Vídeo de la lección: Series de potencias y radios de convergencia Matemáticas • Educación superior

En este video, vamos a aprender cómo definir una serie de potencias y cómo hallar el radio de convergencia de una serie de potencias.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo definir una serie de potencias y cómo distinguirla de otro tipo de series que hayamos podido encontrar anteriormente. Además, vamos a aprender cómo hallar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de estas series, usando para ello el criterio d’Alembert o el criterio de la raíz.

Antes de ahora, seguramente has trabajado con series geométricas, series armónicas y series 𝑝, y con series alternadas. Aquí vamos a trabajar con un nuevo tipo de series, las llamadas series de potencias. Las series de potencias son muy útiles ya que, entre otras cosas, surgen como series de Taylor de las funciones infinitamente derivables. Tienen la forma que se muestra aquí. Es la sumatoria de 𝑐 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Y en esta expresión, 𝑥 es una variable mientras que 𝑐 𝑛 son los coeficientes de nuestra serie.

Veamos lo que sucede si asignamos un valor fijo para 𝑥. Por ejemplo, si hacemos 𝑥 igual a uno. En esta serie, obtenemos una sumatoria de términos constantes, la cual podemos probar para convergencia o divergencia usando los métodos usuales.

Es importante darse cuenta de que una serie de potencias puede converger para unos valores de 𝑥 y divergir para otros. También, que podemos definir la sumatoria de la serie como una función 𝑓 de 𝑥, que es igual a 𝑐 cero más 𝑐 uno 𝑥, etcétera. Cuyo dominio es el conjunto de todas las 𝑥 para las cuales la serie converge. Y aunque 𝑓 pueda parecer un polinomio, en realidad se diferencia algo de un polinomio porque tiene un número infinito de términos.

Es interesante explorar lo que sucede cuando hacemos todos los 𝑐 𝑛 igual a uno. La serie de potencias se convierte en una serie geométrica uno más 𝑥 más 𝑥 al cuadrado más 𝑥 al cubo hasta 𝑥 a la 𝑛. Que converge cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que uno y diverge cuando el valor absoluto de 𝑥 es mayor o igual que uno. Tratemos de generalizar.

Una serie de la forma sumatoria de 𝑐 𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ es llamada serie de potencias en 𝑥 menos 𝑎, o serie de potencias centrada en 𝑎, o serie de potencias en un entorno de 𝑎. Nótese que hemos escrito 𝑐 cero para el término con 𝑛 igual a cero. Así que estamos asumiendo que 𝑥 menos 𝑎 elevado a cero es igual a uno incluso cuando 𝑥 es igual a 𝑎. Además, si 𝑥 es igual a 𝑎, todos los términos son cero para 𝑛 mayor o igual a uno. Es decir, que una serie de potencias siempre converge cuando 𝑥 es igual a 𝑎. Y podemos usar el criterio d’Alembert o el criterio de la raíz para probar la convergencia de estas series. Echemos un vistazo a cómo se hace esto.

¿Para qué valores de 𝑥 es la serie sumatoria de 𝑛 factorial por 𝑥 más cinco elevado a 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e ∞, convergente?

Recordemos que podemos usar el criterio d’Alembert para probar la convergencia. Este criterio empieza suponiendo que tenemos una serie sumatoria de 𝑎 𝑛. Y dice que, si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛 es menor que uno, entonces la serie es absolutamente convergente. Si, por el contrario, el límite es mayor que uno, entonces la serie es divergente. Y si el límite es igual a uno, entonces la serie puede ser divergente, condicionalmente convergente o absolutamente convergente.

Como queremos hallar los valores de 𝑥 para los cuales la serie es convergente, estamos interesados en el primer caso, donde el límite es menor que uno. Igualamos 𝑎 𝑛 a 𝑛 factorial por 𝑥 más cinco a la 𝑛. Y esto implica que 𝑎 𝑛 más uno es 𝑛 más uno factorial por 𝑥 más cinco a la 𝑛 más uno.

Queremos probar si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto del cociente de estas expresiones es menor que uno. Esto es 𝑛 más uno factorial por 𝑥 más cinco a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 factorial por 𝑥 más cinco a la 𝑛. Comenzamos recordando que cuando dividimos dos potencias de igual base, podemos simplemente restar los exponentes. Y esto significa que 𝑥 más cinco a la 𝑛 más uno dividido por 𝑥 más cinco a la 𝑛 es simplemente 𝑥 más cinco elevado a uno o simplemente 𝑥 más cinco.

Recordamos también que 𝑛 más uno factorial es igual a 𝑛 más uno por 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos, etcétera. Eso es lo mismo que 𝑛 más uno por 𝑛 factorial. Por tanto, podemos cancelar los 𝑛 factorial. Y se trata de hallar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 más uno por 𝑥 más cinco. 𝑥 más cinco es independiente de 𝑛. Así que podemos sacar el valor absoluto de 𝑥 más cinco fuera de nuestro límite.

Después notamos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 más uno es igual a ∞. El valor absoluto de 𝑥 más cinco multiplicado por ∞ siempre será mayor que uno, excepto si el valor absoluto de 𝑥 más cinco es igual a cero. Puesto que el valor absoluto de 𝑥 más cinco es igual a cero, en realidad no necesitamos los signos de valor absoluto. Y así lo hemos resuelto restando cinco de ambos lados. Y hallamos que 𝑥 es igual a menos cinco. Por lo tanto, la serie dada solo convergerá cuando 𝑥 es igual a menos cinco. Veamos cómo generalizar la convergencia de una serie de potencias.

Para una serie de potencias sumatoria de 𝑐 𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 solo hay tres posibilidades. La primera es que la serie converja solo cuando 𝑥 es igual a 𝑎. La segunda es que la serie converja para todos los valores de 𝑥. Y la tercera, cuando existe un número positivo 𝑅 mayúscula de modo que la serie converge si el valor absoluto de 𝑥 menos 𝑎 es menor que 𝑅 y diverge si el valor absoluto de 𝑥 menos 𝑎 es mayor que 𝑅. Esta 𝑅 mayúscula es el radio de convergencia de la serie de potencias.

Convencionalmente para la parte uno, decimos que 𝑅 es igual a cero. Y para la parte dos, decimos que 𝑅 es igual a ∞. En general, se llama intervalo de convergencia de una serie de potencias al intervalo que consiste en todos los valores de 𝑥 para los cuales la serie converge. En nuestra primera posibilidad, el intervalo contiene un solo punto, 𝑎, mientras que en la segunda posibilidad contiene todos los números reales, pues va desde menos ∞ hasta ∞. En la tercera, podemos reescribir que el valor absoluto de 𝑥 menos 𝑎 es menor que 𝑅 como 𝑥 menos 𝑎 es mayor que menos 𝑅 y es menor que 𝑅.

Si 𝑥 es un extremo del intervalo de convergencia, en otras palabras, si 𝑥 es igual a 𝑎 más o menos 𝑅 mayúscula, la serie puede converger o divergir en uno o en ambos extremos. Pues el criterio d’Alembert y la prueba de la raíz no van a funcionar cuando 𝑥 es un extremo del intervalo de convergencia.

En general, tendremos que probar los extremos usando pruebas alternativas. Veamos cómo hallar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.

Considera la serie de potencias sumatoria de tres 𝑥 elevado a 𝑛 partido por 𝑛 más cinco, desde 𝑛 igual a cero hasta ∞. Halla el intervalo de convergencia de la serie de potencias y halla el radio de convergencia de la serie de potencias.

Para probar la convergencia de nuestra serie de potencias, vamos a usar el criterio d’Alembert. La parte de este criterio en la que estamos interesados dice que dada una serie sumatoria de 𝑎 𝑛 si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛 es menor que uno, la serie es absolutamente convergente. Si analizamos nuestra serie, notamos que podemos definir 𝑎 𝑛 como tres 𝑥 a la 𝑛 sobre 𝑛 más cinco. Y 𝑎 𝑛 más uno es tres 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más cinco.

Y el denominador se simplifica fácilmente a 𝑛 más seis. Nuestro objetivo es establecer dónde el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto del cociente de estas expresiones es menor que uno. Y sabemos que, para dividir por una fracción, debemos multiplicar por el recíproco de esa fracción. Así que el interior de nuestro límite se convierte en tres 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más seis por 𝑛 más cinco sobre tres 𝑥 a la 𝑛. Y vemos que podemos cancelar arriba y abajo tres 𝑥 a la 𝑛.

Así que tenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de tres 𝑥 por 𝑛 más cinco sobre 𝑛 más seis. Notamos que tres 𝑥 es independiente de 𝑛. Por lo tanto, podemos sacar el valor absoluto de tres 𝑥 fuera de nuestro límite. Y después dividimos el numerador y el denominador de la fracción por 𝑛. Esta es la potencia más alta de 𝑛 en nuestro denominador. Y el denominador se convierte en 𝑛 dividido por 𝑛, que es uno, más cinco sobre 𝑛. Y el denominador se convierte en uno más seis sobre 𝑛. Y cuando 𝑛 tiende a ∞, cinco sobre 𝑛 y seis sobre 𝑛 tienden a cero. De modo que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de uno más cinco sobre 𝑛 sobre uno más seis sobre 𝑛 es simplemente el valor absoluto de uno dividido por uno.

Así que necesitamos establecer dónde el valor absoluto de tres 𝑥 por uno es menor que uno, o simplemente dónde el valor absoluto de tres 𝑥 es menor que uno. Como tres es un número positivo, podemos dividir ambos lados de la desigualdad por tres sin afectar los signos de valor absoluto. Hallamos que el valor absoluto de 𝑥 debe ser menor que un tercio. Así que la serie converge si el valor absoluto de 𝑥 es menor que un tercio. En cambio, podemos decir que divergirá si el valor absoluto de 𝑥 es mayor que un tercio. Así que, de hecho, hemos encontrado el radio de convergencia de nuestra serie de potencias. Es 𝑅 igual a un tercio.

Otra forma de expresar que el valor absoluto de 𝑥 es menor que un tercio es decir que 𝑥 debe ser mayor que menos un tercio y menor que un tercio. Y así hemos determinado un intervalo de convergencia. Sabemos ciertamente que la serie de potencias converge para estos valores de 𝑥. Pero no sabemos lo que sucede en los extremos de nuestro intervalo. Vamos a hacer algo de sitio aquí y a reemplazar 𝑥 igual a menos un tercio y 𝑥 igual a un tercio en nuestra serie de potencias original. Y vamos a ver si estas series convergen o divergen usando una prueba diferente.

Vamos a comenzar igualando 𝑥 a menos un tercio. Nuestra serie es ahora la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de tres por menos un tercio a la 𝑛 sobre 𝑛 más cinco. Que simplifica a la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 sobre 𝑛 más cinco. Y probablemente reconozcas esto. Es una serie alternada. Este menos uno a la 𝑛 lo indica.

Vamos a usar el criterio de Leibniz para determinar si esta serie converge o diverge. Esta prueba es usada cuando tenemos una serie, sumatoria de 𝑎 𝑛, donde 𝑎 𝑛 es menos uno a la 𝑛 por 𝑏 𝑛 o menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑏 𝑛. Y aquí 𝑏 𝑛 debe ser mayor o igual que cero para todo 𝑛. Si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 es igual a cero y 𝑏 𝑛 es una sucesión decreciente, entonces la sumatoria de 𝑎 𝑛 es convergente.

Reescribamos nuestra serie como la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 por 𝑛 más cinco elevado a menos uno. Vemos que es de la forma dada, donde 𝑏 es igual a 𝑛 más cinco elevado a menos uno. Verifiquemos que el límite a cuando 𝑛 tiende a ∞ de este 𝑏 𝑛 es en efecto cero.

Sabemos que es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre 𝑛 más cinco. Y a medida que 𝑎 𝑛 se hace más grande, 𝑛 más cinco, el denominador de la fracción, se hace más y más grande. Así que uno sobre 𝑛 más cinco se vuelve más y más pequeño y, además, se acerca a cero. Y el límite de 𝑏 𝑛 cuando 𝑛 tiende a ∞ es de hecho cero.

El siguiente paso es verificar si 𝑏 𝑛 es una sucesión decreciente. Para esto derivamos toda la función con respecto a 𝑛. Usando la regla general de las potencias obtenemos menos 𝑛 más cinco elevado a menos dos, que es menos uno sobre 𝑛 más cinco todo al cuadrado. Para todos los valores de 𝑛 entre cero e ∞, el denominador de nuestra fracción es siempre positivo. Así que tenemos menos uno sobre un número positivo, que nos da un número negativo, y esto significa que tenemos una sucesión decreciente.

Hemos visto que se satisfacen todos los criterios para nuestra serie. Y podemos decir que la serie converge cuando 𝑥 es igual a menos un tercio. Hagamos ahora algo de espacio y probemos 𝑥 igual a un tercio. Esta vez, nuestra serie es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de tres por un tercio a la 𝑛 sobre 𝑛 más cinco, que es uno a la 𝑛 sobre 𝑛 más cinco que es simplemente uno sobre 𝑛 más cinco.

Esto es, de hecho, un ejemplo de una serie armónica. Y sabemos por supuesto que estas series divergen. Por lo tanto, nuestra serie diverge para valores de 𝑥 mayores o iguales que menos un tercio y menores que un tercio. Y aquí se muestra nuestro intervalo.

En nuestro último ejemplo, vamos a considerar cómo podemos usar el criterio de la raíz para hallar convergencia.

Considera la serie de potencias sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑛 por dos 𝑥 a la 𝑛. Determinar el radio de convergencia de las series de potencia y determinar el intervalo de convergencia de las series de potencia.

Para evaluar la convergencia de una serie de potencias, podemos usar el criterio de la raíz. Veamos el criterio de la raíz. La parte que nos interesa dice que supongamos que tenemos una serie sumatoria de 𝑎 𝑛. Si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la raíz 𝑛-ésima del valor absoluto de 𝑎 𝑛 —que, por supuesto, se puede escribir alternativamente como el valor absoluto de 𝑎 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛— es menor que uno. Entonces la serie es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente.

Por lo tanto, tenemos que 𝑎 𝑛 para nuestra serie es 𝑛 por dos 𝑥 a la 𝑛. Queremos establecer dónde el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 multiplicado por dos 𝑥 a la 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛 es menor que uno. Sabemos que encontrar una raíz de orden 𝑛 no cambia el signo. Así que podemos reescribir esto y decir que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛 multiplicado por dos 𝑥 a la 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛 debe ser menor que uno. Dos 𝑥 a la 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛 es simplemente dos 𝑥. Y nuestro límite queda como se muestra.

Sabemos que 𝑥 es independiente de 𝑛. Así que sacamos el valor absoluto de dos 𝑥 de nuestro límite. El problema que tenemos ahora es que si tratamos de evaluar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛. Obtenemos el valor absoluto de ∞ elevado a uno sobre ∞, que es ∞ elevado a cero. Y conocemos que esto es una forma indeterminada. Pero podemos escribir 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛 como 𝑒 elevado al logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛. Y sabemos que cuando 𝑛 tiende a ∞, el logaritmo neperiano de 𝑛 sobre 𝑛 tiende a cero. Así que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑛 elevado a uno sobre 𝑛 es 𝑒 elevado a cero, que es simplemente uno.

Obviamente, no necesitamos los signos de valor absoluto para uno. Y estamos interesados en cuando el valor absoluto de dos 𝑥 es menor que uno. Ya que dos es un número positivo, podemos dividir. Y hallamos que el valor absoluto de 𝑥 ha de ser menor que un medio. Estos son los valores de 𝑥 para los cuales la serie converge. Y, por lo tanto, podemos decir que el radio de convergencia de nuestra serie de potencias es un medio.

Otra forma de representar que el valor absoluto de 𝑥 es menor que un medio es decir que 𝑥 debe ser mayor que menos un medio y menor que un medio. Y así hemos determinado el intervalo de convergencia. Pero necesitamos verificar si la serie de potencias converge o diverge en los extremos de nuestro intervalo. En otras palabras, en 𝑥 igual a menos un medio y en 𝑥 igual a un medio.

Vamos a sustituir estos valores en nuestra serie de potencias original y ver si esas series convergen o divergen usando para ello el criterio de Leibniz. Dejamos algo de espacio. Comenzamos igualando 𝑥 a menos un medio. La serie es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑛 multiplicado por dos por menos un medio a la 𝑛. Y esto se vuelve 𝑛 por menos uno a la 𝑛.

Para determinar si esta serie converge o diverge, podemos usar el criterio de Leibniz con 𝑏 𝑛 igual a 𝑛. Ya que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 no es igual a cero, podemos decir que la serie diverge. Probemos ahora con 𝑥 igual a un medio. Tenemos la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑛 por dos por un medio a la 𝑛. Esto es 𝑛 por uno a la 𝑛. Y por supuesto uno a la 𝑛 siempre será uno. Así que tenemos la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑛.

Esta vez, podemos aplicar la prueba de divergencia del límite del 𝑛-ésimo término. El límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑛 es ∞. Eso no es igual a cero. Así que, cuando 𝑥 es igual a un medio, nuestra serie también diverge. Y así, el intervalo de convergencia de nuestra serie de potencias es el intervalo abierto de menos un medio a un medio.

En este video, hemos visto que una serie de la forma sumatoria de 𝑐 𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞ se llama serie de potencias centrada en 𝑎. También hemos visto que podemos usar el criterio d’Alembert y el criterio de la raíz para hallar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias. Y hemos visto que debemos examinar los extremos de este intervalo para determinar en ellos la convergencia o divergencia de la serie.

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