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Dominio y recorrido de una función racional
En este video, vamos a ver varios métodos diferentes para ayudarnos a hallar el dominio y el recorrido o rango de una función racional. Vamos a hablar sobre la regla definitoria para hallar el dominio de una función racional. Y vamos a hablar sobre cómo hallar el rango de una función racional usando una gráfica o usando técnicas algebraicas.
Antes de comenzar con esto, recordemos lo que queremos decir con el dominio y el rango de una función. Comencemos con el dominio de una función 𝑓 de 𝑥. El dominio de 𝑓 de 𝑥 es el conjunto de los valores de entrada para nuestra función. Así que una forma de ver esto es el valor de la variable independiente 𝑥 que podemos ingresar en nuestra función. Por ejemplo, si nuestra función 𝑓 de 𝑥 es la función lineal dos 𝑥 más uno, entonces podemos decir que nuestros valores de entrada 𝑥 podrían ser cualquier valor real de 𝑥. Y recuerda, podemos escribir esto en notación de conjuntos: 𝑥 es un elemento de los números reales ℝ.
Podemos decir que el dominio de esta función 𝑓 de 𝑥 es el conjunto de todos los números reales. También podemos elegir un conjunto más pequeño si queremos. Por ejemplo, podemos decir que solo se nos permite que nuestros valores de entrada sean enteros. Escribiremos esto como 𝑥 es un elemento del conjunto de los números enteros ℤ. Pero este es solo un posible ejemplo. ¿Qué pasa si buscamos el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥?
Ahora vemos algo interesante. No podemos simplemente utilizar cualquier valor real de 𝑥 como lo hicimos la última vez. Por ejemplo, si 𝑥 fuera igual a cero, entonces 𝑓 de cero sería uno dividido por cero. Pero podemos ingresar cualquier otro valor real de 𝑥. Por lo tanto, un dominio posible para nuestra función recíproca sería el conjunto de números reales donde eliminamos 𝑥 igual a cero. Y escribimos esto como ℝ menos el conjunto con solo el elemento cero. Y, de hecho, si quisiéramos incluir tantos números reales en nuestro dominio como fuera posible, este sería el conjunto más grande posible porque no podemos incluir cero.
Pasemos ahora al rango de una función. Una forma de pensar en el rango de una función es que es el conjunto de todos los valores de salida posibles de nuestra función. Pero, por supuesto, esto cambiará dependiendo de lo que podamos ingresar en nuestra función. En otras palabras, esto dependerá del dominio de nuestra función.
Por ejemplo, volvamos a nuestra función lineal 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 más uno, y consideremos un dominio tal que 𝑥 pueda ser cualquier número real. Podemos dibujar una gráfica de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Obtenemos la recta de ecuación 𝑦 es igual a dos 𝑥 más uno. Queremos hallar el rango de nuestra función a partir de esta gráfica. Recuerda, el rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles de nuestra función. Bien, los valores de salida de nuestra función son las coordenadas 𝑦 en la gráfica.
Y si seleccionamos cualquier valor de 𝑦, podemos ver que, en este caso, hay un valor de 𝑥 donde 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑦. Es importante recordar que el rango de una función dependerá del dominio de una función. Por ejemplo, para 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 más uno, si restringimos nuestro dominio a números enteros, solo podemos ingresar números enteros en nuestra función. Dos por un número entero más uno también es un número entero, por lo que solo obtendremos números enteros. Normalmente, sin embargo, cuando buscamos el dominio y el rango de una función, queremos incluir tantos valores reales como sea posible.
Lo último que debemos hacer antes de pasar a hablar específicamente sobre el rango y el dominio de una función racional es recordar lo que queremos decir con función racional. Decimos que si una función 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑝 de 𝑥 dividido por 𝑞 de 𝑥, donde 𝑝 de 𝑥 y 𝑞 de 𝑥 son polinomios - en otras palabras, si la función es el cociente de dos polinomios - entonces llamamos a la función 𝑓 de 𝑥 función racional. Cuando hablamos del rango y el dominio de una función racional, siempre nos referimos a esto en relación a los números reales.
Hallar el dominio de nuestra función racional consiste en hallar todos los valores de 𝑥 sobre los números reales donde nuestra función está definida. Y lo mismo es cierto para el rango. Dados tantos valores de entrada de nuestra función racional como sea posible, queremos hallar la mayor cantidad de valores de salida posibles de nuestra función. Veamos ahora algunos ejemplos.
Determina el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 más uno dividido por 𝑥 menos uno.
La cuestión nos pide hallar el dominio de una función 𝑓 de 𝑥. Y podemos ver que 𝑓 de 𝑥 es el cociente de dos polinomios. Así que 𝑓 de 𝑥 es una función racional. Recuerda, el dominio de una función es el conjunto de posibles valores de entrada de esa función. Así que echemos un vistazo a nuestra función 𝑓 de 𝑥.
Bien, 𝑓 de 𝑥 es el cociente de dos polinomios. Es 𝑥 más uno, todo dividido por 𝑥 menos uno. Comencemos mirando nuestro numerador. Nuestro numerador es 𝑥 más uno. Sabemos que podemos sumar uno a cualquier número real. Así que esto no afectará el dominio de nuestra función. Veamos ahora el denominador de nuestra función. Es 𝑥 menos uno. Podemos restar uno de cualquier número real. Si ingresamos un valor de 𝑥, obtendremos simplemente el cociente de dos números.
Pero debemos tener cuidado aquí. Recuerda, no podemos dividir por cero. La división por cero no está definida. En otras palabras, si 𝑥 es tal que nuestro denominador es igual a cero, nuestra función no estará definida. Queremos resolver el denominador igual a cero. En otras palabras, queremos hallar los valores de 𝑥 que son tales que 𝑥 menos uno es igual a cero. Vemos que esto es cuando 𝑥 es igual a uno. Así que el único lugar donde nuestra función 𝑓 de 𝑥 no está definida es en 𝑥 igual a uno. Y podemos ver esto. Si hacemos 𝑥 igual a uno en 𝑓 de 𝑥, obtenemos uno más uno dividido por uno menos uno, que es igual a dos dividido por cero, que por supuesto no está definido. Pero si sustituimos cualquier otro valor de 𝑥, nuestra función estará definida. Simplemente nos dará un cociente de dos números donde el denominador no es igual a cero.
En este caso, pudimos mostrar que el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 más uno dividido por 𝑥 menos uno son todos los números reales excepto 𝑥 igual a uno.
Pero recapacitemos sobre lo que acabamos de mostrar de nuestra función 𝑓 de 𝑥. En este caso, pudimos hallar el dominio de nuestra función racional simplemente hallando donde el denominador es igual a cero. Pero si lo pensamos bien, exactamente lo mismo ocurre con cualquier función racional.
Si 𝑓 de 𝑥 es una función racional, 𝑝 de 𝑥 dividido por 𝑞 de 𝑥 donde 𝑝 y 𝑞 son polinomios, entonces sabemos que nuestros polinomios 𝑝 y 𝑞 están definidos para todos los valores reales de 𝑥. La única vez que nuestra función 𝑓 de 𝑥 no está definida es cuando nuestro denominador 𝑞 de 𝑥 es igual a cero. Esto nos da un método para hallar el dominio de cualquier función racional. Solo necesitamos hallar todos los valores de 𝑥 donde nuestro denominador es igual a cero.
Veamos un ejemplo de cómo usar esto para hallar el dominio de una función racional.
Determina el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos dos dividido por 𝑥 al cuadrado menos cuatro.
La cuestión nos pide que hallemos el dominio de una función 𝑓 de 𝑥. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 es el cociente de dos polinomios. Esto significa que nuestra función 𝑓 de 𝑥 es racional. Sabemos que el dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada posibles de esa función. Y lo que es más, conocemos un atajo para hallar el dominio de cualquier función racional. Sabemos que, si 𝑓 de 𝑥 es una función racional, o sea, es un polinomio 𝑝 de 𝑥 dividido por un polinomio 𝑞 de 𝑥, entonces 𝑓 no está definida solo donde el denominador 𝑞 de 𝑥 es igual a cero. En nuestro caso, el polinomio en nuestro denominador es 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Así que necesitamos hallar los valores de 𝑥 donde el denominador es igual a cero. Necesitamos resolver la ecuación 𝑥 al cuadrado menos cuatro es igual a cero.
La forma más fácil de hacer esto es darse cuenta de que 𝑥 al cuadrado es un cuadrado y cuatro es un cuadrado, por lo que esta es una diferencia entre cuadrados. Recuerda, podemos factorizar 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado como 𝑎 menos 𝑏 por 𝑎 más 𝑏. Podemos factorizar 𝑥 al cuadrado menos cuatro como 𝑥 menos dos por 𝑥 más dos. Hallamos que el producto de dos factores es igual a cero. Esto significa que uno de nuestros factores debe ser igual a cero. Resolviendo cada factor igual a cero, obtenemos 𝑥 igual a dos o 𝑥 igual a menos dos. Y recuerda que como nuestra función 𝑓 de 𝑥 es racional, la única vez que no estará definida es cuando su denominador es igual a cero. En otras palabras, hemos demostrado que el dominio de 𝑓 de 𝑥 son todos los números reales excepto 𝑥 igual a menos dos o dos.
Hay una cosa más que vale la pena señalar en este ejemplo. Hemos dicho que dos no está en el dominio de nuestra función. Así que veamos qué nos da 𝑓 evaluado en dos. Si sustituimos 𝑥 es igual a dos en nuestra función 𝑓 de 𝑥, obtenemos dos menos dos dividido por dos al cuadrado menos cuatro, lo que se simplifica para darnos cero dividido por cero. Recuerda, incluso esto no está definido.
Veamos un ejemplo más de cómo hallar el dominio de una función racional.
Determina el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres dividido por 𝑥 menos tres más uno dividido por 𝑥 más cuatro.
La cuestión nos pide que hallemos el dominio de la función 𝑓 de 𝑥. Recordemos que el dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada de nuestra función. En nuestro caso, podemos ver que nuestra función 𝑓 de 𝑥 está definida como la suma de dos funciones. De hecho, es la suma de dos funciones racionales. Recuerda, llamamos racional a una función si es el cociente de dos polinomios. Una función lineal y una función constante son ejemplos de polinomios. Así que necesitamos hallar el conjunto de valores de entrada posibles para nuestra función, que es la suma de dos funciones racionales.
Comencemos recordando lo que sabemos sobre los dominios de cada una de nuestras funciones racionales individualmente. Primero, recordemos que cualquier función racional está definida en todas partes excepto donde su denominador es igual a cero. Recuerda, esto se debe a que podemos ingresar cualquier valor de 𝑥, y obtendremos un número real dividido por otro número real. Pero no podemos dividir por cero. Siempre estará indefinido.
Veamos, pues, cada término de 𝑓 de 𝑥 individualmente. Comencemos con tres dividido por 𝑥 menos tres. Vemos que esta es una función racional. Estará definida en todas partes excepto donde su denominador sea igual a cero. Y sabemos que su denominador es igual a cero solo cuando 𝑥 es igual a tres. Podemos hacer exactamente lo mismo con el segundo término uno dividido por 𝑥 más cuatro. Esta también es una función racional, por lo que se definirá en todas partes excepto donde su denominador es igual a cero, que en este caso es cuando 𝑥 es igual a menos cuatro.
Pero pensemos en lo que esto significa para nuestra función 𝑓 de 𝑥. Por ejemplo, si sustituimos 𝑥 igual a tres en 𝑓 de 𝑥, obtenemos 𝑓 de tres igual a tres dividido por tres menos tres más uno dividido por tres más cuatro. Y si simplificamos esto, obtenemos tres sobre cero más uno sobre siete. Por supuesto, tres dividido por cero no está definido. No podemos dividir por cero. Y, por supuesto, lo mismo sucede cuando 𝑥 es igual a menos cuatro. Como ya hemos explicado, uno dividido por 𝑥 más cuatro no está definido cuando 𝑥 es igual a menos cuatro.
Cada valor 𝑥 nos dará la suma de dos números reales. Hemos demostrado que el dominio de nuestra función 𝑓 de 𝑥 igual a tres dividido por 𝑥 menos tres más uno dividido por 𝑥 más cuatro es todos los números reales excepto 𝑥 igual a menos cuatro y 𝑥 igual a tres.
Pasemos ahora a un ejemplo de cómo hallar tanto el dominio como el rango de una función racional.
Determina el dominio y el rango de la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno dividido por 𝑥 menos cinco.
La cuestión nos pide que determinemos el dominio y el rango de la función 𝑓 de 𝑥. Y podemos ver que nuestra función 𝑓 de 𝑥 es una función racional. Es el cociente de dos polinomios. También podemos ver que se nos da una gráfica de la función 𝑓 de 𝑥. Comencemos por hallar el dominio de esta función usando la gráfica. Para comenzar, recuerda que el dominio son todos los valores de entrada de nuestra función.
Para hallar todos los valores de entrada posibles de nuestra función 𝑓 de 𝑥, echemos un vistazo a los valores de la variable independiente 𝑥 que nuestra función puede tomar. Queremos hallar los valores de 𝑥 donde nuestra función no está definida. Podemos ver, por ejemplo, que cuando 𝑥 es igual a seis, nuestra función es igual a uno. Así que podemos ver que seis está en el dominio de nuestra función 𝑓 de 𝑥. De hecho, solo hay un valor donde nuestra función 𝑓 de 𝑥 no está definida.
Si dibujamos la recta vertical 𝑥 igual a cinco, podemos ver que nuestra función 𝑓 de 𝑥 no interseca esta recta. Esto significa que nuestra función no está definida cuando 𝑥 es igual a cinco. Toda otra recta vertical intersecará nuestra función, por lo que este es el único punto donde nuestra función no está definida. Así que hemos mostrado que nuestra función 𝑓 de 𝑥 está definida en todas partes excepto en 𝑥 igual a cinco. En otras palabras, el dominio de 𝑓 de 𝑥 son los números reales menos 𝑥 igual a cinco.
Ahora necesitamos hallar el rango de nuestra función. Recuerda, el rango de nuestra función es el conjunto de todos los valores de salida o resultados posibles de nuestra función. Podemos hacer algo muy similar para verificar si un valor está en el rango de nuestra función. Por ejemplo, para verificar si menos uno está en el rango de nuestra función, dibujamos una recta horizontal desde menos uno hasta la curva y luego vemos el valor de 𝑥 que nos da esta salida. Vemos en la gráfica que cuando 𝑥 es igual a cuatro, nuestra función genera menos uno. Por lo tanto, menos uno está en el rango de nuestra función. Podemos ver que todas las rectas horizontales intersecarán nuestra función excepto la recta 𝑦 igual a cero. La recta 𝑦 igual a cero no interseca nuestra curva. En otras palabras, ningún valor de 𝑥 da como resultado el valor de cero.
Para nuestra función 𝑓 de 𝑥, hay un valor de 𝑥 que genera todos los números excepto el valor de cero. Es decir, el rango de 𝑓 de 𝑥 son los números reales menos el punto cero. Por lo tanto, dado que una gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 es igual a uno dividido por 𝑥 menos cinco, pudimos mostrar que el dominio de esta función son todos los números reales excepto 𝑥 igual a cinco y el rango de esta función es todos los números reales excepto cero.
Un aprendizaje importante de este ejemplo es que podemos determinar el dominio de nuestra función racional hallando las asíntotas verticales y podemos obtener el recorrido de nuestra función hallando las asíntotas horizontales.
Veamos ahora cómo hallar el dominio y el rango de una función racional cuando no tenemos una gráfica de la función.
Determina el dominio y el recorrido de la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno dividido por 𝑥 menos dos.
La cuestión nos pide hallar el dominio y el rango de la función 𝑓 de 𝑥. Y podemos ver que nuestra función 𝑓 de 𝑥 es una función racional. Es el cociente de dos polinomios. Recuerda, el dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada posibles para esa función y el rango de una función es el conjunto de salidas posibles de esa función. También debemos recordar que cualquier función racional siempre estará definida en todas partes, excepto cuando su denominador es igual a cero.
Así que, para nuestra función racional 𝑓 de 𝑥, para encontrar los valores de 𝑥 donde nuestra función no está definida, solo necesitamos igualar el denominador a cero y resolver la ecuación. Esto nos da 𝑥 menos dos igual a cero. Y podemos resolver esto. Nos da 𝑥 igual a dos. Así que hemos mostrado que nuestra función 𝑓 de 𝑥 está definida en todas partes excepto en 𝑥 igual a dos. En otras palabras, el dominio de 𝑓 de 𝑥 son todos los números reales excepto 𝑥 igual a dos.
Pero aún necesitamos hallar el rango de nuestra función. Hay varias formas diferentes de hacer esto. Vamos a hacer esto dibujando una gráfica de nuestra curva. Y para ello, debemos hacer las siguientes dos cosas. Primero, necesitamos verificar ambos lados de cada valor de 𝑥 que no esté en el dominio de nuestra función. Y el único valor de 𝑥 que no está en nuestra función es igual dos. Así que vamos a echar un vistazo a nuestra función 𝑓 de 𝑥 alrededor del valor de 𝑥 es igual a dos.
Cuando nuestro valor de 𝑥 es un poco menor que dos, nuestro denominador será un número negativo muy pequeño. Esto nos dice que nuestros valores de salida serán muy grandes pero negativos. Así que a medida que 𝑥 tiende a dos desde la izquierda, nuestros valores de 𝑥 serán negativos y cada vez más grandes. Podemos argumentar algo similar a la derecha de 𝑥 igual a dos. Esta vez, nuestro denominador será positivo. Así que a medida que 𝑥 tiende a dos desde la derecha, nuestros valores de salida serán positivos y cada vez más grandes.
Lo siguiente que queremos comprobar es qué sucede cuando nuestros valores de 𝑥 se hacen más y más grandes y qué sucede si se vuelven más y más negativos. Nuevamente, para hacer esto, podemos mirar nuestra función 𝑓 de 𝑥. Cuando 𝑥 es un número positivo muy grande, nuestra salida será uno dividido por un número positivo muy grande. ¿Qué pasa con nuestra curva? Bien, a medida que 𝑥 se hace más y más grande, nuestras salidas se acercan cada vez más a cero. Pero nunca llegan a cero, así que solamente nos acercaremos más y más al eje 𝑥. Lo mismo aplica cuando 𝑥 se vuelve cada vez más negativo. Estaremos dividiendo por un número negativo muy grande, por lo que nuestras salidas se acercarán más y más a cero.
Nuestra función se hace más y más grande cuando 𝑥 tiende a dos por la derecha y se vuelve más y más negativa cuando 𝑥 tiende a dos por la izquierda. Sin embargo, no importa qué valor de entrada 𝑥 usemos, no podemos hacer que nuestra función dé como resultado cero. Solo podemos acercarnos más y más a esta salida. Así que el rango de nuestra función 𝑓 de 𝑥 son todos los números reales excepto cero. Por lo tanto, sabiendo que la función 𝑓 de 𝑥 es igual a uno dividido por 𝑥 menos dos, pudimos mostrar que el dominio de esta función son todos los números reales excepto 𝑥 igual a dos y el rango de esta función es todos los números reales excepto cero.
Repasemos ahora los puntos clave de este video. Pudimos demostrar que, para hallar el dominio de una función racional, solo necesitamos hallar los valores de 𝑥 que hacen que el denominador sea cero, o sea, solo necesitamos hallar los valores de 𝑥 que nos hacen dividir por cero. Y tenemos varias formas diferentes de hallar dónde un polinomio es igual a cero. Por ejemplo, conocemos el teorema del factor, la fórmula cuadrática y la diferencia entre cuadrados.
A continuación, para hallar el rango de una función racional, solo necesitamos hallar todos los valores que nuestra función no puede alcanzar. Vimos cómo hacer esto a partir de una gráfica de nuestra curva. Sin embargo, si no nos la dan, también podemos dibujar una gráfica nosotros mismos. Recordemos que también debemos tener especial cuidado con lo que sucede cuando 𝑥 está cerca de los valores donde nuestra función no está definida. También debemos considerar lo que sucede con nuestros valores de salida a medida que nuestros valores de entrada se hacen más y más grandes. También queremos saber qué sucede con nuestros valores de salida a medida que nuestros valores de 𝑥 se vuelven cada vez más negativos. Todo esto puede ayudarnos a hallar el rango de nuestra función racional.
