Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo trasladar o alargar una función trigonométrica y cómo hallar la ecuación de una función trigonométrica conociendo la transformación. En esta lección podrás aprender cómo hallar las coordenadas de un punto en una gráfica trigonométrica después de haber sido transformada. También aprenderás cómo trasladar la gráfica de la función trigonométrica en las direcciones de los ejes 𝑥 y 𝑦. Y también aprenderás cómo alargar la gráfica de una función trigonométrica.
Lo primero que debemos recordar es cómo son nuestras gráficas trigonométricas. Y en esta primera pantalla tenemos la gráfica de 𝑦 igual a tan 𝑥, 𝑦 igual a sen 𝑥 y 𝑦 igual a cos 𝑥. Y necesitamos recordarlas, para poder usarlas, por ejemplo, más adelante en la lección, cuando estemos resolviendo problemas.
Antes de comenzar y resolver algunas cuestiones, lo que tenemos que hacer es recordar cómo funcionan las transformaciones de las gráficas. Así que vamos a recordar cómo transformamos las gráficas. Y, según dijimos, lo que estamos viendo en esta lección son traslaciones y alargamientos. Si comenzamos con traslaciones, lo que tenemos es 𝑓 de 𝑥 más 𝑎 o 𝑓 de 𝑥 más 𝑎. Pero ¿en qué se diferencian?
En primer lugar, si observamos lo que 𝑓 de 𝑥 más 𝑎 significa, esto es, de hecho, un desplazamiento de la gráfica a lo largo del eje 𝑥 de menos 𝑎 unidades. Lo que esto significa en la práctica es que, si tomamos las coordenadas 𝑥 de nuestra primera gráfica, hemos de restar 𝑎 de todas ellas para obtener la gráfica trasladada. Para nuestra segunda traslación, lo que haremos es mirar nuestras coordenadas 𝑦 y les agregamos 𝑎.
Hay un principio general para entender las traslaciones o cualquier otra transformación de funciones. Si la transformación tiene lugar dentro del paréntesis, entonces se refiere al eje 𝑥. Y, además, hemos de hacer lo contrario de lo que podríamos esperar. Por ejemplo, podemos ver en este caso, que, para obtener las nuevas abscisas de la gráfica, en lugar de sumar 𝑎 como ocurre dentro del paréntesis, restaremos 𝑎. Por otro lado, si el cambio ocurre fuera del paréntesis, entonces la transformación se refiere al eje 𝑦. Y hemos de hacer lo que cabe esperar. Aquí, para obtener las nuevas ordenadas de la gráfica, agregamos 𝑎 como dijimos. Añadimos 𝑎 a nuestras coordenadas 𝑦.
En las transformaciones, podemos referirnos al cambio en el eje 𝑥 como cambio horizontal y al cambio en el eje 𝑦 como cambio vertical. Veamos, pues, un ejemplo rápido. Tenemos la gráfica aquí en rosa de 𝑦 igual a cos de 𝑥, o sea, la gráfica del coseno de 𝑥, y si la desplazamos 90 grados a la derecha, es decir, 90 grados a lo largo del eje 𝑥, entonces lo que tenemos es la gráfica de 𝑦 igual al coseno. Luego tenemos 𝑥 menos 90 porque, como dijimos, estará entre paréntesis porque estamos trabajando con el eje 𝑥. Y como hemos sumado 90, lo que vamos a hacer es restar 90. Y eso nos da nuestra traslación.
De hecho, lo que hemos hecho es un desplazamiento horizontal de 90 grados en el eje 𝑥. Pero lo que también podemos ver es que este desplazamiento horizontal significa que nuestra gráfica de 𝑦 igual a cos 𝑥 se ha convertido en la gráfica de 𝑦 igual a sen 𝑥.
Muy bien, pasemos a nuestros alargamientos. 𝑓 de 𝑎𝑥 es un alargamiento paralelo al eje 𝑥 con un factor de escala de uno sobre 𝑎 y 𝑎𝑓 de 𝑥 es un alargamiento paralelo al eje 𝑦 con un factor de escala de 𝑎. Así que, una vez más, podemos ver que cuando se trata del eje 𝑥, hacemos lo contrario de lo esperado. En lugar de multiplicar por el número, en realidad dividimos, porque el factor de escala es uno sobre 𝑎, mientras que con el eje 𝑦, multiplicamos por ese 𝑎.
En la práctica, lo que esto significa es que si miramos el primer alargamiento, dividimos cada una de nuestras coordenadas 𝑥 por 𝑎. Y esto resulta en un cambio en el período de nuestra gráfica trigonométrica. Y el período de una gráfica trigonométrica es la distancia entre sus picos o desde un punto hasta el siguiente punto equivalente, mientras que si miramos el segundo alargamiento, lo que hacemos en la práctica es multiplicar las coordenadas 𝑦 por 𝑎. Y lo que hace esto cambiar la amplitud de nuestra gráfica. Y la amplitud es la altura desde la recta central hasta el pico o el valle de la gráfica. O podemos medir la altura desde los puntos más altos hasta los más bajos y dividirlos por dos.
Echemos un vistazo rápido a un ejemplo de alargamiento. Aquí tenemos 𝑦 igual a sen 𝑥. Y lo que hemos dibujado es 𝑦 igual a sen dos 𝑥. Y podemos ver aquí que cada una de las coordenadas 𝑥 está, de hecho, dividida por dos. Y por lo tanto, a su vez, podemos ver que nuestro período se ha reducido a la mitad porque el período de nuestra primera función, que era 𝑦 igual a sen 𝑥, es de 360 grados. Y podemos ver que de una depresión a otra depresión hay 360 grados o de un punto correspondiente al otro punto correspondiente 360 grados, mientras que si miramos la línea azul, 𝑦 igual a sen dos 𝑥, entonces la distancia entre nuestros picos es de 180 grados.
Muy bien, así que nos hemos recordado a nosotros mismos cómo son las transformaciones de las gráficas para nuestras gráficas trigonométricas. Sigamos adelante resolviendo algunos problemas.
La figura muestra la gráfica de 𝑓 de 𝑥. Una transformación lleva 𝑓 de 𝑥 a 𝑓 de 𝑥 menos tres. Determina la coordenada de 𝐴 después de esta transformación.
Si tenemos una transformación que lleva 𝑓 de 𝑥 a 𝑓 de 𝑥 menos tres, la transformación que estamos viendo será, de hecho, una traslación horizontal o vertical. Y si recordamos rápidamente nuestras traslaciones, sabemos que 𝑓 de 𝑥 más 𝑎 es un cambio en el eje 𝑦 de más 𝑎, mientras que 𝑓 de 𝑥 más 𝑎 es un cambio en el eje 𝑥 de menos 𝑎.
Por lo tanto, lo que estamos viendo es nuestra primera traslación o nuestro primer cambio. Y esto va a ser un cambio en el eje 𝑦 de 𝑎. Por eso se llama desplazamiento vertical. En nuestro caso, 𝑎 será menos tres. Lo que esto significa en la práctica es que restamos tres de las coordenadas 𝑦 de nuestro punto. Así que, de hecho, lo que podemos ver es que nuestro punto 𝐴 se desplazará tres unidades hacia abajo en el eje 𝑦. Por lo tanto, podemos decir que las coordenadas de 𝐴 después de la transformación serán 45, menos dos.
Muy bien, ahora veamos otro ejemplo. En el siguiente ejemplo, lo que vamos a hacer es usar la transformación que vimos anteriormente en la introducción. Sin embargo, nos centraremos en un punto en particular para esta transformación.
La figura muestra la gráfica de 𝑓 de 𝑥. Una transformación lleva 𝑓 de 𝑥 a 𝑓 de dos 𝑥. Determina las coordenadas de 𝐴 después de esta transformación.
Bien, lo que estamos viendo en este problema es una transformación que lleva 𝑓 de 𝑥 a 𝑓 de dos 𝑥. Así que, de hecho, lo que estamos viendo es un alargamiento. Si recordamos nuestros alargamientos, entonces sabemos que 𝑎𝑓 de 𝑥 es un alargamiento paralelo al eje 𝑦 con un factor de escala de 𝑎 y 𝑓 de 𝑎𝑥 es un tramo paralelo al eje 𝑥 con un factor de escala de uno partido por 𝑎. De hecho, se trata del segundo escenario porque estamos viendo un alargamiento paralelo al eje 𝑥 ya que tenemos 𝑓 de dos 𝑥. Como tenemos 𝑓 de dos 𝑥, podemos ver que el factor de escala será, de hecho, un medio. Lo que esto significa en la práctica es que cada una de nuestras coordenadas 𝑥 se reducirá a la mitad.
Y lo que hemos hecho aquí es una especie de bosquejo de cómo sería la nueva gráfica. Por lo tanto, podemos decir que las coordenadas de 𝐴 después de la transformación serán 90, menos uno. Podemos ver esto como el punto correspondiente en nuestra gráfica. O podríamos haber hallado esto simplemente, como dijimos, dividiendo por dos la coordenada 𝑥, dividiendo por dos 180, lo que nos da 90, 90, menos uno.
Muy bien, ahora lo que vamos a hacer es pasar a un ejemplo en el que tenemos una selección de gráficas y tenemos que elegir cuál es la correcta para una transformación de una de nuestras funciones trigonométricas.
¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑦 igual a cos 𝑥 menos 90?
En primer lugar, recordemos cómo se ve la gráfica de 𝑦 igual a cos 𝑥. Y podemos verla aquí. Esta es la forma de nuestra gráfica. Y lo que estamos buscando es 𝑦 igual a cos 𝑥 menos 90. Y esto es una traslación o un desplazamiento de la gráfica 𝑦 igual a cos 𝑥. Y eso es porque podemos pensar en ello como la transformación 𝑓 de 𝑥 más 𝑎, donde este tipo de traslación es un cambio en el eje 𝑥 de unidades 𝑎 negativas. De hecho, como nuestra 𝑎 es menos 90, menos 𝑎 nos dará un resultado de más 90. Así que debemos mover nuestra gráfica 90 grados a la derecha, o sea, 90 grados a lo largo del eje 𝑥, lo que hemos mostrado aquí en nuestro boceto.
Después, todo lo que necesitamos hacer es identificar cuál de nuestras gráficas es igual a esta. Podemos ver que la gráfica (A) coincide con esto. Y esta es la gráfica correcta porque muestra el cambio horizontal correcto de 90 grados. Y podemos ver que las otras gráficas son incorrectas porque la gráfica (B) muestra la gráfica 𝑦 igual a cos 𝑥, (C) es un cambio de período, (D) es de hecho un cambio horizontal y de período, y (E) es un desplazamiento vertical. Así que podemos confirmar que la gráfica correcta es la gráfica (A).
Bien, ahora vamos a ver otro ejemplo de cambio. Pero esta vez, lo que vamos a ver es un problema en el que tenemos un desplazamiento vertical, o sea, una traslación en el eje 𝑦.
¿Cuál de las siguientes es una gráfica de 𝑦 igual a cos 𝑥 más uno?
Está claro que 𝑦 igual a cos 𝑥 más uno es una traslación de 𝑦 igual a cos 𝑥. Y sabemos que esta transformación es una traslación porque es la forma 𝑓 de 𝑥 más 𝑎, así que se trata de un desplazamiento a lo largo del eje 𝑦 de 𝑎 unidades. Se trata pues de un desplazamiento de 𝑎 unidades en el eje 𝑦. Pero ¿qué gráfica es trasladada?
Bien, va a ser es una traslación de 𝑦 igual a cos 𝑥. Y sabemos que será un desplazamiento en el eje 𝑦 de una unidad. Pero ¿qué significa esto en la práctica? Lo que significa es que sumamos uno a cada una de nuestras coordenadas 𝑦. Para ayudarnos a calcular cuál de nuestros gráficos va a ser este desplazamiento de una unidad en el eje 𝑦, lo que hemos hecho aquí es dibujar 𝑦 igual a cos 𝑥. Y lo hemos hecho en la gráfica (A).
En realidad, si lo desplazamos una unidad en el eje 𝑦, o sea, si sumamos uno a cada una de las coordenadas 𝑦, podemos ver que se superpondría a la gráfica que se muestra en (A). Porque en lugar de que los picos estén en uno, estarían en dos. Y en lugar de que los valles estén en menos uno, estarían en cero. Por lo tanto, podemos decir que la gráfica (A) es la gráfica de 𝑦 igual a cos 𝑥 más uno. Si quisiéramos verificar las otras gráficas, podemos ver que estas son incorrectas porque (B) es de hecho la gráfica 𝑦 igual a cos 𝑥. Tenemos (C), que es una traslación horizontal; (D) que es un alargamiento; y (E) que es un alargamiento horizontal y un desplazamiento horizontal.
Hasta ahora hemos contestado algunas cuestiones que requerían identificar qué gráfica corresponde con una ecuación en particular. Pero para la siguiente cuestión, lo que necesitamos hacer es determinar qué ecuación es la correcta para la gráfica que estamos viendo.
La figura muestra la gráfica de una función. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la gráfica? (A) 𝑦 es igual a sen dos 𝑥, (B) 𝑦 es igual a sen 𝑥 más dos, (C) 𝑦 es igual a dos sen 𝑥, (D) 𝑦 es igual a sen 𝑥 menos dos, o (E) 𝑦 es igual a sen 𝑥 más dos.
Para responder a este problema, lo que hemos hecho es dibujar un bosquejo rápido de una parte de nuestra gráfica de seno. Y esta primera parte que tenemos es positiva. Y lo que podemos ver es que el pico de 𝑦 igual a sen 𝑥 está en uno. Y si la alargamos un poco, de modo que la llevamos de cero al lado negativo, podemos ver que nuestro mínimo, o sea, uno de nuestros valles estará en menos uno. Sin embargo, si miramos esta gráfica que tenemos aquí, podemos ver que el pico está en menos uno. Y, de hecho, el mínimo está en menos tres. Así que podemos ver que ha habido un desplazamiento vertical hacia abajo de dos unidades.
Lo que podemos hacer es recordar algunas cosas de nuestras traslaciones con gráficas. Sabemos que 𝑓 de 𝑥 más 𝑎 es un desplazamiento vertical de 𝑎 unidades, o sea, un desplazamiento en la dirección 𝑦. Y sabemos que 𝑓 de 𝑥 más 𝑎 es una traslación horizontal o un cambio en la dirección 𝑥 de menos 𝑎 unidades. Por lo tanto, si solo estamos considerando el cambio vertical, podríamos decir que sería igual a sen 𝑥 menos dos porque estamos viendo nuestra primera traslación. Pero, espera, ¿habrá también un alargamiento?
De hecho, no sabemos cuáles son las coordenadas 𝑥 porque no están en grados. Por esta razón, es difícil saber si se ha producido un alargamiento o no. Si miramos (C), podemos ver que para (C) tenemos un alargamiento aquí. Y será un alargamiento en la dirección de 𝑦. Por lo tanto, sabemos que esta no puede ser la respuesta correcta porque en realidad las amplitudes de nuestras dos gráficas son exactamente las mismas, porque ambas amplitudes son uno.
Si miramos nuestro otro alargamiento, podemos ver que es un alargamiento paralelo al eje 𝑥. Y aquí tampoco se aplica un cambio vertical. Así que solo tenemos el alargamiento. Ya hemos identificado que se ha producido una traslación vertical. De modo que esta no puede ser la respuesta correcta. Por lo tanto, podemos decir que (D) es la ecuación que representa nuestra gráfica. Y si miramos (B) y (E), podemos ver que (B) sería incorrecto porque es simplemente un cambio en la dirección 𝑥. Es una traslación horizontal. Pero dijimos que el nuestro es un desplazamiento vertical. Y (E) es incorrecta porque (E) lo que hace es mover la gráfica dos unidades hacia arriba en lugar de dos unidades hacia abajo. Así que esto también habría sido incorrecto.
Bien, hemos visto varios ejemplos diferentes, y todos han sido una sola transformación. Como última cuestión, vamos a ver una transformación doble y qué hace.
¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑦 igual a sen 𝑥 sobre cuatro menos uno?
En este problema, lo que estamos viendo es una combinación de transformaciones. Sin embargo, debido a que una de nuestras transformaciones es horizontal y una de nuestras transformaciones es vertical, en realidad no importa en qué orden llevamos a cabo nuestras transformaciones. Si miramos la primera parte de nuestra transformación, es un alargamiento porque está en la forma 𝑓 de 𝑎𝑥. Se trata de un alargamiento paralelo al eje 𝑥 con un factor de escala de uno sobre 𝑎, mientras que podemos ver que la segunda parte de nuestra transformación es, de hecho, una traslación. Porque es de la forma 𝑓 de 𝑥 más 𝑎. Por lo tanto, es un desplazamiento vertical de 𝑎 unidades.
Lo que tenemos es algo que en realidad se refiere a una dirección horizontal porque es paralela al eje 𝑥. Y tenemos algo más, y eso es un desplazamiento, un desplazamiento vertical. Estamos mirando nuestro eje 𝑦. Como hemos dicho, esta gráfica será una transformación de la gráfica 𝑦 igual a sen 𝑥. Lo que hemos hecho aquí está bosquejado en la gráfica (C), nuestra gráfica de 𝑦 igual a sen 𝑥. Y esta es la forma que tiene.
Enseguida podemos ver que pasa por el origen: cero, cero. Como podemos ver en nuestra transformación, vamos a aplicar un desplazamiento vertical de menos uno porque vamos a restar una unidad de cada una de las coordenadas 𝑦. Por lo tanto, el punto que pasa por el origen en nuestra gráfica transformada va a ir a cero, menos uno. Pues bien, lo que sí podemos hacer es descartar las gráficas (A) y (E). Y eso es porque podemos ver que ninguna de estas gráficas pasa por el punto cero, menos uno.
Bien, pero todavía tenemos tres gráficas entre las que elegir. ¿Qué tenemos que hacer ahora? También podemos descartar las gráficas (C) y (D). Y eso es porque a pesar de que pasan por el punto cero, menos uno, podemos ver que, de hecho, tendría que haber ocurrido una traslación horizontal para transformarlos de 𝑦 igual a sen 𝑥 porque no lo atraviesan en el mismo punto en el gráfico. Porque para ambas gráficas, el valle está en cero, menos uno. Así que definitivamente podemos decir que (B) es la gráfica correcta.
Pero lo que también podemos hacer para confirmar que es la gráfica correcta es observar la distancia entre el punto donde cruza el eje 𝑦 y su primer pico. Y en la gráfica original de 𝑦 igual a sen 𝑥, esto es 90. Si miramos la nueva gráfica, es 360, lo cual tiene sentido porque el factor de escala debe ser uno sobre 𝑎 para nuestro estiramiento. Uno sobre uno sobre cuatro es lo mismo que multiplicar por cuatro. 90 por cuatro es 360.
Hemos visto una serie de ejemplos. Echemos un vistazo ahora a los puntos clave de la lección. Primero que nada, en la lección, hemos analizado las traslaciones. Si tenemos 𝑓 de 𝑥 más 𝑎, esto es un desplazamiento paralelo al eje 𝑥 de menos 𝑎 unidades, por lo tanto, una traslación horizontal. Y 𝑓 de 𝑥 más 𝑎 es un desplazamiento paralelo al eje 𝑦 de 𝑎 unidades, conocido como traslación vertical. Y seguidamente, hemos analizado los alargamientos. Y sabemos que, si tenemos 𝑓 de 𝑎𝑥, esto es un alargamiento en la dirección 𝑥 con un factor de escala de uno sobre 𝑎. Y si tenemos 𝑎𝑓 de 𝑥, este es un alargamiento en la dirección 𝑦 con un factor de escala de 𝑎. Y el primero ocasiona un cambio de período, y el segundo causa un cambio de amplitud.
