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En este video, vamos a aprender cómo dividir polinomios por binomios mediante descomposición en factores. Hay varias formas de dividir polinomios. Una de ellas es utilizar la división usual que usamos para dividir números grandes. Pero este puede ser un método largo y tedioso. Por lo tanto, conviene estar familiarizado con otras formas de hacer dicha división. Uno de estos métodos es mediante factorización. Básicamente comenzamos escribiendo nuestra división como una fracción. Y después escribimos tanto el numerador como el denominador en una forma tan factorizada como sea posible.
Una vez que hemos hecho esto, simplificamos como lo haríamos con una fracción numérica cancelando factores comunes. Antes de continuar, cabe señalar que este proceso depende de qué tanto dominemos la factorización de polinomios. Estos serán principalmente de segundo grado. También vamos a considerar polinomios de tercer grado que se pueden expresar como un producto de dos binomios. Por lo tanto, asegúrate de saber factorizar polinomios antes de continuar. Comencemos con un ejemplo sencillo.
Simplifica dos 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos tres sobre 𝑥 más tres.
Primero, recordemos que esta línea de fracción significa dividir. Es decir que cuando simplificamos, en realidad lo que estamos haciendo es dividir dos 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos tres por 𝑥 más tres. Una vez que nuestra división está escrita como una fracción, buscamos descomponer en factores lo más que podamos. No es posible factorizar la expresión en el denominador. Pero podemos factorizar el numerador. Factoricemos dos 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos tres. Hay varias formas de hacer esto. Una de ellas es el método AC. Se llama método AC porque dada una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐, comenzamos multiplicando el valor de 𝑎 y 𝑐. En nuestra ecuación, 𝑎, que es el coeficiente de 𝑥 al cuadrado, es dos y 𝑐 es menos tres. Dos multiplicado por menos tres es menos seis.
Nuestro siguiente paso es el mismo que cuando factorizamos una ecuación cuadrática donde el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es uno. Buscamos dos números que se multiplican para hacer menos seis y se suman para hacer cinco. Seis multiplicado por menos uno es menos seis. Y seis más menos uno es cinco. Así que vamos a descomponer este término medio en seis 𝑥 y menos uno 𝑥. Y escribimos nuestro polinomio como dos 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos uno es igual a tres. No hemos hecho nada extraordinario aquí. Acabamos de reescribir nuestra expresión original. Si simplificáramos la expresión del lado derecho, obtendríamos la expresión del lado izquierdo.
El siguiente paso es considerar los dos pares de términos. Vamos a factorizar cada par. Vemos que dos 𝑥 al cuadrado y seis 𝑥 tienen un máximo común divisor de dos 𝑥. Así que dos 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 se pueden escribir como dos 𝑥 por 𝑥 más tres. De manera similar, menos uno 𝑥 menos tres tienen un factor común de menos uno. Así que cuando factorizamos esta expresión, obtenemos menos uno 𝑥 más tres.
Observa que ambos términos tienen un factor de 𝑥 más tres. Y por eso extraer el factor común 𝑥 más tres. Dos 𝑥 por 𝑥 más tres dividido por 𝑥 más tres nos da dos 𝑥. Menos uno por 𝑥 más tres dividido por 𝑥 más tres nos da menos uno. Y así factorizamos completamente nuestra función cuadrática. Es 𝑥 más tres por dos 𝑥 menos uno. Y esto nos viene de perlas porque ahora podemos reescribir nuestra fracción. Reemplazamos el polinomio de segundo grado con su forma factorizada. Y es igual a 𝑥 más tres por dos 𝑥 menos uno, todo partido por 𝑥 más tres.
Una vez en esta forma, podemos simplificar nuestra fracción como lo hacemos en una fracción numérica dividiendo por cualquier factor común. En este caso, podemos dividir por 𝑥 más tres. Al hacer esto nuestra expresión se simplifica a dos 𝑥 menos uno sobre uno o simplemente dos 𝑥 menos uno. De modo que la respuesta a nuestra pregunta es que la forma reducida de dos 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos tres divididos por 𝑥 más tres es dos 𝑥 menos uno. Hemos usado este método llamado AC para factorizar nuestra expresión cuadrática. Puede que estés acostumbrado a utilizar algún otro método. Y eso es absolutamente válido, pero, por supuesto, has de obtener también 𝑥 más tres por dos 𝑥 menos uno.
A continuación, vamos a ver cómo hallar el denominador de una fracción conociendo el resultado de dividir un polinomio por un binomio mediante factorización.
Halla el denominador de la fracción en esta ecuación: tres 𝑥 al cuadrado más 11𝑥 más ocho sobre ¿qué? es igual a 𝑥 más uno.
Llamemos 𝑦 al denominador de nuestra fracción, donde 𝑦 será una función de 𝑥. Y consideremos la relación entre fracciones y división. Una fracción es solo otra forma de escribir una división. Así que lo que nos preguntan es, ¿cuál es polinomio 𝑦 si 𝑥 al cuadrado más 11𝑥 más ocho dividido por 𝑦 es igual a 𝑥 más uno? Podemos reorganizar esto para despejar 𝑦. Pues es fácil ver que si 𝑎 dividido por 𝑏 es igual a 𝑐, 𝑎 dividido por 𝑐 debe ser igual a 𝑏. Esto tiene mucho sentido porque, si reorganizamos una ecuación o la otra, obtenemos igualmente que 𝑎 es igual a 𝑏 por 𝑐. En definitiva, 𝑏 y 𝑐 son un par de factores de 𝑎. Por lo tanto, tres 𝑥 al cuadrado más 11𝑥 más ocho dividido por 𝑥 más uno es igual a 𝑦.
Pero ¿cómo resolvemos esta división en el lado izquierdo? Tenemos varios métodos, pero generalmente la factorización es el más sencillo. Vamos a buscar factorizar la expresión tres 𝑥 al cuadrado más 11𝑥 más ocho. Hay muchas maneras de hacer esto. Un método se basa en fijarse bien. Tenemos una ecuación cuadrática y no hay factores comunes aparte de la unidad en cada uno de nuestros términos. Vamos a intentar expresarlo como el producto de dos binomios. El primer término de uno de los binomios debe ser tres 𝑥 y el del otro 𝑥 porque tres 𝑥 por 𝑥 nos da el tres 𝑥 al cuadrado que necesitamos.
Luego debemos buscar pares de factores de ocho teniendo en cuenta que uno de estos se multiplicará por tres. Y que hecho esto, cuando sumemos nuestros números, debemos obtener 11. Un par de factores que podemos usar es ocho y uno. Y si multiplicamos tres por uno, obtenemos tres. Tres más ocho es 11. Para que esto funcione, tanto ocho como uno deben ser positivos. Y así hemos factorizado nuestra expresión. Es tres 𝑥 más ocho por 𝑥 más uno. Y ahora podemos reescribir nuestra ecuación como tres 𝑥 más ocho por 𝑥 más uno, todo partido por 𝑥 más uno es igual a 𝑦.
Nuestro siguiente paso, ahora que está escrito como una fracción, es simplificar como lo haríamos con cualquier otra fracción dividiendo por un factor común. Aquí, el factor común es 𝑥 más uno. 𝑥 más uno dividido por 𝑥 más uno es simplemente uno. Y 𝑦 es igual a tres 𝑥 más ocho. Y como dijimos que 𝑦 era el denominador de nuestra fracción, el denominador es tres 𝑥 más ocho. Una forma realmente rápida de comprobar esta respuesta es verificar que el producto de 𝑥 más uno y nuestro denominador es, verdaderamente, igual a tres 𝑥 al cuadrado más 11𝑥 más ocho. Y, de hecho, si multiplicamos estos dos binomios, obtenemos tres 𝑥 al cuadrado más 11𝑥 más ocho.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos usar un método parecido para ayudarnos a encontrar el valor de una incógnita.
Halla el valor de 𝑘 que hace que la expresión 𝑥 al cuadrado menos 𝑘𝑥 más 30 sea divisible por 𝑥 menos cinco.
Cuando dividimos polinomios por binomios, comenzamos escribiéndolos como una fracción y luego simplificando lo más posible. Así que para dividir 𝑥 al cuadrado menos 𝑘𝑥 más 30 por 𝑥 menos cinco, comenzamos escribiéndolo como 𝑥 al cuadrado menos 𝑘𝑥 más 30 sobre 𝑥 menos cinco. Esto implica que para que nuestra expresión sea divisible por 𝑥 menos cinco, esta fracción se debe poder simplificar. Y simplificamos, por supuesto, dividiendo por un factor común. En el denominador de nuestra fracción, tenemos 𝑥 menos cinco. Lo que nos indica que 𝑥 menos cinco ha de ser un factor de 𝑥 al cuadrado menos 𝑘𝑥 más 30. Por lo tanto, debemos ser capaces de escribir 𝑥 al cuadrado menos 𝑘𝑥 más 30 como un binomio —que hemos escrito como 𝑥 más 𝑎, donde 𝑎 es una constante— multiplicado por 𝑥 menos cinco.
Pero ¿cómo determinamos cuánto debe valer 𝑎? Pensemos en cómo factorizamos expresiones cuadráticas en las que el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es igual a uno. Tenemos una 𝑥 al principio de cada binomio. Y buscamos dos números cuyo producto es la constante —que en este caso es 30—, y cuya suma es el coeficiente de 𝑥. Y aquí, eso es menos 𝑘. Estos dos números nos dan las partes numéricas de nuestros binomios. Así que, aunque desconocemos el valor de 𝑘, podemos decir que 𝑎 multiplicado por menos cinco debe ser 30. Y de este modo despejamos 𝑎 dividiendo por menos cinco. 30 dividido por menos cinco es menos seis. Por lo tanto, 𝑎 es igual a menos seis.
Si reemplazamos 𝑎 con menos seis, y nos olvidamos de los denominadores porque, por supuesto, son iguales, vemos que los numeradores deben ser iguales. Así que 𝑥 al cuadrado menos 𝑘𝑥 más 30 debe ser igual a 𝑥 menos seis por 𝑥 menos cinco. Si desarrollamos estos paréntesis y simplificamos, obtendremos el valor de 𝑘. Comenzamos multiplicando el primer término en cada binomio. 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Después multiplicamos los términos externos obteniendo menos cinco 𝑥, luego multiplicamos los términos internos y obtenemos menos seis 𝑥. Finalmente, multiplicamos los últimos términos. Menos seis por menos cinco es 30. Obtenemos, pues, 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 menos seis 𝑥 más 30. Y como menos cinco 𝑥 menos seis 𝑥 es menos 11𝑥, esto se convierte en 𝑥 al cuadrado menos 11𝑥 más 30.
Comparemos ambos lados de esta ecuación. Tenemos 𝑥 al cuadrado en ambos lados y tenemos más 30. Así que podemos decir que estos dos términos deben ser iguales. Menos 𝑘𝑥 debe ser igual a menos 11𝑥. Para que esto sea cierto, 𝑘 debe ser igual a 11. El valor de 𝑘 que hace que la expresión 𝑥 al cuadrado menos 𝑘𝑥 más 30 sea divisible por 𝑥 menos cinco es 11.
Ahora vamos a ver cómo estas técnicas pueden ayudarnos a resolver problemas de geometría.
Un rectángulo tiene un área de 𝑦 al cubo más dos 𝑦 al cuadrado más cinco 𝑦 más 10 centímetros cuadrados y una anchura de 𝑦 más dos centímetros. Calcula su longitud en términos de 𝑦, y calcula su perímetro si 𝑦 es igual a cuatro.
Nuestro rectángulo podría ser así. Sabemos que tiene una anchura de 𝑦 más dos centímetros y queremos hallar su longitud en términos de 𝑦. Por ahora, vamos a llamar a su longitud 𝑥 centímetros, donde 𝑥 es una función de 𝑦. Sabemos que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando su ancho por su largo. En este caso, el área del rectángulo es 𝑦 más dos por 𝑥. Escribamos esto como 𝑥 por 𝑦 más dos. Pero, de hecho, ya nos han dado una expresión para el área. Es 𝑦 al cubo más dos 𝑦 al cuadrado más cinco 𝑦 más 10. Así que tenemos una ecuación que podemos resolver o al menos hacer de 𝑥 el sujeto.
Vamos a despejar 𝑥 dividiendo ambos lados por 𝑦 más dos. En el lado derecho, eso nos deja con 𝑥. Pero ¿qué pasa en el lado izquierdo? Por ahora, lo escribimos como una fracción, ya que una línea de fracción simplemente significa dividir. Y una de las mejores formas que tenemos de simplificar una fracción, que es lo mismo que dividir, es comenzar factorizando lo más posible. Factoricemos la expresión 𝑦 al cubo más dos 𝑦 al cuadrado más cinco 𝑦 más 10. Para hacer esto, comenzamos por factorizar los pares de términos. Cuando factorizamos 𝑦 al cubo más dos 𝑦 al cuadrado, obtenemos 𝑦 al cuadrado por 𝑦 más dos.
De forma similar, cuando factorizamos cinco 𝑦 más 10, obtenemos cinco por 𝑦 más dos. Sabemos que hay un factor común de 𝑦 más dos en nuestros dos términos. Así que podemos extraer el factor común 𝑦 más dos. 𝑦 al cuadrado por 𝑦 más dos dividido por 𝑦 más dos es 𝑦 al cuadrado. Después, cuando dividimos nuestro segundo término, cinco por 𝑦 más dos, por 𝑦 más dos, obtenemos cinco. Esto significa que podemos reescribir nuestra fracción como 𝑦 más dos por 𝑦 al cuadrado más cinco sobre 𝑦 más dos. Y tenemos un factor 𝑦 más dos tanto en el numerador como en el denominador de nuestra fracción. Así que vamos a dividir por 𝑦 más dos. Y cuando lo hacemos, obtenemos 𝑥 igual a 𝑦 al cuadrado más cinco.
Hemos dicho que la longitud de nuestro rectángulo es 𝑥 centímetros. De hecho, hemos determinado que la longitud en términos de 𝑦 es 𝑦 al cuadrado más cinco centímetros. Pero no hemos terminado del todo. La cuestión nos pide también que hallemos el perímetro de este rectángulo cuando 𝑦 es igual a cuatro. Así que vamos a hacer 𝑦 igual a cuatro en las expresiones para el ancho y el largo. El ancho se convierte en cuatro más dos, que son seis centímetros. Y el largo se convierte en cuatro al cuadrado más cinco, que es 21 centímetros. El perímetro es la distancia total alrededor del borde. Así que vamos a sumar 21 y 6 y luego multiplicar eso por dos para representar los otros dos lados. 21 más seis es 27, y 27 por dos es 54. El perímetro de nuestro rectángulo es, por lo tanto, 54 centímetros.
En este video, hemos visto que, para dividir un polinomio por un binomio, uno de los métodos más eficientes es usar descomposición en factores. Al usar este método, lo primero que hacemos es escribir nuestra división como una fracción. El dividendo, que es la expresión que dividimos, es el numerador de nuestra fracción. Y el divisor, que es la expresión por la que dividimos, es el denominador. Después factorizamos lo más posible. Y en este video, hemos factorizado mayormente los numeradores. Pero habrá casos en los que también necesitemos descomponer en factores el denominador. Una vez que hemos hecho esto, buscamos factores comunes y los cancelamos. Es lo mismo que reducir cualquier fracción numérica. Y una vez que esté todo completamente simplificado, significa que hemos efectuado nuestra división.
