Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo determinar la concavidad y convexidad de las funciones y cómo hallar sus puntos de inflexión haciendo uso de la segunda derivada. Para mejor aprovechar este vídeo, conviene tener confianza en cómo hallar la primera y la segunda derivadas de una función usando las reglas básicas de la derivada. También es conveniente saber cómo aplicar el criterio de la primera derivada para determinar la naturaleza de un punto crítico.
Para entender a qué nos referimos cuando hablamos de la concavidad y convexidad de una función, vamos a considerar tres funciones básicas. Comencemos con la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado. Este es un ejemplo de una función que es convexa (o, como también se dice, cóncava hacia arriba) en todo su dominio. El punto crítico parece apuntar hacia abajo. Y el valor de la pendiente de la función aumenta en todo su dominio. Por ejemplo, antes del punto crítico, la pendiente es negativa. En el punto crítico, la pendiente es cero. Y después del punto crítico o punto de inflexión de la función, la pendiente es positiva.
Otra forma de describir esto es diciendo que, si la gráfica de una función se encuentra por encima de todas sus tangentes en un intervalo dado, entonces la función es convexa (cóncava hacia arriba) en ese intervalo.
Consideremos ahora la gráfica de la función 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cuadrado. Este es un ejemplo de una función que es cóncava (cóncava hacia abajo) en todo su dominio. Esta vez, el punto crítico parece apuntar hacia arriba, mientras que el valor de la pendiente decrece en todo el dominio de la función. Antes del punto crítico, la pendiente es positiva. Y después, la pendiente tiene un valor negativo. Si volvemos a considerar las tangentes de la curva, vemos que, si la gráfica de la función se encuentra por encima de todas sus tangentes en un intervalo dado, entonces la función es cóncava (o, como también se dice, cóncava hacia abajo) en ese intervalo.
Muy bien, ya hemos visto lo que significa que una función sea cóncava (cóncava hacia abajo) y convexa (cóncava hacia arriba) en un intervalo. Y la relación que esto tiene con la pendiente de la función en ese intervalo. Hemos visto, en concreto, que para que la gráfica sea convexa, su pendiente debe crecer, mientras que para que la gráfica sea cóncava, su pendiente debe decrecer. Podemos generalizar esto considerando la segunda derivada. Si la pendiente 𝑓 prima de 𝑥 es creciente, entonces la tasa de variación de esa pendiente debe ser positiva. Pero, por supuesto, la tasa de variación de la pendiente es la segunda derivada, 𝑓 doble prima de 𝑥. Por lo tanto, nuestra función 𝑓 de 𝑥 será convexa en las regiones de la gráfica donde la segunda derivada es positiva.
Análogamente, si nuestra función 𝑔 de 𝑥 es cóncava, la segunda derivada será negativa. Básicamente, esto significa que la primera derivada 𝑔 prima de 𝑥 será decreciente en ese intervalo.
Veamos ahora un ejemplo un tanto distinto. Hasta ahora hemos visto funciones 𝑓 de 𝑥 con extremos relativos. Consideremos ahora, sin embargo, la función ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. Esta función tiene un punto crítico en el origen, en cero, cero. Pero este punto no es un extremo relativo: no es ni un máximo ni un mínimo. De hecho, al atravesar la gráfica este punto crítico, el signo de la pendiente no cambia; es positiva antes del punto crítico y positiva después.
Entonces, ¿qué cambia en ese punto crítico? La función pasa de ser cóncava a ser convexa. A esto lo llamamos punto de inflexión. Un punto de inflexión es un punto en el que la concavidad de la función cambia. En este caso, vemos que la gráfica cambia de cóncava a convexa, pero lo contrario también puede ocurrir.
En los últimos ejemplos, el punto de inflexión es un punto crítico. Pero puede que este no sea siempre el caso. Consideremos esta gráfica. En algún punto de esta gráfica, la función cambia de convexa a cóncava. Este no es un punto crítico. La pendiente no es cero y parece existir. Así que podemos tener un punto de inflexión en un punto que no es un punto crítico.
Ahora, al igual que hemos hecho con las definiciones de convexa y cóncava, podemos formular una definición en términos de la segunda derivada para un punto de inflexión. En estos puntos, la segunda derivada podría ser igual a cero. Sin embargo, este no siempre es el caso. Por lo tanto, cuando la segunda derivada es igual a cero, hemos de aplicar el criterio de la primera derivada. Es decir, tenemos que comprobar que la pendiente tiene el mismo signo a ambos lados de ese punto crítico. O también podemos aplicar el criterio de la segunda derivada y comprobar que la concavidad cambia en ese punto de inflexión. Cambia de cóncava a convexa, o viceversa.
Ahora que tenemos todas estas definiciones, vamos a escribir la definición formal. El criterio de la segunda derivada para una función 𝑓 de 𝑥 dice que, si la segunda derivada es positiva en un intervalo 𝐼, entonces 𝑓 es convexa en ese intervalo. Y si la segunda derivada es negativa, entonces 𝑓 es cóncava en ese intervalo. Si la segunda derivada es igual a cero o no está definida, entonces podría existir un punto de inflexión.
Hay dos formas de comprobarlo. Podemos comprobar si hay un cambio de concavidad. ¿La gráfica pasa de ser convexa a ser cóncava, o viceversa, en este punto? Otra forma de averiguarlo es considerando el signo de la primera derivada. Si el signo de la primera derivada a los lados de este punto no cambia, entonces eso indica que tenemos un punto de inflexión. Teniendo en cuenta todo esto, pasemos ahora a ver un ejemplo en el que tenemos que hallar los intervalos en los que una función polinómica es convexa o cóncava.
Determina los intervalos en los que la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos cuatro 𝑥 a la quinta más 𝑥 al cubo es cóncava y convexa.
Nuestra función 𝑓 de 𝑥 es un polinomio de quinto grado y se nos pide determinar su concavidad. Una forma de hacerlo es aplicando el criterio de la segunda derivada. Y, de hecho, como 𝑓 de 𝑥 es un polinomio, esto significa que es derivable y continua en todo su dominio. Por lo tanto, podemos calcular tanto la primera como la segunda derivada de esta función pues estamos seguros de que ambas existen.
Entonces, ¿cómo nos ayuda la segunda derivada a identificar la concavidad de una función? Bueno, sabemos que la función es cóncava en cualquier intervalo donde la segunda derivada es menor que cero, es decir, es negativa. Y que es convexa en intervalos donde la segunda derivada es positiva, esto es, donde la primera derivada, la pendiente, es creciente. Así que vamos a calcular primero la primera derivada y luego la segunda derivada de la función.
Comenzamos hallando la primera derivada. Sabemos que podemos derivar término a término. La regla de la potencia para derivadas dice que disminuimos el exponente en una unidad y multiplicamos la potencia por el exponente original. Por lo tanto, cuando derivamos menos cuatro 𝑥 a la quinta con respecto a 𝑥, obtenemos cinco por menos cuatro 𝑥 a la cuarta. Análogamente, la derivada de 𝑥 al cubo es tres 𝑥 al cuadrado. Y, por lo tanto, nuestra primera derivada es menos 20𝑥 a la cuarta más tres 𝑥 al cuadrado.
Vamos a seguir el mismo procedimiento para 𝑓 doble prima de 𝑥. Esta vez, al derivar término a término y simplificar, obtenemos menos 80𝑥 al cubo más seis 𝑥. Esta expresión para la segunda derivada es un polinomio cúbico o de tercer grado. Tiene un coeficiente principal negativo, lo que nos da información sobre la forma de la curva. Esto significa que, si consideramos la curva, podremos identificar las regiones donde la segunda derivada es negativa y las regiones en las que es positiva.
Comenzaremos, sin embargo, hallando dónde es igual a cero. Esto nos dirá los puntos donde interseca el eje de las 𝑥, es decir, para qué valores de 𝑥 es menos 80𝑥 al cubo más seis 𝑥 igual a cero. Factorizamos el lado izquierdo, y obtenemos dos 𝑥 por menos 40𝑥 al cuadrado más tres. Y para que el producto de estas dos expresiones sea cero, sabemos que una de las expresiones debe ser igual a cero. Así que, o dos 𝑥 es igual a cero o menos 40𝑥 al cuadrado más tres es igual a cero.
Dividimos la primera ecuación por dos, y obtenemos 𝑥 igual a cero. En la segunda ecuación, sumamos 40𝑥 al cuadrado y luego dividimos por 40. Obtenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a tres partido por 40. Para despejar la 𝑥, calculamos la raíz cuadrada positiva y negativa de tres partido por 40. Y 𝑥 se simplifica a más o menos raíz de 30 partido entre 20. Esto nos dice que nuestra curva cúbica menos 80𝑥 al cubo más seis 𝑥 pasa por el eje de las 𝑥 en cero y en más y menos raíz de 30 partido por 20. Como tiene un coeficiente principal negativo, tendrá este aspecto.
Usemos esta gráfica para identificar las regiones en las que esta segunda derivada es negativa. Esto nos dirá dónde la función original 𝑓 de 𝑥 es cóncava hacia arriba. En concreto, vemos que la segunda derivada es menor que cero. Esto significa que la gráfica de esta función se encuentra por debajo del eje de las 𝑥 en el intervalo abierto desde menos raíz cuadrada de 30 partido por 20 a cero y en el intervalo abierto desde raíz cuadrada de 30 partido por 20 hasta ∞. Así que estas son las regiones en las que la función es cóncava.
Con esto en mente, vamos a repetir este proceso e identificar las regiones donde 𝑓 doble prima de 𝑥 es positiva. En la gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 doble prima de 𝑥, estas son las regiones donde se encuentra por encima del eje de las 𝑥. Así que vemos que 𝑓 doble prima de 𝑥 es mayor que cero en el intervalo abierto de menos ∞ a menos raíz de 30 entre 20 y el intervalo abierto de cero a raíz de 30 entre 20. Esto significa que estas son las regiones en las que la función original es convexa.
Así que hemos resuelto el problema. La función 𝑓 de 𝑥 es cóncava en el intervalo abierto desde menos raíz de 30 partido por 20 a cero y en el intervalo abierto desde raíz de 30 partido por 20 a ∞. Y es convexa en el intervalo abierto de menos ∞ a menos raíz de 30 sobre 20 y desde cero hasta raíz de 30 sobre 20.
Ahora que hemos visto cómo hallar la concavidad de una función, veamos cómo determinar si tiene un punto de inflexión.
Halla el punto de inflexión en la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo menos nueve 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥.
Recordemos que, para hallar el punto de inflexión en la gráfica de una función, tenemos que identificar el punto en el que la concavidad de esa función cambia. Y aunque un punto de inflexión puede coincidir con un punto crítico, este no es necesariamente el caso. Pero podemos hallar las posibles ubicaciones de un punto de inflexión usando la segunda derivada. Específicamente, si en un punto la segunda derivada es igual a cero o no existe, entonces puede haber un punto de inflexión en ese punto. Para asegurarnos, vamos a comprobar si la concavidad a los lados de ese punto es diferente. Es decir, ¿la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo o viceversa?
Sabemos que la función 𝑓 de 𝑥 es polinómica. Así que sabemos que es continua y derivable en todo su dominio. De hecho, cuando derivamos 𝑓 de 𝑥, obtenemos otra función polinómica, que sigue siendo continua y derivable. Así que vamos a comenzar hallando la primera derivada y luego vamos a derivar de nuevo para obtener la segunda derivada.
Derivamos término a término. La derivada de 𝑥 al cubo con respecto a 𝑥 es tres 𝑥 al cuadrado. Aplicamos la regla de la potencia para derivar, es decir, multiplicamos por el exponente y luego reducimos el exponente en uno. Análogamente, derivamos menos nueve 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥, y obtenemos menos 18𝑥. Por último, tenemos que la derivada de seis 𝑥 es seis. Así que la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es tres 𝑥 al cuadrado menos 18𝑥 más seis.
Vamos a repetir este procedimiento para hallar la expresión de la segunda derivada. Esta vez, obtenemos seis 𝑥 menos 18. Y para determinar dónde puede haber un punto de inflexión, igualamos la expresión a cero. Hacemos seis 𝑥 menos 18 igual a cero. Para hallar 𝑥, comenzamos sumando 18 a ambos lados, y obtenemos 18 igual a seis 𝑥, o seis 𝑥 igual a 18. Seguidamente, dividimos por seis. Y obtenemos 𝑥 igual a 18 sextos, que es tres. Así que hemos hallado que un punto de inflexión puede ocurrir en el punto de abscisa 𝑥 igual a tres. Este es el punto donde la segunda derivada es igual a cero.
Para confirmar que este es un punto de inflexión, vamos a considerar la segunda derivada a cada lado de 𝑥 igual a tres y comprobar si la concavidad cambia. Vamos a comprobar, en concreto, el punto donde 𝑥 es igual a dos y el punto donde 𝑥 es igual a cuatro. Sustituimos 𝑥 igual a dos en nuestra expresión para la segunda derivada, y obtenemos seis por dos menos 18, que es menos seis. Sabemos que si la segunda derivada es negativa, la pendiente de la función es decreciente. Esto significa que en el intervalo donde la segunda derivada es negativa, la función es cóncava (o, como también se dice, convexa hacia arriba. Así que nuestra función es cóncava en el punto donde 𝑥 es igual a dos.
Repetimos el mismo proceso para 𝑥 igual a cuatro, y obtenemos que la segunda derivada es seis por cuatro menos 18, que es seis. Esta vez, 𝑓 de 𝑥 es convexa (o, como también se dice, convexa hacia abajo) porque la segunda derivada es positiva en 𝑥 igual a cuatro. Hemos hallado, pues, que la gráfica de la función pasa de ser cóncava (convexa hacia arriba) a convexa (convexa hacia abajo) en el punto 𝑥 igual a tres.
Para hallar las coordenadas completas de este punto sustituimos 𝑥 igual a tres en la función original. 𝑓 de tres es tres al cubo menos nueve por tres al cuadrado más seis por tres, que es igual a menos 36. Así que el punto de inflexión en la gráfica de nuestra función está en tres, menos 36.
Veamos los puntos principales que hemos visto en esta lección. En esta lección hemos aprendido que para una función 𝑓 de 𝑥, si su segunda derivada es positiva en un intervalo dado, entonces la función es convexa en ese intervalo. Y que lo contrario también se cumple. Si la segunda derivada es negativa en ese intervalo, entonces 𝑓 de 𝑥 es cóncava. Por último, hemos visto que un punto de inflexión ocurre cuando la concavidad de la gráfica cambia. Y, por lo tanto, en un punto de inflexión, 𝑓 doble prima de 𝑥 es igual a cero o no existe. Pero esta es una condición necesaria pero no suficiente para que un punto sea de inflexión. Así que, para estar seguros de que hay un punto de inflexión, hemos de comprobar que la concavidad de la gráfica cambia o que el signo de la primera derivada no lo hace.
