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En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el volumen de un cilindro. Primero vamos a analizar los prismas y vamos a ver cómo calcular el volumen de un
prisma. Luego, vamos a aprender que un cilindro es un prisma circular. Por último, vamos a ver algunos ejemplos de cilindros, y cómo calcular sus
volúmenes.
Antes de hablar de cilindros, vamos a reflexionar sobre los prismas. Un prisma es un cuerpo geométrico con una sección transversal constante. Por ejemplo, aquí tenemos un ortoedro. Hemos marcado la sección transversal con esta franja azul. Y, si queremos cortar este prisma en cualquier punto, este ortoedro, en cualquier
punto de aquí, digamos por aquí, así, fíjate en la figura que obtenemos, seguimos
teniendo esta misma sección transversal.
Aquí tenemos otro ejemplo de prisma, un prisma con forma de estrella. Esta sección transversal, que tiene forma de estrella, es la misma a lo largo de la
longitud del prisma. Aquí tenemos un prisma circular. Esta figura circular es la misma a lo largo de la longitud del prisma. De hecho, este prisma circular es lo que se conoce con el nombre de cilindro.
Ahora, antes de ir demasiado lejos pensando en volúmenes, vamos a hablar acerca de un
cubo con aristas de una unidad de longitud. El área de la sección transversal de ese cubo será una unidad por una unidad, que es
una unidad al cuadrado. Y ahora podemos calcular el volumen multiplicando el área de la sección transversal
por la longitud, o, en este caso, la altura del prisma. Así que tenemos uno por uno, que es uno. Y, como hablamos de volumen, tenemos unidades al cubo.
Ahora bien, si tomamos nuestro cubo de una unidad cúbica y lo apilamos encima de otro
cubo idéntico, tendremos dos unidades cúbicas. Si añadimos un tercero tendremos tres unidades cúbicas. Y con un cuarto tendremos cuatro unidades cúbicas, y así sucesivamente. Pero, ¿y si comenzamos con dos de estas unidades cúbicas una al lado de la otra? Ahora, cada vez que añadimos una capa adicional, estamos añadiendo otras dos unidades
cúbicas. Por lo tanto, tres capas hacen seis unidades cúbicas. Y cuatro capas son ocho unidades cúbicas. Por lo tanto, la idea general es que, para calcular el volumen, tomamos el área de la
sección transversal de aquí y la multiplicamos por el número de capas, es decir, la
longitud, o la altura de ese prisma.
Ahora bien, como ya hemos dicho antes, un cilindro es tan solo un prisma con una
sección transversal circular. Por lo tanto, de nuevo, para calcular el volumen, solo tenemos que calcular el área
de la sección transversal y multiplicarla por la altura. Cuanto más alto sea el cilindro, mayor será el volumen. Recordemos ahora que, para calcular el área de un círculo, tenemos que multiplicar 𝜋
por el cuadrado del radio. Por lo tanto, si llamamos 𝑟 al radio, vemos que el área es igual a 𝜋 por 𝑟 al
cuadrado. Y si llamamos ℎ a la altura del cilindro, o a su longitud, el volumen es igual al
área de la sección transversal por la altura, deducimos que el volumen es 𝜋𝑟 al
cuadrado por ℎ. Y ese es el resultado que vamos a utilizar en los ejemplos que veremos en este
vídeo.
Halla el volumen del cilindro y redondea la respuesta a la décima más cercana. Sabiendo que el círculo que está en el extremo del cilindro tiene un radio de 4.2
pies. Y que el cilindro tiene una altura de 6.5 pies.
Por lo tanto, vamos a señalar que 𝑟, el radio, es igual a 4.2, y que ℎ, la altura,
es igual a 6.5. Entonces, decimos que el volumen es igual al área de la sección transversal por la
altura. Y como la sección transversal es un círculo, el área va a ser 𝜋 por el radio al
cuadrado. Eso es 𝜋 por 4.2 al cuadrado. Ahora bien, conviene saber que solo 4.2 está elevado al cuadrado, no el número
𝜋. De este modo tenemos 𝜋 por 17.64, que nos da un área de 55.41769441, etcétera, pies
cuadrados.
Es importante recordar que, para calcular el volumen, debemos multiplicar también por
la altura. Por lo tanto, vamos a añadir este dato a nuestros cálculos. Y 55.41769441 por 6.5 es 360.2150137, etcétera, pies cúbicos. Pero el enunciado nos ha pedido que redondeemos la respuesta a la décima más
cercana. Así que vamos a tapar todo lo que viene detrás de la décima y a echar un vistazo
rápido a la cifra siguiente para saber si tenemos que redondear hacia arriba o
no. Bueno, la siguiente cifra es un uno. Si fuera cinco o más, tendríamos que redondear el dos a un tres. Pero no lo es, es un uno. Así que vamos a mantener el dos. De este modo, nuestra respuesta es que, el volumen, redondeado a la décima más
cercana, es 360.2 pies cúbicos.
Veamos ahora un ejemplo similar. Sin embargo, esta vez se nos da el diámetro del cilindro en lugar del radio.
Recordemos que el radio es la mitad del diámetro. Por lo tanto, para calcular el radio tan solo tenemos que dividir 14 entre dos, o
multiplicarlo por un medio. Y esto nos da siete pulgadas. La fórmula para el volumen es 𝑉 igual a 𝜋𝑟 al cuadrado ℎ. Por lo tanto, si sustituimos los datos que tenemos del radio, que es siete pulgadas,
y de la altura, que es 13 pulgadas, obtendremos 𝜋 por siete al cuadrado por 13. De nuevo, conviene recordar que solo el siete está elevado al cuadrado, no el número
𝜋. De este modo tenemos 𝜋 por 49 por 13. Y cuando escribimos esto en la calculadora y redondeamos a la décima más cercana,
obtenemos 2001.2 pulgadas cúbicas.
En este ejemplo se nos pide que calculemos el volumen de un cilindro de cuatro
centímetros de radio y 14 centímetros de altura. Y se nos pide que expresemos la respuesta en términos de 𝜋.
Hay un par de cosas que debemos tener en cuenta aquí. La primera es que no tenemos un diagrama. Y la segunda es que debemos expresar la respuesta en términos de 𝜋, por lo que no se
trata de escribir el número en la calculadora y redondear. Es cierto que no necesitamos un diagrama, pero a menudo es muy útil dibujar un
diagrama para ayudarnos a organizar las ideas sobre el enunciado. Así que lo recomendable es hacer un boceto rápido. Aquí tenemos nuestro cilindro. Tiene una altura de 14 centímetros y un radio de cuatro centímetros.
A continuación, escribimos la fórmula para el volumen. El volumen de un cilindro es 𝜋 por el radio al cuadrado por la altura. Y vamos a sustituir los números que tenemos, así que es 𝜋 por cuatro al cuadrado por
14, que es 𝜋 por 16 por 14. Y 16 por 14 es 224. Por lo tanto, nuestra respuesta es 224 por 𝜋. En el enunciado se nos han dado ambas medidas en centímetros. Así que el volumen va a estar en centímetros cúbicos. Ya lo tenemos. Esa es nuestra respuesta. 224 𝜋 centímetros cúbicos. Y sabemos que, cuando el enunciado nos pide que expresemos la respuesta en términos
de 𝜋, se refiere a que la expresemos como un múltiplo de 𝜋.
Ahora bien, podemos hacer que las cosas sean un poco más difíciles usando palabras
para presentar los datos. Por lo tanto, en lugar de que se nos diga explícitamente que hay un cilindro de
cierto radio y altura, y que hagamos el cálculo, tenemos que averiguar el
significado de distintas variables a partir del contexto del enunciado.
Vamos a echar un vistazo a problemas de este tipo.
Sabiendo que aproximadamente 7.5 galones de agua corresponden a un pie cúbico,
determina el número de galones de agua que habrá en un tanque de agua cilíndrico,
con un diámetro de 20 pies y una altura de 12 pies, en caso de que esté lleno.
Vale, muy bien, vamos a hacer un pequeño diagrama primero. Aquí hay un tanque cilíndrico lleno de agua con una profundidad o altura de 12 pies y
con un diámetro de 20 pies. Primero vamos a escribir que el volumen es igual a 𝜋 por el radio al cuadrado por la
altura. Ahora vamos a sustituir los números que tenemos. Bueno, el radio es la mitad del diámetro, y la mitad de 20 es 10. Por lo tanto, el radio va a ser 10 al cuadrado. Es importante recordar que solo el 10 está elevado al cuadrado, no el número 𝜋. Y la altura es 12, así que tenemos que multiplicar esa respuesta por 12.
Este cálculo es 𝜋 por 10 al cuadrado, que es 100, y multiplicamos por 12, así que
obtenemos 𝜋 por 1200, o 1200𝜋 pies cúbicos. Por ahora vamos a dejar la respuesta en términos de 𝜋 para una mayor precisión. Si empezamos redondeando a algunas cifras decimales, nos llevaremos estos errores de
redondeo a lo largo de todos nuestros cálculos y llegaremos a una solución
incorrecta. Ahora bien, ya hemos calculado el volumen del tanque en pies cúbicos, pero el
enunciado nos pide que hallemos el número de galones de agua que hay en el tanque de
agua cilíndrico.
Sabemos que un pie cúbico es igual a 7.5 galones de agua. Por lo tanto, si hay 1200𝜋 pies cúbicos, habrá 7.5 veces tantos galones de agua. Por lo tanto, la operación que debemos realizar para hallar el número de galones es
multiplicar 7.5 por 1200𝜋, y esto lo podemos hacer con la ayuda de la
calculadora. Podremos redondear fácilmente justo al final del problema. Y el enunciado nos pide que hallemos cuántos galones enteros hay, así que tenemos que
redondear al galón más cercano. Si nos fijamos en este número de aquí, vemos que el número de galones será 28274. Y ya podemos escribir nuestra respuesta final, 28274 galones de agua.
¿Qué tiene un mayor volumen, un cubo cuyos lados miden cuatro centímetros de largo o
un cilindro cuyo radio es tres centímetros y cuya altura es ocho centímetros?
Bien, lo que tenemos que hacer aquí es calcular el volumen del cubo, calcular el
volumen del cilindro, y compararlos. Vamos a dibujar primero un boceto del cubo, cuatro centímetros por cuatro centímetros
por cuatro centímetros. Y el volumen es cuatro por cuatro por cuatro. Como las unidades de longitud están en centímetros, el volumen va a estar en
centímetros cúbicos. Y cuatro por cuatro por cuatro es 64. Por lo tanto, el volumen del cubo es 64 centímetros cúbicos.
Ahora vamos a dibujar rápidamente un boceto del cilindro. Y vamos a usar la fórmula del volumen, que dice que el volumen es igual a 𝜋 por el
cuadrado del radio por la altura. Ahora bien, recordemos que el cuadrado solo se aplica al tres. No afecta al número 𝜋. Así que tenemos 𝜋 por tres al cuadrado por ocho. Y tres al cuadrado es nueve. Y, luego, nueve por ocho es 72. Así que tenemos 𝜋 por 72. No se nos pide que expresemos la respuesta con una precisión determinada. Sin embargo, la hemos redondeado igualmente a dos cifras decimales, y obtenemos
226.19 centímetros cúbicos.
Las medidas están en centímetros, el volumen está en centímetros cúbicos y los dos
números que tenemos que comparar están expresados en las mismas unidades de medida,
centímetros cúbicos. Ahora ya podemos compararlos. Y 226.19 es claramente más grande que 64, así que el volumen del cilindro es
mayor.
Ahora vamos a resumir lo que hemos aprendido. Primero hemos aprendido que un cilindro es un tipo de prisma con una sección
transversal circular. Luego hemos aprendido que, para calcular el volumen de un prisma tenemos que hallar
el área de la sección transversal y multiplicarla por la longitud, o a veces llamada
altura, del prisma. El volumen de un cilindro, 𝑉, es igual a 𝜋 por el cuadrado del radio por la
altura.
Un consejo práctico: siempre es recomendable comprobar si el enunciado nos da el
diámetro o el radio del cilindro. Esto es muy importante. Y, por último, cuando resolvemos problemas, debemos asegurarnos de leer el problema
con cuidado para hallar la información relevante y comprobar las unidades. Además, es importante tener en cuenta el dibujar un diagrama, pues puede ser de gran
ayuda para organizarnos las ideas sobre el problema.
