Lesson Video: Criterio de la segunda derivada para los extremos relativos de una función Matemáticas

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En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar la prueba de la segunda derivada para clasificar un punto crítico como mínimo relativo, máximo relativo o punto de inflexión.

Se supone que ya conocemos la definición de puntos críticos, que son aquellos puntos de una función en los que la pendiente de la tangente a la curva es igual a cero o no está definida, y también se supone que sabemos hallar los puntos críticos de una función mediante derivación. Asimismo, se da por hecho que conoces la prueba de la primera derivada para clasificar puntos críticos, es decir, para determinar su naturaleza. Los puntos críticos pueden ser mínimos relativos, máximos relativos o puntos de inflexión. Y se pueden clasificar analizando la forma de la curva en ese punto. Su naturaleza se puede determinar por el comportamiento de la pendiente de la curva alrededor del punto.

Como sabemos, la primera derivada de una función, 𝑓 prima de 𝑥 o d𝑦 sobre d𝑥 si usamos la notación de Leibniz, nos dice la pendiente de una curva. Es la tasa de variación de la curva. Y en los puntos críticos, la primera derivada es igual a cero. Por lo tanto, la segunda derivada de una función, que es la derivada de la primera derivada, nos dice cómo cambia la pendiente. O, más específicamente, nos dice la tasa de variación de la pendiente de una curva. Vamos a ver cómo cambia la pendiente de una curva alrededor de un punto crítico, y vamos a empezar por un mínimo relativo.

Si trazamos tangentes a la curva a ambos lados del punto crítico, podemos ver que la pendiente de la curva, y, por lo tanto, la primera derivada de la función, es negativa a la izquierda del punto crítico y positiva a la derecha del punto crítico. La pendiente, y, por tanto, el valor de 𝑓 prima de 𝑥, pasa de negativa a cero a positiva. En consecuencia, el valor de la pendiente es creciente. Recordemos que, si una función es creciente, tiene una derivada positiva. Así que, cuando la pendiente es creciente, la derivada de la pendiente es positiva.

La derivada de la pendiente es la segunda derivada de la función original. Así que concluimos que, en un mínimo relativo, la segunda derivada de la función es positiva: 𝑓 doble prima de 𝑥 es mayor que cero. Podemos aplicar el mismo razonamiento al máximo relativo. Esta vez, la pendiente 𝑓 prima de 𝑥 pasa de positiva a cero a negativa, y por lo tanto, el valor de 𝑓 prima de 𝑥 es decreciente. Si una función es decreciente, entonces su derivada es negativa. Por lo tanto, deducimos que, en un máximo relativo, la derivada de 𝑓 prima de 𝑥, es decir, 𝑓 doble prima de 𝑥, la segunda derivada de la función original, es negativa.

Lamentablemente, la prueba de la segunda derivada no es especialmente útil para identificar puntos de inflexión. En un punto de inflexión, la pendiente cambia de positiva a cero a positiva o de negativa a cero a negativa. Y, por lo tanto, el signo de 𝑓 prima de 𝑥 es el mismo a ambos lados del punto de inflexión. Por lo tanto, no podemos usar los resultados sobre las funciones crecientes o decrecientes en la prueba de la segunda derivada para identificar un punto de inflexión. De hecho, resulta que, en los puntos de inflexión, la segunda derivada de una función es igual a cero. Pero la derivada también puede ser nula en algunos mínimos relativos o máximos relativos. Así que esto no es suficiente para concluir que un punto crítico debe ser un punto de inflexión.

Por ejemplo, considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 elevado a cuatro. Sabemos, a partir de su gráfica, que tiene un mínimo relativo en el origen. Si hallamos la primera derivada 𝑓 prima de 𝑥, vemos que es igual a cuatro 𝑥 al cubo. Igualamos esto a cero, y vemos que efectivamente hay un punto crítico cuando 𝑥 es igual a cero. La segunda derivada de la función 𝑓 doble prima de 𝑥 es 12𝑥 al cuadrado. Si sustituimos 𝑥 igual a cero en la segunda derivada, obtenemos cero. Pero, como ya hemos visto, este punto crítico es un mínimo relativo, no un punto de inflexión. Esto nos dice que, si la segunda derivada en un punto crítico es igual a cero, debemos usar la prueba de la primera derivada para determinar la naturaleza del punto crítico, pues podría ser un punto de inflexión, un mínimo relativo o un máximo relativo. Veamos algunos ejemplos.

Determina los valores máximos y mínimos relativos de la función 𝑦 igual a menos tres 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 menos cuatro.

En primer lugar, debemos recordar que, en los puntos críticos, la primera derivada de la función — en este caso, d𝑦 sobre d𝑥 — es cero. Por lo tanto, nuestro primer paso va a ser hallar la primera derivada de esta función. Aplicamos la regla de la potencia para las derivadas, y hallamos que d𝑦 sobre d𝑥 es menos seis 𝑥 menos seis. Luego, igualamos la expresión de d𝑦 sobre d𝑥 a cero y hallamos 𝑥, obteniendo que 𝑥 es igual a menos uno. Nuestra función, por lo tanto, tiene un punto crítico, que ocurre cuando 𝑥 es igual a menos uno.

A continuación, tenemos que calcular la función en el punto crítico, que hacemos sustituyendo 𝑥 igual a menos uno en la ecuación que tenemos. Obtenemos 𝑦 igual a menos tres por menos uno al cuadrado menos seis por menos uno menos cuatro, que se simplifica a menos uno. Esto nos dice que, por lo tanto, el único punto crítico de esta función es el punto con coordenadas menos uno, menos uno. Pero tenemos que determinar si se trata de un mínimo relativo o de un máximo relativo, y vamos a hacerlo aplicando la prueba de la segunda derivada.

Para hallar la segunda derivada, tenemos que derivar nuestra primera derivada con respecto a 𝑥. Así que estamos hallando la derivada de menos seis 𝑥 menos seis con respecto a 𝑥. Si aplicamos la regla de la potencia, vemos que esta derivada es menos seis. Y esta segunda derivada es una constante, pues hemos derivado una expresión cuadrática dos veces. Así que no hace falta sustituir la coordenada 𝑥 para hallar valores, pues la segunda derivada es constante para todos los valores de 𝑥. Vemos que menos seis es menor que cero. Como sabemos, si la segunda derivada de una función es negativa en el punto crítico, entonces el punto crítico es un máximo relativo. Por lo tanto, el punto menos uno, menos uno es un máximo relativo de esta función.

Por lo tanto, concluimos que esta función no tiene un mínimo relativo sino un máximo relativo de menos uno. Conviene señalar que es el valor de la función el que estamos dando aquí, no el valor de 𝑥, aunque ambos sean iguales en este caso. Podemos confirmar además este resultado usando lo que sabemos de las gráficas de las funciones cuadráticas. Como el coeficiente de 𝑥 al cuadrado en esta curva es negativo, la gráfica de esta cuadrática será una parábola invertida, es decir, triste. Sabemos que una parábola solo tiene un punto crítico. Y, si el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es negativo, entonces ese punto crítico será un máximo relativo.

Veamos otro ejemplo.

Halla los puntos 𝑥, 𝑦 donde 𝑦 igual a nueve 𝑥 más nueve partido por 𝑥 tiene un máximo relativo o un mínimo relativo.

Los máximos relativos y mínimos relativos son ejemplos de puntos críticos. Y, como sabemos, en los puntos críticos de una función, la primera derivada d𝑦 sobre d𝑥 es igual a cero. Antes de derivar, puede que sea útil reescribir el segundo término de nuestra función como nueve 𝑥 elevado a menos uno. Podemos usar la regla de la potencia para derivadas para hallar la primera derivada d𝑦 sobre d𝑥. Recordemos que, cuando derivamos, disminuimos el exponente en uno. Por lo tanto, cuando disminuimos el exponente de menos uno, obtenemos menos dos, no cero. ¡Ten cuidado con esto! Es un error muy común. Podemos reescribir esta derivada como nueve menos nueve partido por 𝑥 al cuadrado, y luego igualarla a cero.

Ahora vamos a resolver la ecuación resultante para hallar los valores de 𝑥 en los puntos críticos. Comenzamos multiplicando cada término de la ecuación por 𝑥 al cuadrado. Luego, dividimos por nueve y obtenemos 𝑥 al cuadrado menos uno igual a cero. Sumamos uno a ambos lados y tomamos la raíz cuadrada, pero recordemos que tenemos soluciones positivas y negativas. Hemos hallado que 𝑥 es igual a más o menos uno. Así que esta función tiene dos puntos críticos.

A continuación, hallamos los valores de 𝑦 en cada punto crítico sustituyendo valores en la función. Cuando 𝑥 es más uno, 𝑦 es igual a nueve por uno más nueve sobre uno, que es 18, así que obtenemos un punto crítico de uno, 18. Cuando 𝑥 es menos uno, 𝑦 es menos 18. Así que nuestro segundo punto crítico tiene coordenadas menos uno, menos 18. Ahora tenemos que determinar si estos puntos críticos son mínimos relativos o máximos relativos, y vamos a hacerlo aplicando la prueba de la segunda derivada. Para ello, vamos a dejar algo de espacio.

Para hallar la segunda derivada d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado, tenemos que derivar la primera derivada, que es nueve menos nueve 𝑥 elevado a menos dos con respecto a 𝑥. Haciendo esto obtenemos menos nueve por menos dos 𝑥 elevado a menos tres, que podemos escribir como 18 partido por 𝑥 al cubo. A continuación, calculamos la segunda derivada en cada uno de los puntos críticos. Cuando 𝑥 es igual a menos uno, la segunda derivada es 18 sobre menos uno al cubo, que es menos 18. Esto es menor que cero. Y, como sabemos, si la segunda derivada de una función es negativa en un punto crítico, entonces el punto crítico es un máximo relativo. Calculamos la segunda derivada cuando 𝑥 es más uno y obtenemos 18 sobre uno al cubo, que es 18. Y, como esto es mayor que cero, concluimos que el punto crítico cuando 𝑥 es igual a uno es un mínimo relativo.

Muy bien, ya hemos resuelto la cuestión. Hemos llegado a la conclusión de que el punto uno, 18 es un mínimo relativo, y de que el punto menos uno, menos 18 es un máximo relativo.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a aplicar lo que sabemos sobre el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos relativos en una cuestión en la que se nos pide derivar funciones trigonométricas.

Halla, si los hay, los máximos y los mínimos relativos de 𝑓 de 𝑥 igual a 19 seno de 𝑥 más 15 coseno de 𝑥, y clasifícalos.

En primer lugar, como ya sabemos, en los puntos críticos de una función, la primera derivada 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cero. Se supone que también conocemos las derivadas del seno y del coseno. 𝑓 prima de 𝑥 es, por lo tanto, igual a 19 coseno de 𝑥 menos 15 seno de 𝑥, y seguidamente igualamos esto a cero. Para resolver esto, primero movemos los términos a lados opuestos de la ecuación, y luego dividimos ambos lados entre coseno de 𝑥 y 15 para así obtener seno de 𝑥 sobre coseno de 𝑥 igual a 19 partido por 15. Llegados a este punto, debemos recordar una de las identidades trigonométricas: tangente de 𝜃 es igual a seno de 𝜃 sobre coseno de 𝜃. Así que tenemos que tangente de 𝑥 es igual a 19 partido por 15.

Para resolver esto, aplicamos la función inversa de la tangente. Y en este punto debemos recordar que, para derivar funciones trigonométricas, debemos operar con el ángulo medido en radianes, pues las igualdades utilizadas cuando hallamos las derivadas a partir de primeros principios solo se cumplen en radianes. Por lo tanto, cuando calculamos 𝑥 en la calculadora, debemos asegurarnos de que esté en radianes. Hallamos que 𝑥 es igual a 0.9025 radianes. Sin embargo, la tangente de 𝑥 es una función periódica con período 𝜋. Hay otras soluciones de esta ecuación que se corresponden con otros puntos críticos de la función 𝑓. Esto significa que los puntos críticos ocurrirán en este valor de 𝑥 que acabamos de hallar más o menos los múltiplos integrales de 𝜋. Si sumamos 𝜋 a nuestro valor de 0.9025, obtenemos 4.0441 radianes. Por lo tanto, este será el segundo valor de 𝑥 donde puede haber un máximo o un mínimo relativo.

A continuación, calculamos el valor de la función 𝑓 de 𝑥 en cada uno de los puntos críticos. Para el primer punto crítico, cuando 𝑥 es igual a 0.9025, obtenemos, con dos cifras decimales, 24.21. En el segundo punto crítico, cuando 𝑥 es igual a 4.0441, obtenemos, con dos cifras decimales, menos 24.21. Bien, esto tiene sentido porque, tanto para el seno como para el coseno, el eje de las 𝑥 es una línea media de la gráfica, y, por lo tanto, también lo será para la suma o resta de las funciones seno y coseno, lo que significa que el valor absoluto del máximo relativo será igual al valor absoluto del mínimo relativo.

Ahora, por último, vamos a aplicar la prueba de la segunda derivada para clasificar estos puntos críticos. Así que vamos a hacer un poco de espacio. Derivamos 𝑓 prima de 𝑥 y obtenemos menos 19 seno de 𝑥 menos 15 coseno de 𝑥. Ahora, calculamos la función en cada uno de los puntos críticos, y hay un truco que puede ayudarnos aquí. Como hemos derivado dos veces, hemos completado la mitad del ciclo de derivación, lo que significa que la segunda derivada es, de hecho, prácticamente idéntica a la función original. Lo que es diferente es que los dos términos de la segunda derivada son negativos en vez de positivos. Si factorizamos este signo negativo de la expresión, vemos que, en este caso, 𝑓 doble prima de 𝑥 es, de hecho, igual a menos 𝑓 de 𝑥.

Esto resulta útil porque ya hemos calculado 𝑓 de 𝑥 en cada uno de los puntos críticos. Así que podemos usar los valores que ya hemos hallado para determinar la segunda derivada en los puntos críticos. En el primer punto crítico, cuando 𝑥 es igual a 0.9025, 𝑓 de 𝑥 es igual a 24.21. Así que la segunda derivada 𝑓 doble prima de 𝑥 será igual a menos 24.21. Como esto es menor que cero, sabemos que este punto crítico es un máximo relativo. En el segundo punto crítico, el valor de 𝑓 de 𝑥 es menos 24.21. Así que el valor de 𝑓 doble prima de 𝑥 será más 24.21, y como esto es mayor que cero, nuestro segundo punto crítico es un mínimo relativo.

Ahora bien, estos son mínimos y máximos relativos. Sin embargo, debido a la forma de la gráfica de 𝑓 de 𝑥, también son los mínimos y máximos absolutos de la función. Por lo tanto, podemos concluir que el valor mínimo relativo y absoluto de la función es menos 24.21, y que el valor máximo relativo y absoluto de la función es 24.21.

Veamos un último ejemplo.

Se sabe que 𝑓 prima de cuatro es igual a cero, y que 𝑓 doble prima de cuatro es menos cuatro. ¿Qué puede decirse de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 igual a cuatro? 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥 igual a cuatro. 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 igual a cuatro. 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 igual a cuatro. No es posible determinar la naturaleza del punto crítico de 𝑓 en 𝑥 igual a cuatro. O, 𝑓 tiene una tangente vertical en 𝑥 igual a cuatro.

Vayamos viendo los datos que nos han dado. En primer lugar, se nos dice que 𝑓 prima de cuatro es igual a cero. Y, como sabemos, si la primera derivada de una función es igual a cero en un punto, entonces la función tiene un punto crítico en ese punto. Por lo tanto, sabemos que 𝑓 tiene un punto crítico cuando 𝑥 es igual a cuatro. Luego, se nos dice que 𝑓 doble prima de cuatro es menos cuatro. Por lo tanto, la segunda derivada de la función 𝑓 es negativa cuando 𝑥 es igual a cuatro. La segunda derivada será negativa en un máximo relativo. Así que concluimos que 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 igual a cuatro.

Como vemos, esta es la segunda opción de la lista que nos han dado. La primera, tercera y cuarta opciones son, por lo tanto, falsas. Si un punto es un máximo relativo, no puede ser también un mínimo relativo o un punto de inflexión. Y hemos podido determinar la naturaleza de este punto de inflexión. Veamos la quinta opción. Sabemos que la primera derivada de nuestra función 𝑓 es cero cuando 𝑥 es igual a cuatro, lo que significa que la pendiente de la curva, que es la pendiente de la tangente, será cero. Por lo tanto, 𝑓 tendrá una tangente horizontal, no una tangente vertical en 𝑥 igual a cuatro. Muy bien, ya hemos resuelto el problema. 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 igual a cuatro.

Bien, ahora vamos a resumir lo que hemos hecho en este vídeo.

Si 𝑓 es una función derivable tal que la primera derivada 𝑓 prima de 𝑎 es igual a cero, entonces 𝑓 tiene un punto crítico en 𝑥 igual a 𝑎. Si la segunda derivada 𝑓 doble prima de 𝑎 es positiva, entonces el punto crítico es un mínimo relativo. Y, si la segunda derivada 𝑓 doble prima de 𝑎 es negativa, el punto crítico es un máximo relativo. Y, si la segunda derivada 𝑓 doble prima de 𝑎 es igual a cero, el punto crítico puede ser un punto de inflexión. Pero también puede ser un mínimo relativo o un máximo relativo. Por lo tanto, en este caso, tenemos que aplicar la prueba de la primera derivada para determinar la naturaleza del punto crítico.