Lesson Video: Puntos críticos y extremos relativos de una función

Video Transcript

En este vídeo vamos a aprender qué son los puntos críticos de una función. También veremos los distintos tipos de puntos críticos que existen y cómo hallar los puntos críticos de una función haciendo uso de la derivada. Asimismo, vamos a ver cómo aplicar el criterio de la primera derivada para clasificar los puntos críticos.

En primer lugar, ¿qué son los puntos críticos? A veces se llaman puntos estacionarios. Son elementos muy importantes de la gráfica de una función. Son puntos en los que la pendiente de la gráfica — d𝑦 sobre d𝑥 — es igual a cero o no está definida. Si la función está definida por 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, entonces los puntos críticos son aquellos en los que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cero.

Debemos saber que hay tres tipos de puntos críticos. El primer tipo son los máximos relativos, que son puntos donde el valor de la función es el más alto en un entorno del punto. Los máximos relativos se caracterizan por que la pendiente de la gráfica es positiva a la izquierda del punto máximo. Eso es para los valores de 𝑥 menores que el valor de 𝑥 en el máximo. También se caracterizan porque la pendiente de la gráfica es negativa a la derecha del punto máximo. Eso es para los valores de 𝑥 mayores que el valor de 𝑥 en el máximo. Un ejemplo de esto se puede ver en la gráfica de 𝑦 igual a menos tres 𝑥 al cuadrado.

El segundo tipo de puntos críticos que debemos considerar son los mínimos relativos, que son aquellos puntos en los que el valor de la función es el más bajo en un entorno del punto. Estos puntos se caracterizan por tener una derivada negativa a la izquierda y una derivada positiva a la derecha, como ocurre en el punto mínimo de la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado.

El tercer y último tipo de puntos críticos son los puntos de inflexión. Estos puntos se caracterizan por que la derivada tiene el mismo signo a ambos lados del punto crítico. Así que puede ser positiva en ambos lados, como ocurre en la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo. O puede ser negativa, como ocurre en la gráfica de 𝑦 igual a menos 𝑥 al cubo.

Recordemos que, en un punto crítico, la derivada d𝑦 sobre d𝑥 será igual a cero. Para hallar un punto crítico, necesitamos, por lo tanto, hallar primero la derivada de la función, d𝑦 sobre d𝑥. Una vez que hemos hallado esto, igualamos d𝑦 sobre d𝑥 a cero, y resolvemos la ecuación resultante para hallar la coordenada 𝑥 del punto crítico.

Normalmente, también queremos conocer la coordenada 𝑦 del punto crítico, o sea, el valor de la función, el cual podemos hallar sustituyendo nuestro valor o valores de 𝑥 en la ecuación de la curva. Veremos algunos ejemplos de esto. Y también analizaremos un método para determinar el tipo de punto crítico que tenemos.

Determina los puntos críticos de la función 𝑦 igual a menos ocho 𝑥 al cubo en el intervalo menos dos, uno.

En primer lugar, nos acordamos de que, en los puntos críticos de una función, la derivada d𝑦 sobre d𝑥 es igual a cero. Muy bien, tenemos que hallar la derivada de esta función. Podemos aplicar la regla de la potencia para la derivación. Esta nos dice que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos ocho por tres por 𝑥 al cuadrado, que se simplifica a menos 24𝑥 al cuadrado.

A continuación, igualamos la expresión para d𝑦 sobre d𝑥 a cero, y obtenemos la ecuación menos 24𝑥 al cuadrado igual a cero. Ahora tenemos que despejar 𝑥. Y vemos que, como menos 24 no es igual a cero, entonces 𝑥 al cuadrado debe ser igual a cero. Y, si 𝑥 al cuadrado es igual a cero, entonces 𝑥 debe ser igual a cero. Así que ya hemos hallado el valor de 𝑥 en nuestro punto crítico.

La cuestión nos pide que determinemos los puntos críticos en un intervalo determinado, el intervalo de menos dos a uno. Y nuestro valor de 𝑥 se encuentra en este intervalo. De hecho, es el único punto crítico de esta función.

Después, tenemos que hallar el valor de 𝑦 en este punto crítico, lo que podemos hacer sustituyendo nuestro valor de 𝑥 en la ecuación de la función. La función es 𝑦 igual a menos ocho 𝑥 al cubo. Así que tenemos 𝑦 igual a menos ocho por cero al cubo, que es cero. Por lo tanto, el único punto crítico en este intervalo, y, de hecho, el único punto crítico en toda la función, tiene coordenadas cero, cero. También podemos ver esto si dibujamos la gráfica de 𝑦 igual a menos ocho 𝑥 al cubo.

Esta es la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo, que ya deberíamos conocer. Y tiene un punto crítico. De hecho, es un punto de inflexión en el origen. Si multiplicamos por ocho, tendremos un alargamiento con un factor de escala de ocho en dirección vertical. Pero esto no afecta al punto crítico. Luego, si multiplicamos por menos uno, tendremos una simetría axial con respecto al eje de las 𝑥. Como vemos, en verde tenemos la gráfica de 𝑦 es igual a menos ocho 𝑥 al cubo. Podemos ver que tiene un punto crítico, que es un punto de inflexión, en el origen.

En resumen, hemos hallado la coordenada 𝑥 de nuestro punto crítico hallando la función derivada, d𝑦 sobre d𝑥, igualándola a cero y resolviendo la ecuación resultante. Luego, hemos sustituido esto en la ecuación de la función original para hallar la coordenada 𝑦 correspondiente, obteniendo el punto crítico cero, cero. En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo determinar el tipo de punto crítico sin tener que dibujar una gráfica.

Determina, si hay, los valores máximos y valores mínimos relativos de 𝑓 de 𝑥 igual a menos dos 𝑥 al cubo menos nueve 𝑥 al cuadrado menos 12𝑥 menos 15, y señala dónde ocurren.

En este problema se nos pide que determinemos los valores máximos y los valores mínimos relativos. Estos son los valores de la función. El enunciado también nos pide que señalemos «dónde ocurren», es decir, nos pide que hallemos los valores de 𝑥 correspondientes. En primer lugar, nos acordamos de que, en los puntos críticos de una función, la derivada — 𝑓 prima de 𝑥 — es igual a cero. Así que comenzamos derivando 𝑓 de 𝑥, lo que podemos hacer usando la regla de la potencia, y obtenemos menos seis 𝑥 al cuadrado menos 18𝑥 menos 12. En los puntos críticos, 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cero. Así que igualamos la expresión de 𝑓 prima de 𝑥 a cero.

Y ahora vamos a resolver la ecuación resultante para 𝑥. Factorizamos menos seis en esta ecuación, y obtenemos menos seis por 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más dos igual a cero. Y vemos que, dentro del paréntesis, tenemos una cuadrática en 𝑥 que se factoriza. Es igual a 𝑥 más dos por 𝑥 más uno. También podemos observar, en este punto, que menos seis no es igual a cero. Así que podemos eliminarlo de nuestra ecuación en este paso.

Ahora igualamos cada factor a cero, y obtenemos 𝑥 más dos igual a cero o 𝑥 más uno igual a cero. Ambas ecuaciones pueden resolverse de una forma bastante sencilla para obtener las coordenadas 𝑥 de los puntos críticos de esta función. Así que 𝑥 es igual a menos dos o 𝑥 es igual a menos uno.

Ahora ya conocemos los valores de 𝑥 en los puntos críticos. Pero también debemos hallar los valores de la función. Así que tenemos que calcular 𝑓 de 𝑥 en cada valor crítico. Cuando 𝑥 es igual a menos dos, 𝑓 de menos dos es menos dos por menos dos al cubo menos nueve por menos dos al cuadrado menos 12 por menos dos menos 15, que es menos 11. Calculamos 𝑓 de menos uno del mismo modo y obtenemos menos 10.

Ya hemos establecido que esta función tiene puntos críticos en menos dos, menos 11, y en menos uno, menos 10. Pero ¿cómo determinamos si son máximos o mínimos relativos, o puntos de inflexión? Bueno, vamos a usar un método llamado criterio de la primera derivada. Vamos a fijarnos en el signo de la derivada a cada lado de nuestro punto crítico, lo que nos dará la pendiente de la función a cada lado de ese punto crítico. Si tenemos esto en cuenta, seremos capaces de identificar la forma de la función en el entorno de cada punto crítico.

Esto es lo que vamos a hacer. Vamos a calcular la primera derivada — 𝑓 prima de 𝑥 — a cada lado de los valores críticos de 𝑥, o sea, menos dos y menos uno. Normalmente, usaríamos los valores enteros más cercanos. Sin embargo, en este caso, menos dos y menos uno son enteros consecutivos. Por lo tanto, en vez de eso, hemos elegido un valor entre ellos que sea mayor que menos dos y menor que menos uno. Y este valor que hemos elegido es menos 1.5.

Recordemos que nuestra derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es menos seis 𝑥 al cuadrado menos 18𝑥 menos 12. Y, cuando calculamos esto en menos tres, obtenemos un valor de menos 12. Ahora bien, no nos interesa tanto saber cuál es el valor, sino solo el signo. Y menos 12 es un valor negativo. También vamos a calcular nuestra derivada en menos 1.5. Y obtenemos 1.5, que es un valor positivo.

Por último, vamos a calcular esta función gradiente en cero. Obtenemos menos 12, un valor negativo. Pero ¿cómo nos ayuda esto a determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos? Bueno, vemos que la pendiente de esta curva es negativa cuando 𝑥 es igual a menos tres. Además, es igual a cero cuando 𝑥 es menos dos, y es positiva cuando 𝑥 es menos 1.5. Y, si esbozamos esta curva, podemos ver que el punto crítico en menos dos debe ser un mínimo relativo.

Del mismo modo, la derivada de esta función es positiva cuando 𝑥 es igual a menos 1.5. Es cero cuando 𝑥 es menos uno. Y es negativa cuando 𝑥 es cero. Así, vemos que el punto crítico en 𝑥 igual a menos uno debe ser un máximo relativo. Muy bien, por lo tanto, con este método, la prueba de la primera derivada, hallamos la primera derivada — o sea, la pendiente — a cada lado del punto crítico. Y, si nos fijamos en el signo de la derivada, podemos deducir la forma de la curva en este punto. Hemos hallado que esta función, 𝑓 de 𝑥, tiene un mínimo relativo en menos dos, menos 11, y un máximo relativo en menos uno, menos 10.

Hay otro método para determinar la naturaleza de los puntos críticos, se llama criterio de la segunda derivada. En este método se ha de derivar de nuevo la función derivada para obtener la segunda derivada de la función original. La primera derivada muestra cómo cambia la función y la segunda derivada muestra cómo cambia la pendiente. Si tenemos esto en cuenta, podremos determinar si un punto es un mínimo relativo, un máximo relativo o un punto de inflexión. Sin embargo, esto está fuera del alcance del contenido de este vídeo.

Sabiendo que la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más 𝐿 𝑥 más 𝑀 tiene un valor mínimo de dos en 𝑥 igual a menos uno, determina los valores de 𝐿 y 𝑀.

En esta cuestión se nos da el valor mínimo de la función. Es dos. Y se nos da el valor de 𝑥 en el que ocurre. Es menos uno. Tenemos que usar esta información para hallar los coeficientes 𝐿 y 𝑀 en la definición de 𝑓 de 𝑥.

Un mínimo es un tipo de punto crítico. Y, como sabemos, en los puntos críticos, la derivada de la función, 𝑓 prima de 𝑥, es igual a cero. Podemos usar la regla de la potencia para derivar 𝑓 de 𝑥. Y tenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a dos 𝑥 más 𝐿. Como menos uno es el valor de 𝑥 en un punto crítico, sabemos que, si sustituimos 𝑥 igual a menos uno en nuestra expresión para 𝑓 prima de 𝑥, el resultado debe ser cero. Así que formamos una ecuación. Dos por menos uno más 𝐿 igual a cero. Obtenemos la ecuación menos dos más 𝐿 igual a cero, que resolvemos para obtener que 𝐿 es igual a dos.

Muy bien, ya hemos hallado el valor de 𝐿. Pero ¿qué hay del valor de 𝑀? Bueno, sabemos que la función tiene un valor igual a dos cuando 𝑥 es menos uno. Así, cuando 𝑥 es menos uno, 𝑓 de 𝑥 es dos. Así que podemos sustituir menos uno para 𝑥, dos para 𝐿 y dos para 𝑓 de 𝑥, y obtener así una segunda ecuación. Menos uno al cuadrado más dos por menos uno más 𝑀 es dos. Esto se simplifica a uno menos dos más 𝑀 igual a dos, que, de nuevo, resolvemos y obtenemos que 𝑀 es igual a tres.

Ya hemos hallado los valores de 𝐿 y 𝑀. 𝐿 es dos y 𝑀 es tres. Sin embargo, debemos confirmar que este punto es un mínimo. Podemos hacerlo mediante la prueba de la primera derivada. Calculamos la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, a cada lado de nuestro valor crítico de 𝑥, de modo que podemos ver cómo cambia la derivada de esta función alrededor del punto crítico.

Recordemos que, en el punto crítico, el gradiente es cero. Nuestra función derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es dos 𝑥 más 𝐿. Pero ahora sabemos que 𝐿 es dos. Así que nuestra función derivada es dos 𝑥 más dos. Cuando 𝑥 es menos dos, esto vale menos dos. Y cuando 𝑥 es cero, esto vale más dos.

Lo que en realidad nos interesa es el signo del valor, más que el valor en sí. Vemos que la derivada es negativa a la izquierda de menos uno. Es cero en menos uno y positiva a la derecha de menos uno. Por lo tanto, si escribimos estos datos, vemos que el punto crítico en menos uno es un mínimo relativo.

Ya sí que hemos resuelto el problema. 𝐿 es dos y 𝑀 es tres.

A veces, las funciones que derivamos pueden ser más complejas que polinomios, como funciones exponenciales o trigonométricas. Puede que necesitemos hacer uso de una o varias de las reglas de derivación, como la regla de la cadena o del producto. Vamos a ver esto en el siguiente ejemplo.

Determina dónde tiene 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado 𝑒 elevado a menos 𝑥 un máximo relativo, y halla su valor en ese punto.

En primer lugar, recordamos que un máximo relativo es un tipo de punto crítico. Y en los puntos críticos, 𝑓 prima de 𝑥 es cero. Así que tenemos que comenzar hallando la derivada de 𝑓 de 𝑥. Ahora bien, si nos fijamos en 𝑓 de 𝑥, vemos que se trata de un producto. Es igual a una función, tres 𝑥 al cuadrado, por otra función, 𝑒 elevado a menos 𝑥. Por lo tanto, para derivar 𝑓 de 𝑥, vamos a tener que aplicar la regla del producto.

La regla del producto dice que la derivada del producto 𝑢𝑣 es igual a 𝑢𝑣 prima más 𝑢 prima 𝑣. Escojamos 𝑢 como la función tres 𝑥 al cuadrado. Y 𝑣 como la función 𝑒 elevado a menos 𝑥. Ahora tenemos que derivar cada una de estas funciones. Podemos aplicar la regla de la potencia para derivar 𝑢. Y obtenemos seis 𝑥.

Para poder derivar 𝑣 debemos conocer las reglas para derivar exponenciales. La derivada con respecto a 𝑥 de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 es 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Por lo tanto, la derivada de 𝑒 elevado a menos 𝑥 es menos 𝑒 elevado a menos 𝑥. El valor de 𝑘 aquí es menos uno. Si aplicamos la regla del producto, 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑢𝑣 prima, que es tres 𝑥 al cuadrado por menos 𝑒 elevado a menos 𝑥, más 𝑢 prima 𝑣, que es seis 𝑥 por 𝑒 elevado a menos 𝑥.

Podemos sacar el factor común tres 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥, obteniendo tres 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥 por menos 𝑥 más dos. Ahora, igualamos 𝑓 prima de 𝑥 a cero, y obtenemos tres 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥 por menos 𝑥 más dos igual a cero. Tres no es igual a cero, así que podemos eliminarlo de la ecuación. Podemos pensar en esto como si dividiéramos ambos lados por tres.

Por lo tanto, nos quedamos con 𝑥 igual a cero o 𝑒 elevado a menos 𝑥 igual a cero o menos 𝑥 más dos igual a cero. Resulta muy fácil obtener la solución para 𝑥 en la primera ecuación y en la última. Pero ¿y en la ecuación de en medio? Bueno, en realidad esta ecuación no tiene solución. Si nos fijamos en la gráfica de 𝑒 elevado a menos 𝑥, veremos que el eje de las 𝑥 es una asíntota. No hay ningún valor de 𝑥 para el cual 𝑒 elevado a menos 𝑥 sea igual a cero. Por lo tanto, los únicos valores de 𝑥 son cero y dos. Seguidamente, calculamos 𝑓 de 𝑥 en cada uno de estos puntos, y obtenemos cero y 12 partido por 𝑒 al cuadrado.

Por último, tenemos que determinar cuál de estos puntos es un máximo relativo. Y podemos hacerlo aplicando la prueba de la primera derivada. Calculamos 𝑓 prima de 𝑥 en los valores enteros a cada lado de los dos valores críticos de 𝑥, cero y dos. Aquello en lo que debemos fijarnos es en el signo de estos valores. Vemos que, para nuestro punto crítico de abscisa 𝑥 igual a dos, el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, lo que significa que este es el punto máximo relativo. Así que concluimos que hay un máximo relativo de 12 partido por 𝑒 al cuadrado cuando 𝑥 es dos.

Vamos a resumir lo que hemos aprendido. En los puntos críticos de una función, d𝑦 sobre d𝑥, o sea, 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cero o es indefinido. Los tres tipos de puntos críticos que debemos conocer son los máximos relativos, los mínimos relativos y los puntos de inflexión. Podemos hacer uso de la prueba de la primera derivada, que consiste en calcular la derivada a cada lado del punto crítico y, así, clasificarlo como máximo relativo, mínimo relativo, o punto de inflexión.