Vídeo: Transformaciones del plano complejo

En este video, vamos a aprender a trasladar y a girar números en el plano complejo.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a explorar las transformaciones del plano complejo. En realidad, lo que queremos estudiar son las funciones complejas. Estas son funciones que toman un número complejo como entrada y producen un número complejo como salida. Sería perfecto si pudiésemos dibujar un diagrama que nos ayudara a comprender las funciones complejas de la misma manera que la gráfica de una función real nos ayuda a comprender las funciones reales.

Si consideramos la función real 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado, podemos ver las características principales de esta función en su gráfica. Por ejemplo, vemos que tiene una raíz en 𝑥 igual a cero. Y también tenemos el valor mínimo de la función ahí. El valor mínimo de la función es cero. Y podemos leer los valores de la función en la gráfica. Por ejemplo, vemos que 𝑓 de menos uno es uno. ¿Podemos hacer lo mismo para una función compleja como 𝑓 de 𝑧 igual a 𝑧 al cuadrado?

La única diferencia con respecto a nuestra función anterior es que el dominio tiene números complejos en vez de números reales. ¿Podemos dibujar la misma gráfica y llamarla gráfica de 𝑤 igual a 𝑓 de 𝑧, en donde 𝑧 puede ser un número complejo? Pensemos en cómo hallar el valor de 𝑓 de dos más 𝑖 en esta gráfica. ¿Dónde está el punto en la gráfica que corresponde a la entrada de dos más 𝑖? ¿Podemos hallar dos más 𝑖 en nuestro eje de las 𝑧? Tal vez está ahí, por ejemplo.

Lamentablemente, no. A diferencia de los números reales, los cuales podemos representar en una recta numérica, necesitamos dos dimensiones, o sea, un plano entero para representar los números complejos. Así que, para hacerlo bien, necesitaríamos dos ejes para nuestra entrada. Y la salida de esta función también es un número complejo. En nuestro caso, 𝑓 de dos más 𝑖 es tres más cuatro 𝑖. El eje 𝑤 de salida debe convertirse también en un plano 𝑤 completo. Solo así podríamos representar la salida.

Así que en lugar de un eje 𝑥 para la variable independiente, tendríamos un plano 𝑧 completo. Y en vez de un eje 𝑦 para la variable dependiente, tendríamos un plano 𝑤 completo. Necesitamos que el punto en nuestra gráfica sea algo así como dos más 𝑖, tres más cuatro 𝑖, el cual tendríamos que representar como un punto en cuatro dimensiones, debido a que tendríamos cuatro ejes, uno, dos, tres y cuatro. Por lo tanto, el gráfico de esta función habría de ser tetradimensional. No nos sirve, pues, para ayudarnos a visualizar lo que hace una función compleja. Necesitamos una idea diferente.

Otra idea sería tratar de representar cómo la función transforma el plano complejo. Si nuevamente pensamos en la función 𝑓 de 𝑧 igual a 𝑧 al cuadrado, podemos pensar en ella como la transformación 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑧 al cuadrado. Y, por lo tanto, dada una entrada como dos más 𝑖, podemos representarla en el plano de entradas, que llamamos plano 𝑧. Y transformamos el plano 𝑧 en el plano 𝑤 de las salidas. Podemos representar la imagen de la entrada dos más 𝑖 en este plano 𝑤 transformado. La imagen es tres más cuatro 𝑖, porque dos más 𝑖 al cuadrado es tres más cuatro 𝑖.

¿Cuál es la imagen del punto menos uno menos 𝑖? Estamos usando la fórmula 𝑤 igual a 𝑧 al cuadrado. La imagen 𝑤 cuando 𝑧 es menos uno menos 𝑖 es menos uno menos 𝑖 al cuadrado, lo cual desarrollando es uno más 𝑖 más 𝑖 más 𝑖 al cuadrado. Usamos el hecho de que 𝑖 al cuadrado es menos uno para obtener que la imagen es dos 𝑖. Marcamos este punto de salida en el plano 𝑤.

Observando el plano 𝑧 y el plano 𝑤, ¿podemos ver qué clase de transformación es esa 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑧 al cuadrado? Teniendo solo estos dos puntos, podríamos pensar que se trata de una traslación. Pero como la imagen del número complejo cero es cero, entendemos que tiene que ser algo más complicado. Podemos seguir añadiendo puntos uno a uno, viendo el antes y el después de las gráficas para ver cómo la transformación afecta al plano 𝑧. Pero harían falta muchos puntos y mucho trabajo para poder ver qué está pasando.

Como ya hemos visto, al considerar una función compleja, no podemos representar la transformación de todo el plano complejo de una sola vez. Pero hacerlo punto a punto sería agotador. Necesitamos una solución intermedia. Y la idea consiste en trabajar con las imágenes de curvas en el plano 𝑧. Dibujamos una curva, que puede ser una línea recta, en el plano 𝑧. Y vemos dónde se halla la curva transformada en el plano 𝑤. Veamos cómo hacer esto usando un ejemplo con una función más simple.

Halla una ecuación para la imagen de módulo de 𝑧 igual a dos bajo la transformación del plano complejo 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑧 más uno más 𝑖.

Dibujamos el plano 𝑧 de la variable independiente y el plano 𝑤 de la variable dependiente. El objeto en el plano 𝑧 que estamos transformando es el lugar geométrico definido por módulo de 𝑧 igual a dos, que es la circunferencia centrada en el origen con radio dos. La transformación con la que estamos trabajando lleva 𝑧 a 𝑧 más uno más 𝑖. Y podemos ver que esto es una traslación.

Un número complejo 𝑥 más 𝑦𝑖 va a 𝑥 más 𝑦𝑖 más uno más 𝑖, lo cual es 𝑥 más uno más 𝑦 más uno 𝑖. En otras palabras, el punto 𝑥𝑦 en el plano complejo va a 𝑥 más uno, 𝑦 más uno. De hecho, esta es la traslación de vector uno, uno. Ahora podemos usar este hecho para dibujar la imagen del módulo de 𝑧 igual a dos. El centro se mueve desde cero, el origen, a uno más 𝑖. Y la circunferencia se traslada con él. Y, además, el radio de la circunferencia se mantiene igual a dos.

Podemos usar este dibujo de la imagen y hallar su ecuación, que es lo que estamos buscando. Pero es mejor utilizar un método más algebraico. Imagina que no reconocimos esta transformación como una traslación y por eso no pudimos dibujar la imagen. En vez de eso podemos utilizar la fórmula de la transformación. Para 𝑧 en el plano 𝑧, su imagen es 𝑤 igual a 𝑧 más uno más 𝑖. Y podemos reordenar esto y expresar 𝑧 en términos de su imagen 𝑤. 𝑧 es igual a 𝑤 menos uno menos 𝑖.

¿Por qué es esto útil? Bien, sabemos que el módulo de 𝑧 es dos. Y escribiendo 𝑧 en términos de 𝑤, obtenemos módulo de 𝑤 menos uno menos 𝑖 igual a dos, que es un lugar geométrico en el plano 𝑤. Esta es la ecuación de la imagen que estamos buscando. Reconocemos este lugar geométrico como una circunferencia con centro uno más 𝑖 y radio dos, que es exactamente lo que obtuvimos al reconocer esta transformación como una traslación. Además, la ventaja de este método algebraico es que funciona para cualquier transformación. No tenemos que confiar en hallar una interpretación geométrica de la transformación que se nos da.

Podemos usar este método algebraico para un mejor entendimiento geométrico de esta transformación del plano complejo. Apliquemos este método algebraico a otro ejemplo.

Halla una ecuación para la imagen de módulo de 𝑧 igual a uno bajo la transformación del plano complejo 𝑇 que lleva 𝑧 a un medio de 𝑧.

Resolvemos esto en cuatro pasos. Primero escribimos 𝑤 igual a 𝑇 de 𝑧. En nuestro caso, 𝑇 de 𝑧, el valor transformado de 𝑧, es un medio de 𝑧. Así que 𝑤 es un medio de 𝑧. Reordenamos esta ecuación para obtener 𝑧 en términos de 𝑤. Esto es fácil ya que 𝑤 es un medio de 𝑧. 𝑧 es dos por 𝑤. Sustituimos esto por 𝑧 en la ecuación del lugar geométrico del plano 𝑧 para obtener un lugar geométrico del plano 𝑤. El lugar geométrico en el plano 𝑧 es el módulo de 𝑧 igual a uno, con 𝑧 igual a dos 𝑤. Hemos obtenido el lugar geométrico definido por módulo de dos 𝑤 igual a uno.

Y, finalmente, necesitamos reorganizar esta ecuación. Usamos el hecho de que el módulo de un producto es el producto de los módulos y que el módulo de dos es simplemente dos. Y obtenemos el lugar geométrico con ecuación módulo de 𝑤 igual a un medio. Y para terminar de resolver este problema, hemos de saber interpretar el objeto que estamos transformando como una circunferencia unitaria. Esta es la circunferencia centrada en cero, con radio uno. Y la imagen en la que se transforma es la circunferencia con centro cero también, pero esta vez con radio de un medio. La circunferencia en el plano 𝑧 ha encogido. Su radio se convierte en la mitad. Y esto no debe sorprendernos si reconocemos la transformación 𝑇 como una homotecia con razón de un medio.

Es importante tener en cuenta que incluso si nunca antes hubiéramos trabajado con el concepto de homotecia, podemos tener una idea de lo que está haciendo la transformación al considerar las imágenes de varios objetos en el plano complejo. Veamos ahora un ejemplo para el que considerar la imagen de una circunferencia centrada en el origen no es suficiente para entender lo que está haciendo la transformación.

Lo que vamos a hacer aquí es reemplazar este medio por 𝑖. La transformación lleva ahora 𝑧 a 𝑖𝑧. Bien, los pasos siguen siendo los mismos. 𝑤 es igual a 𝑖𝑧. Por lo tanto, 𝑧 es menos 𝑖 por 𝑤. Y el lugar geométrico del plano 𝑤 es el módulo de menos 𝑖 por 𝑤 igual a uno. Usamos de nuevo el hecho de que la función módulo es multiplicativa. Y sabemos que el módulo de menos 𝑖 es uno. Así que la forma más simple de la ecuación de la imagen es módulo de 𝑤 igual a uno.

La imagen de la circunferencia unitaria bajo esta transformación es la circunferencia unitaria. Por eso podemos pensar que esta transformación no ha hecho nada en absoluto. Sin embargo, si consideramos un punto en esta circunferencia, por ejemplo, el punto 𝑧 igual a uno, su imagen bajo la transformación 𝑧 es 𝑖 por 𝑧, que es 𝑖. Es decir que aunque la imagen de la circunferencia unitaria es la circunferencia unitaria, la imagen de cada punto en esa circunferencia unitaria no es ese punto. Esto se debe a que nuestra transformación es un giro de ángulo 𝜋 sobre dos radianes, o sea, 90 grados en sentido antihorario. Nuestra circunferencia unitaria ha sido rotada, por lo tanto. Si bien es difícil saber si una circunferencia ha girado, esto es sencillo cuando se trata de una recta o de una semirrecta.

Veamos un ejemplo.

Halla una ecuación para la imagen de argumento de 𝑧 igual a 𝜋 sobre cuatro bajo la transformación del plano complejo 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜋 sobre tres por 𝑧.

Sea 𝑤 la imagen de 𝑧. Esto es 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜋 sobre tres por 𝑧. Y multiplicando ambos lados por 𝑒 elevado a 𝑖𝜋 sobre tres e intercambiando sus lados, hallamos 𝑧 en términos de 𝑤. Podemos reemplazar esta expresión para 𝑧 en la ecuación del objeto. Podemos usar el hecho de que conocemos el argumento. El argumento de un producto es la suma de los argumentos. Así que en el lado izquierdo, obtenemos el argumento de 𝑒 elevado a 𝑖𝜋 sobre tres más el argumento de 𝑤. Y el argumento de 𝑒 elevado a 𝑖𝜋 sobre tres es sencillamente 𝜋 sobre tres.

Restando este 𝜋 sobre tres y simplificando, hallamos una ecuación de la imagen. Es argumento de 𝑤 igual a menos 𝜋 sobre 12. Tanto esta ecuación como aquella con la que empezamos son ecuaciones de una semirrecta. Pero, observando el diagrama, podemos ver que la semirrecta imagen tiene una dirección diferente. Ha sido girada. De hecho, ha sido rotada 𝜋 sobre tres radianes en sentido horario. Bien, no podemos saber si una circunferencia ha girado. Con una semirrecta, es muy sencillo de ver.

Por otro lado, aunque es fácil darse cuenta de que una circunferencia ha sido transformada por una homotecia, porque su radio ha cambiado, es difícil decir lo mismo cuando se trata de una semirrecta. Si cambiamos la transformación para que lleve 𝑧 a tres 𝑧 en su lugar, como el argumento de un tercio es cero, hallamos que el argumento de 𝑤 es 𝜋 sobre cuatro. Observando el diagrama, es imposible darse cuenta de que la semirrecta ha sufrido una homotecia con razón de tres.

Para explorar los efectos de una transformación, es una buena idea usar semirrectas y circunferencias. Los ejemplos que hemos visto son transformaciones básicas de números complejos como traslaciones, homotecias centradas en el origen o rotaciones con respecto al origen. Pero podemos combinar tales transformaciones para obtener otras más complicadas. Por ejemplo, podemos combinar una homotecia de razón 𝑟 y una rotación de 𝜃 radianes en sentido antihorario. 𝑧 se dilata para convertirse en 𝑟𝑧. Y este 𝑟𝑧 es girado para convertirse en 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 𝑟𝑧, o 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 por 𝑧. Vemos que la transformación que corresponde a la multiplicación por un número complejo de la forma 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 representa una homotecia de razón 𝑟 con respecto al origen, seguida por una rotación de 𝜃 radianes en sentido antihorario.

Podemos expresar este hecho usando el módulo y el argumento del número complejo por el que estamos multiplicando. Es posible que desees pausar el video para leer esto. Una pregunta que cabe hacerse en este momento es: ¿podemos escribir la transformación que lleva 𝑧 a 𝑧 al cuadrado como una composición de transformaciones básicas? ¿Podemos entender esta transformación como una combinación de traslaciones, homotecias y rotaciones?

Lamentablemente, no. Y vamos a demostrarlo. Vamos a demostrar, de hecho, una afirmación más fuerte. Las únicas transformaciones que podemos escribir como una composición de transformaciones básicas, es decir, de traslaciones, homotecias y giros, son aquellas transformaciones 𝑇 que llevan 𝑧 a 𝑎𝑧 más 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son números complejos. Como resultado de este teorema, la transformación que lleva 𝑧 a 𝑧 al cuadrado no puede escribirse como una composición de transformaciones básicas, ya que no tiene esta forma. Así que vamos a demostrar esto.

Lo primero que debemos tener en cuenta es que las tres transformaciones básicas tienen esta forma. Para una traslación genérica, 𝑎 es uno y 𝑏 es 𝑥 más 𝑦𝑖. Para una homotecia genérica, 𝑎 es 𝑘 y 𝑏 es cero. Y para un giro genérico, 𝑎 es 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 y 𝑏 es cero. Así que esta parte de lo que queremos demostrar se cumple.

La segunda parte de esta demostración es que la composición de dos transformaciones con esta forma también tiene esta forma. Podemos demostrar esto empezando con dos transformaciones arbitrarias de esta forma, 𝑇 cuatro, que lleva 𝑧 a 𝑐𝑧 más 𝑑 y 𝑇 cinco, que lleva 𝑧 a 𝑒𝑧 más 𝑓, donde permitimos que estos coeficientes sean números complejos. Su composición lleva 𝑧 a 𝑇 cuatro de 𝑇 cinco de 𝑧. Bueno, 𝑇 cinco de 𝑧 es 𝑒𝑧 más 𝑓. Y 𝑇 cuatro de algo es 𝑐 veces ese algo más 𝑑.

Simplificando, hallamos que su composición es 𝑐𝑒 por 𝑧 más 𝑐𝑓 más 𝑑. Por lo tanto, la composición de las transformaciones lleva 𝑧 a 𝑐𝑒 por 𝑧 más 𝑐𝑓 más 𝑑. Y así, esta composición también tiene la forma 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑎𝑧 más 𝑏. Y así hemos demostrado nuestra afirmación. Todas las transformaciones básicas tienen esta forma, por lo que su composición también tendrá esa forma. Y si continúas esa composición con otra transformación básica, bien, ambas transformaciones tienen la forma 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑎𝑧 más 𝑏. Así que su composición también tendrá esta forma, y ​​así sucesivamente. Por lo tanto, aunque compongamos muchas transformaciones básicas, siempre terminaremos con algo de esta forma, 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑎𝑧 más 𝑏. La transformación que lleva 𝑧 a 𝑧 al cuadrado no es de esta forma, y, por lo tanto, no es una composición de transformaciones básicas.

Terminemos aplicando algunas de las técnicas que hemos aprendido a esta transformación que lleva 𝑧 a 𝑧 al cuadrado. Vamos a ver si podemos obtener una idea de lo que la transformación hace al plano complejo y, por lo tanto, lo que la función compleja hace a los números complejos.

Halla ecuaciones cartesianas para las imágenes de los siguientes lugares geométricos bajo la transformación 𝑇 que lleva 𝑧 a 𝑧 al cuadrado. Parte a) Módulo de 𝑧 igual a dos. Parte b) Parte real de 𝑧 igual a uno. Y parte c) Parte imaginaria de 𝑧 igual a uno.

Lo primero que hacemos es dibujar nuestros planos 𝑧 y 𝑤. Ahora podemos ver que el lugar geométrico, módulo de 𝑧 igual a dos. Es una circunferencia con centro en el origen y radio dos en el plano 𝑧. Pero ¿qué ocurre en el plano 𝑤? Bueno, 𝑤 es 𝑧 al cuadrado. Y 𝑧 es la raíz cuadrada de 𝑤. El lugar geométrico se convierte en el módulo de la raíz cuadrada de 𝑤 igual a dos. Pero queremos tener el módulo de 𝑤 en el lado izquierdo. Así que, elevamos ambos lados al cuadrado usando el hecho de que el producto de los módulos es el módulo del producto, para obtener que el módulo de 𝑤 es dos al cuadrado, que es cuatro.

Por tanto, el efecto de esta transformación en esta circunferencia centrada en el origen es doblar su radio. Pero recuerda que estamos buscando ecuaciones cartesianas. Si llamamos a la parte real de 𝑤 𝑢 y la parte imaginaria de 𝑤 𝑣, la ecuación cartesiana es 𝑢 al cuadrado más 𝑣 al cuadrado igual a cuatro al cuadrado, que es 16.

Supongamos ahora que la parte real de 𝑧 es igual a uno. 𝑧 tiene la forma uno más 𝑦𝑖, donde 𝑦 es un número real. Está aquí en el plano 𝑧. Pero ¿cuál es su imagen en el plano 𝑤? 𝑤 es 𝑧 al cuadrado, que por lo tanto es uno más 𝑦𝑖 al cuadrado, que es uno menos 𝑦 al cuadrado más dos 𝑦𝑖. Recuerda que queremos una ecuación cartesiana en términos de la parte real de 𝑤, que es 𝑢, y la parte imaginaria de 𝑤, que es 𝑣. Y podríamos escribir estos valores en términos de 𝑦. Pero no los queremos en términos de 𝑦. Queremos una ecuación que relacione 𝑢 y 𝑣. Así que eliminamos 𝑦 reorganizamos la segunda ecuación para obtener 𝑦 en términos de 𝑣 y luego sustituimos esto en la primera ecuación.

Hallamos que 𝑢 es uno menos 𝑣 sobre dos al cuadrado, lo que simplificamos a 𝑢 igual a uno menos 𝑣 al cuadrado sobre cuatro. Esta es la ecuación de una parábola en el plano 𝑤. Y así, por primera vez, vemos un ejemplo en el que la imagen de una recta no es una recta. Es esencialmente el mismo procedimiento para la parte c). Hallamos que la ecuación es 𝑢 igual a 𝑣 al cuadrado sobre cuatro menos uno. Esto completa la respuesta. Y se trata también de una parábola en el plano 𝑤. Por lo tanto, si hubiéramos visto solo la imagen de la circunferencia, podríamos haber pensado que la transformación es solo una homotecia, posiblemente seguida de un giro. Pero observando las imágenes de las rectas, vemos que algo más interesante está sucediendo.

Estos son los puntos clave que cubrimos en este video, y el más importante es este. Que podemos obtener un entendimiento de las transformaciones en el plano complejo considerando su efecto en rectas y circunferencias.

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