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En esta lección vamos a aprender cómo resolver una inecuación de varios pasos. Y una inecuación de este tipo es, como su nombre indica, una inecuación que se resuelve con varias operaciones algebraicas. Cuando trabajamos con inecuaciones, usamos una notación y terminología particulares. Aquí hemos señalado con la flecha rosa expresiones tales como menor que, mayor que, menor o igual a, o mayor o igual a. Echemos pues un pequeño vistazo a cómo se usa todo esto.
Bueno, puede que ante algo así, te preguntes: «¿Y ahora por dónde empiezo? ¿Qué debo hacer para resolver una inecuación de varios pasos?» Bueno, lo cierto es que se usa un procedimiento muy parecido al que usamos para resolver una ecuación. Seguimos muchos de los mismos pasos. La diferencia más llamativa es que, como ya hemos dicho, usamos esta notación, que es la notación de desigualdades.
Lo primero en lo que debemos fijarnos es en los signos que tienen nuestras inecuaciones. En primer lugar, tenemos 𝑥 es menor que 𝑦. Vemos que esto es así porque el extremo puntiagudo está del lado de la 𝑥 y el extremo abierto está del lado de la 𝑦. Y el lado abierto siempre está del lado del número mayor. Por lo tanto, lo siguiente que tenemos es 𝑥 es mayor que 𝑦 porque podemos ver que el signo de desigualdad ahora tiene el sentido contrario.
Seguidamente tenemos 𝑥 es menor o igual que 𝑦. Esta es la clave. Tenemos 𝑥 es menor o igual que 𝑦. La parte que dice que es «o igual a» es la raya que hay en la parte inferior del signo de desigualdad. Por tanto, esto significa que 𝑥 puede ser cualquier cosa que sea menor que 𝑦, pero puede también ser igual a 𝑦. Por último, tenemos 𝑥 es mayor o igual que 𝑦. Muy bien, ya hemos visto la notación que vamos a usar. Ahora vamos a ver un ejemplo en el que hay que resolver una inecuación de varios pasos.
Halla el conjunto de soluciones de la inecuación menos 14𝑥 menos 52 es menor o igual que menos 18𝑥 en el conjunto de los números reales. Expresa la respuesta en notación de intervalos.
Lo primero que nos llama la atención en esta cuestión es esta R particular. Esto se refiere al conjunto de todos los números reales. Así que ya sabemos que el resultado de la inecuación tiene que ser un número real. Pero puede que te preguntes, «Los números, ¿no son todos reales?».
Pues lo cierto es que no, pues en matemáticas operamos también con números imaginarios. Pero nos ocupamos de ellos en cursos más avanzados. Así que, para resolver esta inecuación, lo vamos a hacer de la misma manera que resolveríamos una ecuación. Tenemos menos 14𝑥 menos 52 es menor o igual que menos 18𝑥. Vamos a sumar ahora 18𝑥 y 52 a ambos lados de la inecuación. Al hacerlo, obtenemos que cuatro 𝑥 es menor o igual que 52.
Como puedes ver, ya hemos completado dos pasos. Y vemos que, efectivamente, esta es una inecuación de varios pasos, pues ya hemos hecho dos operaciones algebraicas. Pero aún no hemos terminado, pues nos falta completar un paso más para resolver la inecuación.
El último paso es dividir por cuatro. Esto lo hacemos para despejar 𝑥. Lo hacemos y obtenemos que 𝑥 es menor o igual a 13. Fantástico, ya hemos resuelto la inecuación. Pero, ¿hemos respondido la cuestión?
Bueno, no, no del todo, pues el enunciado nos pide que expresemos la respuesta en notación de intervalos. Entonces, ¿cómo sería esto en notación de intervalos? Cuando escribimos esto en notación de intervalos, obtenemos esto de aquí. Abrimos con un paréntesis, escribimos menos ∞ coma 13, y luego cerramos con un corchete. Pensemos ahora en lo que esto significa.
En primer lugar, en el lado izquierdo, tenemos un paréntesis. Y eso es porque sabemos que, siendo 𝑥 menor o igual a 13, entonces puede ir hacia abajo hasta menos ∞. Pero no puede valer menos ∞, porque no es un número. Sin embargo, vemos que en el lado derecho tenemos un corchete. Esto significa que incluye 13 porque se nos dijo que 𝑥 es menor o igual a 13. Así que nuestra variable puede tomar cualquier valor desde menos ∞ —pero sin incluir menos ∞— hasta 13 —y, esta vez, incluyendo 13—.
En esta primera cuestión hemos puesto en práctica los conocimientos que tenemos de la resolución de inecuaciones, pues ya hemos resuelto una inecuación de varios pasos. La hemos resuelto con éxito. También hemos usado un poco la notación de conjuntos, pues hemos aprendido lo que significa ℝ, el conjunto de todos los números reales. Y, por último, hemos expresado la respuesta en notación de intervalos. Así que hemos visto muchas cosas. Veamos ahora cómo podemos seguir avanzando.
A continuación, veremos un poco más de notación de conjuntos. Además vamos a ver cómo desarrollar un paréntesis en una inecuación. Y, por último, veremos cómo expresar una inecuación o su solución en una forma distinta.
Resuelve la inecuación 10𝑥 más 16 es menor o igual a ocho por 𝑥 menos 19 en el conjunto de los números racionales.
Como acabamos de decir al leer el enunciado, esta ℚ se refiere al conjunto de los números racionales. Y a lo que nos referimos al decir números racionales son los números que pueden representarse con una fracción. Vale, muy bien, vamos a resolver la inecuación.
El primer paso en esta inecuación de varios pasos es desarrollar el paréntesis. Esto implica multiplicar el ocho por los dos términos que están dentro del paréntesis. Y obtenemos 10𝑥 más 16 es menor o igual que. Y tenemos ocho 𝑥, pues ocho por 𝑥 es ocho 𝑥. Y luego obtenemos menos 152. Eso se debe a que ocho por menos 19 es menos 152.
Ahora, para asegurarnos de que tenemos las 𝑥 en un lado de la inecuación y los valores numéricos en el otro lado, restamos ocho 𝑥 y 16 en ambos lados. Lo hacemos y obtenemos que dos 𝑥 es menor o igual a menos 168. Ahora lo que tenemos que hacer es dividir ambos lados de la inecuación por dos. Y obtenemos 𝑥 es menor o igual que menos 84.
Esto significa que 𝑥 puede tener cualquier valor menor que menos 84 pero incluyendo menos 84. Ya hemos expresado la respuesta usando notación de desigualdades porque 𝑥 es menor o igual que menos 84. También podemos usar notación de intervalos como hemos mostrado aquí, donde tenemos un paréntesis de apertura. Luego tenemos menos ∞, luego coma, menos 84. Y luego tenemos un corchete de cierre. Esto quiere decir que los valores pueden tomar cualquier valor desde menos ∞ —sin incluir menos ∞— hasta menos 84, incluyendo menos 84.
También existe esta otra forma de representar la respuesta, que consiste en escribir entre llaves que 𝑥 es un elemento o un miembro de los números racionales, y que 𝑥 es menor o igual a menos 84.
Hemos puesto de nuevo en práctica nuestros conocimientos, pues hemos expresado la respuesta en notación de intervalos. Y también hemos aprendido a desarrollar un paréntesis.
Ahora vamos a ver un último ejemplo de este tipo en el que tendremos una inecuación con paréntesis en ambos lados. Por lo que tendremos que desarrollar los paréntesis. Tendremos que simplificar. Y de nuevo, vamos a expresar la respuesta de esta forma, en notación de intervalos.
Resuelve la inecuación nueve 𝑥 menos tres por menos siete 𝑥 más nueve es menor que menos siete por menos nueve más 𝑥 menos dos, en el conjunto de los números racionales.
Como ya debes saber de la notación de conjuntos, esta ℚ significa números racionales. Los números racionales son números que pueden representarse con una fracción.
Ahora bien, para resolver este problema, lo que tenemos que hacer es, en primer lugar, desarrollar los paréntesis en ambos lados de la inecuación. Pues vamos a resolverla de la misma forma que resolveríamos una ecuación. En el lado izquierdo, obtenemos nueve 𝑥, y luego tenemos, más 21𝑥. Esto es más 21𝑥 porque tenemos menos tres por menos siete 𝑥. Y luego tenemos menos 27. Y esto es menor que 63. Pues menos siete por menos nueve es 63 porque un número negativo multiplicado por otro número negativo nos da un número positivo. Y luego tenemos menos siete 𝑥 menos dos.
Bien, ahora lo que vamos a hacer es simplificar ambos lados. Al hacerlo obtenemos que 30𝑥 menos 27 es menor que 61 menos siete 𝑥. El siguiente paso es agrupar las 𝑥s en un lado de la inecuación y los valores numéricos en el otro. Para ello sumamos siete 𝑥 y 27 a ambos lados de la inecuación. Al hacerlo obtenemos que 37𝑥 es menor que 88.
Ahora lo último que nos queda por hacer es dividir cada lado de la inecuación por 37. Lo hacemos y obtenemos que 𝑥 es menor que 88 partido por 37. De esta forma, usando notación de conjuntos decimos que 𝑥 es un elemento del conjunto de los números racionales y que 𝑥 es menor que 88 partido por 37.
Acabamos de resolver un problema de una inecuación con paréntesis en ambos lados. Así que hemos resuelto distintas inecuaciones de varios pasos. Pero, ¿qué es lo siguiente que podemos hacer? Bueno, puede que en este momento te estés preguntando: «Vale, todo esto está requetebién, pero ¿para qué sirve resolver una inecuación?»
Sí, eso: ¿para qué sirven las inecuaciones? ¿Cómo se pueden aplicar en la vida real? Bueno, lo cierto es que las inecuaciones se usan en una amplísima variedad de situaciones de la vida real, por ejemplo en los negocios donde sirven para el control de existencias o de capital, o, en el caso de la ingeniería, por ejemplo cuando se trata de trabajar con tolerancias, tales como el máximo número de personas que pueden subir en un ascensor o el aguante de un puente. Y esto lo hacemos usando algo llamado programación lineal, que es una herramienta que hace uso de las inecuaciones para ayudarnos a resolver problemas. Y las inecuaciones también pueden ser algo que graficamos.
En el último ejemplo veremos una cuestión en la que se nos pide resolver una inecuación en una situación práctica. Así que vamos a ver un contexto de la vida real.
Una compañía de teléfonos ofrece los siguientes dos planes. El plan A cuesta 15 dólares al mes y dos dólares por cada 300 mensajes de texto. El plan B cuesta 25 dólares al mes y 0.50 dólares por cada 100 mensajes de texto. ¿Cuántos mensajes necesitas enviar al mes para ahorrar dinero con el plan B?
Para poder plantear primero y resolver este problema debemos preguntarnos, ¿cuál es el coste de enviar otros 100 mensajes de texto con el plan A y con el plan B? Si nos fijamos en el plan A, vemos que cuesta dos tercios de dólar por cada 100 mensajes extra. Eso es porque cuesta dos dólares por cada 300 mensajes extra. Solo tenemos que dividir eso por tres. Luego, si nos fijamos en el plan B, vemos que cuesta medio dólar o 50 centavos enviar 100 mensajes más.
Vamos a plantear una inecuación. Podemos hacerlo porque lo que tenemos para el plan A es 15 más dos tercios de 𝑥, donde 𝑥 es el número de centenas de mensajes enviados. Y queremos saber dónde esto es mayor que lo que cuesta el plan B. Queremos saber dónde el plan A cuesta más que el plan B porque lo que queremos hacer es calcular cuántos mensajes necesitamos enviar al mes para poder ahorrar dinero con el plan B. Así que necesitamos que el plan B cueste menos. Y el plan B cuesta 25 más un medio de 𝑥.
Ahora convertimos las dos fracciones en sextos para tener un denominador común. Así que tenemos que 15 más cuatro sextos de 𝑥 es mayor que 25 más tres sextos de 𝑥. Ahora vamos a restar 15 y tres sextos de 𝑥 en ambos lados de la inecuación. Y hacemos esto porque queremos despejar la 𝑥 en un lado de la inecuación. Y queremos tener los valores numéricos en el otro. Y haciendo esto obtenemos un sexto de 𝑥 es mayor que 10.
Así que, como tenemos un sexto de 𝑥 es mayor que 10, si multiplicamos ambos lados por seis, obtendremos 𝑥 es mayor que 60. Como hemos dicho antes, 𝑥 representa el número de mensajes en centenas. Así que, por lo tanto, el número de mensajes de texto que hay que enviar para ahorrar dinero con el plan B es más de 6000 mensajes. Hemos obtenido este resultado porque hemos multiplicado 60 por 100, que es 6000.
Queríamos practicar cómo resolver una inecuación de varios pasos en un contexto de la vida real. Y ya lo hemos hecho. Así que hemos hecho todo lo que pretendíamos. Hagamos pues un resumen de todo lo que hemos aprendido en esta lección.
Los puntos clave de esta lección son, en primer lugar, que una inecuación de varios pasos es aquella que requiere más de un paso —o sea, más de una operación algebraica— para ser resuelta. En segundo lugar, las inecuaciones se resuelven utilizando un método de balance similar al de las ecuaciones. Así que, si te tropiezas con una inecuación, no te asustes y pienses, «¿Qué voy a hacer ahora?» Pues lo único que debes hacer es resolverla, más o menos de la misma manera que resolverías una ecuación. Tan solo debes tener en cuenta que, en vez de igualdad, tienes un signo de desigualdad.
A continuación, tenemos los signos de desigualdad, menor que, mayor que, menor o igual a, o mayor que o igual a. Y todos estos son signos que usamos en las inecuaciones. Es importante resaltar la diferencia que causa la raya que puede haber en ellos, la línea de abajo. Esta raya indica que puede ser mayor que, o menor que, o igual a. Así que esto se refiere a que puede ser «o igual a».
También es importante que recuerdes que el extremo más amplio —o sea, el lado abierto— del signo de desigualdad está siempre del lado del número más grande. Y el extremo con pico está siempre del lado del número más pequeño. También hemos practicado la notación de intervalos. Esta usa paréntesis y corchetes. Si tenemos un paréntesis, significa que no incluye el valor que está al lado. Así que esto es como nuestro mayor o menor que. Pero si, en cambio, tenemos un corchete, esto significa que sí incluye ese valor. Así que esto es siempre igual a.
Asimismo, sabemos que las inecuaciones tienen muchos usos en la vida real. Y hemos demostrado esto en el último ejemplo. En último lugar hemos aprendido que las inecuaciones pueden representarse usando diferentes notaciones. Y hemos investigado un poco sobre la notación de intervalos. Y tenemos también la notación de conjuntos y, por supuesto, la notación de desigualdades.
