V铆deo de la lecci贸n: Integraci贸n indefinida: la funci贸n exponencial y la funci贸n de proporcionalidad inversa Matemáticas • Educación superior

En este v铆deo vamos a aprender c贸mo hallar la integral indefinida de la funci贸n exponencial y de la funci贸n de proporcionalidad inversa (1/饾懃).

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Integraci贸n indefinida: la funci贸n exponencial y la funci贸n de proporcionalidad inversa

En este v铆deo vamos a aprender c贸mo hallar la integral indefinida de la funci贸n exponencial y de la funci贸n de proporcionalidad inversa. Para ello vamos a recordar dos de los resultados de la derivada que se refieren a funciones exponenciales y funciones de proporcionalidad inversa. Seguidamente, usaremos estos resultados de la derivada para hallar la antiderivada (primitiva) de la funci贸n exponencial y de la funci贸n de proporcionalidad inversa. En concreto, vamos a aprender c贸mo hallar la integral indefinida de funciones exponenciales de la forma 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 y funciones de proporcionalidad inversa de la forma 饾憥 dividido entre 饾懃. Para hacerlo, hemos de recordar que, para determinar la integral indefinida de una funci贸n, tenemos que determinar la antiderivada o primitiva de la funci贸n. Y una forma de hacerlo es invirtiendo los resultados de las derivadas. Recordemos que, si 饾憮 de 饾懃 es la funci贸n exponencial 饾憭 elevado a 饾懃, entonces 饾憮 prima de 饾懃 tambi茅n es 饾憭 elevado a 饾懃.

Esto nos dice dos cosas. Primero, nos dice exactamente lo que dice. Si derivamos 饾憭 elevado a 饾懃 obtenemos 饾憭 elevado a 饾懃. Pero tambi茅n nos dice otro resultado: 饾憭 elevado a 饾懃 es una primitiva de 饾憭 elevado a 饾懃. Por lo tanto, 饾憭 elevado a 饾懃 m谩s 饾惗 es la primitiva m谩s general de esta funci贸n exponencial. Es decir, la integral indefinida de 饾憭 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃 es 饾憭 elevado a 饾懃 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗. Ahora podr铆amos pasar a considerar las funciones de proporcionalidad inversa. Pero antes de eso conviene ver primero las dos formas en las que pueden venir expresadas las funciones exponenciales.

Consideremos una funci贸n exponencial de la forma 饾憭 elevado a 饾憥 por 饾懃, donde 饾憥 es una constante real. Ya sabemos c贸mo derivar funciones de este tipo. Debemos recordar que 饾憮 prima de 饾懃 es igual a 饾憥 por 饾憭 elevado a 饾憥饾懃. Lo 煤nico que hemos hecho ha sido multiplicar por el coeficiente de 饾懃. Y, al igual que hemos hecho antes, podemos expresar esto como el resultado de una integral. La integral de 饾憥饾憭 elevado a 饾憥饾懃 con respecto a 饾懃 es 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 m谩s 饾惗. Sin embargo, lo normal es tener funciones de la forma 饾憭 elevado a 饾憥饾懃. As铆 que vamos a eliminar este valor de 饾憥. Para hacerlo, multiplicamos la funci贸n original por uno entre 饾憥, suponiendo que nuestro valor de 饾憥 es distinto de cero. Y obtenemos que 饾憮 prima de 饾懃 es uno entre 饾憥 por 饾憥 por 饾憭 elevado a 饾憥饾懃, que es 饾憭 elevado a 饾憥饾懃.

Por lo tanto, hemos demostrado que uno entre 饾憥 por 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 es una primitiva de 饾憭 elevado a 饾憥饾懃, siempre que 饾憥 tenga un valor distinto de cero, por lo que tambi茅n hemos demostrado que la integral indefinida de 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 con respecto a 饾懃 es uno entre 饾憥 por 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 m谩s 饾惗, siempre que 饾憥 tenga un valor distinto de cero.

Ya hemos visto una forma en la que viene expresada la funci贸n exponencial, ahora vamos a ver la segunda forma antes de pasar a ver las funciones de proporcionalidad inversa. Hasta ahora, las funciones exponenciales que hemos visto ten铆an una base 饾憭; pero veamos lo que sucede si tenemos una base general. Consideremos la funci贸n exponencial 饾憮 de 饾懃 igual a 饾憥 elevado a 饾懃, donde la base debe ser positiva y distinta de uno. Recordemos que 饾憮 prima de 饾懃 es igual a 饾憥 elevado a 饾懃 multiplicado por el logaritmo neperiano de 饾憥. Al igual que hemos hecho antes, podemos expresar esto como el resultado de una integraci贸n. Hemos demostrado que 饾憥 elevado a 饾懃 es una primitiva de 饾憥 elevado a 饾懃 por el logaritmo neperiano de 饾憥.

Por lo tanto, la integral de 饾憥 elevado a 饾懃 por el logaritmo neperiano de 饾憥 con respecto a 饾懃 es igual a 饾憥 elevado a 饾懃 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗, siempre que 饾憥 sea positivo y distinto de uno. Y como 饾憥 no es igual a uno, podemos dividir todo por el logaritmo neperiano de 饾憥. Lo hacemos y obtenemos que la integral indefinida de 饾憥 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃 es igual a 饾憥 elevado a 饾懃 dividido por el logaritmo neperiano de 饾憥 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗. Podemos escribir 饾惗 en ambos casos, pues 饾惗 es una constante arbitraria. Al dividir por el logaritmo neperiano de 饾憥 esto sigue siendo una constante arbitraria, por lo que podemos denotarla con 饾惗 en ambos casos. Pasemos ahora a ver lo que son las funciones de proporcionalidad inversa.

Para determinar la integral indefinida de la funci贸n de proporcionalidad inversa necesitamos hallar una funci贸n cuya derivada sea la funci贸n de proporcionalidad inversa. Para hacerlo, hemos de recordar que, si 饾憮 de 饾懃 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃, entonces 饾憮 prima de 饾懃 es igual a uno entre 饾懃. Por lo tanto, el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 es una antiderivada de uno entre 饾懃, lo que nos dice que la integral indefinida de uno entre 饾懃 con respecto a 饾懃 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s 饾惗. Podemos generalizar un poco este resultado multiplicando nuestra funci贸n original por 饾憥.

Si 饾憮 de 饾懃 es 饾憥 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃, entonces 饾憮 prima de 饾懃 es 饾憥 entre 饾懃, lo que nos dice que, para cualquier constante real 饾憥, la integral de 饾憥 partido por 饾懃 con respecto a 饾懃 es 饾憥 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s 饾惗. Veamos algunos ejemplos en los que vamos a tener que usar estos resultados para hallar la integral de funciones m谩s complejas.

Determina la integral indefinida de ocho por 饾憭 elevado a tres 饾懃 menos 饾憭 elevado a dos 饾懃 m谩s nueve dividido por siete 饾憭 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃.

En esta cuesti贸n se nos pide que calculemos la integral indefinida de una expresi贸n exponencial. Puede que, a primera vista, nos parezca muy dif铆cil calcular esta integral. Una forma de resolverla es haciendo un cambio de variable con 饾憿. Pero antes de eso debemos comprobar si podemos simplificar el integrando. Para hacerlo, dividimos cada t茅rmino en el numerador por el denominador, recordando que, para cada t茅rmino en el numerador, solo tenemos que restar los exponentes de 饾憭. Esto nos da la integral indefinida de ocho entre siete por 饾憭 elevado a dos 饾懃 menos un s茅ptimo de 饾憭 elevado a 饾懃 m谩s nueve entre siete por 饾憭 elevado a menos 饾懃 con respecto a 饾懃.

Ahora vemos que podemos integrar cada t茅rmino en el integrando por separado. As铆 que vamos a descomponer esta integral en tres integrales separadas. Hacemos esto porque sabemos que la integral de la suma de funciones es igual a la suma de sus integrales individuales. Al hacerlo obtenemos lo siguiente. Y vemos que podemos simplificar cada t茅rmino por separado. Sacamos el factor constante fuera de cada integral. Y obtenemos ocho s茅ptimos multiplicado por la integral indefinida de 饾憭 elevado a dos 饾懃 con respecto a 饾懃 menos un s茅ptimo de la integral indefinida de 饾憭 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃 m谩s nueve s茅ptimos de la integral de 饾憭 elevado a menos 饾懃 con respecto a 饾懃.

Ahora ya podemos calcular cada una de estas integrales indefinidas por separado. Para ello, hemos de recordar que, para cualquier constante real 饾憥 distinta de cero, la integral de 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 con respecto a 饾懃 es uno partido entre 饾憥 por 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗. Vamos a hacer uso de esta f贸rmula para calcular cada integral por separado. Comencemos con la primera integral, la integral de 饾憭 elevado a dos 饾懃 con respecto a 饾懃. El valor de 饾憥 es dos. As铆 que sustituimos 饾憥 igual a dos en nuestra regla de la integral. Y obtenemos un medio por 饾憭 elevado a dos 饾懃. Tenemos que multiplicar esto por ocho s茅ptimos. Y como estamos calculando la suma de varias integrales indefinidas, vamos a obtener una constante de integraci贸n para cada una de estas integrales. Pero podemos combinar todas estas constantes arbitrarias en una constante arbitraria al final de nuestra expresi贸n. As铆 que no hace falta que a帽adamos la constante de integraci贸n 饾惗 hasta el final.

Pasemos ahora a calcular nuestra segunda integral. Sabemos que 饾憭 elevado a 饾懃 es lo mismo que 饾憭 elevado a uno por 饾懃. As铆 que el valor de 饾憥 es uno. Aunque todo esto no es necesario en realidad, pues sabemos que la integral de 饾憭 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃 es simplemente 饾憭 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃. Y, si sustituimos 饾憥 igual a uno, obtendremos uno entre uno por 饾憭 elevado a uno 饾懃, que es 饾憭 elevado a 饾懃. Y, al calcular nuestra segunda integral y multiplicar por menos un s茅ptimo, obtenemos menos un s茅ptimo 饾憭 elevado a 饾懃.

Calculemos la tercera integral. Nuestro valor de 饾憥 es menos uno. Sustituimos 饾憥 igual a menos uno en el resultado de la integral, y obtenemos uno partido por menos uno multiplicado por 饾憭 elevado a menos 饾懃. Tenemos que multiplicar esto por nueve s茅ptimos. Y recuerda que a煤n nos queda a帽adir la constante de integraci贸n al final de esta expresi贸n. Podemos simplificar esta expresi贸n un poco. Uno partido entre menos uno es igual a menos uno. Por lo tanto, en lugar de sumar este t茅rmino, podemos restar este t茅rmino. Y tambi茅n podemos ver que en el primer t茅rmino tenemos un factor com煤n de dos en el numerador y en el denominador. Lo cancelamos, y obtenemos un factor de cuatro s茅ptimos.

Esta es nuestra respuesta final. La integral indefinida de ocho 饾憭 elevado a tres 饾懃 menos 饾憭 elevado a dos 饾懃 m谩s nueve, todo partido por siete 饾憭 elevado a 饾懃, con respecto a 饾懃 es igual a cuatro entre siete por 饾憭 elevado a dos 饾懃 menos 饾憭 elevado a 饾懃 partido por siete menos nueve s茅ptimos 饾憭 elevado a menos 饾懃 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗.

En nuestro ejemplo anterior, fuimos capaces de reescribir el integrando de forma que pudimos integrar cada t茅rmino usando nuestras reglas de la integral exponencial. Y, aunque era m谩s dif铆cil, tambi茅n comentamos que pod铆amos haber resuelto el problema haciendo un cambio de variable a 饾憿. Para resolver el siguiente problema vamos a aplicar un procedimiento similar. Vamos a usar el m茅todo de cambio de variable a 饾憿 para transformar nuestro integrando.

Determina la integral indefinida de dos elevado a nueve 饾懃 con respecto a 饾懃.

El enunciado nos pide que calculemos la integral de una funci贸n exponencial. Podemos ver que se parece mucho a uno de nuestros resultados generales que hemos discutido antes. Para cualquier constante positiva 饾憥 distinta de uno, la integral de 饾憥 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃 es igual a 饾憥 elevado a 饾懃 dividido por el logaritmo neperiano de 饾憥 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗. Sin embargo, en este caso, nuestro exponente no es 饾懃; sino nueve 饾懃. As铆 que no podemos aplicar directamente este resultado de la integral. Por lo que hay dos formas de solucionar este problema. Podemos aplicar el m茅todo de sustituci贸n con 饾憿. Haciendo 饾憿 igual a nueve 饾懃. Y esto transformar铆a nuestra integral a esta forma. Pero hay un m茅todo m谩s sencillo.

Podemos aplicar simplemente las propiedades de las potencias. Dos elevado a nueve, todo elevado a 饾懃 es igual a dos elevado a nueve por 饾懃. As铆 que podemos reescribir nuestra integral como la integral de dos a la novena, todo elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃. El valor de 饾憥 aqu铆 es dos a la novena. Y dos elevado a nueve es 512. Pero nos conviene seguir utilizando 饾憥 igual a dos elevado a nueve en el resultado de la integral. Obtenemos dos a la novena, todo elevado a 饾懃, y todo partido por el logaritmo neperiano de dos elevado a nueve, m谩s la constante de integraci贸n 饾惗. Aqu铆 podemos ver por qu茅 es mejor dejar esto como dos a la novena en vez de hallar su valor.

Podemos simplificar el numerador usando las propiedades de las potencias, y simplificamos nuestro denominador usando la propiedad del logaritmo de la potencia. En el numerador tenemos dos a la novena, todo elevado a 饾懃, que es dos elevado a nueve por 饾懃. Luego, en el denominador, la propiedad del logaritmo de la potencia dice que el logaritmo neperiano de dos elevado a nueve es nueve por el logaritmo neperiano de dos, lo que nos da nuestra respuesta final. La integral de dos elevado a nueve 饾懃 con respecto a 饾懃 es dos elevado a nueve 饾懃 dividido por nueve multiplicado por el logaritmo neperiano de dos m谩s la constante de integraci贸n 饾惗.

El m茅todo que hemos usado para resolver este problema tambi茅n sirve para demostrar el resultado de una integral general. Podemos aplicar este m茅todo a la integral indefinida de 饾憥 elevado a 饾憦饾懃 con respecto a 饾懃. Reescribimos nuestro integrando como 饾憥 elevado a 饾憦, todo elevado a 饾懃, y seguidamente usamos el resultado de la integral. A continuaci贸n, usamos las propiedades de las potencias para reescribir el numerador y la propiedad del logaritmo de la potencia para reescribir el denominador. Obtenemos 饾憥 elevado a 饾憦饾懃 dividido por 饾憦 multiplicado por el logaritmo neperiano de 饾憥 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗.

En el siguiente ejemplo nos piden calcular la integral de una funci贸n de proporcionalidad inversa.

Determina la integral indefinida de menos dos dividido por siete 饾懃 con respecto a 饾懃.

En este problema, nos piden que calculemos la integral indefinida de una funci贸n de proporcionalidad inversa. Para hacerlo, hemos de recordar uno de los resultados generales de la integraci贸n. Para cualquier constante real 饾憥, la integral indefinida de 饾憥 partido entre 饾懃 con respecto a 饾懃 es igual a 饾憥 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗. Podemos ver que el valor de 饾憥 ser谩 menos dos s茅ptimos, pero es posible que a veces nos cueste verlo. As铆 que, en vez de eso, vamos a sacar el factor constante de menos dos s茅ptimos fuera de la integral. Haciendo esto, obtenemos menos dos s茅ptimos multiplicado por la integral indefinida de la funci贸n de proporcionalidad inversa, uno entre 饾懃, con respecto a 饾懃.

Y sabemos que la integral de la funci贸n de proporcionalidad inversa es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃. Podemos simplemente recordar esto, o bien sustituir 饾憥 por la unidad en la f贸rmula de la integral. Usando cualquiera de estos m茅todos, podemos obtener que la integral indefinida de menos dos s茅ptimos con respecto a 饾懃 es menos dos s茅ptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s 饾惗. Y es conveniente insistir en que debemos comprobar si nuestra respuesta es correcta usando derivaci贸n. Pues sabemos que hallar la integral indefinida de una funci贸n es simplemente hallar su antiderivada (primitiva) m谩s general. Y esto significa que, cuando derivamos nuestro resultado de integrar con respecto a 饾懃, debemos obtener nuestro integrando.

As铆 que vamos a calcular la derivada de menos dos s茅ptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s 饾惗 con respecto a 饾懃. Comenzamos recordando que la derivada del logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 con respecto a 饾懃 es uno partido entre 饾懃. Por lo tanto, cuando derivamos el primer t茅rmino con respecto a 饾懃, obtenemos menos dos s茅ptimos multiplicado por uno partido de 饾懃. El segundo t茅rmino es una constante, por lo que su tasa de variaci贸n con respecto a 饾懃 es cero. De esta forma obtenemos menos dos s茅ptimos por uno partido entre 饾懃, que se simplifica a menos dos partido por siete 饾懃. Este es nuestro integrando, por lo que hemos confirmado que nuestra respuesta es correcta. As铆 que la integral indefinida de menos dos partido por siete 饾懃 con respecto a 饾懃 es menos dos s茅ptimos multiplicado por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s 饾惗.

En el siguiente ejemplo vamos a hacer uso de las condiciones de contorno para determinar una primitiva espec铆fica de una funci贸n de proporcionalidad inversa.

Halla, si es posible, una antiderivada 饾惞 may煤scula de 饾憮 min煤scula de 饾懃 igual a uno dividido por dos 饾懃 menos uno que satisfaga las condiciones 饾惞 may煤scula calculada en cero igual a uno y 饾惞 may煤scula calculada en uno igual a menos uno.

En este problema se nos pide que hallemos una antiderivada de una funci贸n de proporcionalidad inversa que satisfaga dos condiciones, denominadas condiciones de contorno. Para hacerlo hemos de recordar que podemos determinar las antiderivadas de funciones usando integraci贸n indefinida. En particular, la integral indefinida de uno dividido por dos 饾懃 menos uno con respecto a 饾懃 nos dar谩 la primitiva m谩s general de esta funci贸n. Y ya hemos visto c贸mo integrar una funci贸n de proporcionalidad inversa. Pero, si nos fijamos, podemos ver que, en este caso, el denominador es una funci贸n lineal. As铆 que vamos a aplicar el m茅todo del cambio de variable o sustituci贸n a 饾憿.

Hacemos 饾憿 igual al denominador, dos 饾懃 menos uno. Eso s铆, recordemos que, para integrar usando el m茅todo de sustituci贸n, hemos de hallar una ecuaci贸n que relacione los diferenciales. Y podemos hacer esto derivando ambos lados de nuestra sustituci贸n con respecto a 饾懃. Como dos 饾懃 menos uno es una funci贸n lineal, su derivada con respecto a 饾懃 ser谩 el coeficiente de 饾懃, que es dos. Y ahora, aunque d饾憿 entre d饾懃 no es, en realidad, una fracci贸n, podemos tratarla como una fracci贸n cuando hacemos integraci贸n por sustituci贸n. Esto nos permitir谩 hallar una ecuaci贸n que contenga diferenciales. Obtenemos que un medio d饾憿 es igual a d饾懃.

Ahora podemos usar el m茅todo de integraci贸n por sustituci贸n. De forma que podremos reescribir nuestra integral. Reescribimos el denominador de nuestro integrando como 饾憿, y sustituimos d饾懃 por un medio d饾憿. Obtenemos la integral indefinida de uno entre 饾憿 por un medio con respecto a 饾憿. Y podemos simplificar la integral sacando el factor constante un medio fuera de la integral. Obtenemos un medio por la integral indefinida de uno entre 饾憿 con respecto a 饾憿. Ahora, para calcular esta integral hemos de recordar que la integral de uno entre 饾懃 con respecto a 饾懃 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗. En nuestro caso, nuestra variable es 饾憿. As铆 que obtenemos un medio por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾憿 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗.

Ten en cuenta que no necesitamos multiplicar nuestra constante por un medio, pues un medio por una constante sigue siendo una constante, as铆 que la llamaremos 饾惗. Pero nuestro integrando original est谩 en t茅rminos de 饾懃 y nuestra funci贸n original 饾憮 min煤scula de 饾懃 tambi茅n est谩 en t茅rminos de 饾懃. As铆 que tenemos que reescribir nuestra respuesta para que est茅 en t茅rminos de la variable 饾懃. Lo hacemos usando el m茅todo de cambio de variable a 饾憿. Obtenemos un medio por el logaritmo neperiano del valor absoluto de dos 饾懃 menos uno m谩s 饾惗. En este punto podr铆amos pensar en llamar a esta funci贸n 饾惞 may煤scula y seguidamente sustituir 饾懃 igual a cero y 饾懃 igual a uno y resolver para 饾惗. Sin embargo, aunque este m茅todo normalmente funciona, en este caso no nos sirve porque en realidad estamos usando notaci贸n abreviada.

Estamos trabajando con el logaritmo neperiano del valor absoluto de dos 饾懃 menos uno. Y esta es una funci贸n definida a trozos. Lo que tiene sentido, pues, para derivar el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃, lo hacemos en dos partes. La derivada del logaritmo neperiano de 饾懃 cuando 饾懃 es mayor que cero es uno entre 饾懃, y la derivada del logaritmo neperiano de menos 饾懃 es uno entre 饾懃 cuando 饾懃 es menor que cero. Del mismo modo, nuestro resultado de la integral dar谩 como resultado una funci贸n definida a trozos, dependiendo de si el argumento es positivo o negativo.

As铆 que hemos de expresar esta funci贸n como una funci贸n definida a trozos. Lo hacemos teniendo en cuenta que, cuando 饾懃 es mayor que un medio, dos 饾懃 menos uno ser谩 positivo, y cuando 饾懃 es menor que un medio, dos 饾懃 menos uno ser谩 negativo. Por lo tanto, si nuestro valor de 饾懃 es mayor que un medio, entonces el valor absoluto de dos 饾懃 menos uno es igual a dos 饾懃 menos uno. Y si 饾懃 es menor que un medio, entonces dos 饾懃 menos uno es negativo. Por lo tanto, el valor absoluto de dos 饾懃 menos uno ser谩 menos uno por dos 饾懃 menos uno, que es uno menos dos 饾懃.

Esto nos permite escribir nuestra funci贸n definida a trozos 饾惞 may煤scula de 饾懃. Es igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos 饾懃 menos uno m谩s la constante de integraci贸n que hemos denotado como 饾惗 sub uno cuando 饾懃 es mayor que un medio. Y es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos 饾懃 m谩s la constante de integraci贸n 饾惗 sub dos cuando 饾懃 es menor que un medio. Hemos de tener en cuenta que nuestras constantes de integraci贸n no tienen por qu茅 ser las mismas. Porque, cuando derivamos esta funci贸n, derivaremos cada subfunci贸n por separado en su subdominio. Y las derivadas de estas constantes siempre ser谩n iguales a cero; no importa cu谩les sean sus valores.

Tambi茅n hemos de tener en cuenta que 饾懃 igual a un medio no est谩 incluido en ninguno de los subdominios. As铆 que no tenemos que preocuparnos por este valor al derivar 饾惞 may煤scula de 饾懃. Pues un medio no est谩 en el dominio de nuestra funci贸n original, 饾憮 min煤scula de 饾懃. Ahora podemos determinar los valores de 饾惗 sub uno y 饾惗 sub dos de la cuesti贸n. Comenzamos sustituyendo 饾懃 igual a cero en esta funci贸n. Para sustituir 饾懃 igual a cero en la funci贸n definida por trozos, observamos que cero es menor que un medio, por lo que tenemos que usar nuestra segunda subfunci贸n. Obtenemos que 饾惞 may煤scula calculada en cero es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos por cero m谩s 饾惗 sub dos. El enunciado nos dijo que la funci贸n 饾惞 may煤scula calculada en cero es igual a uno.

Luego, uno menos dos por cero es igual a uno, y el logaritmo neperiano de uno es igual a cero. Por lo tanto, este t茅rmino se simplifica a cero. Hemos demostrado que uno es igual a 饾惗 sub dos. Ahora sustituimos 饾懃 igual a uno en nuestra funci贸n 饾惞 may煤scula para determinar el valor de 饾惗 sub uno. Como uno es mayor que un medio, esto est谩 en el primer subdominio de nuestra funci贸n definida por trozos. Por lo tanto, 饾惞 may煤scula calculada en uno es un medio por el logaritmo neperiano de dos por uno menos uno m谩s 饾惗 sub uno. El enunciado nos dijo que la funci贸n 饾惞 may煤scula calculada en uno es menos uno, y sabemos que dos por uno menos uno es uno. Y el logaritmo neperiano de uno es cero. Por lo tanto, esto se simplifica para darnos que 饾惗 sub uno es igual a menos uno.

Ahora lo 煤nico que nos queda es sustituir los valores de 饾惗 sub uno y 饾惗 sub dos en nuestra funci贸n 饾惞 may煤scula de 饾懃. Y obtenemos lo siguiente. Ten en cuenta que podemos escribir nuestras subfunciones en cualquier orden; pero solemos escribir esto para que el subdominio de la izquierda est茅 en la parte superior. Y como 饾懃 menor que un medio comienza en el lado izquierdo de nuestra recta num茅rica, escribiremos esto en la parte superior de nuestra funci贸n. As铆 obtenemos nuestra respuesta final. 饾惞 may煤scula de 饾懃 es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos 饾懃 m谩s uno cuando 饾懃 es menor que un medio. Y 饾惞 may煤scula de 饾懃 es igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos 饾懃 menos uno menos uno cuando 饾懃 es mayor que un medio.

Veamos los puntos principales que hemos tratado en este v铆deo. En primer lugar, vimos que podemos invertir los resultados de la derivada de las funciones exponenciales para obtener resultados de integrales indefinidas que son equivalentes. Demostramos de esta forma, por ejemplo, que la integral indefinida de 饾憭 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃 es 饾憭 elevado a 饾懃 m谩s 饾惗. Y que, para cualquier constante real 饾憥 distinta de cero, la integral indefinida de 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 con respecto a 饾懃 es igual a uno sobre 饾憥 por 饾憭 elevado a 饾憥饾懃 m谩s 饾惗.

Tambi茅n vimos que, para una constante real positiva 饾憥 distinta de uno, la integral indefinida de 饾憥 elevado a 饾懃 con respecto a 饾懃 es 饾憥 elevado a 饾懃 dividido por el logaritmo neperiano de 饾憥 m谩s 饾惗. Y que podemos invertir otro resultado de la derivada para demostrar que, para cualquier constante real 饾憥, la integral indefinida de 饾憥 partido por 饾懃 con respecto a 饾懃 es 饾憥 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 饾懃 m谩s 饾惗.

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