Vídeo: El problema de las carreras de caracoles de juguete

En este vídeo, echamos un rápido vistazo a algunas de las matemáticas de las carreras de caracoles de juguete, y luego aplicamos un enfoque lógico para hallar los tres caracoles más rápidos de entre un grupo de 25.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a echar un vistazo a un problema ambientado en el apasionante, pero que yo sepa imaginario, deporte de las carreras de caracoles de juguete.

Antes que nada, hemos de familiarizarnos con las carreras de caracoles de juguete. Bueno, en realidad, esto es bastante sencillo. Tenemos un conjunto de 25 caracoles de madera de aspecto idéntico y una rampa. Como es bastante difícil dibujar 25 caracoles idénticos, he puesto la mayoría de los míos en una caja grande. Ahora escogemos cinco caracoles al azar. Los colocamos aquí, en la parte superior del plano inclinado. Y los dejamos deslizarse completamente hacia abajo. ¡Y el primero en llegar al final es el ganador!

Estos caracoles no tienen partes móviles. Por lo tanto, su progreso en la rampa depende completamente del rozamiento entre su base y la rampa. Han sido diseñados para que cada uno se vea igual. Pero la base estará más o menos pulida y experimentarán distinta fuerza de rozamiento con la superficie inclinada. El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse a las velocidades que alcanzan. De hecho, algunas personas probaron quitando las conchas de los caracoles para hacerlos más estilizados. Pero parece ser que esto solo hacía que los caracoles fueran aún más lentos.

El problema que tenemos para ti no necesita matemáticas muy potentes, solo de un poco de lógica. Pero antes de describir el problema que nos ocupará, echemos un vistazo rápido a la mecánica de estas carreras. Podemos considerar un caracol como una partícula en un plano inclinado con rozamiento. Y eso solo significa que hay cierto rozamiento entre el caracol y la rampa. Llamemos 𝜃 al ángulo entre el plano y la horizontal. El peso del caracol actúa verticalmente hacia abajo con una fuerza en néwtones igual a su masa en kilogramos multiplicada por la constante gravitacional, 𝑔, en metros por segundo al cuadrado. Y, usualmente, usamos un valor de 9,8 metros por segundo al cuadrado para la aceleración gravitatoria en la superficie de la tierra.

La tercera ley de Newton nos dice que, por cada acción, hay una reacción igual y opuesta. Así que, puesto que el caracol presiona hacia abajo en la rampa, habrá una reacción normal, llamémosla 𝑅, que es perpendicular a la pendiente, y que actúa desde la rampa hacia el caracol. Ahora tenemos un triángulo rectángulo aquí. Así que este ángulo es 90 menos 𝜃. Y este ángulo también es 𝜃. Y recuerda que la fuerza de reacción normal es perpendicular al plano inclinado. Ahora bien, como el caracol no está saliendo hacia fuera de la rampa ni está cayendo a través de ella, significa que esta fuerza 𝑅 debe estar balanceando exactamente la componente del peso que actúa en esta dirección. Y esta componente es 𝑚 por 𝑔 por el coseno del ángulo entre la fuerza y ​​esta dirección. Por lo tanto, la fuerza de reacción 𝑅 es igual a 𝑚𝑔 por cos 𝜃.

Ahora bien, debido al rozamiento, habrá una fuerza que se opondrá al movimiento del caracol por la pendiente. Atención aquí: lo que hace que las carreras de caracoles sean tan emocionantes es el hecho de que los caracoles, de hecho, se mueven. Cuando eso pasa, la fuerza de rozamiento tiene su máximo nivel teórico. Llamémoslo 𝐹 max. Y a las escalas que estamos tratando, esta fuerza será constante durante todo el trayecto de estos caracoles en la rampa. El valor de 𝐹 max se obtiene multiplicando 𝜇, el coeficiente de rozamiento entre el caracol y la rampa, por 𝑅, el módulo de la fuerza de reacción normal que actúa sobre el caracol.

Resulta, pues, que 𝜇 es el coeficiente de deslizamiento del caracol. Y para que tengamos una carrera divertida y emocionante, lo mejor es que cada caracol tenga un 𝜇 distinto. Entonces, para que este caracol se deslice hacia abajo de la rampa, el componente del peso que actúa sobre la rampa debe ser más grande que esta fuerza de rozamiento 𝐹 max de aquí. Y cuando eso sucede, obtenemos una aceleración constante, llamémoslo a, hacia abajo de la rampa. Y la segunda ley de Newton nos dice que la fuerza resultante que actúa sobre el caracol cuesta abajo es igual a la masa del caracol multiplicada por su aceleración. Entonces podemos ver que 𝑚𝑔 coseno de 90 menos 𝜃 menos 𝐹 max es igual a la masa del caracol multiplicada por su aceleración. Pero coseno de 90 menos 𝜃 es lo mismo que seno de 𝜃. Y 𝐹 max es igual a 𝜇 veces 𝑅. Y 𝑅 es igual a 𝑚𝑔 cos 𝜃. Ahora podemos cancelar los 𝑚s a ambos lados de la ecuación. Y podemos ver que la aceleración constante del caracol por la rampa es esta expresión aquí, que es independiente de la masa del caracol, lo que es ligeramente interesante.

Ahora podemos usar una de las ecuaciones de movimiento de Newton, sen la que 𝑠 es la distancia recorrida por el caracol por la rampa en metros, 𝑢 es la velocidad inicial del caracol en metros por segundo, que por supuesto es de cero metros por segundo porque lo que hicimos fue colocar el caracol en la parte superior de la pendiente. Entonces, cero por el tiempo que tarda va a hacer que este término sea igual a cero. Y podemos usar la expresión que acabamos de elaborar para la aceleración.

Y luego, dado que todos los caracoles se deslizan por la misma rampa, la misma distancia, según el mismo ángulo, con la misma gravedad, lo único que varía, es este coeficiente de fricción para cada uno de los caracoles. Dado que nuestra pendiente física se ve así, podemos ver en la fórmula que el caracol con el más pequeño 𝜇 se deslizará por la rampa más rápido. Lo que me hace pensar en posiblemente el peor chiste matemático de todos los tiempos. ¿Qué gato se desliza más rápido por la pendiente? El de menor 𝜇. Así que, llegados a este punto, creo que lo mejor será que volvamos al tema que nos ocupa, el problema de las carreras de caracoles de juguete.

Con carreras que consisten en no más de cinco caracoles a la vez, y sin usar cronómetro, es decir, simplemente anotando las posiciones finales en cada carrera, ¿cuál es el número mínimo de carreras necesarias para hallar el caracol más rápido, y el segundo y el tercero?

Lo cierto es que no sabemos el valor de 𝜇 de ninguno de los caracoles. Ni tampoco el ángulo de la rampa. Ni su longitud. Afortunadamente, no hace falta saber nada de esto para resolver este problema, solo un poco de lógica. Así que pausa el video ahora. Trata de resolver el problema. Y luego echa un vistazo a nuestra solución.

Bien, entonces podríamos marcar los caracoles con A, B, C, D, E, F, y así sucesivamente hasta W, X y Y. Luego, colocar de A hasta E en la primera carrera y ver quién termina primero, segundo, y tercero. Seguidamente, sustituiríamos los caracoles que terminaron cuarto y quinto por F y G. Y los haríamos correr a ver quién termina primero, segundo y tercero. Luego, quitaríamos los caracoles que terminaran en cuarto y quinto lugar y los sustituiríamos por los caracoles H e I. Luego, los haríamos correr y reemplazaríamos los dos caracoles más lentos por J y K, y así sucesivamente. Haciendo todo esto, al final de la undécima carrera, conoceríamos los tres caracoles más rápidos.

¿Pero, es posible, hacer esto con menos de 11 carreras? Lo tentador ahora es decir que podríamos hacer cinco carreras y luego enfrentar a los ganadores de cada carrera en una gran final. Ahora bien, así identificaríamos sin duda el caracol más rápido. Pero no hallaríamos necesariamente ni el segundo ni el tercero. Por ejemplo, si A, B y C fueran los tres caracoles más rápidos en general, entonces habríamos rechazado dos de ellos para la gran final bajo ese sistema. Así que seis carreras no son la respuesta. Pero si analizamos cuidadosamente los resultados después de colocarlos en una tabla como esta, donde las filas son las carreras y las columnas indican la posición, entonces tal vez podamos obtener más información de la que pensamos al principio.

Ahora, obviamente, dependiendo de la velocidad de los caracoles, estas letras aparecerán en diferentes órdenes. Pero se puede ver aquí, que, en la primera carrera, el caracol A termina primero, C segundo, D tercero, E cuarto y B quinto. Y eso nos dice que E y B, no pueden estar entre los tres primeros caracoles de todo el grupo. Asimismo, en la segunda carrera, los caracoles G y J terminaron cuarto y quinto. Tampoco pueden estar entre los tres caracoles más rápidos. Y, de la misma manera, cualquier caracol que haya terminado cuarto o quinto en su carrera no puede ser uno de los tres caracoles más rápidos. Ahora bien, la fila seis es la carrera de los ganadores. Y podemos ver que el caracol A, no solo venció a todos en su primera carrera, sino que también venció a todos los ganadores de la carrera final. Así que el caracol A debe ser el caracol más rápido en general.

Ahora también podemos ver en esto que el caracol V terminó cuarto en esa carrera. Por consiguiente, si no es uno de los tres primeros, entonces un caracol más lento que V tampoco es uno de los tres primeros. Así que podemos descontar V, U y W de nuestro cómputo. Lo mismo pasa con P, que terminó último en la carrera de ganadores. Así que cualquier caracol más lento que P no podrá estar en el podio. ¿Qué pasa con el caracol H? Terminó tercero en la carrera de ganadores. Por lo tanto, en el mejor de los casos, podría ser el tercer caracol más rápido de todo el grupo. Así que cualquier caracol más lento que H no puede estar entre los tres primeros. Así que eso descarta F y I.

Fijémonos, ahora en el caracol O, que, en el mejor de los casos, podría ser el segundo caracol más rápido del grupo. Los contendientes para el tercer caracol más rápido serán H, que terminó justo detrás de él en la carrera de ganadores, y N, que terminó justo detrás de él en la carrera original. K, que terminó dos lugares detrás de él en la carrera original, no podrá ser el tercer caracol más rápido. Finalmente, fijémonos en el caracol A, que sabemos que es el más rápido. Tenemos pues, cinco opciones para el segundo y tercer lugar.

Así que ahora sí podemos hacer una carrera final, la séptima carrera. Y el ganador de esa carrera será el segundo caracol más rápido del grupo. Y el segundo en esa carrera será el tercer caracol más rápido en general. Vemos, pues, que seis carreras no son suficientes para determinar qué caracol debe ocupar el primer, segundo y el tercer lugar del grupo. Sin embargo, un análisis cuidadoso y esa séptima carrera nos han permitido hallar los tres caracoles más rápidos del grupo. Ahora bien, si esto lo intentas de verdad con un grupo de 25 caracoles de juguete, el orden de las letras que obtengas probablemente será diferente del orden de las letras que obtuvimos aquí. Pero el proceso de hacer cinco carreras iniciales, una sexta carrera con los ganadores, y luego el análisis que llevamos a cabo seguido por una séptima carrer, es lo que nos ha permitido hallar el caracol más rápido del grupo, así como el segundo y el tercero más rápidos.

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