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En este vídeo vamos a aprender cómo hallar el punto de intersección de dos rectas en un sistema de coordenadas, y cómo usar esto para hallar ecuaciones de rectas. Veamos primero a qué nos referimos cuando hablamos de punto de intersección. Decimos que la intersección de dos rectas es el único punto donde se encuentran o cortan. Fijémonos, por ejemplo, en este segmento 𝐴𝐵 y en este otro segmento 𝑃𝑄. Marquemos ahora con una 𝐹 el punto donde se cortan estos dos segmentos. Por lo tanto, el punto 𝐹 es la intersección del segmento 𝐴𝐵 y el segmento 𝑃𝑄. De este modo, cuando nos pidan hallar la intersección de dos rectas en un plano de coordenadas, hemos de aplicar el mismo principio. Se trata de hallar el punto donde las dos rectas se encuentran o cortan.
A menudo nos dan las ecuaciones de dos rectas. Por lo tanto, el punto de intersección puede expresarse como un par ordenado de números o par de coordenadas. Podemos hallar este par ordenado bien gráficamente, o sea, usando diagramas; o bien algebraicamente, es decir, formulando y resolviendo ecuaciones para hallar los valores de 𝑥 y de 𝑦. Fíjate en que, como normalmente tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas 𝑥 e 𝑦, a menudo tendremos que resolverlas simultáneamente usando uno de entre varios métodos. Vamos a considerar varios métodos distintos de resolución algebraica. Veamos la primera cuestión, en la que vamos a usar el método gráfico.
¿En qué punto se cortan las rectas 𝑥 igual a siete y un sexto de 𝑦 igual a menos uno?
En esta cuestión nos dan las ecuaciones de dos rectas y nos preguntan dónde se intersecan estas dos rectas, es decir, cuál es el punto donde se encuentran o cortan. Puede sernos útil visualizar estas dos rectas en un sistema de coordenadas. La recta 𝑥 igual a siete consta de todos los pares ordenados que tienen una coordenada 𝑥 igual a siete. Se trata, por lo tanto, de una recta vertical que pasa por siete en el eje de las 𝑥. La segunda ecuación, un sexto de 𝑦 igual a menos uno, puede que sea más fácil de visualizar si la 𝑦 está despejada. Reorganizamos la ecuación multiplicando por seis y obtenemos 𝑦 igual a menos seis.
Por lo tanto, la ecuación de la recta 𝑦 igual a menos seis, o un sexto de 𝑦 igual a menos uno, será una recta horizontal que pasa por menos seis en el eje de las 𝑦. El punto de intersección es, entonces, el par ordenado donde estas dos rectas se cortan. Por lo tanto, nuestra respuesta es el punto de coordenadas siete, menos seis. Normalmente, cuando hallamos la intersección de dos puntos, podemos igualar las ecuaciones. Pero como en este caso se trata de una recta horizontal y una recta vertical, el único punto donde tienen los mismos valores de 𝑥 y de 𝑦 es cuando 𝑥 es igual a siete y 𝑦 es igual a menos seis, lo que nos da las coordenadas siete, menos seis.
Para resolver los siguientes problemas de hallar el punto de intersección de dos rectas, vamos a usar el método algebraico.
Determina el punto de intersección de las dos rectas representadas por las ecuaciones 𝑥 más tres 𝑦 menos dos igual a cero y menos 𝑦 más uno igual a cero.
Para resolver este problema no vamos a dibujar estas rectas para obtener una solución gráfica. En vez de eso, vamos a resolverlo algebraicamente. El punto de intersección es el lugar donde las dos rectas se encuentran o cortan, y los valores de 𝑥 y 𝑦 serán los mismos. Como tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas 𝑥 y 𝑦, entonces vamos a tener que resolver este sistema usando uno de entre varios métodos. Pero, si te fijas, en la segunda ecuación no tenemos término en 𝑥. Por lo tanto, quizás el método de sustitución aquí sea el más conveniente. Si tomamos la segunda ecuación, menos 𝑦 más uno igual a cero y la reorganizamos para despejar la 𝑦, entonces sumando 𝑦 a ambos lados, obtenemos uno igual a 𝑦, o 𝑦 igual a uno.
Ahora que hemos obtenido 𝑦 igual a uno, podemos sustituir esto en la primera ecuación. Esto nos da 𝑥 más tres por uno menos dos igual a cero. Si simplificamos esto, tenemos que 𝑥 más uno es igual a cero. Restamos menos uno y obtenemos 𝑥 igual a menos uno. Ahora sabemos que, en el punto de intersección de estas dos ecuaciones, el valor de 𝑥 es menos uno y el valor de 𝑦 es uno, lo que significa que podemos dar nuestra respuesta como el par de coordenadas menos uno, uno.
En la siguiente cuestión se nos pide hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto y por el punto de intersección de otras dos rectas.
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴 menos uno, tres y por el punto de intersección de las rectas tres 𝑥 menos 𝑦 más cinco igual a cero y cinco 𝑥 más dos 𝑦 más tres igual a cero?
Para resolver este problema hemos de hallar un punto. Se nos da el punto 𝐴, menos uno, tres, y luego tenemos que hallar otro punto, que es el punto de intersección de estas dos rectas. Por lo tanto, lo primero que tenemos que hacer es hallar el punto de intersección de estas rectas. En el punto de intersección de dos rectas, los valores de 𝑥 y de 𝑦 son los mismos. Fíjate en que tenemos que hallar dos incógnitas, 𝑥 e 𝑦. Pero tenemos dos ecuaciones distintas para ayudarnos a resolverlo. Una forma de hallar el punto es resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente. Para facilitarnos las cosas vamos a numerar las ecuaciones, la ecuación uno y la ecuación dos. Seguidamente hemos que decidir cuál de las incógnitas, 𝑥 o 𝑦, vamos a eliminar.
Para eliminar la variable 𝑥 o la variable 𝑦, sus términos deben ser iguales en ambas ecuaciones, o diferir solo en un signo. Por lo tanto, si elegimos eliminar la variable 𝑦, entonces tendremos que multiplicar la ecuación uno por dos, lo que nos da seis 𝑥 menos dos 𝑦 más 10 igual a cero. A continuación, colocamos la segunda ecuación debajo. Para eliminar los dos términos en 𝑦, puesto que tenemos menos dos 𝑦 y más dos 𝑦, debemos sumar las dos ecuaciones. Seis 𝑥 más cinco 𝑥 nos da 11𝑥. Menos dos 𝑦 más dos 𝑦 nos da cero, que es lo que queríamos. 10 más tres es 13. Y en el lado derecho tenemos cero. Ahora que tenemos 11𝑥 más 13 igual a cero, podemos reorganizar la ecuación para despejar la 𝑥. Restamos 13 de ambos lados, dividimos por 11 y obtenemos que 𝑥 es igual a menos 13 partido por 11.
Ahora que hemos hallado el valor de 𝑥, podemos sustituirlo en cualquiera de nuestras ecuaciones para hallar el valor de 𝑦. Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos tres por menos 13 sobre 11 menos 𝑦 más cinco igual a cero. Simplificamos el primer valor y obtenemos menos 39 sobre 11 y seguidamente sumamos cinco. Si consideramos que cinco es igual a cincuenta y cinco onceavos, obtendremos la ecuación dieciséis onceavos menos 𝑦 igual a cero. Sumando 𝑦 a ambos lados obtenemos dieciséis onceavos igual a 𝑦 o 𝑦 igual a dieciséis onceavos. Ahora que hemos hallado estos valores de 𝑥 y de 𝑦, sabemos que el punto de intersección de nuestras dos rectas está en el punto menos trece onceavos, dieciséis onceavos.
Luego, tenemos que hallar la ecuación de la recta que une este punto con el punto 𝐴 menos uno, tres. Comencemos calculando la pendiente de esta recta. La pendiente o valor de 𝑚 entre dos puntos cualesquiera, 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos, viene dado por 𝑦 dos menos 𝑦 uno partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno. No importa qué punto designemos con los valores 𝑥 uno, 𝑦 uno. Usemos los valores del punto 𝐴. Esto nos da que la pendiente o 𝑚 es igual a dieciséis onceavos menos tres partido por menos trece onceavos menos menos uno. Simplificamos el numerador, dieciséis onceavos menos treinta y nueve onceavos, y obtenemos menos diecisiete onceavos. En el denominador, tenemos menos trece onceavos más uno, y uno equivale a once onceavos. Así que tenemos la respuesta en el denominador, menos dos onceavos.
Antes de simplificar más esto, podemos eliminar el signo menos tanto del numerador como del denominador. Vemos, entonces, que este diecisiete onceavos partido entre dos onceavos equivale a diecisiete onceavos partido por dos onceavos. Dividir fracciones equivale a multiplicar por el recíproco de la segunda fracción. Extraemos el factor común de 11 del numerador y del denominador antes de multiplicar, y obtenemos que 𝑚 es igual a 17 medios. Esto significa que la pendiente de la recta que une nuestros dos puntos es 17 medios. Vamos a hacer algo de espacio para la segunda parte de nuestros cálculos.
Ahora que tenemos nuestras dos pares de coordenadas y la pendiente de la recta, podemos inmediatamente hallar la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente. Cuando tenemos la pendiente 𝑚 de una recta y un punto, 𝑥 uno, 𝑦 uno, entonces la ecuación viene dada por 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno. Como tenemos dos puntos, podemos usar cualquiera de los dos en la ecuación, pero parece mejor usar las coordenadas de 𝐴, menos uno, tres, como valores para 𝑥 uno, 𝑦 uno. Al sustituir estos valores en la fórmula, tenemos 𝑦 menos tres, ya que ese era nuestro valor de 𝑦 uno, es igual a 17 medios, ya que ese era el valor de 𝑚, multiplicado por 𝑥 menos menos uno, pues ese era el valor de 𝑥 uno. En el miembro derecho, dentro del paréntesis, tenemos menos menos uno, que es lo mismo que más uno. Por lo tanto, cuando desarrollamos el paréntesis del lado derecho, obtenemos 17 medios 𝑥 más 17 medios.
Como queremos agrupar nuestros términos, para agrupar los términos constantes vamos a sumar tres en ambos lados. Tres es lo mismo que seis medios, así que cuando sumamos esta fracción a 17 medios, obtenemos 23 medios. En este punto, ya tenemos una solución perfectamente válida para la ecuación de una recta, pero a veces es bueno eliminar las fracciones, si es posible. Así que vamos a multiplicar esta ecuación por dos. Esto nos da dos 𝑦 igual a 17𝑥 más 23. Y luego, en forma de expresión igualada a cero, tendríamos cero igual a 17𝑥 menos dos 𝑦 más 23, lo que significa que podemos escribir nuestra respuesta en la forma simplificada 17𝑥 menos dos 𝑦 más 23 igual a cero. Así que esa es la ecuación de la recta que pasa por menos uno, tres y por el punto de intersección de las dos rectas tres 𝑥 menos 𝑦 más cinco igual a cero y cinco 𝑥 más dos 𝑦 más tres igual a cero.
Veamos otra cuestión.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las dos rectas 𝑥 menos ocho 𝑦 igual a dos y menos seis 𝑥 menos ocho 𝑦 igual a uno y es paralela al eje de las 𝑦.
En este problema se nos pide hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección de otras dos rectas, que es el punto donde estas dos rectas se encuentran o cortan. No obstante, con solo esos datos no podemos hallar la ecuación de una recta, por lo que también se nos dice que la recta es paralela al eje de las 𝑦. El primer paso que debemos dar es hallar el punto de intersección de las dos rectas. En el punto de intersección de las rectas, la coordenada 𝑥 y la coordenada 𝑦 satisfacen ambas ecuaciones. Tenemos que hallar dos incógnitas, los valores de 𝑥 y de 𝑦, y tenemos dos ecuaciones para ayudarnos. Podemos resolver esto algebraicamente usando el método de sustitución o el método de reducción.
El método de reducción consiste en eliminar la variable 𝑥 o la variable 𝑦. Podemos ver que tenemos menos ocho 𝑦 en las dos ecuaciones. Por lo tanto, si restamos la segunda ecuación de la primera, podremos eliminar la variable 𝑦. Al hacerlo obtenemos 𝑥 menos menos seis 𝑥, que es siete 𝑥. Menos ocho 𝑦 menos menos ocho 𝑦 nos da cero, que es lo que queríamos. Y, por último, dos menos uno es uno. Ahora que sabemos que siete 𝑥 es igual a uno, podemos dividir por siete, y obtenemos que 𝑥 es igual a un séptimo. Ahora que hemos hallado el valor de 𝑥, podemos sustituirlo en cualquiera de nuestras ecuaciones para hallar el valor de 𝑦.
Así, como 𝑥 es igual a un séptimo, usando la primera ecuación, tendríamos que un séptimo menos ocho 𝑦 es igual a dos. Restamos un séptimo de ambos lados y obtenemos menos ocho 𝑦 igual a dos menos un séptimo. Por lo tanto, en el lado derecho tendremos trece séptimos. Dividimos ambos lados por menos ocho, y obtenemos 𝑦 igual a 13 partido por menos 56, o 𝑦 igual a menos 13 partido por 56. Ya hemos hallado el valor de 𝑥 y el valor de 𝑦, lo que significa que el punto de intersección de las dos rectas que nos han dado es un séptimo, menos trece cincuenta y seisavos.
Ahora tenemos que hallar la ecuación de la recta que pasa por este punto y que es paralela al eje de las 𝑦. Veamos cómo se visualiza esto en un sistema de coordenadas. El punto un séptimo, menos trece cincuenta y seisavos, estaría más o menos por aquí. La recta que pasa por este punto y es paralela al eje de las 𝑦 será una recta vertical. Pero ¿cuál es exactamente la ecuación de esta recta? Todos los puntos de esta recta tendrán una coordenada 𝑥 igual a un séptimo. Por lo tanto, la ecuación de la recta es 𝑥 igual a un séptimo. Así que ya hemos resuelto este problema, pues hemos hallado el punto de intersección de dos rectas y seguidamente hemos determinado la ecuación de esta recta sabiendo que es paralela al eje de las 𝑦.
Ahora vamos a resumir los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En primer lugar, vimos que el punto de intersección de dos rectas es el punto en el que se cortan. Hemos visto, además, que podemos hallar el punto de intersección de dos rectas, bien gráficamente, dibujando para ello las rectas en un sistema de coordenadas; o bien algebraicamente, resolviendo para ello las ecuaciones de las rectas simultáneamente para hallar así los valores de 𝑥 y de 𝑦 del punto de intersección. Un método algebraico siempre nos dará una solución exacta, pero puede ser útil incorporar también métodos gráficos para comprobar nuestra respuesta.
