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Integración indefinida: la función exponencial y la función de proporcionalidad inversa
En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la integral indefinida de la función exponencial y de la función de proporcionalidad inversa. Para ello vamos a recordar dos de los resultados de la derivada que se refieren a funciones exponenciales y funciones de proporcionalidad inversa. Seguidamente, usaremos estos resultados de la derivada para hallar la antiderivada (primitiva) de la función exponencial y de la función de proporcionalidad inversa. En concreto, vamos a aprender cómo hallar la integral indefinida de funciones exponenciales de la forma 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 y funciones de proporcionalidad inversa de la forma 𝑎 dividido entre 𝑥. Para hacerlo, hemos de recordar que, para determinar la integral indefinida de una función, tenemos que determinar la antiderivada o primitiva de la función. Y una forma de hacerlo es invirtiendo los resultados de las derivadas. Recordemos que, si 𝑓 de 𝑥 es la función exponencial 𝑒 elevado a 𝑥, entonces 𝑓 prima de 𝑥 también es 𝑒 elevado a 𝑥.
Esto nos dice dos cosas. Primero, nos dice exactamente lo que dice. Si derivamos 𝑒 elevado a 𝑥 obtenemos 𝑒 elevado a 𝑥. Pero también nos dice otro resultado: 𝑒 elevado a 𝑥 es una primitiva de 𝑒 elevado a 𝑥. Por lo tanto, 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝐶 es la primitiva más general de esta función exponencial. Es decir, la integral indefinida de 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥 más la constante de integración 𝐶. Ahora podríamos pasar a considerar las funciones de proporcionalidad inversa. Pero antes de eso conviene ver primero las dos formas en las que pueden venir expresadas las funciones exponenciales.
Consideremos una función exponencial de la forma 𝑒 elevado a 𝑎 por 𝑥, donde 𝑎 es una constante real. Ya sabemos cómo derivar funciones de este tipo. Debemos recordar que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥. Lo único que hemos hecho ha sido multiplicar por el coeficiente de 𝑥. Y, al igual que hemos hecho antes, podemos expresar esto como el resultado de una integral. La integral de 𝑎𝑒 elevado a 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más 𝐶. Sin embargo, lo normal es tener funciones de la forma 𝑒 elevado a 𝑎𝑥. Así que vamos a eliminar este valor de 𝑎. Para hacerlo, multiplicamos la función original por uno entre 𝑎, suponiendo que nuestro valor de 𝑎 es distinto de cero. Y obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es uno entre 𝑎 por 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥, que es 𝑒 elevado a 𝑎𝑥.
Por lo tanto, hemos demostrado que uno entre 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 es una primitiva de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥, siempre que 𝑎 tenga un valor distinto de cero, por lo que también hemos demostrado que la integral indefinida de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno entre 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más 𝐶, siempre que 𝑎 tenga un valor distinto de cero.
Ya hemos visto una forma en la que viene expresada la función exponencial, ahora vamos a ver la segunda forma antes de pasar a ver las funciones de proporcionalidad inversa. Hasta ahora, las funciones exponenciales que hemos visto tenían una base 𝑒; pero veamos lo que sucede si tenemos una base general. Consideremos la función exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 elevado a 𝑥, donde la base debe ser positiva y distinta de uno. Recordemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥 multiplicado por el logaritmo neperiano de 𝑎. Al igual que hemos hecho antes, podemos expresar esto como el resultado de una integración. Hemos demostrado que 𝑎 elevado a 𝑥 es una primitiva de 𝑎 elevado a 𝑥 por el logaritmo neperiano de 𝑎.
Por lo tanto, la integral de 𝑎 elevado a 𝑥 por el logaritmo neperiano de 𝑎 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥 más la constante de integración 𝐶, siempre que 𝑎 sea positivo y distinto de uno. Y como 𝑎 no es igual a uno, podemos dividir todo por el logaritmo neperiano de 𝑎. Lo hacemos y obtenemos que la integral indefinida de 𝑎 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥 dividido por el logaritmo neperiano de 𝑎 más la constante de integración 𝐶. Podemos escribir 𝐶 en ambos casos, pues 𝐶 es una constante arbitraria. Al dividir por el logaritmo neperiano de 𝑎 esto sigue siendo una constante arbitraria, por lo que podemos denotarla con 𝐶 en ambos casos. Pasemos ahora a ver lo que son las funciones de proporcionalidad inversa.
Para determinar la integral indefinida de la función de proporcionalidad inversa necesitamos hallar una función cuya derivada sea la función de proporcionalidad inversa. Para hacerlo, hemos de recordar que, si 𝑓 de 𝑥 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥, entonces 𝑓 prima de 𝑥 es igual a uno entre 𝑥. Por lo tanto, el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 es una antiderivada de uno entre 𝑥, lo que nos dice que la integral indefinida de uno entre 𝑥 con respecto a 𝑥 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝐶. Podemos generalizar un poco este resultado multiplicando nuestra función original por 𝑎.
Si 𝑓 de 𝑥 es 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥, entonces 𝑓 prima de 𝑥 es 𝑎 entre 𝑥, lo que nos dice que, para cualquier constante real 𝑎, la integral de 𝑎 partido por 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝐶. Veamos algunos ejemplos en los que vamos a tener que usar estos resultados para hallar la integral de funciones más complejas.
Determina la integral indefinida de ocho por 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos 𝑒 elevado a dos 𝑥 más nueve dividido por siete 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥.
En esta cuestión se nos pide que calculemos la integral indefinida de una expresión exponencial. Puede que, a primera vista, nos parezca muy difícil calcular esta integral. Una forma de resolverla es haciendo un cambio de variable con 𝑢. Pero antes de eso debemos comprobar si podemos simplificar el integrando. Para hacerlo, dividimos cada término en el numerador por el denominador, recordando que, para cada término en el numerador, solo tenemos que restar los exponentes de 𝑒. Esto nos da la integral indefinida de ocho entre siete por 𝑒 elevado a dos 𝑥 menos un séptimo de 𝑒 elevado a 𝑥 más nueve entre siete por 𝑒 elevado a menos 𝑥 con respecto a 𝑥.
Ahora vemos que podemos integrar cada término en el integrando por separado. Así que vamos a descomponer esta integral en tres integrales separadas. Hacemos esto porque sabemos que la integral de la suma de funciones es igual a la suma de sus integrales individuales. Al hacerlo obtenemos lo siguiente. Y vemos que podemos simplificar cada término por separado. Sacamos el factor constante fuera de cada integral. Y obtenemos ocho séptimos multiplicado por la integral indefinida de 𝑒 elevado a dos 𝑥 con respecto a 𝑥 menos un séptimo de la integral indefinida de 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 más nueve séptimos de la integral de 𝑒 elevado a menos 𝑥 con respecto a 𝑥.
Ahora ya podemos calcular cada una de estas integrales indefinidas por separado. Para ello, hemos de recordar que, para cualquier constante real 𝑎 distinta de cero, la integral de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido entre 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más la constante de integración 𝐶. Vamos a hacer uso de esta fórmula para calcular cada integral por separado. Comencemos con la primera integral, la integral de 𝑒 elevado a dos 𝑥 con respecto a 𝑥. El valor de 𝑎 es dos. Así que sustituimos 𝑎 igual a dos en nuestra regla de la integral. Y obtenemos un medio por 𝑒 elevado a dos 𝑥. Tenemos que multiplicar esto por ocho séptimos. Y como estamos calculando la suma de varias integrales indefinidas, vamos a obtener una constante de integración para cada una de estas integrales. Pero podemos combinar todas estas constantes arbitrarias en una constante arbitraria al final de nuestra expresión. Así que no hace falta que añadamos la constante de integración 𝐶 hasta el final.
Pasemos ahora a calcular nuestra segunda integral. Sabemos que 𝑒 elevado a 𝑥 es lo mismo que 𝑒 elevado a uno por 𝑥. Así que el valor de 𝑎 es uno. Aunque todo esto no es necesario en realidad, pues sabemos que la integral de 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es simplemente 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥. Y, si sustituimos 𝑎 igual a uno, obtendremos uno entre uno por 𝑒 elevado a uno 𝑥, que es 𝑒 elevado a 𝑥. Y, al calcular nuestra segunda integral y multiplicar por menos un séptimo, obtenemos menos un séptimo 𝑒 elevado a 𝑥.
Calculemos la tercera integral. Nuestro valor de 𝑎 es menos uno. Sustituimos 𝑎 igual a menos uno en el resultado de la integral, y obtenemos uno partido por menos uno multiplicado por 𝑒 elevado a menos 𝑥. Tenemos que multiplicar esto por nueve séptimos. Y recuerda que aún nos queda añadir la constante de integración al final de esta expresión. Podemos simplificar esta expresión un poco. Uno partido entre menos uno es igual a menos uno. Por lo tanto, en lugar de sumar este término, podemos restar este término. Y también podemos ver que en el primer término tenemos un factor común de dos en el numerador y en el denominador. Lo cancelamos, y obtenemos un factor de cuatro séptimos.
Esta es nuestra respuesta final. La integral indefinida de ocho 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos 𝑒 elevado a dos 𝑥 más nueve, todo partido por siete 𝑒 elevado a 𝑥, con respecto a 𝑥 es igual a cuatro entre siete por 𝑒 elevado a dos 𝑥 menos 𝑒 elevado a 𝑥 partido por siete menos nueve séptimos 𝑒 elevado a menos 𝑥 más la constante de integración 𝐶.
En nuestro ejemplo anterior, fuimos capaces de reescribir el integrando de forma que pudimos integrar cada término usando nuestras reglas de la integral exponencial. Y, aunque era más difícil, también comentamos que podíamos haber resuelto el problema haciendo un cambio de variable a 𝑢. Para resolver el siguiente problema vamos a aplicar un procedimiento similar. Vamos a usar el método de cambio de variable a 𝑢 para transformar nuestro integrando.
Determina la integral indefinida de dos elevado a nueve 𝑥 con respecto a 𝑥.
El enunciado nos pide que calculemos la integral de una función exponencial. Podemos ver que se parece mucho a uno de nuestros resultados generales que hemos discutido antes. Para cualquier constante positiva 𝑎 distinta de uno, la integral de 𝑎 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥 dividido por el logaritmo neperiano de 𝑎 más la constante de integración 𝐶. Sin embargo, en este caso, nuestro exponente no es 𝑥; sino nueve 𝑥. Así que no podemos aplicar directamente este resultado de la integral. Por lo que hay dos formas de solucionar este problema. Podemos aplicar el método de sustitución con 𝑢. Haciendo 𝑢 igual a nueve 𝑥. Y esto transformaría nuestra integral a esta forma. Pero hay un método más sencillo.
Podemos aplicar simplemente las propiedades de las potencias. Dos elevado a nueve, todo elevado a 𝑥 es igual a dos elevado a nueve por 𝑥. Así que podemos reescribir nuestra integral como la integral de dos a la novena, todo elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥. El valor de 𝑎 aquí es dos a la novena. Y dos elevado a nueve es 512. Pero nos conviene seguir utilizando 𝑎 igual a dos elevado a nueve en el resultado de la integral. Obtenemos dos a la novena, todo elevado a 𝑥, y todo partido por el logaritmo neperiano de dos elevado a nueve, más la constante de integración 𝐶. Aquí podemos ver por qué es mejor dejar esto como dos a la novena en vez de hallar su valor.
Podemos simplificar el numerador usando las propiedades de las potencias, y simplificamos nuestro denominador usando la propiedad del logaritmo de la potencia. En el numerador tenemos dos a la novena, todo elevado a 𝑥, que es dos elevado a nueve por 𝑥. Luego, en el denominador, la propiedad del logaritmo de la potencia dice que el logaritmo neperiano de dos elevado a nueve es nueve por el logaritmo neperiano de dos, lo que nos da nuestra respuesta final. La integral de dos elevado a nueve 𝑥 con respecto a 𝑥 es dos elevado a nueve 𝑥 dividido por nueve multiplicado por el logaritmo neperiano de dos más la constante de integración 𝐶.
El método que hemos usado para resolver este problema también sirve para demostrar el resultado de una integral general. Podemos aplicar este método a la integral indefinida de 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 con respecto a 𝑥. Reescribimos nuestro integrando como 𝑎 elevado a 𝑏, todo elevado a 𝑥, y seguidamente usamos el resultado de la integral. A continuación, usamos las propiedades de las potencias para reescribir el numerador y la propiedad del logaritmo de la potencia para reescribir el denominador. Obtenemos 𝑎 elevado a 𝑏𝑥 dividido por 𝑏 multiplicado por el logaritmo neperiano de 𝑎 más la constante de integración 𝐶.
En el siguiente ejemplo nos piden calcular la integral de una función de proporcionalidad inversa.
Determina la integral indefinida de menos dos dividido por siete 𝑥 con respecto a 𝑥.
En este problema, nos piden que calculemos la integral indefinida de una función de proporcionalidad inversa. Para hacerlo, hemos de recordar uno de los resultados generales de la integración. Para cualquier constante real 𝑎, la integral indefinida de 𝑎 partido entre 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más la constante de integración 𝐶. Podemos ver que el valor de 𝑎 será menos dos séptimos, pero es posible que a veces nos cueste verlo. Así que, en vez de eso, vamos a sacar el factor constante de menos dos séptimos fuera de la integral. Haciendo esto, obtenemos menos dos séptimos multiplicado por la integral indefinida de la función de proporcionalidad inversa, uno entre 𝑥, con respecto a 𝑥.
Y sabemos que la integral de la función de proporcionalidad inversa es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥. Podemos simplemente recordar esto, o bien sustituir 𝑎 por la unidad en la fórmula de la integral. Usando cualquiera de estos métodos, podemos obtener que la integral indefinida de menos dos séptimos con respecto a 𝑥 es menos dos séptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝐶. Y es conveniente insistir en que debemos comprobar si nuestra respuesta es correcta usando derivación. Pues sabemos que hallar la integral indefinida de una función es simplemente hallar su antiderivada (primitiva) más general. Y esto significa que, cuando derivamos nuestro resultado de integrar con respecto a 𝑥, debemos obtener nuestro integrando.
Así que vamos a calcular la derivada de menos dos séptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝐶 con respecto a 𝑥. Comenzamos recordando que la derivada del logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido entre 𝑥. Por lo tanto, cuando derivamos el primer término con respecto a 𝑥, obtenemos menos dos séptimos multiplicado por uno partido de 𝑥. El segundo término es una constante, por lo que su tasa de variación con respecto a 𝑥 es cero. De esta forma obtenemos menos dos séptimos por uno partido entre 𝑥, que se simplifica a menos dos partido por siete 𝑥. Este es nuestro integrando, por lo que hemos confirmado que nuestra respuesta es correcta. Así que la integral indefinida de menos dos partido por siete 𝑥 con respecto a 𝑥 es menos dos séptimos multiplicado por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝐶.
En el siguiente ejemplo vamos a hacer uso de las condiciones de contorno para determinar una primitiva específica de una función de proporcionalidad inversa.
Halla, si es posible, una antiderivada 𝐹 mayúscula de 𝑓 minúscula de 𝑥 igual a uno dividido por dos 𝑥 menos uno que satisfaga las condiciones 𝐹 mayúscula calculada en cero igual a uno y 𝐹 mayúscula calculada en uno igual a menos uno.
En este problema se nos pide que hallemos una antiderivada de una función de proporcionalidad inversa que satisfaga dos condiciones, denominadas condiciones de contorno. Para hacerlo hemos de recordar que podemos determinar las antiderivadas de funciones usando integración indefinida. En particular, la integral indefinida de uno dividido por dos 𝑥 menos uno con respecto a 𝑥 nos dará la primitiva más general de esta función. Y ya hemos visto cómo integrar una función de proporcionalidad inversa. Pero, si nos fijamos, podemos ver que, en este caso, el denominador es una función lineal. Así que vamos a aplicar el método del cambio de variable o sustitución a 𝑢.
Hacemos 𝑢 igual al denominador, dos 𝑥 menos uno. Eso sí, recordemos que, para integrar usando el método de sustitución, hemos de hallar una ecuación que relacione los diferenciales. Y podemos hacer esto derivando ambos lados de nuestra sustitución con respecto a 𝑥. Como dos 𝑥 menos uno es una función lineal, su derivada con respecto a 𝑥 será el coeficiente de 𝑥, que es dos. Y ahora, aunque d𝑢 entre d𝑥 no es, en realidad, una fracción, podemos tratarla como una fracción cuando hacemos integración por sustitución. Esto nos permitirá hallar una ecuación que contenga diferenciales. Obtenemos que un medio d𝑢 es igual a d𝑥.
Ahora podemos usar el método de integración por sustitución. De forma que podremos reescribir nuestra integral. Reescribimos el denominador de nuestro integrando como 𝑢, y sustituimos d𝑥 por un medio d𝑢. Obtenemos la integral indefinida de uno entre 𝑢 por un medio con respecto a 𝑢. Y podemos simplificar la integral sacando el factor constante un medio fuera de la integral. Obtenemos un medio por la integral indefinida de uno entre 𝑢 con respecto a 𝑢. Ahora, para calcular esta integral hemos de recordar que la integral de uno entre 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más la constante de integración 𝐶. En nuestro caso, nuestra variable es 𝑢. Así que obtenemos un medio por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑢 más la constante de integración 𝐶.
Ten en cuenta que no necesitamos multiplicar nuestra constante por un medio, pues un medio por una constante sigue siendo una constante, así que la llamaremos 𝐶. Pero nuestro integrando original está en términos de 𝑥 y nuestra función original 𝑓 minúscula de 𝑥 también está en términos de 𝑥. Así que tenemos que reescribir nuestra respuesta para que esté en términos de la variable 𝑥. Lo hacemos usando el método de cambio de variable a 𝑢. Obtenemos un medio por el logaritmo neperiano del valor absoluto de dos 𝑥 menos uno más 𝐶. En este punto podríamos pensar en llamar a esta función 𝐹 mayúscula y seguidamente sustituir 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a uno y resolver para 𝐶. Sin embargo, aunque este método normalmente funciona, en este caso no nos sirve porque en realidad estamos usando notación abreviada.
Estamos trabajando con el logaritmo neperiano del valor absoluto de dos 𝑥 menos uno. Y esta es una función definida a trozos. Lo que tiene sentido, pues, para derivar el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥, lo hacemos en dos partes. La derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 cuando 𝑥 es mayor que cero es uno entre 𝑥, y la derivada del logaritmo neperiano de menos 𝑥 es uno entre 𝑥 cuando 𝑥 es menor que cero. Del mismo modo, nuestro resultado de la integral dará como resultado una función definida a trozos, dependiendo de si el argumento es positivo o negativo.
Así que hemos de expresar esta función como una función definida a trozos. Lo hacemos teniendo en cuenta que, cuando 𝑥 es mayor que un medio, dos 𝑥 menos uno será positivo, y cuando 𝑥 es menor que un medio, dos 𝑥 menos uno será negativo. Por lo tanto, si nuestro valor de 𝑥 es mayor que un medio, entonces el valor absoluto de dos 𝑥 menos uno es igual a dos 𝑥 menos uno. Y si 𝑥 es menor que un medio, entonces dos 𝑥 menos uno es negativo. Por lo tanto, el valor absoluto de dos 𝑥 menos uno será menos uno por dos 𝑥 menos uno, que es uno menos dos 𝑥.
Esto nos permite escribir nuestra función definida a trozos 𝐹 mayúscula de 𝑥. Es igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos 𝑥 menos uno más la constante de integración que hemos denotado como 𝐶 sub uno cuando 𝑥 es mayor que un medio. Y es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos 𝑥 más la constante de integración 𝐶 sub dos cuando 𝑥 es menor que un medio. Hemos de tener en cuenta que nuestras constantes de integración no tienen por qué ser las mismas. Porque, cuando derivamos esta función, derivaremos cada subfunción por separado en su subdominio. Y las derivadas de estas constantes siempre serán iguales a cero; no importa cuáles sean sus valores.
También hemos de tener en cuenta que 𝑥 igual a un medio no está incluido en ninguno de los subdominios. Así que no tenemos que preocuparnos por este valor al derivar 𝐹 mayúscula de 𝑥. Pues un medio no está en el dominio de nuestra función original, 𝑓 minúscula de 𝑥. Ahora podemos determinar los valores de 𝐶 sub uno y 𝐶 sub dos de la cuestión. Comenzamos sustituyendo 𝑥 igual a cero en esta función. Para sustituir 𝑥 igual a cero en la función definida por trozos, observamos que cero es menor que un medio, por lo que tenemos que usar nuestra segunda subfunción. Obtenemos que 𝐹 mayúscula calculada en cero es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos por cero más 𝐶 sub dos. El enunciado nos dijo que la función 𝐹 mayúscula calculada en cero es igual a uno.
Luego, uno menos dos por cero es igual a uno, y el logaritmo neperiano de uno es igual a cero. Por lo tanto, este término se simplifica a cero. Hemos demostrado que uno es igual a 𝐶 sub dos. Ahora sustituimos 𝑥 igual a uno en nuestra función 𝐹 mayúscula para determinar el valor de 𝐶 sub uno. Como uno es mayor que un medio, esto está en el primer subdominio de nuestra función definida por trozos. Por lo tanto, 𝐹 mayúscula calculada en uno es un medio por el logaritmo neperiano de dos por uno menos uno más 𝐶 sub uno. El enunciado nos dijo que la función 𝐹 mayúscula calculada en uno es menos uno, y sabemos que dos por uno menos uno es uno. Y el logaritmo neperiano de uno es cero. Por lo tanto, esto se simplifica para darnos que 𝐶 sub uno es igual a menos uno.
Ahora lo único que nos queda es sustituir los valores de 𝐶 sub uno y 𝐶 sub dos en nuestra función 𝐹 mayúscula de 𝑥. Y obtenemos lo siguiente. Ten en cuenta que podemos escribir nuestras subfunciones en cualquier orden; pero solemos escribir esto para que el subdominio de la izquierda esté en la parte superior. Y como 𝑥 menor que un medio comienza en el lado izquierdo de nuestra recta numérica, escribiremos esto en la parte superior de nuestra función. Así obtenemos nuestra respuesta final. 𝐹 mayúscula de 𝑥 es igual a un medio por el logaritmo neperiano de uno menos dos 𝑥 más uno cuando 𝑥 es menor que un medio. Y 𝐹 mayúscula de 𝑥 es igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos 𝑥 menos uno menos uno cuando 𝑥 es mayor que un medio.
Veamos los puntos principales que hemos tratado en este vídeo. En primer lugar, vimos que podemos invertir los resultados de la derivada de las funciones exponenciales para obtener resultados de integrales indefinidas que son equivalentes. Demostramos de esta forma, por ejemplo, que la integral indefinida de 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝐶. Y que, para cualquier constante real 𝑎 distinta de cero, la integral indefinida de 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a uno sobre 𝑎 por 𝑒 elevado a 𝑎𝑥 más 𝐶.
También vimos que, para una constante real positiva 𝑎 distinta de uno, la integral indefinida de 𝑎 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑎 elevado a 𝑥 dividido por el logaritmo neperiano de 𝑎 más 𝐶. Y que podemos invertir otro resultado de la derivada para demostrar que, para cualquier constante real 𝑎, la integral indefinida de 𝑎 partido por 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝐶.
