Question Video: Aplicar las propiedades de los triángulos isósceles para formular ecuaciones y hallar cantidades desconocidas

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Halla los valores de 𝑥 e 𝑦.

Tenemos un dibujo de un triángulo 𝐴𝐵𝐶 del que se nos dice que uno de los ángulos es de 96 grados. Y los otros ángulos están expresados en términos de estas incógnitas 𝑥 e 𝑦, cuyo valor hemos de calcular.

Para hacer esto, necesitaremos formular y resolver algunas ecuaciones. El hecho básico que sabemos sobre los ángulos de cualquier triángulo es que su suma vale 180 grados. Por lo tanto, podemos formar una ecuación con las amplitudes de los tres ángulos. Nueve 𝑦 menos tres más 𝑥 más uno más 96 igual a 180.

Esta ecuación se puede simplificar algo. En el lado izquierdo, tenemos menos tres más uno más 96. Esto se simplifica a más 94. Por lo tanto, tenemos nueve 𝑦 más 𝑥 más 94 igual a 180. Restando 94 de ambos lados de la ecuación se simplifica aún más, dando nueve 𝑦 más 𝑥 igual a 86.

Queremos calcular los valores de 𝑥 y 𝑦. Pero todavía no podemos hacerlo porque tenemos una sola ecuación, pero dos incógnitas. Necesitamos otra ecuación para poder encontrar los valores de 𝑥 e 𝑦. Veamos qué más sabemos sobre este triángulo.

Se nos dice en el diagrama que dos de los lados de este triángulo son de la misma longitud: 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶. Esto significa que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo isósceles. Y en términos de los ángulos, significa que los dos ángulos de la base, que ahora están coloreados en naranja, deben ser iguales.

Por lo tanto, podemos formar una segunda ecuación que incluya las medidas de estos dos ángulos. Nueve 𝑦 menos tres igual a 𝑥 más uno. Sumando tres a ambos lados de esta ecuación lo simplifica algo, para dar nueve 𝑦 igual a 𝑥 más cuatro. Así que ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. La primera ecuación: nueve 𝑦 más 𝑥 igual a 86. Y la segunda: nueve 𝑦 igual a 𝑥 más cuatro.

Para encontrar los valores de 𝑥 y 𝑦, necesitamos resolver estas dos ecuaciones simultáneamente. Ambas ecuaciones contienen nueve 𝑦. Por lo tanto, parece que lo mejor será sustituir la expresión de nueve 𝑦 de la segunda ecuación en la primera ecuación.

Si escribimos 𝑥 más cuatro en lugar de nueve 𝑦 en la primera ecuación, obtenemos 𝑥 más cuatro más 𝑥 igual a 86. Combinando los términos semejantes, las dos 𝑥, obtenemos dos 𝑥 más cuatro igual a 86. A continuación, restamos cuatro de ambos lados, dando dos 𝑥 igual a 82.

El paso final es dividir ambos lados de la ecuación por dos. Y así tenemos que 𝑥 es igual a 41. Hemos hallado, pues, el valor de 𝑥. Y ahora tenemos que hallar el valor de 𝑦. Para hacer esto, voy a elegir sustituir 𝑥 igual a 41 en la ecuación dos. Obtenemos nueve 𝑦 igual a 41 más cuatro. 41 más cuatro es 45. Entonces tenemos nueve 𝑦 igual a 45. Para hallar el valor de 𝑦, necesitamos dividir ambos lados entre nueve. Esto da 𝑦 igual a cinco.

Por lo tanto, hemos hallado los valores de 𝑥 e 𝑦. 𝑥 es igual a 41. 𝑦 es igual a cinco. Los dos hechos clave que utilizamos en esta pregunta fueron, en primer lugar, que la suma de los ángulos en cualquier triángulo vale 180 grados y, en segundo lugar, que en un triángulo isósceles los dos ángulos de la base son iguales.