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Vídeo de la lección: Ecuaciones de un paso: multiplicación y división Matemáticas • Sexto grado

En este video, vamos a aprender cómo escribir y resolver ecuaciones de multiplicación y división de un solo paso en una variedad de cuestiones, incluyendo problemas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo escribir y resolver ecuaciones de multiplicación y división de un solo paso en una variedad de cuestiones, incluyendo problemas. Antes de comenzar con los ejemplos, vamos a familiarizarnos con el vocabulario. Vamos a usar algunas de estas palabras y definiciones de la siguiente manera. Primero, veamos el significado de ecuación lineal o de primer grado. Esta es una ecuación cuyos lados dan rectas al ser graficados. Por ejemplo, 𝑥 más dos igual a cinco. 𝑥 menos siete es igual a tres. Dos 𝑥 igual a 10. Y 𝑥 dividido por tres igual a cuatro.

Tengamos en cuenta que las ecuaciones pueden contener cuatro operaciones diferentes: suma, resta, multiplicación y división. Para el propósito de este video, nos centraremos en aquellas ecuaciones que contienen solamente multiplicación y división. Además, este video solo tratará con ecuaciones de un paso y no ecuaciones de dos pasos o de múltiples pasos, las cuales veremos más adelante. Una ecuación de un paso es una ecuación que requiere solo una operación para ser resuelta. En este video en particular, esta operación será una multiplicación o una división.

A lo largo de este video vamos a hablar de operaciones recíprocas o inversas. Estas son operaciones que deshacen otras operaciones. El recíproco o inverso de sumar es restar. El recíproco de multiplicar es dividir y viceversa. Este es un punto clave en el que haremos énfasis en este video. Sabemos que cuatro multiplicado por tres es igual a 12. También sabemos que 12 dividido por tres es igual a cuatro.

Dividir ambos lados de la primera ecuación por tres nos da la segunda ecuación. Esto se debe a que los treses de la izquierda se cancelarían ya que tres dividido por tres es igual a uno. Y nos quedamos con que cuatro es igual a 12 dividido por tres. No podemos olvidar que cualquier operación que hagamos en un lado de la ecuación, también debemos hacerla en el otro lado. Debemos realizar la misma operación en ambos lados del signo igual ya que esto asegura el balance de la ecuación. Al principio de este video mencionamos que una parte esencial sería resolver ecuaciones. Esto implica hallar el valor de 𝑥 —o sea, de la incógnita— que hace la ecuación verdadera.

Veamos algunos ejemplos, en el primero de los cuales se trata de resolver una ecuación lineal de multiplicación de un paso.

Antonio compró cinco barras de chocolate del mismo tipo y del mismo precio. Sabiendo que 𝑓 es el precio de cada barra de chocolate, resuelve cinco 𝑓 igual a 25 para determinar 𝑓.

En esta pregunta nos dicen que Antonio compró cinco barras de chocolate por el mismo precio. La letra 𝑓 representa el precio de una barra. Por lo tanto, el precio de cinco barras es igual a cinco 𝑓. Nuestra ecuación es igual a 25. El costo total de cinco barras es igual a 25. En este caso no nos han dado la moneda. Así que no debemos preocuparnos si los 25 son pesos, dólares o cualquier otra moneda.

Nos piden resolver la ecuación para determinar 𝑓. Este es un ejemplo de una ecuación de un paso porque solo necesitamos realizar una operación para resolverla. Recordemos que cuando resolvemos una ecuación, necesitamos realizar la misma operación en ambos lados. Esto mantiene el balance de la ecuación. En este caso, vamos a dividir ambos lados de la ecuación por cinco. Hacemos esto porque multiplicar por cinco y dividir por cinco son operaciones recíprocas o inversas.

Cinco 𝑓 dividido por cinco es igual a 𝑓. Los cincos se cancelan ya que cinco dividido por cinco es igual a uno. 25 dividido por cinco es igual a cinco. Esto significa que el valor de 𝑓 en la ecuación cinco 𝑓 igual a 25 es cinco. En el contexto de esta pregunta, el precio de cada barra de chocolate es de cinco unidades monetarias.

Veamos ahora nuestro segundo ejemplo, en el que también necesitamos escribir y después resolver una ecuación de un paso.

Jaime tarda cinco veces lo que tarda Olivia en llegar a su trabajo. Sabiendo que Jaime tarda 70 minutos en llegar a su trabajo, escribe una ecuación para el tiempo 𝑥 que tarda Olivia en llegar a su trabajo. Después resuelve la ecuación.

En esta pregunta necesitamos escribir una ecuación y después resolverla. Nos dicen que Olivia tarda 𝑥 minutos en llegar a su trabajo. Y Jaime tarda cinco veces lo que tarda ella. Cinco multiplicado por 𝑥 es igual a cinco 𝑥. Por tanto, Jaime tarda cinco 𝑥 minutos en llegar a su trabajo. También nos dicen que el trayecto de Jaime tiene una duración de 70 minutos. Esto significa que tenemos una ecuación de primer grado, cinco 𝑥 igual a 70.

abiendo escrito la ecuación, podemos pasar a la segunda parte de la pregunta, que es resolverla. Sabemos que el recorrido de Jaime dura 70 minutos. Y necesitamos resolver la ecuación cinco 𝑥 igual a 70 para hallar la duración del recorrido de Olivia. Esta es una ecuación de un solo paso porque solo tenemos que hacer una operación para resolverla. Recordemos que tenemos que realizar la misma operación en ambos lados de la ecuación. En este caso, vamos a dividir por cinco. Dividir por cinco es el inverso o recíproco de multiplicar por cinco.

Cinco 𝑥 dividido por cinco es igual a 𝑥 ya que los cincos se cancelan. 70 dividido por cinco es igual a 14. Si no pudiéramos hacer este cálculo mentalmente, podemos usar una simple división corta para llevarlo a cabo. Siete dividido por cinco es igual a uno con un resto de dos. Y 20 divido por cinco es igual a cuatro. Por tanto, 70 dividido por cinco es igual a 14. La solución de la ecuación cinco 𝑥 igual a 70 es 𝑥 igual a 14. Concluimos entonces que Olivia tarda 14 minutos en llegar a su trabajo.

Podemos verificar esta respuesta considerando el tiempo de Jaime y multiplicando cinco por 14. Como 70 dividido por cinco es 14, sabemos que cinco multiplicado por 14 es igual a 70. La multiplicación y la división son opuestas o recíprocas entre sí. El recorrido de Jaime dura 70 minutos, que es cinco veces lo que dura el de Olivia, que dura 14 minutos.

Veamos ahora un tercer ejemplo, pero ahora tenemos una ecuación con dos incógnitas.

Holly pinta una silla de jardín en 12 minutos. Escribe una ecuación para el número de sillas 𝑐 que pintará en ℎ horas.

Esta cuestión nos dice que Holly tarda 12 minutos en pintar una silla. Sin embargo, nosotros queremos saber el número de sillas que puede pintar en ℎ horas. Veamos primero cuántas sillas puede pintar en una hora. Sabemos que 60 minutos es igual a una hora. Tenemos que calcular el número de sillas que puede pintar en 60 minutos.

Podemos comenzar por contar de 12 en 12. Holly puede pintar dos sillas en 24 minutos, ya que 12 más 12 es 24. Sumando otros 12 nos da 36 minutos. Es decir que ella puede pintar tres sillas en este tiempo. Holly pintará cuatro sillas en 48 minutos y cinco sillas en 60 minutos. Sin embargo, tal vez calculaste de inmediato que 12 multiplicado por cinco es igual a 60. De un modo u otro, el caso es que Holly puede pintar cinco sillas en 60 minutos o una hora.

Nuestro siguiente paso será escribir una ecuación para el número de sillas 𝑐 que puede pintar en ℎ horas. Si Holly puede pintar cinco sillas en una hora, puede pintar 10 sillas en dos horas, 15 sillas en tres horas, etcétera. En ℎ horas, podrá pintar cinco ℎ o cinco multiplicado por ℎ sillas. Por tanto, nuestra ecuación es 𝑐 es igual a cinco ℎ. Después podemos sustituir valores de ℎ y 𝑐. Podemos sustituir un valor para ℎ para calcular el número de sillas pintadas en cierto número de horas o sustituir un valor para 𝑐 para calcular el número de horas que tardará en pintar cierta cantidad de sillas.

Nuestro siguiente ejemplo trata sobre fracciones en un contexto del mundo real.

La anchura de un rectángulo es un sexto de su longitud. Sabiendo que la anchura del rectángulo es nueve pulgadas, determina su longitud.

Vamos a resolver esta cuestión dibujando primero un diagrama y formulando después una ecuación lineal de un paso. Consideremos un rectángulo de 𝑊 pulgadas de anchura y 𝐿 pulgadas de longitud. En la pregunta nos dicen que la anchura es un sexto de la longitud. La palabra «de» en matemáticas indica multiplicación. Entonces 𝑊 es igual a un sexto multiplicado por 𝐿. Esto a su vez puede escribirse como 𝑊 es igual a un sexto de 𝐿 o 𝐿 dividido por seis.

En el enunciado nos dicen que la anchura del rectángulo es de nueve pulgadas. Podemos sustituir esto en nuestra ecuación para que nueve sea igual a un sexto de 𝐿. Esto es lo mismo que nueve es igual a 𝐿 dividido por seis. Para resolver esta ecuación, necesitamos realizar la misma operación en ambos lados del signo igual. En este caso, vamos a multiplicar por seis ya que multiplicar por seis es lo opuesto o inverso de dividir por seis.

En el lado izquierdo tenemos seis multiplicado por nueve o nueve multiplicado por seis es igual a 54. En el lado derecho, los seis se cancelan. Y nos quedamos con 𝐿. Como 𝐿 es igual a 54, podemos concluir que la longitud del rectángulo es de 54 pulgadas. Podemos comprobar esta respuesta calculando un sexto de 54. Como es igual a nueve, que era la anchura del rectángulo, sabemos que nuestra respuesta de 54 pulgadas es correcta.

Pasamos ahora a nuestro último ejemplo de escribir y resolver ecuaciones de primer grado.

Tomo un número y lo divido por tres y después lo divido por seis. El resultado es dos. ¿Cuál es el número?

Podemos resolver este problema de muchas formas. Vamos a ver cómo podemos establecer una ecuación de primer grado y también cómo usar máquinas de funciones. Comenzamos llamando 𝑛 el número que buscamos. Nuestro primer paso es dividir este número por tres. Por lo general, escribimos esto cuando tratamos con álgebra como 𝑛 sobre tres. Después dividimos esta respuesta por seis. Esto es lo mismo que multiplicar por un sexto ya que dividir por un número es lo mismo que multiplicar por el recíproco de ese número. Multiplicando los numeradores y denominadores obtenemos 𝑛 sobre 18 o 𝑛 dividido por 18. Dividir un número por tres y después por seis es lo mismo que dividir un número por 18.

En la misma pregunta nos dicen que el resultado o la respuesta es dos. Por lo tanto, 𝑛 dividido por 18 es igual a dos. Podemos resolver esta ecuación para 𝑛 multiplicando ambos lados de la ecuación por 18. Esto es porque el recíproco de dividir por 18 es multiplicar por 18. Y debemos realizar la misma operación en ambos lados de la ecuación. En el lado izquierdo, los 18 se cancelan, dejándonos con 𝑛. Dos multiplicado por 18 es igual a 36. El número con el que comenzábamos es 36. Podemos comprobar esta respuesta dividiendo 36 por tres. Esto nos da 12. Dividir 12 por seis nos da dos. Esto significa que nuestra respuesta de 36 es correcta.

Como se mencionó al principio, un método alternativo aquí sería utilizar máquinas de función. Comenzamos con una entrada de 𝑛, dividimos por tres, y luego dividimos por seis, y obtenemos una salida de dos. El recíproco o inverso de dividir por seis es multiplicar por seis. Dividir por tres tiene un inverso de multiplicar por tres. Si sabemos que la salida es dos, podemos calcular la entrada multiplicando primero por seis y luego multiplicando por tres. Dos multiplicado por seis es igual a 12. 12 multiplicado por tres es igual a 36. Esto confirma que nuestro número de entrada 𝑛 era igual a 36.

Finalmente, vamos a resumir los puntos principales de este video. Además de las definiciones y vocabulario que vimos al principio de este video, también necesitamos recordar lo siguiente para resolver ecuaciones de un paso. Primero, necesitamos identificar el recíproco u operación inversa. Por ejemplo, para resolver cuatro 𝑥 igual a ocho, tenemos que dividir por cuatro para cancelar la multiplicación por cuatro. Esto es debido a que la multiplicación y la división son operaciones recíprocas.

Segundo, tenemos que hacer la operación en ambos lados de la ecuación. Esto asegura que la ecuación se mantenga equilibrada. Por último, es importante comprobar nuestra respuesta sustituyendo. La solución de la ecuación cuatro 𝑥 igual a ocho es 𝑥 igual a dos. Podemos verificar esto sustituyendo dos de nuevo en la ecuación. Cuatro multiplicado por dos es igual a ocho. Recordar estos tres puntos clave nos ayudará a resolver cualquier ecuación de multiplicación y división de un paso.

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