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Vídeo de la lección: Números racionales y números irracionales Matemáticas • Octavo grado

En este video, vamos a aprender cómo identificar los números racionales y los números irracionales y cómo distinguir entre ellos.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo identificar los números racionales y los números irracionales y cómo distinguir entre ellos. Vamos a comenzar repasando los diferentes tipos o conjuntos de números que debemos conocer. El conjunto más grande de números con el que se trabaja en este nivel es el conjunto de los números reales. Y el conjunto más pequeño es el conjunto de los números de contar, que son los números uno, dos, tres, etcétera. El siguiente conjunto es el conjunto de los números naturales, que son los números de contar, junto con el número cero. El siguiente conjunto es el conjunto de los números enteros, que incluye estos números y también los negativos de los números de contar.

Los dos conjuntos en que nos vamos a centrar hoy son el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Podemos ver que esto dos conjuntos están incluidos en el conjunto de los números reales. Pero, para hacer este diagrama más preciso debemos mostrar que el conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales, ya que no hay ningún número real que no esté en el conjunto de números racionales o en el conjunto de los números irracionales. A continuación, vamos a ver lo que significa exactamente que un número sea racional o que sea irracional.

Comenzando con los números racionales, un número racional es un número que puede ser expresado como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Vamos a desglosar esta definición y a analizar cada parte para ver qué significa. Para que un número sea racional, tenemos que poder escribir el número como una fracción. Se nos dice que 𝑝 y 𝑞 en nuestra fracción han de ser números enteros. Recordemos que un número entero es un número que no tiene parte fraccionaria o decimal, pero los negativos de los números de contar y cero están en el conjunto de los números enteros. Nos dicen que 𝑞 no puede ser igual a cero. Ese es nuestro denominador, así que no podemos tener cero en el denominador. Echemos un vistazo a algunos números y veamos si podemos determinar si son racionales o no.

Comenzando con el número natural cinco, esto no es una fracción 𝑝 sobre 𝑞, pero ¿podemos escribirlo como una fracción? Recuerda que podemos escribir cualquier número entero como una fracción con el número uno como denominador. Y aquí tenemos 𝑝 y 𝑞 que son números enteros. También tenemos las fracciones equivalentes 100 sobre 20 y menos 20 sobre menos cuatro, y ambas son claramente números racionales. Por lo tanto, nuestro valor cinco es un número racional. ¿Y la fracción un cuarto? ¿Es racional? Podemos comprobar en nuestra fracción de 𝑝 sobre 𝑞, que es uno sobre cuatro, que uno y cuatro son números enteros, y cuatro no es igual a cero. Por lo tanto, un cuarto es racional.

El valor decimal a continuación, menos 3.75, no es una fracción. Pero ¿podemos escribirlo como una fracción? Quizás recuerdes que podemos escribir esto como el número mixto menos tres con 75 sobre 100. Podemos simplificarlo aún más a menos tres con tres cuartos. Y luego escribirlo como la fracción menos 15 sobre cuatro. Y ahora tenemos esto en forma de fracción 𝑝 sobre 𝑞. Y puesto que tanto menos 15 como cuatro son ambos números enteros, hemos demostrado que menos 3.75 es un número racional.

Nuestro siguiente ejemplo es el número decimal 0.3 periódico. Podemos escribirlo como la fracción un tercio. En este caso, tanto nuestro numerador como nuestro denominador son números enteros y, por lo tanto, 0.3 periódico es un número racional. Y, finalmente, echemos un vistazo a la raíz cuadrada de 25. Como 25 es un número cuadrado o un cuadrado perfecto, podemos escribirla como cinco. Y ya hemos visto que cinco es un número racional.

Por lo visto hasta aquí, parece que hay un montón de números racionales. Hemos visto que los números enteros y las fracciones son racionales, al igual que los decimales exactos como nuestro menos 3.75. También el decimal periódico 0.3 es racional. Y la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es racional. Entonces, ¿qué números no son racionales? Podríamos explorar las pistas que nos ofrecen estas tres últimas categorías, pero mejor veamos con detenimiento los números que no son racionales.

Los números que no son racionales se llaman números irracionales. Eso significa que no se pueden escribir como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Es posible que recuerdes el diagrama que vimos anteriormente que mostraba que podemos descomponer el conjunto de los números reales en el conjunto de los números racionales y el conjunto de los número irracionales, lo que significa que un número puede ser escrito o no en forma fraccionaria, 𝑝 sobre 𝑞.

Veamos algunos números más y determinemos si son irracionales. Quizás el número irracional más famoso es 𝜋. Pero ¿por qué es irracional? La aproximación decimal de 𝜋 es 3.141592654, etcétera, pero ocurre que las cifras decimales no terminan ni se repiten periódicamente. Y, por lo tanto, no podemos escribirlo en forma de fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros, así que 𝜋 es irracional. Probablemente, has visto 𝜋 como 22 sobre siete, pero esta es una aproximación en forma de fracción, y no es el valor exacto de 𝜋. Consideremos otro ejemplo ilustrativo, el número decimal 0.3030030003, etcétera. Aunque las cifras decimales aquí siguen una secuencia sencilla, no es una secuencia periódica. Y como las cifras decimales ni terminan ni se repiten periódicamente, no es posible escribir el número como una fracción 𝑝 sobre 𝑞. Por lo tanto, este número es un número irracional.

Para nuestro siguiente ejemplo, veamos la raíz cuadrada de 11. Vimos anteriormente que la raíz cuadrada de un número cuadrado es un número entero, y, por lo tanto, racional. Sin embargo, puesto que 11 no es un número cuadrado, se trata de la raíz cuadrada de un cuadrado no perfecto. La expresión decimal de este número tendrá cifras decimales que no se repiten ni terminan, lo que significa que no se puede escribir como una fracción. Y, por lo tanto, la raíz cuadrada de 11 es un número irracional. Entonces, ¿qué tal la raíz cuadrada de cinco partido por dos? Esto tiene buena pinta porque se trata de una fracción. Sin embargo, nuestro numerador, la raíz cuadrada de cinco, no es un número entero, lo que no se ajusta a la regla de que para nuestra fracción 𝑝 sobre 𝑞, tanto 𝑝 como 𝑞 deben ser valores enteros. Por lo tanto, la raíz cuadrada de cinco sobre dos es un número irracional.

Veamos algunos ejemplos de cuestiones que incluyen números racionales e irracionales. Y en cada una de ellas, haremos uso de la definición de número racional. Así que, con suerte, al final del video, tendremos una comprensión mucho mayor de cada parte de esta definición.

El número 0.456 periódico, ¿es un número racional o irracional?

Recordemos que un número racional se puede expresar como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Un número irracional es simplemente un número que no es racional. Para verificar si 0.456 periódico es un número racional, necesitamos comprobar si podemos escribirlo como una fracción 𝑝 sobre 𝑞. De hecho, utilizando un método sencillo, vamos a ser capaces de expresar este decimal periódico como una fracción. Para aplicar el método, primero definimos una variable 𝑥 que es igual a 0.456 periódico. Decimos que 𝑥 es igual a 0.456456456, etcétera. En el siguiente paso, creamos otro número que tiene los mismos dígitos decimales que 𝑥. Como tenemos tres dígitos que se repiten, tenemos que multiplicar por 10 a la tercera potencia, o sea, tenemos que multiplicar por 1000. De modo que tendremos 1000𝑥 igual a 456,456456, etcétera.

Hemos obtenido dos números que tienen las mismas cifras decimales. Y, por lo tanto, si calculamos 1000𝑥 menos 𝑥, esto nos dará 456, ya que cada cifra decimal se restará de otra de igual valor. Continuando con nuestro cálculo, obtenemos que 999𝑥 es igual a 456. Y si reorganizamos dividiendo ambos lados por 999, obtendremos que 𝑥 es igual a 456 sobre 999. Y como habíamos definido 𝑥 como 0.456 periódico, hemos demostrado que este número decimal se puede escribir como una fracción. Como tanto el numerador como el denominador son números enteros y el denominador no es igual a cero, esto se ajusta a la definición de un número racional. En conclusión, 0.456 periódico es un número racional.

¿Es la raíz cuadrada de dos un número racional o irracional?

Comencemos recordando qué es un número racional. Un número racional es un número que se puede expresar como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Y un número irracional es un número que no es racional. Aquí tenemos la raíz cuadrada de dos. Sabemos que la raíz cuadrada de dos se encuentra entre la raíz cuadrada de uno y la raíz cuadrada de cuatro, ya que uno y cuatro son los números cuadrados más cercanos. El valor positivo de la raíz cuadrada de uno es uno y el valor positivo de la raíz cuadrada de cuatro es dos.

Usando una calculadora, obtenemos que la raíz cuadrada de dos es igual a 1.414213562, etcétera. Este número decimal no es periódico. Y, por supuesto, también podemos ver que no es exacto. Por lo tanto, no podemos obtener una fracción para expresar este decimal que representa la raíz cuadrada de dos, lo que significa que este número no encaja en la definición de número racional, así que la raíz cuadrada de dos es un número irracional.

En el siguiente ejemplo, vamos a ver un problema y tenemos que probar si el resultado de un cálculo es racional o irracional.

Según la Casa de la Moneda de los Estados Unidos, el diámetro de un cuarto es 0,955 pulgadas. La circunferencia del cuarto es el diámetro multiplicado por 𝜋. ¿Es la circunferencia de un cuarto un número entero, un número racional o un número irracional?

Aquí tenemos un cuarto. Nos dicen que su diámetro es de 0.955 pulgadas. Esa es la distancia desde un punto de su circunferencia al punto opuesto a través del centro. Y nos dicen que la circunferencia es igual a 𝜋 veces el diámetro. Podemos decir que la circunferencia de este cuarto es 0.955𝜋. Se nos pide que determinemos si es un número entero, un número racional o un número irracional. Recordemos que una aproximación decimal para 𝜋 comienza con 3.141592654, etcétera. Y, por lo tanto, cuando multiplicamos eso por 0.955, definitivamente no obtendremos un número entero. Echemos otra ojeada a los números racionales.

Un número racional se puede expresar como una fracción 𝑝 sobre 𝑞 donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Si no podemos expresar un número como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, entonces es irracional. Podemos decir, simplemente, que un número irracional es un número que no es racional. Recordemos que 𝜋 es un número irracional. Y eso se debe a que no podemos expresarlo como una fracción 𝑝 sobre 𝑞. Sabemos que este es el caso porque las cifras decimales de 𝜋 ni terminan ni se repiten periódicamente. Así que, aquí tenemos 𝜋, un número irracional, multiplicado por 0.955, que es un número racional. Podemos decir que es racional porque equivale a la fracción 955 sobre 1000.

Y, por lo tanto, estamos multiplicando un número racional por un número irracional, y esto da como resultado un número irracional, lo cual es cierto para todos los casos excepto cuando el número racional es cero. Por lo tanto, nuestra respuesta es que la circunferencia del cuarto, 0.955𝜋, es un número irracional.

Ahora vamos a resolver una última cuestión, y es posible que desees pausar el video una vez hayas visto la cuestión para hacer un intento primero.

Un cuadrado de 𝑥 centímetros de lado tiene un área de 280 centímetros cuadrados. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre 𝑥 es verdadera? Es un número entero. Es un número natural. Es un número racional. Es un número irracional. O, es un número negativo.

Comencemos dibujando nuestro cuadrado. Como es un cuadrado, sabemos que la longitud de cada uno de los cuatro lados es 𝑥 centímetros. Nos dicen que el área es de 280 centímetros cuadrados. Y dado que hallamos el área de un cuadrado multiplicando la longitud por la longitud, sabemos que 𝑥 al cuadrado es igual a 280. Por lo tanto, hallamos 𝑥 sacando la raíz cuadrada de ambos lados, lo que significa que 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 280. ¿Qué podemos decir sobre 𝑥?

Comencemos mirando el valor de 280. Si calculamos el valor de algunos números cuadrados que están cerca de 280, veremos que 16 al cuadrado es igual a 256 y 17 al cuadrado es igual a 289. Por lo tanto, 280 no es un cuadrado perfecto, es decir, no es un número cuadrado. Y su raíz cuadrada no tendrá un valor entero. Si usamos una calculadora, obtendremos una aproximación decimal de 16.73320053, etcétera.

Veamos algunas de las opciones de respuesta. Un número entero no tiene parte fraccionaria ni dígitos después del punto decimal, así que la raíz cuadrada de 280 no es un número entero. Un número natural es cero o un entero positivo. Los números naturales son los números de conteo, uno, dos, tres, etc., junto con el cero. El conjunto de los números naturales está dentro del conjunto de los números enteros. Si no es un número entero, tampoco es un número natural.

Recordemos que un número racional se puede escribir en la forma 𝑝 sobre 𝑞 donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. ¿Podemos escribir la raíz cuadrada de 280, que es el decimal 16.73320053, etcétera, como una fracción 𝑝 sobre 𝑞? Y la respuesta es no, no podemos. Una forma rápida de comprobar si un número decimal es racional es ver si es exacto o periódico. Cualquiera de estos significaría que el número decimal es un número racional. Pero dado que nuestro valor no cumple esta condición, entonces no es racional.

Pasando a nuestra siguiente opción, recuerda que un número irracional es un número que no es racional. Cabe señalar que esto solo es así si nos limitamos al conjunto de los números reales, que es lo que estamos haciendo aquí. Como hemos establecido que no es un número racional, esto significa que nuestro valor debe ser irracional. Parece que tenemos nuestra respuesta aquí, pero aún así, comprobemos la opción (E).

¿Puede la raíz cuadrada de 280 ser un número negativo? De hecho, podría ocurrir porque la raíz cuadrada de 280 puede ser 16.733, etcétera, y también menos 16.733, etcétera. Pero podemos descartar que se trate de un número negativo simplemente por el contexto de la pregunta. En realidad, no podemos tener un cuadrado que tenga un lado de longitud negativa y, por lo tanto, no puede ser la opción (E). Así que nuestra respuesta final para 𝑥 es que es un número irracional.

Resumamos lo que hemos aprendido en este video. Hemos visto que un número racional es un número que se puede expresar como una fracción 𝑝 sobre 𝑞, donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros y 𝑞 no es igual a cero. Por ejemplo, dos tercios, menos 1.75, 4.22 periódico y la raíz cuadrada de 25 son todos números racionales.

Si tenemos un número decimal y queremos saber si es racional, entonces, es racional si y solo si es un decimal exacto o periódico. Si tenemos una raíz cuadrada, hemos de comprobar si se trata de la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. Si es así, es un número racional.

Y finalmente, hemos aprendido que un número irracional es un número que no es racional. Los números 𝜋, raíz cuadrada de dos, y 0.303003 etcétera, son todos números irracionales. Y ahora ya debes ser capaz de identificar los números racionales y los irracionales.

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