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Vídeo de la lección: El coseno Matemáticas • Undécimo grado

En este video vamos a aprender cómo usar el coseno para calcular la longitud del cateto contiguo o la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Vamos a aprender también cómo resolver problemas de triángulos, incluidos los que requieren aplicar los teoremas de ángulos en circunferencias para encontrar parte de la información.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a aprender cómo usar el coseno para calcular la longitud del cateto contiguo o la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Antes que nada, vamos a repasar qué es el coseno. Aquí en la pantalla tenemos un diagrama de un triángulo rectángulo. Y hemos elegido uno de los ángulos agudos para marcarlo como 𝜃. Luego hemos etiquetado cada uno de los tres lados de este triángulo con sus nombres en relación con este ángulo 𝜃. Así que tenemos la hipotenusa. Tenemos el cateto opuesto. Y tenemos el cateto contiguo o cateto adyacente. El coseno, o cos, como se abrevia a menudo, es el cociente entre el cateto contiguo o adyacente y la hipotenusa de este triángulo. Así que su definición es que el cos del ángulo 𝜃 es igual al cateto adyacente dividido por la hipotenusa. Y si estamos usando SOHCAHTOA para ayudarnos a recordar las fórmulas, esta es la parte CAH de ese acrónimo. Ahora vamos a ver cómo podemos usar el coseno para calcular la longitud desconocida de lados de triángulos rectángulos.

Aquí está nuestro primer problema.

Nos dan un diagrama de un triángulo rectángulo. Podemos ver que nos han dado la longitud de un cateto y un ángulo. Y nos piden que calculemos 𝑥, que es la longitud del otro cateto. El primer paso en cualquier problema que involucre trigonometría es etiquetar los tres lados del triángulo con sus etiquetas en relación con este ángulo de 28 grados que nos han dado. Así que, usando la primera de cada una de estas palabras, tenemos la hipotenusa, opuesto y adyacente. Ahora mirando esos tres lados, podemos ver que tenemos uno seis centímetros, que es la hipotenusa. Y queremos calcular 𝑥, que es el cateto adyacente. Así que tenemos 𝐴 y 𝐻 involucrados en esta razón. Y si pensamos en SOHCAHTOA, 𝐴 y 𝐻 aparecen junto con C en este acrónimo, y así es como sabemos que es la razón cos la que vamos a necesitar para esta cuestión en particular.

Recordemos pues el coseno. El coseno es el cateto adyacente (contiguo) dividido por la hipotenusa. Lo que vamos a hacer entonces es escribir esta razón. Pero vamos a hacerlo sustituyendo los datos que conocemos. Así que reemplazamos 𝜃, que es el ángulo, con 28. Vamos a reemplazar adyacente con 𝑥 porque esa es su letra en el diagrama. Y reemplazaremos la hipotenusa con seis. Esto nos da cos de 28 igual a 𝑥 sobre seis. Esta es una ecuación que queremos resolver para calcular el valor de 𝑥. Lo primero que debemos tener en cuenta para resolverla es que hay un seis en el denominador. Así que necesitamos multiplicar ambos lados de esta ecuación por seis. Cuando hacemos esto, hallamos 𝑥 igual a seis cos 28. Esto simplemente significa seis multiplicado por cos 28. Pero no utilizamos el signo de multiplicación aquí.

Ahora, vamos a evaluar esto usando una calculadora, asegurándonos de que esté en el modo de grados porque el ángulo en la cuestión se especificó en grados. Al evaluar esto, hallamos que 𝑥 es igual a 5.29768. La cuestión nos pidió hallar este valor a la décima más cercana. Así que necesitamos redondear la respuesta. Y, por lo tanto, obtenemos que 𝑥 es igual a 5.3. Entonces, resumiendo, en esta cuestión, lo que hicimos fue identificar que era la razón coseno la que necesitábamos al etiquetar los lados del triángulo. Luego escribimos esta razón, pero usando la información proporcionada en el enunciado de la cuestión, y después resolvimos la ecuación resultante para calcular el valor faltante 𝑥.

Bien, aquí está el segundo ejemplo que vamos a ver.

Dice, calcula la longitud de la hipotenusa del triángulo 𝐴𝐵𝐶, con dos cifras decimales. Y podemos ver que nos dan un diagrama de un triángulo rectángulo donde tenemos la longitud de un cateto y el tamaño de uno de los ángulos agudos.

Como antes, nuestro primer paso es etiquetar los tres lados en relación con este ángulo de 65 grados. Tenemos sus etiquetas aquí. Y nuevamente podemos ver que es la razón coseno la que vamos a necesitar porque nos han dado la longitud del cateto adyacente. Son 5.1 milímetros. Y es la hipotenusa la que queremos calcular. 𝐴 y H, recuerda, indican que es la razón coseno. Y, como antes, lo que vamos a hacer es escribir la fórmula del coseno. Pero vamos a hacerlo sustituyendo la información que conocemos. Así que 𝜃 se convierte en 65. El adyacente se convierte en 5.1. Y la hipotenusa se convierte en 𝐵𝐶 ya que esa es la notación para este triángulo en particular. Entonces tenemos que cos de 65 es igual a 5.1 sobre 𝐵𝐶. Y esta es una ecuación que necesitamos resolver para calcular el valor de 𝐵𝐶. Es un poco más complicado porque, esta vez, la longitud desconocida está en el denominador de una fracción.

Así que mi primer paso para resolver esta ecuación será multiplicar ambos lados de la ecuación por 𝐵𝐶. Y al hacer esto obtenemos 𝐵𝐶 multiplicado por cos 65 es igual a 5.1. Ahora, queremos despejar 𝐵𝐶. Entonces, el siguiente paso es dividir ambos lados de la ecuación por cos de 65. Porque cos de 65 es simplemente un número. Y es perfectamente válido que hagamos esto. Esto nos da 𝐵𝐶 igual a 5.1 sobre cos de 65. Y ahora es cuando vamos a usar una calculadora para evaluar esto. Y hallamos que 𝐵𝐶 es igual a 12.067 etcétera. Ahora la cuestión nos pide una respuesta con dos cifras decimales.

Así que necesitamos redondear esta respuesta. Necesitamos poner las unidades también, que van a ser milímetros. Y nuestra respuesta final es que la longitud de la hipotenusa 𝐵𝐶 es 12.07 milímetros.

Podemos concluir que el proceso para esta cuestión fue muy similar al anterior. Etiquetamos los tres lados, identificamos la conveniencia de usar la razón coseno, escribimos la fórmula usando la información en la cuestión y luego resolvimos la ecuación resultante. La ecuación fue un poco más compleja esta vez porque la longitud que estábamos buscando estaba en el denominador de una fracción. Por lo tanto, requirió dos pasos para resolverla en lugar de solo uno.

Bien, nuestro siguiente ejemplo parece un poco diferente.

Nos dan una circunferencia. Y nos dicen que 𝐴𝐵 es un diámetro de esta circunferencia. Luego se nos pide que calculemos el radio de esta circunferencia a la centésima más cercana.

Y podemos ver, además, que dentro de esta circunferencia tenemos un triángulo. Y nos dan uno de los ángulos del triángulo que mide 40 grados y la longitud de un lado que mide cuatro centímetros. La pregunta es, ¿es este un triángulo rectángulo? Porque si es así, podemos aplicar trigonometría a este problema. Ahora bien, para determinar si este es un triángulo rectángulo, necesitamos echar mano de algún resultado en otra área de las Matemáticas. Y esta área es la de los teoremas de ángulos inscritos en circunferencias. . Uno de los teoremas principales en este área de ángulos inscritos dice que si tenemos una situación como esta, el ángulo que está en la circunferencia es la mitad del ángulo que está en el centro. Ahora bien, aquí el ángulo en el centro es una recta. Así que son 180 grados. Y, por lo tanto, el ángulo en la circunferencia, el ángulo 𝐴𝐶𝐵, es la mitad de eso. Mide 90 grados, lo que significa que este ángulo aquí es, en efecto, un ángulo recto.

Si tal vez has estudiado los temas en un orden diferente y aún no has visto los teoremas de ángulos en una circunferencia, esperarías que ese ángulo recto estuviera marcado en el diagrama. Pero de una forma u otra, una vez que te hayas familiarizado con los teoremas de ángulos en una circunferencia, podrás deducir tú mismo que el triángulo es rectángulo. Tenemos, en definitiva, un triángulo rectángulo. Y, por lo tanto, podemos usar trigonometría de triángulos rectángulos para resolver este problema. Nuestro primer paso será etiquetar los tres lados de este triángulo con sus nombres, opuesto, adyacente e hipotenusa, en relación con el ángulo de 40 grados. Y lo que podemos ver es que sabemos la longitud del cateto adyacente (o cateto contiguo). Si queremos calcular el radio de esta circunferencia, necesitamos calcular la longitud de 𝐴𝐵, que es el diámetro, y luego dividirlo por dos. En definitiva, necesitamos calcular la hipotenusa. Vemos que A y 𝐻 están involucrados, lo que indica que necesitamos la razón coseno.

Así que, como en las cuestiones anteriores, vamos a escribir la fórmula del coseno correctamente, pero utilizando los datos de esta cuestión en particular. Tenemos que cos del ángulo, que es 40 es igual a cuatro, el adyacente, partido por 𝐴𝐵, la hipotenusa. Lo que tenemos que hacer ahora es resolver esta ecuación para hallar el valor de 𝐴𝐵. Y esto es muy similar a lo que vimos en el ejemplo anterior. 𝐴𝐵 está en el denominador de esta fracción. Así que primero necesitamos multiplicar ambos lados de la ecuación por 𝐴𝐵. Y haciéndolo obtenemos que 𝐴𝐵 multiplicado por cos 40 es igual a cuatro. El siguiente paso es dividir ambos lados de esta ecuación por cos de 40. Obtenemos 𝐴𝐵 igual a cuatro sobre cos 40. Ahora bien, no vamos a evaluar esto todavía porque la cuestión nos pide que calculemos el radio de la circunferencia Y 𝐴𝐵 es el diámetro. Entonces necesitamos reducir esto a la mitad para responder la cuestión.

Así que 𝑟, que estamos usando para representar el radio del círculo, es cuatro sobre cos 40 multiplicado por un medio. Y ahora usamos una calculadora para evaluar esto, y hallamos que 𝑟 es igual a 2.6108 etcétera. La cuestión nos pedía hallar este radio a la centésima más cercana. Así que redondearemos nuestra respuesta. Obtenemos que el radio del círculo es igual a 2.61 centímetros. En esta cuestión, el procedimiento es muy similar a lo que ya hemos visto anteriormente. La única diferencia es que, esta vez, hemos tenido que combinar nuestro conocimiento de trigonometría de triángulos rectángulos con nuestro conocimiento de los teoremas de ángulos en circunferencias para determinar que el ángulo 𝐴𝐶𝐵 era de 90 grados. Y, por lo tanto, podríamos aplicar trigonometría al problema.

Bien, la última cuestión que vamos a ver es una cuestión que no requiere una calculadora.

Tenemos, pues, un diagrama de un triángulo rectángulo. Y nos dicen que usemos la información en la tabla para calcular 𝐵𝐶. Y en la tabla, podemos ver que nos han dado los valores del seno, coseno y tangente de este ángulo de 35 grados.

Cuando trabajamos con trigonometría, casi siempre tenemos acceso a una calculadora porque necesitamos una calculadora para hallar los valores de estas razones seno, coseno y tangente. Hay algunos ángulos particulares, 30 grados, 45 grados y 60 grados, para los cuales estos valores son números radicales bastante sencillos que no se pueden simplificar. Así que puedes hacer trigonometría sin calculadora. Pero la mayoría de las veces la necesitamos. Sin embargo, en esta cuestión han evitado la necesidad de una calculadora al darnos los valores de sen, cos y tan. Y enseguida vamos a ver cómo usar estos datos. El primer paso entonces, como siempre en trigonometría, es etiquetar los tres lados en relación con este ángulo de 35 grados. Así que tenemos las tres etiquetas aquí. Y nuevamente, como con todos los ejemplos en este video, podemos ver que es la razón de coseno la que nos conviene usar ya que conocemos la longitud de la hipotenusa 𝐻. Y estamos buscando 𝐵𝐶, que es el cateto contiguo. Así que el par 𝐴 y 𝐻 nos indica que es la razón coseno la que necesitamos.

Y, como en las cuestiones anteriores, vamos a escribir la fórmula del coseno pero utilizando la información particular de esta cuestión, o sea, reemplazando el ángulo con 35, reemplazando el adyacente con 𝐵𝐶 y reemplazando la hipotenusa con 10. Tenemos entonces que cos de 35 es igual a 𝐵𝐶 sobre 10. Ahora, vamos a resolver esta ecuación para 𝐵𝐶. Así que multiplicamos ambos lados de la ecuación por 10. Y tenemos que 𝐵𝐶 es igual a 10 cos 35. Aquí es donde entra la información en la tabla porque recuerda que no tenemos calculadora. Y al mirar la tabla, vemos que tenemos el valor de cos 35 aquí. Es 0.819. Así que podemos usar ese valor en este paso de la cuestión. Y obtenemos que 𝐵𝐶 es igual a 10 multiplicado por 0.819. Y esa es una multiplicación sencilla que se puede hacer sin una calculadora. Obtenemos finalmente que la longitud de 𝐵𝐶 es 8.19 centímetros.

Ese no es su valor exacto porque cos de 35 no es exactamente 0.819; es un decimal más largo. Pero solo nos lo han dado con tres cifras decimales. Así que este valor para 𝐵𝐶, es exacto a dos cifras decimales o a la centésima más cercana. Esta cuestión solo nos da un ejemplo de cómo usar trigonometría cuando no tenemos acceso a una calculadora.

En resumen, hemos repasado la definición de la razón coseno, que es el cateto adyacente (o sea, contiguo) dividido por la hipotenusa. Y hemos visto cómo aplicar esta razón a cuatro cuestiones diferentes en las que tuvimos que calcular el cateto contiguo o la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

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