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Elementos de un polinomio
En este video, vamos a aprender qué es un polinomio y cómo definir varias palabras que nos sirven para referirnos a los polinomios. Vamos a aprender qué es el grado de un polinomio, y qué es un término, un coeficiente y un término independiente, y cómo podemos hallarlos en un polinomio determinado.
Para hacer esto, vamos a comenzar definiendo los componentes básicos de los polinomios. Estos se llaman monomios. Un monomio es un producto de números y letras, y es importante saber que estas letras —que se llaman «variables» o «indeterminadas»— solo pueden tener exponentes enteros no negativos. A continuación, tenemos un ejemplo de algunos monomios. Por ejemplo, dos 𝑥 es un monomio porque es un producto de la constante dos y 𝑥. Y sabemos que 𝑥 es lo mismo que 𝑥 elevado a uno. Otro ejemplo puede ser menos 𝑦 al cuadrado. 𝑦 es una variable, y el exponente dos está permitido pues es un entero no negativo. Y menos 𝑦 al cuadrado es menos uno por 𝑦 al cuadrado. Este es otro ejemplo de un monomio.
Otro ejemplo es cualquier número —y en este contexto los números son llamados «constantes» —. Por ejemplo, podemos tomar la constante tres. Y es importante darnos cuenta de que nuestras constantes pueden tener un exponente cualquiera. Por ejemplo, podemos tener la raíz cuadrada de tres. Este es también un ejemplo de monomio. Un último ejemplo de un monomio es la raíz cuadrada de dos por 𝑥 por 𝑦 al cuadrado. Es importante darnos cuenta de que podemos tener múltiples variables en nuestros monomios, pero, en cualquier caso, sus exponentes deben ser números enteros no negativos. Ahora que sabemos qué es un monomio, estamos listos para definir un polinomio.
Un polinomio es simplemente una suma de uno o más monomios. En otras palabras, creamos polinomios sumando varios monomios. Y, por supuesto, para crear algunos ejemplos de polinomios, podemos usar nuestros monomios de aquí. Lo primero que podemos notar es que un polinomio es la suma de uno o más monomios. Esto significa que cualquier monomio es también un polinomio. Por ejemplo, dos 𝑥 también es un polinomio porque es la suma de un monomio. Sin embargo, también podemos crear más polinomios. Podemos sumar dos 𝑥 elevado a uno y menos 𝑦 al cuadrado. Sumar estos dos monomios significa que dos 𝑥 elevado a uno más menos 𝑦 al cuadrado es un polinomio. Y, por supuesto, podemos simplificar esto. Podemos escribir esto como dos 𝑥 menos 𝑦 al cuadrado. Esto también es un ejemplo de polinomio.
Este es un ejemplo importante para ilustrar que un polinomio es la suma de monomios. Esto no significa que todas nuestras operaciones deban ser sumas, ya que hemos visto que dos 𝑥 menos 𝑦 al cuadrado es un polinomio. Podemos crear más ejemplos de polinomios. Por ejemplo, sumar un término con 𝑥 y un número. 𝑥 más tres es un ejemplo de polinomio. Estos, de hecho, tienen un nombre especial. Se llaman expresiones lineales, porque si trazáramos su gráfica, sería una línea recta.
Pero no es necesario que nos detengamos aquí. Podemos agregar aún más monomios que contengan 𝑥. Por ejemplo, podemos sumar dos 𝑥 al cuadrado. Hallamos que dos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más tres también es un polinomio. Y podemos dar un ejemplo más de polinomio. Una expresión como menos un medio multiplicado por 𝑧 es un polinomio. Esto se debe a que es un monomio. Para comprobar si una expresión es un polinomio, solo miramos cada parte individualmente y verificamos si es un monomio.
Veamos algunos ejemplos de expresiones que no son polinomios. El primer ejemplo de una expresión que no es un polinomio es 𝑥 elevado a menos dos. Esto se debe a que para ser un polinomio, 𝑥 elevado a menos dos debería ser un monomio. Y recuerda que, en un monomio, todas nuestras variables deben tener exponentes enteros no negativos. Sin embargo, en nuestro caso, el exponente de 𝑥 es menos dos. Esto es negativo, por lo que no es un monomio. Y, por lo tanto, esta expresión no es un polinomio.
Podemos usar el mismo razonamiento para obtener más ejemplos que no son polinomios, por ejemplo, 𝑥 elevado a un medio. Una vez más, para que esto sea un polinomio, 𝑥 elevado a un medio debería ser un monomio. Pero recuerda que el exponente de 𝑥 debe ser un número entero no negativo. En este caso, es un medio. Que no es un número entero, por lo que no es un monomio. Por tanto, esto no es un polinomio.
Y sabemos algo acerca de 𝑥 elevado a un medio. Usando las leyes de los exponentes, podemos reescribirlo como la raíz cuadrada de 𝑥. Tenemos, pues, que la raíz cuadrada de 𝑥 no es un polinomio porque el exponente de 𝑥 no es un número entero. Pero, si usamos las leyes de los exponentes, podemos hacer exactamente lo mismo para 𝑥 elevado a menos dos. Recuerda que un número elevado a menos dos es lo mismo que uno dividido por este número elevado a dos. Así que uno sobre 𝑥 al cuadrado tampoco es un polinomio. El exponente de nuestra variable es negativo.
Veamos un último ejemplo de algo que no es un polinomio. Considera la expresión tres más 𝑥𝑦 menos seis por 𝑥 a la cuarta multiplicado por 𝑦 elevado a menos uno por 𝑧 más la raíz cuadrada de dos. Recuerda que para que esto sea un polinomio, debe ser la suma de monomios. Revisemos, pues, cada parte individual para verificar si es un monomio. Empecemos con tres. Este es una constante, por lo que es un monomio. A continuación, hemos multiplicado 𝑥 por 𝑦. 𝑥 es igual a 𝑥 elevado a uno y 𝑦 es igual a 𝑦 elevado a uno. El exponente de 𝑥 y el exponente de 𝑦 son números enteros no negativos. Por lo tanto, 𝑥 por 𝑦 también es un monomio.
Sin embargo, ahora tenemos un problema. Hemos elevado 𝑦 a menos uno. Y cuando trabajamos con monomios, nuestras variables no pueden tener exponentes negativos. Así que esta expresión no es un polinomio porque una de las variables tiene exponente negativo.
Antes de continuar, cabe señalar que a menudo llamamos «término» a cada una de las partes de una suma o de una fracción. Por ejemplo, nuestro ejemplo más reciente, contiene cuatro términos.
Una vez que hemos hecho todo esto, estamos listos para definir los principales elementos de un polinomio. Primero, vamos a definir el grado de un polinomio. Si hallamos la suma de los exponentes de las variables en cada uno de los términos del polinomio, el grado del polinomio es el mayor valor de estas sumas. Esta es una definición que suena muy complicada. Sin embargo, la entenderemos perfectamente una vez que hayamos analizado algunos ejemplos.
Comencemos por hallar el grado de algunos polinomios que ya hemos visto. Empecemos con dos 𝑥. Tenemos que operar término a término. Pero este polinomio solo tiene un término. Y este término es dos 𝑥. Y tenemos que hallar la suma de los exponentes de las variables en este término. Para hacer esto, ya hemos visto que podemos escribir 𝑥 como 𝑥 elevado a uno. De hecho, aquí solo tenemos una variable y su exponente es uno. Por tanto, hemos obtenido que el grado de dos 𝑥 es uno.
Otro ejemplo que podemos analizar es la constante tres. Esto es un ejemplo de polinomio. Y a primera vista, puede parecer complicado determinar su grado. Siendo una constante, no contiene ninguna variable. Entonces, ¿cómo hallamos la suma de los exponentes de todas las variables? Afortunadamente, y gracias a las leyes de los exponentes, sabemos que 𝑥 elevado a cero es igual a uno. Así que podemos reescribir tres como tres por 𝑥 elevado a cero. Y, por lo tanto, el grado de este polinomio es cero. Con esto hemos demostrado que el grado de este polinomio es cero. De hecho, exactamente lo mismo es cierto para cualquier término constante. Si lo consideramos como un polinomio, el grado de un monomio constante es siempre igual a cero.
Intentemos ahora hallar el grado de un polinomio con más de un término. Determinemos el grado de dos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más tres. Recuerda que para determinar el grado de un polinomio, solo tenemos que hallar la mayor suma de los exponentes de las variables en un solo término. Veamos el grado de cada término por separado. Comencemos con el primer término de este polinomio. Dos 𝑥 al cuadrado. Este término solo contiene una variable. Y podemos ver que su exponente es dos. Así que el grado de dos 𝑥 al cuadrado es igual a dos.
Veamos ahora nuestro segundo término. Bueno, podemos ver que es igual a 𝑥. Y ya hemos visto que podemos escribir esto como 𝑥 a la primera potencia. Entonces, su grado es uno. Finalmente, tenemos nuestro tercer y último término. Es una constante, por lo que su grado es igual a cero. Por tanto, el grado de este polinomio será el mayor de estos valores. Su grado será dos. Por lo tanto, hemos demostrado que el polinomio dos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más tres tiene grado dos.
Hasta ahora, solo hemos visto cómo hallar el grado de polinomios donde cada término solo contiene una variable. ¿Cómo determinamos el grado de raíz de dos por 𝑥 por 𝑦 al cuadrado? Podemos resolver esto término a término, y necesitamos hallar la suma de los exponentes de nuestras variables. Así que una vez más, escribiremos 𝑥 como 𝑥 elevado a uno. Después, sumamos los exponentes de nuestras variables. Obtenemos uno más dos, que, por supuesto, es igual a tres. Por lo tanto, el polinomio raíz de dos por 𝑥 por 𝑦 al cuadrado tiene grado tres.
Hay alguna cosa más que debemos definir antes de resolver otras cuestiones. Y definimos el «coeficiente» de un término como el factor constante de ese término. O sea, el coeficiente de un término es el número que multiplica la parte literal del término. El coeficiente suele estar en la parte izquierda del término. Por ejemplo, en el término dos 𝑥, el coeficiente es dos. Es el factor constante de este término. De manera similar, si miramos el término menos 𝑦 al cuadrado, el coeficiente de menos 𝑦 al cuadrado es menos uno. En otras palabras, el coeficiente de un término es la parte del término que no se altera cuando el valor de las variables cambia.
Veamos algunos ejemplos de cómo usar todo esto para resolver algunas cuestiones.
¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios? Expresión (A) 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥𝑦 menos dos. Expresión (B) 𝑥 al cubo multiplicado por 𝑦 al cuadrado. Expresión (C) 𝑥 elevado a menos uno por 𝑦 a la cuarta. Expresión (D) cinco sobre 𝑥 menos cuatro 𝑥𝑦.
Para esta cuestión, debemos tener en cuenta que los polinomios son una suma de monomios. Y que los monomios son el producto de constantes y variables elevadas a exponentes enteros no negativos. Así que para determinar cuáles de estas cuatro expresiones son polinomios, necesitamos comprobar cuáles de nuestras variables están elevadas a exponentes enteros no negativos.
La expresión (A) es de hecho una suma de monomios. Todas nuestras variables están elevadas a valores enteros positivos. La expresión (A) es la suma de monomios. Por tanto, es un polinomio. Y exactamente lo mismo es cierto para la expresión (B). Los exponentes, tres y dos, son números enteros positivos.
Sin embargo, en la expresión (C), podemos ver que el exponente de 𝑥 es menos uno. Y si una de nuestras variables contiene un exponente negativo, no es un monomio. Por lo que la expresión (C) tampoco es un polinomio. Algo parecido sucede con la expresión (D). A partir de nuestras leyes de exponentes, sabemos que dividir por 𝑥 es lo mismo que multiplicar por 𝑥 elevado a menos uno. Pero eso significa que en este término tenemos un exponente negativo de nuestra variable 𝑥. Cinco sobre 𝑥 no es un monomio. Por lo tanto, la expresión (D) no es la suma de monomios, por lo que no es un polinomio.
Hemos demostrado que, de las cuatro expresiones dadas, solo las expresiones (A) y (B) son polinomios.
Veamos ahora un ejemplo de cómo determinar el grado de un polinomio.
Determina el grado de 𝑦 a la cuarta menos siete 𝑦 al cuadrado.
En esta cuestión, tenemos que hallar el grado de una expresión algebraica. Y podemos ver algo interesante. Todas nuestras variables están elevadas a valores enteros positivos. En otras palabras, esta expresión es la suma de monomios. Así que es un polinomio. Es decir que tenemos que hallar el grado de un polinomio. Para hacer esto necesitamos pues recordar cómo determinar el grado de un polinomio.
El grado de un polinomio es la mayor suma de los exponentes de las variables en cualquiera de sus términos. Analizamos cada término uno por uno, sumamos todos los exponentes de nuestras variables y el grado del polinomio es el valor más grande que esto nos da. Comencemos con el primer término de nuestra expresión, 𝑦 a la cuarta.
En este caso, solo hay una variable y su exponente es cuatro, por lo que el grado de 𝑦 a la cuarta es cuatro. A continuación, veamos nuestro segundo término, menos siete 𝑦 al cuadrado. Una vez más, solo hay una variable, y podemos ver su exponente. Su exponente es dos. El grado de menos siete 𝑦 al cuadrado es igual a dos. Y el grado de nuestro polinomio es el mayor de estos números. Por tanto, su grado es cuatro.
Y, de hecho, podemos usar exactamente el mismo método para encontrar el grado de cualquier polinomio con una sola variable. Su grado será simplemente el exponente más alto de esa variable que aparece en nuestro polinomio. Por lo tanto, pudimos demostrar que 𝑦 a la cuarta menos siete 𝑦 al cuadrado es un polinomio de cuarto grado.
Veamos ahora un ejemplo de cómo encontrar el grado y el coeficiente de un monomio.
Determine el coeficiente y el grado de menos siete 𝑥 al cubo.
Nos dan la expresión algebraica menos siete 𝑥 al cubo, y nos piden que hallemos el coeficiente y el grado de esta expresión. Primero, vemos que esto solo tiene un término. Y que nuestra variable 𝑥 está elevada al cubo. Como tres es un número entero positivo, esta expresión es un monomio y un polinomio. Recordemos ahora qué es el coeficiente de un monomio. Es el número que multiplica a la parte literal. En nuestro caso, el factor numérico es menos siete. Por tanto, el coeficiente de este monomio es menos siete.
Busquemos ahora el grado de este monomio. Podríamos escribir la definición completa del grado de un polinomio. Sin embargo, nuestro monomio solo contiene una variable. Y, en este caso, existe una manera más fácil de encontrar el grado. Cuando nuestro polinomio solo contiene una variable, el grado del polinomio será simplemente el mayor exponente de esa variable. Y en nuestro caso, solo tenemos una instancia de nuestra variable. Y su exponente es tres, porque tenemos 𝑥 al cubo. Con esto hemos demostrado que el coeficiente de menos siete 𝑥 al cubo es menos siete y que el grado de menos siete 𝑥 al cubo es tres.
Veamos ahora cómo podemos usar la definición de grado para obtener el valor de una constante.
Si el grado de siete 𝑥 a la quinta es el mismo que el de menos seis 𝑦 a la 𝑛, ¿cuál es el valor de 𝑛?
Nos dan dos expresiones algebraicas. Y nos dicen que tienen el mismo grado. Para resolver esta cuestión, primero necesitamos determinar el grado de siete 𝑥 a la quinta. Sabemos que es un monomio porque es un término y el exponente de 𝑥 es cinco, que es un número entero positivo. Podemos usar el hecho de que este es un polinomio para hallar el grado de esta expresión como polinomio. Sin embargo, también podemos usar una definición equivalente porque nuestra expresión solo contiene un término.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas las variables de ese monomio. Y esto nos da la misma respuesta que el grado de nuestro polinomio porque tiene un solo término. Podemos ver que el exponente de nuestra variable es cinco. Por lo tanto, siete 𝑥 a la quinta es de grado cinco. Pero la cuestión nos dice que menos seis 𝑦 a la 𝑛 tiene el mismo grado. Así que también debe ser de grado cinco. Y, debido a que también es un monomio, la suma de todos los exponentes de las variables debe ser igual a cinco.
Pero podemos ver que solo hay un exponente en nuestra variable, la incógnita 𝑛. Por lo tanto, para que siete 𝑥 a la quinta y menos seis 𝑦 a la 𝑛 tengan el mismo grado, debe ocurrir que 𝑛 es igual a cinco.
Veamos ahora un ejemplo de cómo obtener el número de términos en una expresión algebraica.
¿Cuántos términos hay en la expresión cuatro 𝑥 menos 𝑦 al cuadrado más 27?
Para contestar esta pregunta, primero recordamos la definición de término. Y en matemáticas, «término» es una de esas palabras que tiene muchas definiciones diferentes según el contexto. En este contexto, nos piden el número de términos de un polinomio. Y esto puede significar una de dos cosas. Puede ser el número de monomios en nuestro polinomio, o también el número de expresiones semejantes en nuestro polinomio. En este caso, ambos significados nos darán la misma respuesta. Así que vamos a usar el número de monomios en nuestro polinomio.
Sabemos que un monomio es el producto de una constante y variables elevadas a números enteros no negativos. En nuestro caso hay tres monomios en esta expresión. Cuatro 𝑥 es un monomio porque podemos escribir 𝑥 como 𝑥 elevado a uno. Menos 𝑦 al cuadrado es un monomio porque menos uno es una constante y dos es un número entero no negativo. Y, por último, 27 es un monomio porque 27 es una constante. Por lo tanto, como nuestra expresión contiene tres monomios de diferente grado, concluimos que hay tres términos en esta expresión.
A veces, también nos piden que indiquemos información específica sobre nuestro polinomio. Veamos un ejemplo de esto.
¿Cuál es el término constante en la expresión cuatro 𝑥 menos 𝑦 al cuadrado más 27?
Para responder a esta pregunta, primero debemos recordar qué es el término constante, también llamado término independiente, de un polinomio. Constante es algo cuyo valor no cambia. Por ejemplo, en nuestra expresión, llamamos variables a 𝑥 y 𝑦 porque pueden tomar muchos valores diferentes. Sin embargo, un número como 27 no cambia aunque cambien los valores de 𝑥 o de 𝑦. Siempre es igual a 27.
Y también debemos recordar la definición de «término». En este contexto, cuando decimos término, nos referimos a cada una de las expresiones que estamos sumando para formar nuestra expresión. Así que cuatro 𝑥 es un término, menos 𝑦 al cuadrado es un término y 27 es un término. Alternativamente, podemos pensar en cada monomio como un término. Podemos ver que cuatro 𝑥 varía a medida que cambia el valor de 𝑥 y 𝑦 al cuadrado cambia a medida que cambia el valor de 𝑦. Solo 27 permanece constante. Por lo tanto, el término constante en la expresión cuatro 𝑥 menos 𝑦 al cuadrado más 27 es 27.
Repasemos ahora los puntos clave de este video. Primero, hemos definido un polinomio como la suma de uno o más monomios. Un monomio es un producto de números —que son llamados constantes— y letras —que son llamadas variables—, y es tal que las variables están elevadas a exponentes no negativos. Después, hemos definido el grado de un polinomio. El grado de un polinomio es la mayor suma de los exponentes de las variables en cualquiera de los términos del polinomio.
También hemos considerado dos casos particulares muy útiles. Si nuestro polinomio solo tiene un término, podemos sumar los exponentes de las variables en este término para encontrar su grado. Y también hemos visto que, si nuestro polinomio solo contiene una variable, para encontrar su grado todo lo que necesitamos hacer es encontrar el mayor exponente de esta variable que aparece en nuestro polinomio.
Finalmente, hemos definido el coeficiente de un término como el factor numérico de ese término. Otra forma de pensar en esto es que el coeficiente de un término es el número que multiplica a la parte literal del término. Y sabemos que, para evitar confusiones, esto suele estar en la parte izquierda del término. Pero no siempre está escrito así. Por ejemplo, el término 𝑥 sobre dos tiene coeficiente un medio porque estamos multiplicando 𝑥 por un medio.
