cosa que hacer, tres por dos, que es seis. Echemos un vistazo a esto: dos por tres más cuatro por cinco. Bueno, no hay paréntesis, no hay exponentes, pero tenemos dos multiplicaciones, vamos a trabajar de izquierda a derecha. Comenzamos con esta multiplicación. Y dos por tres es seis, y eso se vuelve seis más cuatro por cinco. Después hacemos esta multiplicación, y cuatro por cinco es 20, así que ahora tenemos seis más 20, que es 26.

Y lo último en nuestra lista es la suma y la resta. Nuevamente, ambas tienen la misma jerarquía y operamos de izquierda a derecha a lo largo de la expresión. Por ejemplo, uno más dos menos tres. Tenemos una suma y una resta. Así que vamos a trabajar de izquierda a derecha a través de esa expresión. uno más dos son tres, así que tenemos tres menos tres. Y tres menos tres es cero, que es nuestra respuesta. Veamos otra: cinco menos dos más tres. Tenemos una resta y tenemos una suma. El hecho de que diga AS en PEMDAS no significa que se debe hacer la suma primero; tenemos que trabajar de izquierda a derecha a lo largo de esa expresión. Primero, vamos a hacer cinco menos dos, que es igual a tres. Así que obtenemos tres más tres. Ahora podemos sumar tres más tres y obtenemos seis. Dijimos que si tenemos sumas y restas, ambas tienen igual prioridad, y que trabajamos de izquierda a derecha. Pero al haber paréntesis alrededor de los dos términos de la derecha en la expresión, tenemos que evaluar el paréntesis primero. Estos paréntesis significan que vamos a mirar aquí adentro; calculamos dos más tres antes de restar de cinco. Bueno, dos más tres son cinco, cinco menos cinco, es igual a cero.

Veamos algunos ejemplos generales. 11 menos 10 dividido por cinco multiplicado por cuatro más tres al cuadrado. Bueno, no tenemos ningún paréntesis, así que no tenemos que hacer nada aquí arriba. ¿Tenemos exponentes? Sí, tenemos exponentes, y tenemos que calcularlos primero. Tres al cuadrado es igual a nueve, así que ahora tenemos 11 menos 10 dividido por cinco multiplicado por cuatro más nueve. ¿Tenemos alguna multiplicación o división? Sí tenemos, y es lo que vamos a hacer ahora. Tenemos una división y una multiplicación. Y sabemos que trabajamos de izquierda a derecha, aquí que vamos a hacer la división primero, y después la multiplicación. Diez dividido por cinco es dos, tenemos 11 menos dos por cuatro más nueve. Continuamos con la multiplicación, dos por cuatro. Ahora tenemos 11 menos dos por cuatro, esto es 11 menos ocho, y tenemos más nueve al final. Hasta aquí hemos aplicado P, E, M, D, y ahora vamos a aplicar la adición y la sustracción. Y, una vez más, trabajamos de izquierda a derecha. Comenzamos con esta operación, y después la otra. Y 11 menos ocho es tres, ahora tenemos tres más nueve, lo que nos da doce como resultado.

Veamos otro ejemplo, cuatro multiplicado por dos por dos entre paréntesis dividido por cuatro multiplicado por dos más dos entre paréntesis. Aquí tenemos dos pares de paréntesis, vamos a evaluar de izquierda a derecha. Dos por dos es igual a cuatro, lo que nos deja con cuatro multiplicado por cuatro dividido por cuatro multiplicado por dos más dos. Evaluando el segundo paréntesis tenemos cuatro multiplicado por cuatro dividido por cuatro multiplicado por cuatro. Y hemos calculado los paréntesis. No tenemos ningún exponente, continuamos con la multiplicación y la división. Tienen la misma prioridad, solo que tenemos que trabajar de izquierda a derecha. Pero primero vamos a hacer esta, después esta, y esta. Y obtenemos 16 como respuesta.

Vale la pena señalar que hay un error común que comete la gente. Mucha gente nota el paréntesis aquí, y dicen: «Vamos a evaluar todo ese fragmento», y después ven estos paréntesis aquí y evalúan todo el fragmento. Y hacen dos por dos es cuatro por cuatro es 16 y dos más dos es cuatro por cuatro es 16. Calculan dieciséis dividido por dieciséis, y obtienen la respuesta uno. ¡Y eso está mal! Es por esto que trabajar de izquierda a derecha es una regla importante. Ahora, si hubiéramos querido que la respuesta fuera igual a uno, lo que deberíamos haber hecho es poner un paréntesis alrededor de toda esa primera expresión y un paréntesis alrededor de toda esa otra expresión. Esto nos habría obligado a evaluar los paréntesis dentro de los paréntesis primero, después el de la izquierda, y luego los paréntesis dentro de estos paréntesis primero, y después ese otro. Obteniendo 16 dividido por 16, igual a uno.

Muy bien, ahora veamos esto. Tenemos cinco menos dos más tres todo al cuadrado menos tres menos seis al cuadrado dividido por dos. De modo que vamos a calcular los paréntesis primero. Y aquí dentro, tenemos una suma y una resta, y trabajamos de izquierda a derecha dentro del primer paréntesis. Primeramente, tenemos cinco menos dos, que es igual a tres, y tenemos tres más tres. Tres más tres es igual a seis, y tenemos seis al cuadrado menos tres menos seis al cuadrado dividido por dos. Así que hemos evaluado nuestros paréntesis. Lo siguiente son los exponentes. Y tenemos dos: este y este. Evaluando el de la izquierda primero, obtenemos 36. Y evaluando el segundo, que es seis al cuadrado. También obtenemos 36. Bueno, no hay más exponentes, así que continuamos con la multiplicación y la división. No tenemos multiplicaciones pero tenemos una división: 36 dividido por dos es 18. Y ahora nos quedamos solo con la suma y la resta, de hecho solo resta. Tenemos 36 menos tres menos dieciocho, comenzamos por la primera. 36 menos tres es 33, y 33 menos 18 es 15, y esta es nuestra respuesta.

Veamos ahora este ejemplo, tenemos dos pares de paréntesis: uno interno y uno externo. Así que primero evaluaremos el interno. Dentro del cual, tenemos 25 dividido por cinco, menos dos, aquí tenemos una división y una resta. Siguiendo PEMDAS, tenemos que hacer la división antes de la resta. Parece que lo primero que hicimos fue evaluar una división y, sin embargo, esta está mucho después de los paréntesis en nuestra lista. Pero recordemos que estamos trabajando en el paréntesis interno, 25 dividido por cinco es cinco. Así que ahora tenemos que evaluar cinco menos dos, que están entre paréntesis todavía. Y cinco menos dos es tres, de modo que nuestro paréntesis aquí resulta valer tres al cuadrado. Y todavía tenemos un paréntesis, vamos a evaluarlo. Es el total de tres al cuadrado menos uno al cuadrado. Primero tenemos que evaluar el paréntesis, tres al cuadrado menos uno. Dentro del cual, primero tenemos que evaluar el tres al cuadrado porque es un exponente, y después vamos a restar uno porque la resta va después de los exponentes en la lista. Tres al cuadrado es nueve, y nueve menos uno es ocho. El paréntesis dentro del paréntesis es igual a ocho, y nos queda ocho al cuadrado, que es 64. Cuando tenemos varios paréntesis, paréntesis dentro de paréntesis, primero debemos evaluar estos paréntesis. Y debido a que dentro del paréntesis aún podría haber algunas expresiones bastante complicadas, la primera operación a realizar en un cálculo puede ser multiplicación, división, suma o resta incluso. Debemos evaluar el contenido de los paréntesis antes de seguir adelante y evaluar otras partes de la expresión.

Bien, veamos un último ejemplo. Este es bastante complicado. En términos de paréntesis, tenemos dos pares de paréntesis, por lo que podemos evaluar primero el de la izquierda. Y 10 menos cinco es igual a cinco. De hecho, hay un par de paréntesis aquí; esta línea aquí en la fracción que divide el numerador del denominador implica una agrupación de todo lo que hay en el numerador. Podemos decir que son paréntesis implícitos allí. Vamos a evaluarlos a continuación. Tenemos cinco al cuadrado más cinco; vamos a hacer el cuadrado primero, antes de sumar los cinco. Y 25 más cinco es 30. Y con esto hemos evaluado los paréntesis. Ahora evaluar esta expresión aquí, menos dos todo al cuadrado significa menos dos por menos dos, que es igual a más cuatro. Como ya hemos evaluado los paréntesis, podemos continuar con los exponentes, y hay uno por aquí: dos al cuadrado. dos al cuadrado es cuatro. Y hemos evaluado todos nuestros paréntesis y exponentes. Finalmente, el turno de la multiplicación y división. Bueno, tenemos una división implícita aquí: 30 dividido por seis, que vale cinco. Así que ahora solo nos quedan las sumas y las restas. Vamos a trabajar desde la izquierda, primero cinco más cuatro y después menos cuatro. Cinco más cuatro es nueve, y nueve menos cuatro es cinco. Bueno, hemos visto un puñado de ejemplos. Esperemos que hayamos visto lo suficiente de PEMDAS para seas capaz de evaluar cualquier expresión que te encuentres en el futuro.

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