Vídeo: Calcular ángulos resolviendo ecuaciones sencillas y aplicando propiedades de los cuadriláteros

Del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 se sabe que 𝑚∠𝐴 = 165°, 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 4𝑥°, 𝑚∠𝐵𝐶𝐷 = 4𝑥° y 𝑚∠𝐶𝐷𝐴 = 5𝑥°. ¿Cuánto vale 𝑥?

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Transcripción del vídeo

Del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 se sabe que el ángulo 𝐴 mide 165 grados, la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶 es igual a cuatro 𝑥 grados, la medida del ángulo 𝐵𝐶𝐷 también es igual a cuatro 𝑥 grados, y la medida del ángulo 𝐶𝐷𝐴 es igual a cinco 𝑥 grados. ¿Cuánto vale 𝑥?

Bien, tenemos un dibujo del cuadrilátero, así que podemos colocar en el dibujo las medidas que nos da la pregunta. La medida del ángulo 𝐴 es 165 grados, es esta de aquí, la medida del ángulo ABC, que es este de aquí, es cuatro 𝑥 grados, la medida del ángulo BCD, que es este de aquí, es también cuatro 𝑥 grados y la medida del ángulo CDA, que es este de aquí, es cinco 𝑥 grados.

Necesitamos, pues, hallar el valor de 𝑥. Lo primero que necesitamos saber es la suma de los ángulos interiores en un cuadrilátero. Si tomamos un cuadrilátero y seleccionamos un vértice, podemos dividir el cuadrilátero en dos triángulos.

Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos en un triángulo es 180 grados, de modo que sabemos que este ángulo de aquí más este otro ángulo más este ángulo suman 180 grados. Y también sabemos que este ángulo más este ángulo más este ángulo también suman 180 grados.

Al hacer esto, hemos contado cada ángulo en nuestro cuadrilátero una vez. Y si los tres ángulos rojos suman 180 y los tres ángulos verdes suman 180 grados, entonces los cuatro ángulos rosados han de sumar 180 más 180. Así que la suma de las medidas de los ángulos interiores en un cuadrilátero es 360 grados.

Esto quiero decir que, si sumamos todas las medidas de los ángulos aquí, también obtendremos un total de 360 grados. Lo que quiere decir que 165 más cuatro 𝑥 más cuatro 𝑥 más cinco 𝑥 es igual a 360. Bien, tenemos tres términos que incluyen 𝑥. Tenemos cuatro 𝑥 más otras cuatro 𝑥 más cinco 𝑥, esto nos da ocho 𝑥 más cinco 𝑥, que es igual a trece 𝑥.

Por tanto, 165 más trece 𝑥 es igual a 360. Y queremos saber cuánto vale 𝑥. Tenemos que intentar deshacernos de este 165. Para hacer eso, puedo quitar 165 del lado izquierdo. Pero para mantenerlo la ecuación, también necesito quitar 165 del lado derecho, de lo contrario ya no estarían en equilibrio. Si hago eso a la izquierda, 165 menos es cero, así que eso me deja con trece 𝑥. Y 360 menos 165 son 195.

13𝑥 es igual a 195. Así que 13𝑥 es igual a 195, pero queremos saber el valor de una 𝑥. 13𝑥 significa 13 veces 𝑥. De modo que, si hacemos la operación inversa de multiplicar por 13, que es dividir por 13, obtenemos una 𝑥.

Pero por supuesto, si dividimos el lado izquierdo por 13, tenemos que dividir el lado derecho también por 13, o no habría un balance. Así que 13𝑥 dividido por 13 es exactamente 𝑥, y 195 dividido por 13 es 15. La solución es 𝑥 es igual a 15.

Es siempre una buena idea comprobar nuestras respuestas, así que, volvamos y hagamos eso. Este ángulo aquí, cuatro 𝑥, cuatro por 15, bien dos por 15 es 30 y dos veces 30 es 60, entonces son 60 grados. Esto también es 60 grados. Y cinco por 15 es 75, así que este es 75 grados.

La suma de los ángulos interiores de nuestro cuadrilátero es 165 más 65 más 65 más 75. Bien, 165 más 75 es igual a 240, y 60 más 60 son 120. De modo que nuestro total es 240 más 120, que es 360 grados. Bueno, esto suena correcto. Esa es la suma correcta de las medidas de los ángulos interiores en un cuadrilátero.

Entonces, parece que tenemos una respuesta creíble y, con suerte, correcta.

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