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En este vídeo vamos a aprender cómo escribir la ecuación de una hipérbola y cómo hallar los vértices y los focos de la hipérbola usando su ecuación y su gráfica. Las secciones cónicas son las que se obtienen al cortar un cono hueco con un plano. Las secciones cónicas son la elipse —de la que la circunferencia es un caso especial— la parábola y la hipérbola. La hipérbola, que es la curva que vamos a ver en este vídeo, consta de dos ramas —siendo una de las ramas simétrica de la otra con respecto a una recta— que resultan de un plano que interseca ambas mitades del cono..
Para hacernos una idea de lo que representa la ecuación de la hipérbola, vamos a comparar la ecuación de una elipse y la de una hipérbola. Vamos a hacer eso y seguidamente consideraremos con más detalle la ecuación de una hipérbola y resolveremos algunos ejemplos. Recuerda que una elipse es una curva plana definida por la ecuación 𝑥 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno. Y para cualquier punto en la curva, la suma de las distancias desde sus dos focos es una constante. Recuerda que una circunferencia es un tipo particular de elipse en la que los dos puntos focales son el mismo punto. Una elipse no circular tiene dos ejes de simetría llamados eje mayor y eje menor. Y los focos se encuentran en el eje mayor, que es el más largo de los dos.
Una hipérbola también tiene eje mayor y eje menor, que son ejes de simetría. Y, de igual manera, los focos se encuentran en el eje mayor. Pero la diferencia entre una elipse y una hipérbola es que, al definir el lugar geométrico de sus puntos —que es el conjunto de todos los puntos que satisfacen su ecuación—, vemos que no es la suma de las distancias desde los focos lo que es constante, sino la diferencia de las distancias desde el punto hasta los focos. La hipérbola que tenemos aquí está en lo que conocemos como posición normal. Y eso es porque el centro 𝑐 está en el origen, donde 𝑥 es cero y 𝑦 es cero. Fíjate también en que, en este caso, el término 𝑥 al cuadrado es positivo. Y en este caso decimos que la hipérbola tiene eje focal horizontal o que se abre hacia la izquierda y hacia la derecha; es decir, una rama se abre hacia la derecha y la otra hacia la izquierda.
Una hipérbola abierta hacia la izquierda y hacia la derecha o con eje horizontal tiene su eje principal paralelo al eje de las 𝑥. Y, como hemos visto, eso significa que el término 𝑥 al cuadrado es positivo. La hipérbola que se muestra aquí es una hipérbola abierta hacia arriba y hacia abajo. Y en este caso, el término 𝑦 al cuadrado es positivo. Así que las ramas se abren hacia arriba y hacia abajo, por lo que es una hipérbola vertical. En este caso, el centro es el origen, por lo que está en la posición estándar. En una hipérbola abierta hacia arriba y hacia abajo, el eje mayor es paralelo al eje de las 𝑦.
Consideremos ahora nuestra hipérbola abierta hacia la izquierda y derecha y que tiene como ecuación 𝑥 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno, donde 𝑎 y 𝑏 son mayores que cero. Los dos puntos de la hipérbola más cercanos a los focos en el eje mayor se llaman vértices. Y sus coordenadas son menos 𝑎, cero y 𝑎, cero, por lo que la distancia entre los dos vértices es dos 𝑎. Y los focos están en los puntos 𝐹 uno igual a menos 𝑐, cero y 𝐹 dos igual a 𝑐, cero. Y 𝑐 al cuadrado es igual a 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado.
Otro elemento importante de la hipérbola son las asíntotas. Son dos rectas que pasan por el centro y a las que las ramas se aproximan según 𝑥 aumenta, pero sin que las ramas lleguen a tocar las asíntotas. Estas asíntotas son las rectas de ecuaciones 𝑦 igual a 𝑏 partido por 𝑎 𝑥 y 𝑦 igual a menos 𝑏 partido por 𝑎 por 𝑥. Así que estas son las rectas con pendientes 𝑏 partido por 𝑎 y menos 𝑏 partido por 𝑎. Recuerda que esta es una hipérbola que se abre a izquierda y derecha y que está centrada en el origen. ¡Ojo aquí!: para una hipérbola que se abre arriba y abajo y tiene ecuación 𝑦 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno, debemos tener mucho cuidado al definir nuestros vértices, focos y asíntotas.
En este caso, nuestros vértices son 𝑉 uno igual a cero, menos 𝑎 y 𝑉 dos igual a cero, 𝑎. Los focos tienen coordenadas cero, menos 𝑐 y cero, 𝑐. Y las asíntotas son las rectas 𝑦 igual a más o menos 𝑎 partido por 𝑏 𝑥. Veamos ahora cómo podemos derivar la ecuación de la hipérbola que se abre a izquierda y derecha y está en posición estándar. Recuerda que, para una hipérbola, la diferencia en las distancias desde los focos hasta cualquier punto de la curva es constante. El vértice 𝑉 dos es un punto en nuestra curva con coordenadas 𝑎, cero. Así que vamos a tomar este como nuestro punto y vamos a ver cuál es la distancia desde aquí hasta los dos focos.
Si tomamos 𝐷 uno como la distancia desde el vértice 𝑉 dos al primer punto focal 𝐹 uno, vemos que es igual a 𝑎 más 𝑐. Y ahora, si tomamos 𝐷 dos como la distancia desde 𝑉 dos hasta el segundo punto focal 𝐹 dos, hallamos que es igual a 𝑐 menos 𝑎. Ahora, si tomamos la diferencia de estas dos distancias, eso es 𝑎 más 𝑐 menos 𝑐 menos 𝑎. Las 𝑐 se cancelan entre sí, así que nos queda dos 𝑎. Y como la diferencia entre las distancias desde los focos a cualquier punto de la hipérbola es constante, esta debe ser nuestra constante. Así que, para cualquier punto 𝑃: 𝑥, 𝑦 de la hipérbola, la diferencia entre las distancias desde los dos focos, 𝑑 uno menos 𝑑 dos, es igual a más o menos dos 𝑎. Tenemos que poner el signo positivo o el signo negativo porque el signo de 𝑑 uno menos 𝑑 dos puede ser cualquiera de los dos, dependiendo de la rama en la que se encuentre el punto.
Si nos fijamos en nuestra gráfica, vemos que podemos usar el teorema de Pitágoras para hallar 𝑑 uno y 𝑑 dos. Si la base de nuestro triángulo con hipotenusa 𝑑 uno es 𝑐 más 𝑥, entonces 𝑑 uno es la raíz cuadrada de 𝑥 más 𝑐 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Y si la base de nuestro triángulo con hipotenusa 𝑑 dos es 𝑐 menos 𝑥, entonces 𝑑 dos es la raíz cuadrada de 𝑐 menos 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Y como 𝑐 menos 𝑥 al cuadrado es lo mismo que 𝑥 menos 𝑐 al cuadrado, 𝑑 uno menos 𝑑 dos es la raíz cuadrada de 𝑥 más 𝑐 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos la raíz cuadrada de 𝑥 menos 𝑐 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Y eso es igual a más o menos dos 𝑎.
Recuerda que tenemos que derivar esta ecuación, por lo que vamos a necesitar hacer uso de álgebra. Hagamos algo de espacio aquí para intercambiar los lados de nuestras expresiones. Si sumamos este segundo término a ambos lados, entonces en el lado izquierdo, este término se cancela. Y ahora, si elevamos ambos lados al cuadrado, obtenemos 𝑥 más 𝑐 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado en el lado izquierdo y el paréntesis desarrollado en el lado derecho. Y si multiplicamos estos dos paréntesis y agrupamos los términos semejantes, obtenemos 𝑥 por 𝑐 menos 𝑎 al cuadrado en el lado izquierdo y más o menos 𝑎 por la raíz cuadrada de 𝑥 menos 𝑐 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado en el lado derecho.
Ahora vamos a hacer un poco de espacio y reescribir esto; si elevamos al cuadrado ambos lados de nuevo y desarrollamos el paréntesis dentro de la raíz cuadrada, y multiplicamos el paréntesis en el lado derecho, podemos eliminar menos dos 𝑎 al cuadrado 𝑥𝑐 en ambos lados sumando para ello dos 𝑎 al cuadrado 𝑥𝑐. Y al llevar 𝑎 elevado a la cuarta al lado derecho y 𝑎 al cuadrado 𝑥 al cuadrado y 𝑎 al cuadrado 𝑦 al cuadrado al lado izquierdo, esto se simplifica a 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado por 𝑥 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado 𝑦 al cuadrado igual a 𝑎 al cuadrado por 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado. Y ahora, si dividimos todo por 𝑎 al cuadrado por 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado, podremos cancelar varios términos. Al hacerlo obtenemos 𝑥 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado igual a uno.
Y ahora, si definimos 𝑏 al cuadrado como 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado, nos queda 𝑥 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno. Y esta es la ecuación de una hipérbola horizontal o de apertura a derecha e izquierda en posición estándar. Recuerda ahora que la hipérbola tiene dos asíntotas, 𝑦 igual a más o menos 𝑏 partido por 𝑎 multiplicado por 𝑥, a las que se acerca cuando 𝑥 aumenta pero que nunca llega a tocar. Veamos cómo resulta esto de nuestra ecuación despejando para ello 𝑦 y analizando el comportamiento cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞. Al despejar la 𝑦, obtenemos que 𝑦 es igual a más o menos raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado 𝑥 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado.
Observamos primero que el argumento de la raíz cuadrada es positivo, pues 𝑥 al cuadrado es siempre mayor o igual que 𝑎 al cuadrado. Y cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞, el término 𝑏 al cuadrado se vuelve insignificante. Por lo tanto, 𝑦 tiende a más o menos raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado por 𝑥 al cuadrado, que es más o menos 𝑏 partido entre 𝑎 por 𝑥. Son las rectas que pasan por el origen y tienen pendiente más o menos 𝑏 partido por 𝑎. Veamos ahora un ejemplo de cómo dibujar una hipérbola en posición estándar.
Dada la hipérbola definida por la ecuación 𝑥 al cuadrado partido por 36 menos 𝑦 al cuadrado partido por 16 igual a uno, halla los vértices, los focos y las asíntotas, y utilízalos para representar gráficamente la hipérbola.
Se nos da la ecuación de una hipérbola, 𝑥 al cuadrado partido por 36 menos 𝑦 al cuadrado partido por 16 igual a uno, que es de la forma 𝑥 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno, donde 𝑎 y 𝑏 son ambos positivos. Entonces, en nuestro caso, 𝑎 al cuadrado es 36 y 𝑏 al cuadrado es 16. Y, por lo tanto, 𝑎 es seis y 𝑏 es cuatro. Para una hipérbola de esta forma, el centro está en el origen cero, cero. Si nos fijamos de nuevo en nuestra ecuación, podemos ver que el término positivo es 𝑥 al cuadrado y que el término negativo es 𝑦 al cuadrado. Y esto significa que el eje mayor o transversal está en el eje de las 𝑥. Y recuerda que tanto los focos como los vértices están en el eje mayor, por lo que nuestra hipérbola será así, más o menos.
Recuerda que los vértices son los puntos de cada rama que están más cerca del centro. Y para una hipérbola de este tipo, los vértices están en menos 𝑎, cero y en 𝑎, cero, de modo que, en nuestro caso, los vértices tienen coordenadas menos seis, cero y seis, cero. Las coordenadas de los focos 𝐹 uno y 𝐹 dos son menos 𝑐, cero y 𝑐, cero, donde 𝑐 al cuadrado es 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Por lo tanto, en nuestro caso, 𝑐 al cuadrado es 36 más 16, que es 52. Y, por lo tanto, 𝑐, que tiene un valor positivo, es la raíz cuadrada de 52. Redondeado a las décimas esto es 7.2, por lo que nuestros focos tienen coordenadas menos 7.2, cero y 7.2, cero.
Las asíntotas de una hipérbola en posición estándar son las rectas 𝑦 igual a 𝑏 partido entre 𝑎 por 𝑥 y 𝑦 igual a menos 𝑏 partido entre 𝑎 por 𝑥. Por lo tanto, si llamamos a nuestras asíntotas 𝐴 uno y 𝐴 dos con 𝑎 igual a seis y 𝑏 igual a cuatro, tenemos 𝐴 uno igual a cuatro partido por seis 𝑥, que se simplifica a dos partido por tres 𝑥. Nuestra segunda asíntota es menos dos partido entre tres por 𝑥. Muy bien, ya tenemos toda la información que necesitamos para dibujar la gráfica de nuestra hipérbola. Tenemos los vértices con coordenadas menos seis, cero y seis, cero; los focos con coordenadas menos 7.2, cero y 7.2, cero; y nuestras dos asíntotas. Las cuales son 𝑦 igual a dos partido por tres 𝑥 y menos dos partido por tres 𝑥.
Veamos ahora un ejemplo de cómo hallar la ecuación de una hipérbola a partir de sus asíntotas en un contexto del mundo real.
Un jardinero quiere hacer crecer un seto en forma de hipérbola con una fuente en el centro. En su punto más cercano, el seto estará a una distancia de 20 yardas de la fuente. La fuente está en el origen del sistema de coordenadas con unidades en yardas, y la hipérbola definida por el seto tiene asíntotas 𝑦 igual a tres partido por cuatro 𝑥 y 𝑦 igual a menos tres partido por cuatro 𝑥. Halla la ecuación de la hipérbola.
Para resolver este problema vamos a comenzar dibujando nuestra hipérbola con los datos que se nos han dado en el enunciado. Se nos dice que la fuente está en el centro, pero también que la fuente es el origen del sistema de coordenadas. El seto está delimitado por las ramas de la hipérbola, que se aproximarán a las asíntotas 𝑦 igual a tres partido por cuatro 𝑥 y menos tres partido por cuatro 𝑥 cuando 𝑥 aumenta en el sentido positivo o en el sentido negativo.
El enunciado dice que, en su punto más cercano, el seto estará a una distancia de 20 yardas de la fuente. Y como la fuente es el origen de nuestro sistema de coordenadas, podemos tomar los puntos con coordenadas 20, cero y menos 20, cero como nuestros vértices. Esto significa que hemos optado por una hipérbola de apertura a izquierda y derecha. Y al tener el centro en el origen, su ecuación es de la forma 𝑥 al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno.
Y sabemos que para una hipérbola que se abre de este a oeste, las asíntotas son 𝑦 igual a más o menos 𝑏 partido entre 𝑎 por 𝑥. Nos han dicho que las ecuaciones de las asíntotas son tres partido por cuatro y menos tres partido por cuatro 𝑥. Y, por lo tanto, estamos tentados de decir que 𝑏 es igual a tres y que 𝑎 es igual a cuatro. Nuestras asíntotas son las rectas 𝑦 igual a más o menos tres partido por cuatro 𝑥, que son las rectas con pendientes más y menos tres partido por cuatro. Pero estas fracciones podrían estar en forma simplificada, y 𝑎 y 𝑏 podrían tener un valor mayor que estos números. Sin embargo, conocemos otro lugar en el que podemos hallar 𝑎. Y es el eje transversal o el eje mayor de la hipérbola.
Sabemos que la distancia desde el centro de la hipérbola al vértice es 𝑎, pues los vértices de dicha hipérbola tienen coordenadas más o menos 𝑎, cero. Entonces, en nuestro caso, 𝑎 es igual a 20. Y sabemos que nuestra pendiente positiva es 𝑏 partido por 𝑎, que es tres cuartos. Y como 𝑎 es igual a 20, eso significa que tres cuartos es igual a 𝑏 partido por 20. Si multiplicamos en cruz, obtenemos 20 por tres partido por cuatro igual a 𝑏. Y como 20 entre cuatro es cinco, 𝑏 es igual a 15.
Y ahora, como ya hemos obtenido el valor de 𝑏 y el valor de 𝑎, podemos sustituirlos en nuestra ecuación de la hipérbola, de manera que 𝑏 al cuadrado es 225 y 𝑎 al cuadrado es 400. Y nuestra hipérbola es 𝑥 al cuadrado partido por 400 menos 𝑦 al cuadrado partido por 225 igual a uno, por lo que nuestro seto tiene la forma de una hipérbola con ecuación 𝑥 al cuadrado partido por 400 menos 𝑦 al cuadrado partido por 225 igual a uno.
Hasta ahora, hemos visto hipérbolas con centro en el origen. Pero pueden estar centrados en cualquier punto del plano 𝑥𝑦. Si trasladamos nuestra hipérbola en el plano de modo que su centro tenga coordenadas ℎ, 𝑘, nuestra hipérbola trasladada tiene la ecuación 𝑥 menos ℎ al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 menos 𝑘 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno. En esta forma, como el término 𝑥 es positivo, el eje mayor es paralelo al eje de las 𝑥. Y recuerda, el eje mayor contiene los vértices y los focos. Y esta es una hipérbola que se abre a derecha e izquierda, o sea, es una hipérbola de eje horizontal.
Aquí conviene señalar que, si el término 𝑦 fuera positivo, entonces nuestra hipérbola sería así, con el eje vertical, o sea, con el eje mayor paralelo al eje de las 𝑦. Y se llama hipérbola con apertura hacia arriba y hacia abajo o hipérbola de eje vertical. Veamos ahora cómo funciona en la práctica esta traslación del centro de la hipérbola.
Supongamos que modelamos la trayectoria de un objeto en el Sistema Solar mediante una trayectoria hiperbólica en el plano de coordenadas, con su origen en el Sol y sus unidades en unidades astronómicas, Au. El eje de las 𝑥 es un eje de simetría de esta hipérbola. El objeto entra en la dirección de 𝑦 igual a tres 𝑥 menos nueve, sale en la dirección de 𝑦 igual a menos tres 𝑥 más nueve, y pasa a una distancia de una ua del Sol en su punto más cercano. Usando las ecuaciones de las asíntotas, halla la ecuación de la trayectoria del objeto.
Se nos dice que la trayectoria del objeto es una hipérbola, que entra en la dirección de 𝑦 igual a tres 𝑥 menos nueve y sale en la dirección de 𝑦 igual a menos tres 𝑥 más nueve. Así que podemos deducir que estas dos ecuaciones son las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola. En ambas ecuaciones, cuando 𝑦 es igual a cero, hallamos que 𝑥 es igual a tres, de modo que las rectas se cortan en el punto con coordenadas tres, cero. Nuestra primera recta tiene una pendiente de tres y una ordenada 𝑦 en el origen de menos nueve. Y nuestra segunda asíntota tiene una pendiente de menos tres y una ordenada 𝑦 en el origen de más nueve.
Sabemos que nuestro objeto pasa a una distancia de una Au del Sol en su punto más cercano. Esto significa que uno de nuestros vértices tiene coordenadas uno, cero, y que nuestra hipérbola debe ser así. Y se nos dice que el eje de las 𝑥 es uno de nuestros ejes de simetría. Si tomamos esto como nuestro eje principal o eje focal, entonces nuestra hipérbola es horizontal o tiene una apertura de este a oeste. Y se nos pide que usemos las ecuaciones de las asíntotas para hallar la ecuación de la trayectoria del objeto. Y hemos demostrado que el centro de la hipérbola está en el punto tres, cero. Así que esta es una hipérbola que desde la posición estándar se ha desplazado tres unidades en el sentido positivo del eje de las 𝑥, donde una unidad aquí es una unidad astronómica.
También sabemos que una hipérbola con centro ℎ, 𝑘 y con esta orientación tiene ecuación 𝑥 menos ℎ al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 menos 𝑘 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno. Y sabemos que, en nuestro caso, ℎ es igual a tres y 𝑘 es igual a cero. De modo que nuestra ecuación tendrá la forma 𝑥 menos tres al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno. Ahora lo único que nos queda por hacer es hallar los valores de 𝑎 y 𝑏. Para ello vamos a usar lo que sabemos sobre las hipérbolas.
Sabemos que para cualquier hipérbola de apertura a derecha e izquierda, la pendiente de las asíntotas es más y menos 𝑏 partido por 𝑎, donde 𝑎 y 𝑏 son ambas positivas. En nuestro caso, 𝑏 partido por 𝑎 es igual a tres, por lo que 𝑏 es igual a tres 𝑎. Vamos a hacer algo de espacio para poder avanzar. Tenemos 𝑏 igual a tres 𝑎 y 𝑥 menos tres al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado igual a uno. Ahora, si sustituimos 𝑏 igual a tres 𝑎 en nuestra ecuación, obtenemos 𝑥 menos tres al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado partido por nueve 𝑎 al cuadrado igual a uno.
Pero sabemos que la hipérbola pasa por el punto uno, cero porque este es nuestro vértice. Así que sabemos que cuando 𝑥 es igual a uno, 𝑦 es igual a cero. Y si los sustituimos en nuestra ecuación, obtenemos que menos dos al cuadrado partido por 𝑎 al cuadrado es igual a uno, por lo que 𝑎 al cuadrado es igual a cuatro, y 𝑎 es igual a dos porque 𝑎 es positivo. Y recuerda que 𝑏 es igual a tres por 𝑎, así que 𝑏 es igual a seis. Así que, la ecuación de la trayectoria del objeto es 𝑥 menos tres al cuadrado partido por cuatro menos 𝑦 al cuadrado partido por 36 es igual a uno.
Resumamos ahora los puntos clave que hemos aprendido en este vídeo. Una hipérbola en posición estándar tiene su centro en cero, cero. La orientación de la hipérbola está determinada por si es el término 𝑥 al cuadrado o el término 𝑦 al cuadrado el que tiene el signo positivo. Una hipérbola con centro ℎ, 𝑘 está desplazada ℎ unidades en la dirección 𝑥 y 𝑘 unidades en la dirección 𝑦.
Los vértices son los dos puntos de las ramas más cercanos al centro. Los focos son los puntos a una distancia 𝑐 del centro tales que, para cualquier punto en una rama de la hipérbola, la diferencia en las distancias desde el punto a los focos es la constante dos 𝑎. Las asíntotas son dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola y a las que las ramas de la hipérbola se aproximan sin cota cuando 𝑥 aumenta pero sin llegar tampoco a tocarlas.
