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Vídeo de la lección: Representación gráfica de inecuaciones lineales en dos variables Matemáticas • Noveno grado

En este vídeo vamos a aprender cómo representar gráficamente inecuaciones con dos variables, como 𝑦 > 3𝑥 - 1, representando la ecuación primero y determinando luego si la solución de la inecuación es la región que está a un lado de la recta o al otro.

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Transcripción del vídeo

Graficar inecuaciones con dos incógnitas.

Esta inecuación significa que 𝑦 es mayor o igual que tres 𝑥 menos uno. Y para que nos resulte más fácil representar esta inecuación en un gráfico. Vamos a empezar trazando la recta 𝑦 igual a tres 𝑥 menos uno. Lo primero que necesitamos es una tabla de valores. Tenemos que elegir tres pares de coordenadas. Solemos decantarnos por los valores menos uno, cero y uno para la abscisa. Puedes utilizar más de tres pares de coordenadas, pero nunca menos. Así que vamos a tomar cada una de estas coordenadas 𝑥 que hemos elegido y vamos a sustituirlas en la función para hallar el valor de 𝑦.

En la primera hacemos 𝑦 igual a tres multiplicado por menos uno menos uno. Tres multiplicado por menos uno es menos tres. Restamos uno a eso y obtenemos menos cuatro. Ahora, con el cero, sabemos que tres por cero es cero. Y cero menos uno es menos uno. Por último reemplazamos el uno en la coordenada 𝑥, y obtenemos tres por uno, que es tres, y menos uno es dos.

Muy bien, ya tenemos algunas coordenadas. Que son: menos uno, menos cuatro; cero, menos uno; y uno, dos. Hemos obtenido estas coordenadas dando valores a las coordenadas 𝑥 en la tabla de valores y hallando luego las coordenadas 𝑦, y bueno esa es la 𝑥 y esa es la 𝑦 para cada uno de los pares de coordenadas. Ahora vamos a representar esto en el plano. Y aquí debemos tener cuidado y tener en cuenta de que se trata en realidad de una inecuación.

Representamos cada uno de estos puntos, menos uno, menos cuatro; cero, menos uno; y uno, dos. Esta inecuación es una inecuación del tipo «o igual a», como podemos ver aquí. Esto significa que, cuando hacemos el gráfico tenemos que dibujar una recta continua en lugar de una recta discontinua. En una recta discontinua tenemos solo «mayor que» o «menor que», mientras que, en una recta continua, también incluimos «o igual a». Y si recuerdas cómo se representan las inecuaciones en una recta numérica, ponemos un circulito vacío cuando tenemos solamente «mayor que» o «menor que», y un circulito relleno si también tenemos «o igual a».

Bueno, a lo que íbamos, volviendo a nuestra pregunta podemos ver que la inecuación es «o igual a», así que tiene que ser una recta continua. Esto ya lo hicimos en otro vídeo. Lo que ocurre con las inecuaciones con dos incógnitas, o sea, lo que las diferencia de las inecuaciones lineales simples es que no podemos decir: «Vale, esto significa que vamos a colorear este lado». Tenemos que hacer algunas comprobaciones primero. Así que vamos a comprobar la parte de arriba y la de abajo, y ver cuál satisface nuestra inecuación. Vamos a comprobar este punto por debajo, cinco, cinco y también este punto por encima, menos cinco, diez. Lo cierto es que podemos escoger un punto cualquiera a cada lado de la recta. Y ahora tenemos que averiguar qué puntos satisfacen la inecuación. Tenemos que 𝑦 vale diez, por lo que escribimos que diez es mayor o igual que tres multiplicado por el valor de 𝑥, que es menos cinco, menos uno. Bueno, sabemos que tres por menos cinco es menos quince, y que menos quince menos uno es menos dieciséis. Y sí: diez es mayor o igual que menos dieciséis. Por lo tanto, la región de arriba es válida. Pero no vamos a tomar eso como la respuesta final y decir «Vale, vamos a colorear la región de arriba, ya que es la que satisface la inecuación» porque tenemos que suponer que podemos habernos equivocado. Así que vamos a comprobar la parte de abajo, que deberá estar mal; o sea, no deberá satisfacer la inecuación.

Tenemos que cinco es mayor o igual que tres multiplicado por cinco menos uno. Tres por cinco es quince, y al restar uno obtenemos catorce. No es cierto que cinco sea mayor o igual que catorce. Así que comprobamos que, efectivamente, la región de abajo no es válida, que es lo que queríamos. Por lo que ya podemos colorear la región que satisface la inecuación, que es la de arriba. Hemos representado correctamente la inecuación trazando la recta y comprobando la parte de arriba y la de abajo. Ahora bien, una cosa que necesitamos para poder construir una tabla de valores es que la inecuación esté en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐, y ahora vamos a ver un ejemplo en el que este no es el caso.

Así que lo primero que vamos a hacer es expresar nuestra inecuación en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐.

Básicamente, lo que vamos a hacer es reorganizar la inecuación para despejar 𝑦. Para hacerlo comenzamos restando dos 𝑥 en ambos lados. Así, en el lado izquierdo obtenemos tres 𝑦, que es menor o igual que siete menos dos 𝑥 en el lado derecho. No obstante, esto todavía no está del todo en la forma que queremos. Necesitamos tener solo la variable 𝑦 es menor o igual que. Así que dividimos ambos lados por tres, y obtenemos que 𝑦 es menor o igual que siete menos dos 𝑥, todo partido por tres. Y aunque esto no está exactamente en la forma que habíamos dicho, podemos ver que hay un término independiente y un término con 𝑥 en el lado derecho, y que la 𝑦 está sola en el lado izquierdo.

Así que con esto ya podemos construir fácilmente una tabla de valores para representar en el gráfico. Sustituimos menos uno en la fracción algebraica, y obtenemos que 𝑦 es menor o igual que siete menos dos por menos uno, todo partido entre tres. Los números negativos que están arriba se convierten en positivos, así que tenemos siete más dos, que es nueve, dividido por tres, que es tres. Seguidamente sustituimos cero y uno, y obtenemos las fracciones siete tercios y cinco tercios. Ahora ya tenemos las coordenadas de menos uno, tres; cero, siete tercios; y uno, cinco tercios. Estas son coordenadas fraccionarias, que no son las más fáciles de representar, pero nos pueden servir. Al representar en el plano, obtenemos esta recta.

Por último, vamos a comprobar la parte de arriba y la de abajo. Así que elegimos cinco, cinco arriba y menos cinco, menos cinco abajo. Para hacer las cosas más fáciles, vamos a usar la inecuación original. Tenemos tres por cinco, que es quince. Más dos por cinco, que es diez. Y eso debe ser menor o igual que siete, pero no lo es. Así que la parte de arriba no funciona. Comprobemos la parte de abajo.

Usamos la inecuación original y tenemos tres por menos cinco, que es menos quince. Más dos por menos cinco, que es menos diez. Y eso es menor o igual que siete. Así que la parte de abajo sí funciona. Por tanto, para colorear la región que satisface la inecuación, tenemos que colorear la parte que está por debajo de la recta.

Así que, ya está. Hemos demostrado con un par de ejemplos cómo graficar las inecuaciones lineales con dos incógnitas. Para representar gráficamente una inecuación hay que construir una tabla de valores de la ecuación, dibujar la recta, y, seguidamente, comprobar un punto por encima y un punto por debajo de la recta para averiguar cuál es la región que debemos colorear.

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