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Vídeo de la lección: El conjunto de los números racionales Matemáticas • Sexto grado

En este video, vamos a aprender cómo identificar números racionales y cómo hallar su posición en una recta numérica.

17:57

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo identificar números racionales y cómo hallar la posición de un número racional en una recta numérica. Comencemos repasando la definición de número racional.

Un número racional es un número que puede ser expresado como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Analicemos esto un poco. Nos dicen que un número racional debe poder escribirse como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros. Recordemos que los números enteros son los números naturales, incluyendo el cero, y los números naturales negativos. Por ejemplo, podemos decir que la fracción dos tercios es un número racional porque dos y tres son enteros y, por supuesto, tres no es igual a cero. También podemos decir que un número como menos tres y cuarto es un número racional. Esto se debe a que puede ser escrito como una fracción, menos 13 sobre cuatro, y tanto menos 13 como cuatro son enteros.

Pero ¿qué sucede con un valor entero como 10? ¿Es racional? Sí, recuerda que podemos escribir cualquier número entero como este mismo número sobre uno, y podemos ver claramente que tiene la forma 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros. Aunque un valor como 4.75, que es un decimal, no parece inmediatamente racional, podemos, de hecho, darnos cuenta fácilmente que se puede escribir en una forma fraccionaria. 4.75 se puede escribir como cuatro unidades y setenta y cinco centésimas o, alternativamente, como cuatro y tres cuartos. Y, por lo tanto, podemos expresarlo también como 19 cuartos, que es una fracción impropia que se ajusta a la definición de número racional.

Además de números decimales exactos como 4.75, también tenemos números decimales no exactos como este, 0.131313, etcétera. Un número decimal, si es exacto o periódico, se puede escribir como una fracción. Por ejemplo, este número de aquí es igual a la fracción 13 sobre 99. Por lo tanto, tanto los números decimales exactos como los números decimales no exactos pero periódicos son también números racionales. Quizás te preguntes, «¿Qué decimos si un número no es racional?» Pues bien, un número que no es racional se llama número irracional. Es un número, por lo tanto, que no se puede escribir como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero.

Aunque en este video nos vamos a centrar en los números racionales, conviene estar familiarizado con algunos números que son racionales. Probablemente, el número irracional más famoso es 𝜋, que es un valor que no se puede expresar como un número decimal exacto o periódico. Tampoco se puede expresar como una fracción, y es por eso que 𝜋 es irracional. Números irracionales son los números decimales que no terminan ni sus cifras se repiten, y también valores como la raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos. Pero ahora debemos ver algunos ejemplos. A medida que consideramos cada cuestión, vamos a repetir la definición de número racional. Así que, con suerte, al final de este video, podrás recordarla fácilmente.

En nuestra primera cuestión, vamos a determinar si un número es racional o no.

¿Es 12 y cinco sextos un número racional?

Comencemos recordando la definición de número racional, que es un número que se puede expresar como 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Aunque tenemos un número mixto aquí, 12 y cinco sextos, ¿podemos escribir este número como una fracción 𝑝 sobre 𝑞? En otras palabras, ¿podemos escribir este número como una fracción impropia? Si consideramos nuestro valor de 12, ¿cuántos sextos tendremos en 12 enteros? Tendremos setenta y dos sextos, y tenemos además el valor fraccionario de cinco sextos, lo que nos da una fracción de 77 sobre seis.

Otra forma de hacer esto es tomar nuestro denominador seis y multiplicarlo por 12 y luego agregar el valor de cinco. De cualquier manera, podemos ver que 12 y cinco sobre seis es equivalente a 77 sobre seis. ¿Se trata, pues, de un número racional? La respuesta es sí.

Veamos otra cuestión.

¿Todo número racional es un entero?

Aquí tenemos dos términos matemáticos, racional y entero. Consideremos primero la palabra «entero». Esto se define como un número que no tiene una parte fraccionaria. Incluye los números de contar, por ejemplo, uno, dos, tres, cuatro, cero y los negativos de los números de contar. Un número racional se define como un número que se puede expresar como 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros, y 𝑞 no es igual a cero.

Tomemos algunos números racionales. Por ejemplo, la fracción seis sobre uno, que se ajusta a la forma de un número racional. Seis y uno son números enteros y el uno, este valor 𝑞 en el denominador, no es igual a cero. Equivale al valor seis, que es un número entero. Tomemos otro número racional. Aquí tenemos el número menos dos quintos. Nos preguntamos si menos dos quintos es un número entero, un número que no tiene parte fraccionaria. Y la respuesta es no. No podemos escribir esto de ninguna manera como un número sin parte fraccionaria. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta «¿Es todo número racional un entero?» es no.

Si consideramos el diagrama de Venn, donde tenemos el conjunto de los números racionales, lo contenido dentro de este conjunto es el conjunto de los números enteros. Este diagrama es útil para mostrar que todo número entero es un número racional, pero no todo número racional es un número entero.

En la siguiente cuestión, vamos a usar una notación más formal para el conjunto de los números racionales.

¿Cuál de las opciones siguientes es verdadera? La opción (A) uno es un elemento de los números racionales. La opción (B) uno no es un elemento de los números racionales.

Los símbolos de esta cuestión son notación matemática formal. El símbolo ∊ se puede leer como «es un elemento de», «pertenece a» o «es miembro de», y este símbolo ℚ representa el conjunto de los números racionales. Así que, para decidir si uno pertenece al conjunto de los números racionales o no pertenece al conjunto de los números racionales, tenemos que recordar qué son los números racionales.

Un número racional es un número que se puede expresar como 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Según esto, podemos mirar este número uno y pensar: «Es un número entero. ¿Cómo podemos expresarlo como una fracción?». Pues bien, cualquier valor entero puede escribirse como ese valor sobre uno. Volviendo a la definición, podemos confirmar que el numerador es un número entero, y también lo es el denominador. Y además, este número en el denominador no es igual a cero. Esto significa que uno es un elemento del conjunto de los números racionales. Por tanto, nuestra respuesta es la dada en la opción (A); uno es un elemento del conjunto de números racionales.

En la siguiente cuestión, vamos a hallar la posición de un número racional en una recta numérica.

¿Cuál de los números 𝑙, 𝑚, 𝑛 u 𝑜 es cuatro décimos?

Si observamos esta recta numérica, podemos ver que tenemos marcados el número uno, el cero y el menos uno. También tenemos cuatro letras, que corresponden a diferentes números en esta recta numérica. Necesitamos averiguar cuál de estos números corresponde a cuatro décimos. Lo primero en lo que debemos pensar es en el hecho de que cuatro décimos es un valor positivo. Por lo tanto, podemos rechazar cualquier opción que esté por debajo de cero. En segundo lugar, debemos darnos cuentas de que cuatro décimos debe estar entre cero y uno. Si fuera una fracción mayor que uno con denominador 10, entonces el numerador sería mayor que 10. Así que debemos fijarnos en esta sección entre cero y uno.

Para obtener la posición podemos aprovechar que el tramo está dividido en cinco secciones. Conviene, sin embargo, tener 10 secciones. Así que, dividimos este tramo en 10 secciones, y hallamos que cuatro décimos estará en el valor representado por 𝑛. Como método alternativo, podríamos haber simplificado la fracción cuatro décimos cancelando un factor común de dos en el numerador y el denominador. De las cinco secciones entre cero y uno, escogemos dos quintos, lo que confirma que el valor 𝑛 representa cuatro décimos. De modo que 𝑛 es la respuesta. Observa que la posición de 𝑜 corresponde a cuatro quintos en la recta numérica.

En esta cuestión, queremos hallar la posición de un número sin tener una recta numérica.

Halla el número racional que se encuentra a medio camino entre dos séptimos y cuatro treinta y cincoavos.

Aquí tenemos dos fracciones, menos dos séptimos y cuatro treinta y cincoavos. Y nos piden que hallemos el número racional que se encuentra justo en medio. Podemos recordar que un número racional es un número que se puede expresar como 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. La mejor manera de comenzar a resolver una cuestión como esta es ver si podemos hacer que los denominadores tengan el mismo valor.

Debemos ser capaces de escribir menos dos séptimos como una fracción sobre 35. Si multiplicamos el denominador por cinco, y nuestro numerador también por cinco, obtendremos un valor de menos 10 sobre 35. En este caso es útil visualizar menos 10 sobre 35 y cuatro sobre 35 en una recta numérica. En el extremo inferior de esta recta numérica, tenemos menos 10 sobre 35. Y en el extremo superior, tenemos cuatro treinta y cincoavos. Este valor de cero treinta y cincoavos es equivalente a cero.

Si pensamos en términos de la distancia desde cero, en el lado izquierdo, tenemos una distancia de diez treinta y cincoavos y en el lado derecho, una distancia de cuatro treinta y cincoavos. Es decir, catorce treinta y cincoavos en total. La mitad de eso es siete treinta y cincoavos. Por lo tanto, si partimos de menos 10 y contamos uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, obtendremos un valor de menos tres treinta y cincoavos. Como comprobación, contamos hacia atrás siete treinta y cincoavos empezando en cuatro treinta y cincoavos, lo que también nos da menos tres treinta y cincoavos. Por lo tanto, la respuesta es menos tres treinta y cincoavos.

Por supuesto, existe un método diferente si no queremos o no podemos hacer uso de una recta numérica. Volvamos a nuestros dos valores originales: menos dos séptimos, que podemos escribir como menos diez treinta y cincoavos y cuatro treinta y cincoavos. Hallar el punto medio entre estos dos valores equivale a calcular la media. Comenzamos sumando estas dos fracciones. Para sumar fracciones, deben tener el mismo denominador y se suman los valores en el numerador. En este caso, menos 10 más cuatro es menos seis. Recuerda que estamos buscando la media. Así que hemos sumado nuestros valores. Y luego, como hay dos valores, debemos dividir por dos.

Para dividir esta fracción por dos, podemos considerar la fracción dos sobre uno, y multiplicar por el recíproco. Por lo tanto, tenemos que calcular menos seis treinta y cincoavos multiplicado por un medio. Antes de multiplicar, podemos simplificar esto sacando el factor común de dos. Obtenemos menos tres treinta y cincoavos multiplicado por uno sobre uno. Al multiplicar los numeradores y luego multiplicar los denominadores por separado, obtenemos el valor de menos tres treinta y cincoavos, lo que confirma nuestra respuesta anterior obtenida con otro método.

Echemos un vistazo a la cuestión final.

¿Cuál de las siguientes expresiones es racional si 𝑎 es igual a uno y 𝑏 es igual a 34? Opción (A) menos 39 sobre 𝑎 menos uno, opción (B) 39𝑏 sobre 𝑏 menos 34, opción (C) 39𝑏 sobre 𝑎 menos uno, u opción (D) 𝑏 sobre 𝑎.

Para resolver esta cuestión, comencemos por la definición de número racional. Un número racional es un número que se puede expresar como 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. En las cuatro opciones aquí, podemos ver que tenemos cuatro fracciones que contienen valores numéricos y también los términos algebraicos 𝑎 y 𝑏. Sin embargo, tenemos valores numéricos para 𝑎 y 𝑏. Por lo tanto, vamos a considerar cada expresión y sustituir estos valores.

Comencemos con la primera expresión, es decir, con la opción (A). Hacemos 𝑎 igual a uno. Todavía tenemos 39 en el numerador y uno menos uno en el denominador. Esto, por supuesto, se simplifica a menos 39 sobre cero. Podemos pensar que esto se parece bastante a una fracción. Tenemos un número entero en el numerador y un número entero en el denominador. Pero, de hecho, si alguna vez has intentado dividir un número por cero en tu calculadora, verías que la respuesta no está definida. Y lo que es más importante, si miramos nuestra definición de número racional, 𝑞, el valor del denominador no puede ser igual a cero. Así que, este valor de menos 39 sobre cero no es un número racional. Así que podemos excluir la opción (A).

En la expresión de la opción (B), necesitamos sustituir el valor 𝑏 igual a 34 dos veces, ya que 𝑏 aparece dos veces. Por lo tanto, tendremos el cálculo 39 por 34 sobre 34 menos 34. Antes de pasar a calcular 39 multiplicado por 34, es posible que ya hayas notado lo que va a suceder con este denominador. Una vez más, vamos a tener un denominador con un valor de cero. Así que ya sabemos que, si 𝑏 es igual a 34, esta expresión no es racional.

Podemos usar el mismo método para sustituir los valores de 𝑎 y 𝑏 en la opción (C). Tenemos 39 por 34 sobre uno menos uno. Puede que ya hayas notado que este denominador también vale cero. De modo que, la opción (C) no es un número racional si 𝑎 es uno y 𝑏 es 34.

La expresión en la opción (D) es 𝑏 sobre 𝑎 que será 34 sobre uno. Comprobemos si esto se ajusta a la definición de número racional. Ha de ser una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros. Y 34 y uno son números enteros. Por supuesto, el denominador uno no es igual a cero. Por lo tanto, 34 sobre uno es racional. Y, nuestra respuesta es (D). 𝑏 sobre 𝑎 es racional cuando 𝑎 es igual a uno y 𝑏 es igual a 34.

Antes de terminar con esta pregunta, echemos un vistazo rápido a esta expresión en la opción (A). Vimos que esta expresión menos 39 sobre 𝑎 menos uno no es racional, pero esto no es así necesariamente. De hecho, si tomamos cualquier otro valor de 𝑎, que no sea uno, por ejemplo 𝑎 igual a dos, y calculamos menos 39 sobre dos menos uno, nos da un valor racional de menos 39 sobre uno. Las expresiones (A), (B) y (C) no son racionales solo porque tienen un denominador de cero, ya que de hecho tienen valores enteros en el numerador y el denominador.

Resumamos ahora lo que hemos aprendido en este video. En primer lugar, hemos comenzado con la definición de número racional, que es un número que se puede expresar como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Los números racionales incluyen los números enteros, las fracciones propias e impropias y los números mixtos, los números decimales exactos y los números decimales periódicos. Los números que no son racionales se llaman números irracionales. Y finalmente, hemos visto esta notación más formal, que usa este símbolo, una ℚ con una línea adicional, el cual representa el conjunto de los números racionales.

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