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Vídeo de la lección: Áreas y circunferencias de círculos Matemáticas • Undécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo calcular el área y la circunferencia de un círculo si su radio o diámetro es conocido, y cómo utilizar esto para resolver problemas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo calcular el área y la circunferencia de un círculo si su radio o diámetro es conocido, y cómo utilizar esto para resolver problemas.

Comencemos repasando el vocabulario clave asociado con los círculos y las circunferencias. Un círculo es el conjunto de todos los puntos que están a una determinada distancia, o más cerca, de un punto llamado centro, aquí denotado por la letra 𝑀. Un radio de un círculo es cualquier segmento que conecta el centro del círculo con su borde, aquí indicado con la letra 𝑟. El diámetro de un círculo es un segmento cuyos extremos están en el borde del círculo y que pasa por el centro. Denotamos usualmente el diámetro con la letra 𝑑 y notamos que siempre es dos veces tan largo como el radio del mismo círculo.

La circunferencia de un círculo es la curva a lo largo del borde del círculo, y también se llama «circunferencia» a la longitud de esa curva, o sea, al perímetro del círculo. La circunferencia o perímetro de un círculo la denotamos con la letra 𝐶. Los círculos son figuras muy especiales porque sus propiedades están relacionadas con una constante matemática, que llamamos 𝜋 y denotamos con esta letra griega. 𝜋 es aproximadamente igual a 3.142, con tres cifras decimales. Pero, de hecho, 𝜋 es lo que se conoce como un número irracional, lo que significa que tiene infinitas cifras decimales las cuales no tienen periodicidad. Si intentáramos escribir todas estas cifras, nunca terminaríamos.

La primera fórmula clave relacionada con los círculos que necesitamos saber es esta. La circunferencia de un círculo es igual a 𝜋 multiplicado por el diámetro. 𝐶 es igual a 𝜋𝑑. Como el diámetro es el doble del radio, esto también se puede escribir como 𝐶 es igual a dos 𝜋𝑟.

Comencemos considerando un ejemplo en el que calculamos la circunferencia de un círculo a partir de la longitud de su diámetro.

Calcula la circunferencia del círculo, dando tu respuesta con dos cifras decimales.

Recordemos primero que la circunferencia de un círculo es su perímetro, o sea, la distancia a lo largo de su borde. La fórmula para calcular la circunferencia de un círculo es 𝐶 igual a 𝜋𝑑, donde 𝐶 representa la circunferencia y 𝑑 representa el diámetro del círculo. Mirando el diagrama que nos han dado, podemos ver que este segmento de recta es un diámetro del círculo porque sus dos extremos están en el borde del círculo y pasa a través del centro del círculo. La longitud de esta línea es seis, por lo que el valor de 𝑑 es seis. La circunferencia del círculo es, por lo tanto, 𝜋 multiplicada por seis, que podemos escribir como seis 𝜋.

Si necesitamos dar una respuesta exacta o si no tenemos acceso a una calculadora, podemos dejar nuestra respuesta en esta forma. Pero nos piden que demos una respuesta con una precisión de dos cifras decimales. Así que necesitamos evaluar esto. Como 𝜋 es un número irracional, obtenemos una respuesta que también es irracional, 18.84955 etcétera. Redondeando a dos cifras decimales obtenemos 18.85.

No nos dieron ninguna unidad para el diámetro en la cuestión, por lo que no tenemos ninguna unidad para la circunferencia. Pero como la circunferencia es una medida de longitud, las unidades serán unidades de longitud. Hallamos que la circunferencia del círculo con dos cifras decimales es 18.85.

Hemos visto cómo calcular la circunferencia de un círculo aplicando esta fórmula. También podemos aplicar estas fórmulas para hallar el perímetro de otras figuras relacionadas con los círculos. Por ejemplo, supongamos que tenemos un semicírculo. El perímetro de esta figura se compone de dos partes: un lado recto, que es un diámetro del círculo, y esta parte curva, a la que nos podemos referir como arco.

Como se trata de un semicírculo, la longitud de este arco es la mitad de la circunferencia del círculo completo. Usando la fórmula que ya hemos escrito, es 𝜋𝑑 sobre dos. Si estamos calculando el perímetro total de este semicírculo en lugar de solo la parte curva, debemos recordar sumar la parte recta. Así que tenemos que el perímetro de un semicírculo, representado por 𝑃, es igual a 𝑑 más 𝜋𝑑 sobre dos.

Podemos aplicar un razonamiento similar para hallar una fórmula para el perímetro de un cuarto de círculo. Esta vez, tenemos dos lados rectos, cada uno de los cuales es un radio del círculo original. Luego tenemos un borde curvo que es un cuarto de la circunferencia completa del círculo, por lo que su longitud será 𝜋𝑑 sobre cuatro. El perímetro del cuarto de círculo es, por lo tanto, igual a dos 𝑟 más 𝜋𝑑 sobre cuatro. Y como dos 𝑟 es igual a 𝑑, también podemos escribir esto como 𝑑 más 𝜋𝑑 sobre cuatro.

También podemos expresar cada una de estas fórmulas en términos de 𝐶, la circunferencia del círculo original. Para el semicírculo, el perímetro es igual a 𝑑 más 𝐶 sobre dos. Y para el cuarto de círculo, el perímetro es 𝑑 más 𝐶 sobre cuatro. Consideremos ahora un ejemplo que incluye porciones de círculos.

Usando 3.14 para aproximar 𝜋 y el hecho de que 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado, calcula el perímetro de la parte sombreada.

A primera vista puede parecer que el perímetro de esta región sombreada será difícil de calcular ya que tiene una forma inusual. Sin embargo, si nos fijamos bien, vemos que cada una de estas porciones no sombreadas son cuartos de círculo. La región sombreada está rodeada por las partes curvas de estos cuatro cuartos de círculo. Cada uno de estos arcos tiene una longitud de un cuarto de la circunferencia de un círculo, pero como hay cuatro de ellos, juntos forman la circunferencia completa de un círculo.

Sabemos que la fórmula para calcular la circunferencia de un círculo es 𝐶 igual a 𝜋𝑑, donde 𝑑 representa el diámetro del círculo. La pregunta es, ¿cuál es el diámetro de este círculo?

Si nos fijamos en el cuarto de círculo en la parte inferior izquierda de la figura, podemos ver que el radio de este círculo es la mitad de la longitud del lado del cuadrado. Eso es 68 sobre dos. Así que el radio es 34 centímetros. El diámetro de un círculo es dos veces el radio, así que el diámetro es dos veces 34; o sea, 68 centímetros. De hecho, podíamos haber deducido esto de la figura sin reducir a la mitad y luego duplicarlo nuevamente. Dos de los radios de los cuartos de círculo se hallan a lo largo del lado del cuadrado, por lo que el doble del radio es de 68 centímetros. Y como el diámetro es el doble del radio, hallamos nuevamente que el diámetro es de 68 centímetros. Ya hemos dicho que el perímetro de la región sombreada es igual a la circunferencia del círculo completo formado por estos cuatro cuartos de círculo.

Usando la fórmula 𝐶 igual a 𝜋𝑑, hallamos que el perímetro de la región sombreada es 𝜋 multiplicado por 68. En la cuestión, nos dicen que usemos 3.14 como una aproximación para 𝜋. Y, multiplicando, obtenemos 213.52. Las unidades para este perímetro son las mismas que las unidades de longitud utilizadas en el dibujo. Así que hallamos que el perímetro de la parte sombreada usando 3.14 como aproximación para 𝜋 es 213.52 centímetros.

Consideremos ahora el área de los círculos. El área también está relacionada con las dimensiones del círculo por la constante 𝜋. En este caso, la relación es que el área es igual a 𝜋 multiplicado por el radio al cuadrado. El área es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. Como el radio es la mitad del diámetro, podemos escribir esto de manera equivalente como 𝜋 multiplicado por 𝑑 sobre dos al cuadrado, o 𝜋𝑑 al cuadrado sobre cuatro, pero esto es mucho menos común. Por lo general, si nos dan el diámetro de un círculo, simplemente dividimos este valor por dos para calcular el radio del círculo y luego usamos la primera versión de la fórmula. Veamos ahora un ejemplo en el que aplicamos esta fórmula para hallar el área de un círculo.

Usando 3.14 como una aproximación para 𝜋, halla el área del círculo.

Comenzamos recordando que la fórmula para hallar el área de un círculo es 𝜋𝑟 al cuadrado, donde 𝑟 representa el radio del círculo. Según la figura, el radio de este círculo es de 12 centímetros porque nos han dado la longitud de un segmento que conecta el centro del círculo con un punto en la circunferencia del círculo.

Así que sustituyendo 𝑟 por 12, tenemos que el área de este círculo es igual a 𝜋 multiplicado por 12 al cuadrado. Debemos recordar que es solo el 12 lo que estamos elevando al cuadrado. No estamos elevando también 𝜋. Así que esto es igual a 𝜋 multiplicado por 144. Nos dicen que debemos usar 3.14 como una aproximación para 𝜋. Y multiplicando 3.14 por 144 obtenemos 452.16. Las unidades de área son unidades cuadradas.

Hallamos que el área de este círculo, que tiene un radio de 12 centímetros de longitud, es aproximadamente 452.16 centímetros cuadrados.

Así como tenemos fórmulas para los perímetros de semicírculos y cuartos, también podemos hallar fórmulas para las áreas de estas figuras. Y, de hecho, esta vez es un poco más sencillo porque solo necesitamos dividir el área del círculo completo por dos para un semicírculo o por cuatro para un cuarto de círculo. Así que tenemos que el área de un semicírculo es 𝜋𝑟 al cuadrado sobre dos y el área de un cuarto de círculo es 𝜋𝑟 al cuadrado sobre cuatro. A continuación, tenemos un ejemplo en el que relacionamos el área y el perímetro de un semicírculo.

El área del semicírculo es 51.04 centímetros cuadrados. Halla el perímetro del semicírculo al centímetro más cercano.

Recordemos que la fórmula del área de un semicírculo es 𝜋𝑟 al cuadrado sobre dos, donde 𝑟 es el radio del círculo. 𝜋𝑟 al cuadrado da el área del círculo completo, y luego lo dividimos por dos. El perímetro de un semicírculo está formado por un lado recto, que es el diámetro del círculo, y una parte curva, que es la mitad de la circunferencia del círculo. Así que, el perímetro del semicírculo es igual a 𝑑 más 𝐶 sobre dos. Y la fórmula para hallar la circunferencia de un círculo es 𝜋𝑑, 𝜋 veces el diámetro. El perímetro de un semicírculo se puede escribir como 𝑑 más 𝜋𝑑 sobre dos.

Para determinar el perímetro de este semicírculo, primero necesitamos calcular su diámetro. Usando el área conocida del semicírculo y la fórmula para calcular el área de un semicírculo, podemos formar una ecuación: 𝜋𝑟 al cuadrado sobre dos es igual a 51.04. Si podemos resolver esta ecuación para determinar el valor de 𝑟, podremos entonces calcular el diámetro del círculo recordando que el diámetro es el doble del radio. Comenzamos multiplicando ambos lados de la ecuación por dos para obtener 𝜋𝑟 al cuadrado igual a 102.08.

A continuación, dividimos ambos lados de la ecuación por 𝜋, obteniendo 𝑟 al cuadrado igual a 102.08 sobre 𝜋, y luego sacamos la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación. Evaluar da 𝑟 igual a 5.7002 etcétera. Así que hemos hallado el radio del círculo y podemos doblarlo para hallar el diámetro, lo que nos da 11.4005 etcétera.

Ahora podemos sustituir este valor de 𝑑 en nuestra fórmula para el perímetro de un semicírculo. Y debemos asegurarnos de mantener este valor lo más exacto posible. Es posible que desees guardar este valor en la memoria de su calculadora para poderlo usar directamente al evaluar el perímetro. Sustituyendo este valor exacto de 𝑑 y luego evaluando nos da 29.3084. Nos piden el perímetro al centímetro más cercano, así que redondeamos hacia abajo a 29. Recordando la fórmula del área y la fórmula del perímetro de un semicírculo, hemos hallado que el perímetro de este semicírculo, al centímetro más cercano, es 29 centímetros.

Veamos ahora un último ejemplo en el que vamos a aplicar nuestro conocimiento de los círculos a un problema práctico.

Una cabra está atada con una cuerda de 10 metros de largo a la esquina de un establo. ¿Qué área del campo puede alcanzar la cabra?

Primero, necesitamos pensar de manera práctica en cómo la cabra puede moverse por este campo. Si la cabra estuviera atada en algún lugar en el medio del campo, este sería un problema mucho más sencillo. La cabra podría moverse por todo un círculo de 10 metros de radio. Pero debido a que, en cambio, la cabra está atada a la esquina del establo, el establo se interpondrá en su camino.

Supongamos primero que la cabra camina lo más lejos que puede a lo largo de la pared superior del establo. Como la cuerda mide 10 metros de largo pero esta pared tiene 12 metros de largo, la cabra no podrá llegar hasta el final. Así que llegará a un punto a 10 metros de la otra esquina. Con la cuerda tensa, la cabra puede comenzar a caminar a lo largo de una circunferencia centrada en la esquina del establo con un radio de 10 metros.

De hecho, podemos trazar tres cuartos de la circunferencia hasta que la cabra llegue a este punto. Pero pensemos en lo que sucede a continuación. En este punto, parte de la cuerda será detenida por la pared del establo, y la cabra tendrá que girar alrededor de la esquina inferior derecha del establo. Girarán solamente cinco metros de la cuerda porque el resto estará detenido a lo largo del borde este del establo. Y esa es la longitud de esta pared. De modo que a la cabra solo le quedan cinco metros de cuerda para girar. Por lo tanto, la cabra puede caminar en un círculo más pequeño con un radio de cinco metros hasta llegar al extremo sur del establo. Por supuesto, todo esto es lo que sucede si la cabra se mueve con la cuerda tensa, por lo que estamos trazando el perímetro de la región que la cabra puede alcanzar.

La cabra también puede caminar por todas las partes dentro de esta región sin tensar la cuerda. Lo que encontramos es que el área total que la cabra puede cubrir es tres cuartos de un círculo de 10 metros de radio y un cuarto de un círculo de cinco metros de radio.

Recordemos que la fórmula para calcular el área de un círculo es 𝜋 multiplicado por su radio al cuadrado. Para los tres cuartos de círculo, el área es 𝜋 multiplicado por 10 al cuadrado multiplicado por tres cuartos. Y para el cuarto de círculo, el área es 𝜋 multiplicado por cinco al cuadrado multiplicado por un cuarto. Evaluar nos da 300 sobre cuatro 𝜋 y 25 sobre cuatro 𝜋. El área total del campo que puede alcanzar la cabra es la suma de estos dos valores, que es 325 sobre cuatro 𝜋 metros cuadrados.

Para concluir, resumamos los puntos principales de este video. La circunferencia de un círculo es igual a 𝜋 multiplicado por el diámetro, o dos 𝜋 multiplicado por el radio. El área de un círculo es 𝜋𝑟 al cuadrado. El perímetro de un semicírculo es igual al diámetro más la mitad de la circunferencia, y el área es la mitad del área del círculo completo. Es 𝜋𝑟 al cuadrado sobre dos. El perímetro de un cuarto de círculo es igual al diámetro del círculo más un cuarto de la circunferencia del círculo. Y el área es un cuarto del área del círculo completo. Es 𝜋𝑟 al cuadrado sobre cuatro. Conocida una de estas medidas, el radio, el diámetro, la circunferencia o el área de un círculo, podemos calcular cualquier otra de las medidas usando estas fórmulas.

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