Vídeo: Simplificar fracciones aplicando las reglas de los exponentes

Simplifica (4^(3𝑛 + 3) × 25^(1 − 3𝑛))/(2^(9𝑛 + 3) × 50^(1 − 3𝑛)).

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Transcripción del vídeo

Simplifica cuatro elevado a tres 𝑛 más tres por 25 elevado a uno menos tres 𝑛, todo dividido por dos elevado a nueve 𝑛 más tres por 50 elevado a uno menos tres 𝑛.

En este problema estamos operando con bases de cuatro, 25, dos y 50. Y sabemos que estas potencias cumplen las propiedades de que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏 y 𝑥 elevado a 𝑎 dividido por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 menos 𝑏. Si tuviéramos 𝑥 elevado a menos 𝑎, podríamos moverlo al denominador y convertir el exponente en positivo. Así que tendríamos uno sobre 𝑥 elevado a 𝑎.

Tenemos que averiguar cómo reescribir estas potencias para que tengan la misma base. Estas son las bases con las que estamos operando. Podemos reescribir cuatro como dos al cuadrado. Así que tendremos una base de dos. Dos ya es una base de dos. Es dos elevado a uno. 25 puede reescribirse como cinco al cuadrado.

Sin embargo, 50 no es un cuadrado perfecto. Pero, dado que estamos usando bases de dos y cinco, ¿podemos reescribir 50 de alguna manera usándolas? Bueno, 50 es 25 por dos y 25 es cinco al cuadrado. Por lo tanto, hemos escrito 50 usando una base de cinco y de dos. Vamos a comenzar simplificando.

Empezando por el numerador, vamos a sustituir cuatro por dos al cuadrado y 25 por cinco al cuadrado. Ahora, para simplificar, tenemos que distribuir los exponentes. Y tenemos dos elevado a seis 𝑛 más seis por cinco elevado a dos menos seis 𝑛. Ahora vamos a usar esta propiedad, pero hacia atrás. Vemos que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. ¿Qué tenemos hasta ahora? Tenemos dos elevado a seis 𝑛 más seis — así que tenemos que separarlos — y cinco elevado a dos menos seis 𝑛 y también tenemos que separarlos. Así, tenemos dos elevado a seis 𝑛 más seis.

Podemos reescribir esto como dos elevado a seis 𝑛 por dos elevado a seis y luego cinco elevado a dos por cinco elevado a menos seis 𝑛. Puesto que tenemos un exponente negativo, vamos a usar esta propiedad. Tenemos que mover esto, pues ya está en el numerador, al denominador y luego podemos cambiarlo a más seis 𝑛, que estaría aquí.

También podríamos haber usado el hecho de que, cuando restamos exponentes, es como si estuviéramos dividiendo. Por lo tanto, tendríamos cinco elevado a dos dividido por cinco elevado a seis 𝑛. Así es como hemos hecho la resta aquí. Muy bien, ya hemos simplificado el numerador. Ahora vamos a simplificar el denominador.

Vamos a poner un uno en la parte de arriba para representar el hecho de que esos números están en el denominador. Tenemos las bases de dos y 50. Vamos a mantener la base de dos. Respecto a 50, hemos decidido reescribirlo como cinco al cuadrado por dos, algo que hemos hecho aquí. Ahora tenemos que simplificar cinco al cuadrado por dos elevado a uno menos tres 𝑛. Ahora, los separamos. Antes de continuar, vamos a distribuir el dos al uno y al menos tres 𝑛. Así, tenemos cinco elevado a dos menos seis 𝑛.

Vamos a usar esta propiedad de nuevo para separar los términos. Primero, hemos separado el nueve 𝑛 y el tres. Así que tenemos dos elevado a nueve 𝑛 por dos elevado a tres por cinco al cuadrado por cinco elevado a menos seis 𝑛 por dos elevado a uno por dos elevado a menos tres 𝑛. Así que tenemos dos potencias negativas. Y podemos pasarlas a positivas moviéndolas al numerador. Ahora ya hemos simplificado completamente el denominador.

Aquí hemos simplificado el numerador. Pero hemos movido cinco elevado a seis 𝑛 al denominador. Y, aquí, hemos simplificado el denominador, pero hemos movido estos números al numerador. Tenemos que agruparlos. Y podemos agruparlos multiplicando, pues todo lo que está arriba se supone que debe ir en el numerador y todo lo que está abajo debe ir en el denominador.

Si empezamos por el numerador vemos que tenemos dos elevado a seis 𝑛 y dos elevado a tres 𝑛, y los multiplicamos. Podemos reescribir esto como dos elevado a seis 𝑛 más tres 𝑛. Y seis 𝑛 más tres 𝑛 es nueve 𝑛. Luego, tenemos dos elevado a seis por cinco elevado a dos por cinco elevado a seis 𝑛. Por lo tanto, no hemos puesto ninguno de los cincos juntos porque ya teníamos un dos y un seis 𝑛. Y esos no se simplifican. Solo juntamos el dos elevado a seis 𝑛 y el dos elevado a tres 𝑛 porque ambos tienen una 𝑛.

En el denominador tenemos cinco elevado a seis 𝑛 por dos elevado a nueve 𝑛. Y, ahora, tenemos dos elevado a tres y luego dos, solo dos elevado a uno. Eso sería dos elevado a tres más uno, que es dos elevado a cuatro, por cinco al cuadrado. Ahora se cancelan varios términos. El dos elevado a nueve 𝑛 se cancela. Los cincos al cuadrado se cancelan. El cinco elevado a seis 𝑛 se cancela. Y nos queda dos elevado a seis dividido por dos elevado a cuatro.

Cuando dividimos bases iguales con exponentes, restamos sus exponentes, y seis menos cuatro es dos. Y dos al cuadrado es cuatro. Por lo tanto, después de simplificar, nuestra respuesta final es cuatro.

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