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En esta lección vamos a aprender cómo resolver ecuaciones exponenciales aplicando las propiedades de las potencias. Las propiedades de las potencias que vamos a ver son la del producto, la del cociente y la de la potencia, además de aquellas relativas a exponentes nulos, negativos y fraccionarios. Comencemos, pues, repasando estas propiedades. La primera se refiere a la multiplicación de números con exponentes, o sea, de potencias. Ten en cuenta que esta propiedad solo es cierta cuando la base, que es este número más grande, y que aquí es 𝑥, es la misma. Si ese es el caso, para multiplicar estas potencias solo tenemos que sumar sus exponentes. Es decir, 𝑥 elevado a 𝑎 multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑏 es 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏.
Análogamente, para dividir estas potencias hemos de restar sus exponentes. O sea, 𝑥 elevado a 𝑎 dividido por 𝑥 elevado a 𝑏 es 𝑥 elevado a 𝑎 menos 𝑏. Cuando tenemos paréntesis, o sea, cuando elevamos una potencia a un exponente, los exponentes se multiplican. Por lo tanto, 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 es lo mismo que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑏. Recordemos, además, que cualquier número elevado a cero es uno. Un exponente negativo en una potencia significa que hemos de hallar el recíproco, así que 𝑥 elevado a menos 𝑎 es uno partido por 𝑥 elevado a 𝑎. Y un exponente fraccionario nos dice que debemos calcular una raíz, de forma que, por ejemplo, 𝑥 elevado a uno partido por 𝑎 es lo mismo que la raíz de índice 𝑎 de 𝑥.
En este vídeo vamos a aplicar estas propiedades para ayudarnos a resolver ecuaciones exponenciales. Y la mejor forma de ver cómo esto se puede llevar a cabo es con un ejemplo.
Sabiendo que dos elevado a 𝑥 es igual a 32, halla el valor de 𝑥.
Como ves, en esta ecuación tenemos una potencia cuyo exponente es la incógnita. El exponente aquí es 𝑥. Normalmente, para resolver una ecuación lo que hacemos es realizar una serie de operaciones inversas, pero lo contrario de hallar el exponente 𝑥 es hallar la raíz 𝑥, lo que en realidad no nos ayuda demasiado. Fíjate, en vez de eso, en que el número 32 puede escribirse como una potencia de dos. De hecho, sabemos que dos a la quinta es 32. Esto significa que podemos reescribir esta ecuación como dos elevado a 𝑥 igual a dos a la quinta.
Muy bien, pero, ¿en qué nos ayuda esto? Bueno, fíjate en que la base —el número grande; que aquí es dos— es la misma. Y, por lo tanto, para que esta igualdad sea cierta, los exponentes deben ser iguales también. O sea, 𝑥 debe valer cinco. Cuando resolvemos ecuaciones debemos acostumbrarnos a comprobar la respuesta sustituyéndola en la ecuación original. Hagamos entonces 𝑥 igual a cinco. De esta forma dos elevado a 𝑥 se convierte en dos a la quinta, que efectivamente es igual a 32. Así que nos han dicho que dos elevado a 𝑥 es igual a 32, y hemos hallado que 𝑥 es igual a cinco.
Como ves, este ejemplo de cómo resolver una ecuación exponencial ha sido muy sencillito. Pasemos ahora a aplicar algunas de las propiedades de las potencias en el siguiente ejemplo.
Sabiendo que ocho elevado a 𝑦 es igual a cuatro elevado a 𝑧, que es igual a 64, calcula 𝑦 más 𝑧.
Fíjate en que esta ecuación es bastante poco común, pues está compuesta por tres miembros. Para resolver esta cuestión lo importante es darnos cuenta de que podemos expresar cada una de las partes numéricas de la ecuación como potencias de la misma base. De hecho, vemos que todas pueden escribirse como dos elevado a un número. A continuación se muestran algunas de las primeras potencias de dos. Sabemos que dos al cuadrado es cuatro, dos al cubo es ocho, así hasta dos a la sexta, que es igual a 64. Sustituyamos entonces cada parte numérica de la ecuación por su potencia de dos correspondiente. Ocho es dos al cubo. Por tanto, ocho elevado a 𝑦 es dos al cubo elevado a 𝑦. A continuación, cuatro es dos al cuadrado, así que cuatro elevado a 𝑧 es dos al cuadrado elevado a 𝑧. Y por último, 64 es dos a la sexta.
Pero, ¿en qué nos ayuda esto? Bueno, para averiguarlo recordemos la propiedad de las potencias en la que una potencia está elevada a un exponente, que dice que 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑏. Multiplicamos los exponentes. De esta forma, dos al cubo elevado a 𝑦 puede escribirse como dos elevado a tres por 𝑦 o sencillamente dos elevado a tres 𝑦. Seguidamente, dos al cuadrado elevado a 𝑧 es lo mismo que dos elevado a dos 𝑧. Así, nuestra ecuación es ahora dos elevado a tres 𝑦 igual a dos elevado a dos 𝑧, que es igual a dos a la sexta.
Ahora que la base —el número más grande, que es aquí dos—, es la misma, para que esta igualdad se cumpla, los exponentes también deben ser iguales. Es decir, tres 𝑦 debe ser igual a dos 𝑧, que a su vez debe ser igual a seis. Vamos entonces a descomponer esta ecuación para calcular 𝑦 y 𝑧 por separado. Comenzamos igualando tres 𝑦 a seis. Tres 𝑦 es igual a seis. Despejamos 𝑦 dividiendo ambos lados por tres. Tres 𝑦 entre tres es 𝑦, y seis entre tres es dos. Así que 𝑦 es igual a dos.
Ahora vamos a igualar los otros dos miembros de la ecuación. Dos 𝑧 es igual a seis. Y para despejar 𝑧 dividimos por dos. Dos 𝑧 entre dos es 𝑧, y seis entre dos es tres. De esta forma hemos hallado que 𝑦 es igual a dos y que 𝑧 es igual a tres. Pero aún no hemos terminado. Nos queda calcular 𝑦 más 𝑧. Bueno, sabemos que esto es dos más tres, que es cinco. Así, dadas las restricciones de nuestra ecuación, hemos hallado que 𝑦 más 𝑧 es igual a cinco.
Ahora vamos a aprender cómo hallar el conjunto solución de una ecuación exponencial cuando los exponentes son binomios.
Halla el valor de 𝑥 para el que ocho elevado a 𝑥 más dos es igual a dos elevado a 𝑥 más cuatro. Expresa la respuesta redondeada a la décima más cercana.
Aquí tenemos una ecuación compuesta por dos potencias, pero en este caso los exponentes son binomios; tienen dos términos. La clave para resolver este ejercicio está en darse cuenta de que las dos bases de la ecuación —los números más grandes, o sea ocho y dos— pueden escribirse como una potencia con una base común. De hecho, sabemos que dos al cubo es ocho, así que reescribimos la base del lado izquierdo como dos al cubo. Veamos qué pinta tiene esto. Hemos convertido ocho elevado a 𝑥 más dos en dos al cubo elevado a 𝑥 más dos. Esto nos ha sido de mucha ayuda, pues ahora ya podemos multiplicar los exponentes.
Como hemos visto, 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 es 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑏. Por tanto, esto se convierte en dos elevado a tres por 𝑥 más dos. Sustituyamos esta expresión en la ecuación anterior. Lo hacemos y obtenemos que dos elevado a tres por 𝑥 más dos es igual a dos elevado a 𝑥 más cuatro. Muy bien, ¿y por qué hemos hecho esto? Bueno, ahora que la base es la misma en ambos lados —es dos—, para que la igualdad se cumpla, los exponentes también deben ser los mismos. Es decir, tres por 𝑥 más dos debe ser igual a 𝑥 más cuatro.
Para despejar 𝑥 vamos a comenzar eliminando el paréntesis del lado izquierdo. Pero ¡ojo!, al hacerlo debemos asegurarnos de que estamos multiplicando primero tres por 𝑥 y luego tres por dos. Tres por 𝑥 es tres 𝑥 y tres por dos es seis. De esta forma tenemos que la ecuación es tres 𝑥 más seis igual a 𝑥 más cuatro. Y como queremos despejar la 𝑥, vamos a restar el término de 𝑥 con el menor coeficiente. Así que restamos 𝑥 de ambos lados. Tres 𝑥 menos 𝑥 es dos 𝑥 y 𝑥 menos 𝑥 es cero. Por lo tanto, nuestra ecuación se convierte en dos 𝑥 más seis igual a cuatro. Seguidamente restamos seis de ambos lados. Dos 𝑥 más seis menos seis es dos 𝑥 y cuatro menos seis es menos dos.
El último paso que tenemos que hacer para calcular 𝑥 es dividir por dos. Lo hacemos y obtenemos que 𝑥 es igual a menos uno. Menos uno es un número entero, así que no tenemos que redondear aunque nos lo hayan pedido en el enunciado. No obstante, lo que sí debemos hacer es comprobar que nuestra solución es correcta sustituyéndola en la ecuación original. Ocho elevado a 𝑥 más dos se convierte en ocho elevado a menos uno más dos. Eso es ocho elevado a uno, que es ocho. Seguidamente, dos elevado a 𝑥 más cuatro se convierte en dos elevado a menos uno más cuatro. Eso es dos al cubo, que también es igual a ocho. Y como estas expresiones son iguales, nuestra respuesta es correcta. 𝑥 es igual a menos uno.
En el próximo ejemplo, vamos a ver cómo resolver una ecuación exponencial en la que tenemos un valor absoluto.
Determina el conjunto de las soluciones de dos elevado al valor absoluto de ocho 𝑥 menos 12 igual a ocho elevado a cuatro 𝑥 menos cuatro.
Para resolver esta ecuación debemos darnos cuenta de que ocho puede expresarse como dos al cubo, con lo que tendremos una ecuación en la que las bases son iguales. En la expresión que tenemos a la derecha, si sustituimos ocho por dos al cubo, obtenemos dos al cubo elevado a cuatro 𝑥 menos cuatro. Una de las propiedades de las potencias puede ayudarnos a simplificar esta ecuación. Sabemos que 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑏. Cuando tenemos paréntesis multiplicamos los exponentes, así que podemos reescribir esto como dos elevado a tres por cuatro 𝑥 menos cuatro.
Así, la ecuación original puede reescribirse como dos elevado al valor absoluto de ocho 𝑥 menos 12 igual a dos elevado a tres por cuatro 𝑥 menos cuatro. Esto nos viene de perlas, pues ahora tenemos que las bases son las mismas —es dos en ambos lados—, y, para que esta igualdad sea cierta, los exponentes también deben ser iguales. Es decir, el valor absoluto de ocho 𝑥 menos 12 debe ser igual a tres por cuatro 𝑥 menos cuatro.
Vamos a desarrollar este paréntesis multiplicando cada término de dentro del paréntesis por el tres que está fuera. Lo hacemos y obtenemos 12𝑥 menos 12. Entonces, ¿cómo resolvemos una ecuación de valor absoluto? Bueno, sabemos que lo que hace el símbolo de valor absoluto es tomar los valores negativos y convertirlos en positivos. Por lo tanto, lo que vamos a hacer es cambiar el signo de aquello a lo que es igual este valor absoluto. Así, ocho 𝑥 menos 12 es igual a 12𝑥 menos 12 o bien ocho 𝑥 menos 12 es igual a menos 12𝑥 menos 12.
Y, si desarrollamos el paréntesis del lado derecho, obtenemos menos 12𝑥 más 12. Resolvamos pues ambas ecuaciones. En la primera ecuación restamos ocho 𝑥 de ambos lados, y obtenemos menos 12 igual a cuatro 𝑥 menos 12. Seguidamente sumamos 12 a ambos lados. Al hacerlo obtenemos que cero es igual a cuatro 𝑥. Pero la única posibilidad de que esto se cumpla es si 𝑥 vale cero. Bien, esta es una posible solución. Resolvamos la segunda ecuación. En la segunda ecuación vamos a comenzar sumando 12𝑥 en ambos lados, de modo que obtenemos 20𝑥 menos 12 igual a 12. Luego sumamos 12 en ambos lados, y obtenemos 20𝑥 igual a 24. Por último dividimos por 20, y hallamos que 𝑥 es igual a 24 partido por 20, que se simplifica a seis quintos.
Para comprobar estas dos soluciones vamos a sustituirlas en la ecuación original y comprobar si realmente funcionan. Si sustituimos cero en la ecuación original, el lado izquierdo se convierte en dos elevado al valor absoluto de menos 12 y el derecho se convierte en ocho elevado a menos cuatro. El valor absoluto de menos 12 es 12 y ocho elevado a menos cuatro es uno partido entre ocho a la cuarta. Si calculamos esto hallamos que dos elevado a doce es 4096. Y el lado derecho se convierte en uno partido por 4096. Como puedes ver, estos números no son iguales. Por lo tanto, la solución 𝑥 igual a cero no funciona. Así que descartamos esta solución.
Vamos a repetir este proceso con el segundo valor de 𝑥. En el lado izquierdo, obtenemos dos elevado al valor absoluto de menos 2.4, que debe ser igual a ocho elevado a 0.8. Sabemos que el valor absoluto de menos 2.4 es 2.4. Así que vamos a calcular ambos lados. Lo hacemos y hallamos que ambos valen 5.27 aproximadamente, por lo que esta solución sí funciona. Otra forma de comprobar esto es reescribir dos elevado a 2.4 como dos al cubo elevado a 0.8. Y eso es porque tres veces 0.8 es 2.4. Y sabemos que dos al cubo es ocho. Así que de hecho estamos diciendo que ocho elevado a 0.8 es igual a ocho elevado a 0.8.
No debemos olvidar, no obstante, que el problema nos pide que hallemos el conjunto de las soluciones de la ecuación. Así que, aunque solo tengamos una solución, debemos escribirla entre llaves de todas formas. El conjunto de soluciones de esta ecuación es el conjunto que contiene el elemento seis quintos.
En el último ejemplo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones exponenciales más complicadas usando un poco de observación.
Determina el conjunto solución de 𝑥 elevado a 𝑥 al cuadrado menos 64 igual a seis elevado a 𝑥 al cuadrado menos 64.
En primer lugar vemos que los exponentes a ambos lados de la ecuación son iguales. Y por tanto, para que ambos lados de la ecuación sean iguales, un valor de 𝑥 es cuando las bases, los números grandes, son iguales. Es decir, si tenemos 𝑥 es igual a seis, ambos lados de nuestra ecuación son idénticos, así que esa es una solución. Pero, ¿hay alguna otra opción? Bueno, otra forma de asegurarnos de que los dos lados de la ecuación son iguales es tener un exponente de cero, pues cualquier número elevado a cero es uno. Y así, vamos a hacer el exponente 𝑥 al cuadrado menos 64 igual a cero.
Ahora, para despejar 𝑥, sumamos 64 en ambos lados, y obtenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a 64. Por último, hallamos la raíz cuadrada de ambos lados, pero ¡ojo!, hemos de tomar tanto la raíz cuadrada positiva como negativa de 64. Y como la raíz cuadrada de 64 es ocho, las soluciones de esta ecuación son 𝑥 igual a más o menos ocho. De esta forma, hasta el momento tenemos tres valores posibles de 𝑥. Pero de hecho, hay uno más. Y es 𝑥 igual a menos seis. Y ¿por qué 𝑥 igual a menos seis funciona?
Bueno, supongamos que 𝑥 es igual a menos seis. Si ese es el caso, el exponente se convierte en menos seis al cuadrado menos 64, que es menos 28. Y sabemos que si 𝑎 es un número par, menos 𝑥 elevado a 𝑎 es lo mismo que 𝑥 elevado a 𝑎. Y el lado izquierdo es menos seis elevado a menos 28. Pero como menos 28 es par, esto es lo mismo que seis elevado a menos 28, que es lo que obtenemos en el lado derecho. Por lo tanto, 𝑥 igual a menos seis también es una solución. Ten en cuenta que solo hemos encontrado el menos seis porque queríamos igualar las bases. No podemos usar cualquier valor de 𝑥 que haga que los exponentes sean iguales. Solo funciona con menos seis.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones de nuestra ecuación es el conjunto formado por los elementos seis, menos seis, ocho y menos ocho.
En este vídeo hemos aprendido que podemos usar las propiedades de las potencias para ayudarnos a resolver ecuaciones exponenciales. Hemos visto además que, si obtenemos una base común usando estas propiedades, podemos entonces igualar los exponentes y resolver esta ecuación como lo hacemos normalmente. Hemos aprendido también que siempre debemos comprobar si las respuestas son válidas sustituyéndolas en la ecuación original y que, si estamos operando con bases negativas, entonces debemos prestar atención a los posibles exponentes pares porque pueden dar lugar a soluciones adicionales.
