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Vídeo de la lección: Caso ambiguo del teorema de los senos Matemáticas

En este video, vamos a aprender cómo usar el teorema de los senos para resolver triángulos en el caso ambiguo LLA (lado-lado-ángulo).

10:42

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a analizar el caso ambiguo del teorema de los senos o ley de los senos. Supongamos que se nos da información sobre un triángulo, en concreto la longitud de dos de sus lados y el tamaño de uno de sus ángulos. El caso ambiguo ocurre cuando esa información no define un triángulo único. Sino que es posible construir más de un triángulo usando la información dada. Más específicamente, ocurre cuando el ángulo que nos dan no está incluido entre los dos lados. Veamos un ejemplo para aclarar lo que queremos decir.

Aquí tenemos un triángulo, sabemos las longitudes de dos de sus lados, cinco centímetros y seis centímetros, y el tamaño de un ángulo. Y puedes ver que ese ángulo no está incluido entre los dos lados. No está entre el lado de seis centímetros y el lado de cinco centímetros. Nos piden que calculemos el tamaño del ángulo 𝐴. Así que intentaremos resolver este problema usando la ley de los senos. Primero necesitamos recordar lo que esta dice. Recordemos que dice que el cociente entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto es la misma en todo el triángulo. Aquí hemos elegido escribir los cocientes de esta forma en la que los senos de los ángulos están en el numerador porque esta cuestión en particular nos pide que calculemos un ángulo, por lo que es un poco más sencillo usar esta versión que la versión donde los lados están en el numerador.

Vamos a escribir esta ley de los senos usando la información en esta cuestión. Tenemos que el seno del ángulo 𝐴 sobre seis es igual al seno de 50 sobre cinco. Lo que nos da una ecuación que podemos resolver para calcular 𝐴. El primer paso es multiplicar ambos lados de esta ecuación por seis. Y al hacerlo, hallamos que el seno de 𝐴 es igual a seis sen 50 sobre cinco. Ahora, para calcular el ángulo 𝐴, necesitamos aplicar la inversa del seno inverso a ambos lados. Así que 𝐴 es igual a sen inverso de seis sen 50 sobre cinco. Vamos a usar una calculadora para evaluar esto. Y hallamos que 𝐴 es igual a 66.817 o 67 grados al grado más cercano.

¡Genial! ¡Fantástico! Seguramente piensas que hemos terminado la cuestión. Pero mira el diagrama y observa específicamente el ángulo 𝐴. Y no se supone que este diagrama sea deliberadamente erróneo. Y lo que notamos es que el ángulo 𝐴 es un ángulo obtuso. Así que no hay forma de que el ángulo 𝐴 sea igual a 67 grados. Tiene que estar entre 90 y 180 grados. Entonces, ¿qué hicimos mal? Bueno, nada en las matemáticas que hemos hecho hasta ahora es incorrecto. Todos esos pasos que seguimos están perfectamente bien. Es solo que esos pasos no han hallado el ángulo 𝐴 en este triángulo que habíamos dibujado, y es que, en realidad, hay otro triángulo que podemos dibujar que usa esta misma información.

Si extendemos la base del triángulo en esta dirección aquí, y luego tomamos un compás y lo fijamos en el punto 𝐵, lo abrimos en cinco centímetros y luego dibujamos un pequeño arco de puntos, veremos que, el arco, corta dos veces esta línea. Así que, hay otro punto en esta línea de aquí que está también a cinco centímetros de 𝐵. Y vamos a llamar este punto 𝐴 prima. De modo que tenemos dos triángulos: el triángulo 𝐴𝐵𝐶, el triángulo original; y tenemos también el triángulo 𝐴 prima 𝐵𝐶. Y ambos triángulos tienen la misma información con la que empezamos. Es decir, en ambos triángulos, ocurre que la medida del ángulo 𝐶 es 50 grados, que 𝐵𝐶 es seis centímetros y que 𝐴𝐵 (o 𝐴 prima 𝐵, dependiendo del triángulo del que estemos hablando) es igual a cinco centímetros. Por lo tanto, estos datos no determinan un único triángulo.

Y todo esto simplemente demuestra que el ángulo que habíamos calculado, 67 grados, no es realmente el ángulo 𝐴. El ángulo que habíamos calculado era un ángulo agudo, y se trata, por supuesto, de 𝐴 prima. Así que tenemos este ángulo aquí. Sin embargo, todavía podemos usar esto para calcular el ángulo 𝐴. Si te fijas bien en el triángulo formado por 𝐴, 𝐵 y 𝐴 prima, verás que es un triángulo isósceles, ya que tiene dos lados de la misma longitud, ambos de cinco centímetros. Y esto significa que el otro ángulo de la base también debe ser igual a 67 grados. Y, por supuesto, podemos calcular el ángulo 𝐴 haciendo 180 menos 67 ya que esos dos ángulos están juntos en una línea recta. Restar 67 de 180 nos da un valor de 113 grados. Y este es el tamaño del ángulo 𝐴 que estábamos buscando.

Esto es ilustrativo de una propiedad general del seno, que dice que para un ángulo 𝜃 entre cero y 180 grados, el seno de 𝜃 es igual al seno de 180 menos 𝜃. Esta relación siempre es válida para ángulos suplementarios. Así que, en esta cuestión, aplicamos la ley de los senos correctamente y obtuvimos una respuesta para el ángulo 𝐴. Pero luego nos dimos cuenta de que nuestra respuesta no podía ser correcta, teniendo en cuenta el diagrama y el hecho de que el ángulo 𝐴 es un ángulo obtuso. Si no nos hubieran dado el diagrama para hacer referencia a él y, en su lugar, nos hubieran dado los datos sin más, estos dos valores para 𝐴 habrían sido válidos. Por lo tanto, el ángulo 𝐴 podría ser de 67 grados o de 113 grados. Y tendríamos que dar dos respuestas posibles a este problema.

Este problema nos dice ahora que 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo en el que la amplitud del ángulo 𝐵 es 110 grados, el lado 𝑏 mide 16 centímetros y 𝑐, el lado 𝑐, mide 12 centímetros. ¿Cuántas soluciones posibles hay para las otras longitudes y ángulos?

La inclusión de la palabra «posibles» aquí parece indicar que puede haber más de una solución, o ninguna solución. Podría ser que la información que tenemos no describa un triángulo en absoluto y que no es posible construir un triángulo que cumpla con esos requisitos. O podría ser también que esa información describa un triángulo único, en cuyo caso solo hay una solución posible para las otras longitudes y ángulos. También podría ser que este sea un ejemplo del caso ambiguo de la ley de los senos y que, de hecho, hay dos soluciones para las otras longitudes y ángulos.

Así que comenzaremos con un boceto de cómo se vería el triángulo 𝐴𝐵𝐶. Ahora bien, como mencionamos, puede ser el caso de que un triángulo no exista en absoluto o puede ser el caso de que haya más de un triángulo que podamos dibujar. Pero comenzaremos con una sola idea. Así que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 podría ser de esta manera. Y hemos puesto toda la información relevante en el diagrama. Vamos a comenzar tratando de calcular el ángulo 𝐶. Y vamos a usar la ley de los senos para eso. Recuerda que esto es lo que dice la ley de los senos: que el cociente entre el seno de cada ángulo y el lado opuesto es constante en todo el triángulo. Vamos a usar la información que conocemos, que es el lado 𝑏 y el ángulo 𝐵 y también el lado 𝑐. Y el ángulo 𝐶 es el que queremos calcular.

Sustituir esta información nos da que el seno de 110 sobre 16 es igual a sen 𝐶 sobre 12. Ahora queremos resolver esta ecuación para calcular el ángulo 𝐶. Así que vamos a multiplicar ambos lados por 12. Y aquí hemos intercambiado los lados de la ecuación. Pero esto nos dice que el seno de 𝐶 es igual a 12 sen 110 sobre 16. Para calcular el ángulo 𝐶, necesitamos usar la función inversa del seno. Y esto me dice que el ángulo 𝐶 es igual al seno inverso de 12 sen 110 sobre 16. Ahora vamos a usar nuestra calculadora para evaluar esto. Y al hacerlo, hallamos que 𝐶 es igual a 44.8109 o 45 grados, cuando se redondea al grado más cercano.

Esto nos dice que hay al menos una solución posible para las otras longitudes y ángulos. Hemos hallado que el ángulo 𝐶 es de 45 grados. Así que podríamos calcular el ángulo 𝐴 restando los 45 grados y los 110 grados de 180, que es la suma de los ángulos del triángulo. Y luego, en consecuencia, podríamos aplicar la ley de los senos nuevamente para calcular el tamaño del lado 𝑎. Así que ahora la pregunta es, ¿existen en esta cuestión dos soluciones posibles? ¿Es este un ejemplo del caso ambiguo de la regla del seno en el que hay otro valor posible para 𝐶 y, por lo tanto, otro valor posible para 𝐴 y así sucesivamente?

Si recuerdas la forma en que calculamos el otro valor posible del ángulo, lo hicimos restando de 180. Y si hiciéramos eso, obtendríamos que 𝐶 es igual a 135 grados. Ahora bien, la pregunta es, ¿es esto posible? ¿Es posible construir un triángulo en el que 𝐶 sea igual a 135 grados? Y para determinar si ese es el caso, necesitamos mirar hacia atrás en el triángulo original. Ya sabíamos que el ángulo 𝐵 en el triángulo era de 110 grados. Esto significa que no puede ser el caso de que el ángulo 𝐶 sea de 135 grados porque si sumamos esos dos, la suma excedería los 180 grados, que es el total de los ángulos para un triángulo. Lo que significa que el ángulo 𝐶 debe tener los 45 grados que calculamos originalmente. Y, por lo tanto, existe una solución única a este problema. Solo hay una solución posible para las longitudes de los lados y los tamaños de los ángulos. Y esta verificación es esencial. Si crees que hay una segunda solución posible, debes mirar los otros ángulos en el triángulo y asegurarte de que no exceda la suma de los ángulos.

En resumen, hemos visto cuál es el caso ambiguo de la ley de los senos. Hemos visto cómo y por qué ocurre. Y hemos visto cómo hallar la otra solución, si existe.

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