Lesson Video: Sucesos dependientes y sucesos independientes

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En este video, vamos a aprender cómo calcular probabilidades para sucesos dependientes y sucesos independientes y cómo comprobar si dos sucesos son independientes. Recuerda que, en probabilidad, un suceso o evento es un conjunto de resultados de un experimento. Por ejemplo, en el caso de lanzar un dado, un ejemplo de evento es obtener un número impar. Los resultados que componen este evento son los números uno, tres y cinco. En el caso de girar la ruleta, un ejemplo de suceso es que la ruleta se detenga en el número uno. Estos dos sucesos son un ejemplo de sucesos independientes.

En este video, vamos a aprender por qué es ese el caso y cómo podemos calcular la probabilidad de que ambos eventos ocurran usando la fórmula que se muestra en la pantalla. También vamos a ver una fórmula diferente que podemos usar para calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos si son dependientes. Consideremos lo que significa que dos sucesos sean independientes. Supongamos que tenemos dos eventos 𝐴 y 𝐵. Estos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. En otras palabras, lo que esto significa es que, si ocurre un evento, esto no hace que la probabilidad de que el otro evento ocurra sea más o menos probable.

De la misma manera, si un evento no ocurre, no afecta la probabilidad del otro. Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado dos veces. Los lanzamientos sucesivos del dado son independientes. El número que obtenemos en el primer lanzamiento no afecta las probabilidades del número que obtenemos la segunda vez. Por lo tanto, los sucesos de, por ejemplo, que el primer número sea impar y el segundo número sea primo son independientes entre sí. Hemos dicho que dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Podemos expresar esto de manera más formal diciendo que la probabilidad de que ocurra 𝐵 dado que 𝐴 ha ocurrido es igual a la probabilidad de 𝐵. Es decir, la probabilidad condicional del suceso 𝐵 dado el suceso 𝐴 es igual a la probabilidad del suceso 𝐵.

Esto también debe ser igual a la probabilidad de que el suceso 𝐵 ocurra sabiendo que el suceso 𝐴 no ha ocurrido, y lo mismo debe ser cierto al revés. La probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴 dado que el suceso 𝐵 ha ocurrido debe ser la misma que la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴. Si una de estas dos igualdades no es cierta, entonces decimos que los eventos 𝐴 y 𝐵 son eventos dependientes. A continuación, vamos a ver cinco situaciones diferentes y vamos a verificar si el par de eventos que describen son dependientes o independientes.

¿En cuál de las siguientes situaciones son 𝐴 y 𝐵 sucesos independientes? (A) Un estudiante sale de su casa camino a la escuela. El suceso 𝐴 es que llegue a la parada del autobús a tiempo para tomar el autobús, y el suceso 𝐵 es que llegue a la escuela a tiempo. (B) Se lanza un dado. El suceso 𝐴 es obtener un número par y el suceso 𝐵 es obtener un número primo. (C) Se lanza un dado y se lanza una moneda. El suceso 𝐴 es obtener un seis en el dado, y el suceso 𝐵 es que la moneda caiga con la cara hacia arriba. (D) Un niño saca dos golosinas al azar de una bolsa que contiene chicles y caramelos. El suceso 𝐴 es sacar un chicle primero, y el suceso 𝐵 es sacar un caramelo en segundo lugar. (E) Un maestro escoge al azar a dos alumnos de un grupo que contiene cinco niños y cinco niñas. El evento 𝐴 es que el maestro escoja primero a un niño, y el evento 𝐵 es que el maestro escoja a una niña en segundo lugar.

Recuerda que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo tanto, para establecer si cada uno de estos pares de eventos es independiente, debemos examinar si la ocurrencia del evento 𝐴 afecta la probabilidad de que ocurra el evento 𝐵. Analicemos cada escenario. En el primer escenario, el evento 𝐴 es que el estudiante llega a la parada del autobús a tiempo para tomar el autobús, y el evento es que llega a la escuela a tiempo. Parece razonable suponer que la probabilidad de que el estudiante llegue a la escuela a tiempo aumenta en gran medida si toma el autobús y, a la inversa, es más probable que el estudiante llegue tarde a la escuela si lo pierde. Por lo tanto, la ocurrencia del suceso 𝐴 afecta la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵, lo que significa que estos dos sucesos son dependientes.

En el escenario (B), este dado solo se lanza una vez, y ambos sucesos se refieren al resultado de ese único lanzamiento. El suceso 𝐴 nos da un número par y el suceso 𝐵 nos da un número primo. Suponiendo que este es un dado de seis lados, el suceso 𝐴 es obtener cualquiera de los números dos, cuatro o seis. El suceso 𝐵, que es obtener un número primo, significa obtener cualquiera de los resultados dos, tres o cinco. Suponiendo que el dado no es sesgado, y que todos estos resultados son igualmente probables, la probabilidad de obtener un número primo es tres de seis, lo que, por supuesto, se simplifica a un medio. Por tanto, podemos decir que la probabilidad de 𝐵 es igual a un medio.

En cambio, si asumimos que el evento 𝐴 ya ha tenido lugar, esto significa que ya sabemos que el número que hemos obtenido es par. Es dos, cuatro o seis. ¿Cuál es ahora la probabilidad condicional de que el número sea primo, la probabilidad de (B) dado que ha ocurrido el suceso 𝐴? Si sabemos que el número es par, es dos, cuatro o seis, para que sea primo, tiene que ser el número dos. En otras palabras, la probabilidad de obtener un número primo sabiendo que tenemos un número par es la probabilidad de obtener el número dos del conjunto de los números dos, cuatro y seis. Esto es uno de cada tres resultados igualmente probables. Que es igual a un tercio. Hallamos entonces que la probabilidad del suceso 𝐵 no es la misma que la probabilidad del suceso 𝐵 si el suceso 𝐴 ha ocurrido. Por tanto, estos dos sucesos son dependientes.

Consideremos ahora la tercera situación. Aquí, el suceso 𝐴 es obtener un seis al lanzar el dado, y el suceso 𝐵 es que la moneda caiga con la cara hacia arriba. Pensemos en esto intuitivamente. Supongamos que ya hemos sacado un seis en el dado. ¿Cambia la probabilidad de que la moneda caiga con la cara hacia arriba? No, por supuesto que no. El resultado del lanzamiento no afecta lo que sucederá cuando lancemos la moneda. La probabilidad de que la moneda caiga con la cara hacia arriba sigue siendo un medio, independientemente de lo que sucedió cuando lanzamos el dado. Esto significa que los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.

Todavía necesitamos comprobar las dos situaciones restantes. En la situación (D), un niño está sacando golosinas de una bolsa. El suceso 𝐴 es sacar un chicle primero, y el suceso 𝐵 es sacar un caramelo en segundo lugar. Para determinar si estos dos sucesos son independientes, necesitamos saber si la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵 es diferente dependiendo de si el suceso 𝐴 ya ha ocurrido o no. No sabemos cuántos caramelos y chicles hay en la bolsa, pero sí sabemos que al sacar una golosina, el niño cambia la razón entre caramelos y chicles en la bolsa. Si ocurre el evento 𝐴, la primera golosina que saca el niño es un chicle, y en eses caso habrá una mayor proporción de caramelos en la bolsa que al principio.

Por el contrario, si la primera golosina que tomó el niño fue un caramelo, ahora hay una menor proporción de chicles en la bolsa. Por lo tanto, es más probable que el niño saque un caramelo en segundo lugar si la primera golosina fue un chicle que si la primera golosina fue un caramelo. Como podemos ver, el hecho de que ocurra el suceso 𝐴 afecta la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵, lo que significa que estos dos sucesos son dependientes. La última situación es similar a la anterior. El evento 𝐴 es el maestro escogiendo a un niño primero, y el evento 𝐵 es el maestro seleccionando a una niña en segundo lugar. Podemos usar un argumento similar al que usamos para los caramelos. Si el suceso 𝐴 ocurre, es decir, si el maestro selecciona a un niño primero, entonces quedan nueve alumnos, y cinco de estos son niñas. Esto significa que la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵 dado que ha ocurrido el suceso 𝐴 es cinco novenos.

Si, por otro lado, que el evento 𝐴 no ocurre, significa que el maestro escoge a una niña primero. Así que ahora quedan nueve alumnos, pero solo cuatro de ellos son niñas. La probabilidad de que el maestro escoja una niña en segundo lugar es ahora de cuatro novenos. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵 dado que el suceso 𝐴 ha ocurrido es diferente de la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵 sabiendo que el suceso 𝐴 no ha ocurrido. Esto significa que el hecho de que ocurra el suceso 𝐴 afecta la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵. De modo que, los sucesos descritos en la situación (E) también son sucesos dependientes. Solo una de las cinco situaciones describe eventos independientes, la situación (C).

Hemos analizado varias situaciones para ayudarnos a comprender la diferencia entre eventos independientes y eventos dependientes. Ahora vamos a considerar cómo calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos, y debemos tener cuidado para decidir si los eventos son independientes o dependientes. Si ilustramos los sucesos 𝐴 y 𝐵 en un diagrama de Venn, la probabilidad de que ocurran 𝐴 y 𝐵 corresponde a la intersección entre los dos círculos que representan el suceso 𝐴 y el suceso 𝐵. Debemos recordar la fórmula de probabilidad condicional, que nos dice que la probabilidad de que el suceso 𝐵 ocurra dado que el suceso 𝐴 ha ocurrido es igual a la probabilidad de que los sucesos 𝐴 y 𝐵 ocurran dividido por la probabilidad de que suceda 𝐴. Eso es la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 partido por la probabilidad de 𝐴.

Esto es cierto para todos los sucesos 𝐴 y 𝐵, siempre que la probabilidad de 𝐴 no sea igual a cero, independientemente de si los sucesos son dependientes o independientes. Podemos reorganizar esta fórmula multiplicando ambos lados de la ecuación por la probabilidad de 𝐴 para obtener que la probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad de 𝐵 condicionada a 𝐴 es igual a la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵. Y luego podemos intercambiar los lados. Esta fórmula se llama la regla general de la multiplicación. Y es válida para dos eventos cualesquiera 𝐴 y 𝐵, ya sean dependientes o independientes. Sin embargo, sabemos que, para los sucesos independientes, el hecho de que ocurra el suceso 𝐴 no tiene ningún efecto en la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵. La probabilidad de 𝐵 dado el evento 𝐴 es igual a la probabilidad de 𝐵.

Esto nos lleva a las reglas de multiplicación específicas para sucesos independientes. Si dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes, entonces la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad de 𝐵. Esta regla funciona en ambos sentidos. Podemos usarla para calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes si conocemos sus probabilidades individuales. También, si conocemos las tres probabilidades, podemos sustituirlas en esta fórmula para determinar si dos sucesos son independientes o no. Si las probabilidades satisfacen esta igualdad, los sucesos son independientes. Pero si no, son dependientes. Consideremos ahora un ejemplo en el que usamos probabilidades presentadas en un diagrama de Venn para determinar si dos eventos son independientes o dependientes.

En un diagrama de Venn del espacio muestral 𝑆 se muestran las probabilidades de los sucesos 𝐴 y 𝐵, y de sus combinaciones. ¿Son 𝐴 y 𝐵 sucesos independientes?

Vamos a comenzar recordando la regla de la multiplicación para sucesos independientes. Si dos sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes, entonces la probabilidad de la intersección de 𝐴 y 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad de 𝐵. Podemos determinar cada una de estas probabilidades a partir del diagrama de Venn y luego comprobar si estas probabilidades satisfacen la regla de la multiplicación para eventos independientes. La probabilidad de la intersección de 𝐴 y 𝐵, en primer lugar, es la probabilidad escrita en la intersección de los dos círculos. Es cinco diecinueveavos. La probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴 es el total de las probabilidades en el círculo que representa 𝐴. Estos es cuatro diecinueveavos más cinco diecinueveavos, por lo que la probabilidad total de que ocurra el suceso 𝐴 es nueve diecinueveavos.

Para el evento 𝐵, la probabilidad total es cinco diecinueveavos más cinco diecinueveavos, que son diez diecinueveavos. Ahora hallamos el producto de las probabilidades individuales. La probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad de 𝐵 es nueve sobre 19 multiplicado por 10 sobre 19. Eso es 90 sobre 361, que no se simplifica más. Como esto no se simplifica, debe estar claro que no es igual a cinco sobre 19. Pero si queremos mostrar esto aún más claramente, podemos escribir la fracción de cinco diecinueveavos de forma equivalente como la fracción 95 sobre 361. Hemos hallado, en definitiva, que la probabilidad de la intersección de 𝐴 y 𝐵 no es igual a la probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad de 𝐵. Según la regla de la multiplicación para eventos independientes, esto significa que 𝐴 y 𝐵 no son eventos independientes. Por lo tanto, nuestra respuesta a la cuestión es no.

Veamos ahora un último ejemplo en el que calculamos la probabilidad de la intersección de dos eventos. Debemos tener cuidado y determinar si los dos eventos son dependientes o independientes.

Una bolsa contiene 18 bolas blancas y nueve bolas negras. Si dos bolas se extraen consecutivamente sin ser reemplazadas, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra y la primera sea blanca?

Usemos 𝐴 para representar el evento de que la primera bola sea blanca y 𝐵 para representar el evento de que la segunda bola sea negra. Se nos pide determinar la probabilidad de que ocurran ambos eventos. Es decir, estamos buscando la probabilidad de la intersección de los eventos 𝐴 y 𝐵. A leer la cuestión con atención, notamos que la segunda bola se saca sin reemplazar la primera bola. Esto significa que las condiciones bajo las cuales extraemos la segunda bola son diferentes de las condiciones bajo las cuales extraemos la primera. Por lo tanto, los dos sucesos son dependientes.

Recordemos la regla general de la multiplicación o fórmula de la intersección de sucesos. La probabilidad de la intersección de los sucesos 𝐴 y 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴. Consideremos las probabilidades que necesitamos. Primero, la probabilidad del suceso 𝐴, esa es la probabilidad de que la primera bola sea blanca. Bien, al principio, hay 18 bolas blancas en la bolsa y nueve bolas negras. Como es igualmente probable que elijamos cualquier bola, la probabilidad de que la primera bola que elijamos sea blanca es 18 sobre 18 más nueve. Ese es el número de bolas blancas sobre el número total de bolas en la bolsa. Eso nos da 18 sobre 27, lo que se simplifica a dos tercios.

Ahora pensemos en la probabilidad del segundo suceso. Ya hemos decidido que estos eventos son dependientes, por lo que necesitamos la probabilidad condicional del evento 𝐵 dado que el evento 𝐴 ha ocurrido, es decir, la probabilidad de que la segunda bola sea negra dado que la primera es blanca. Independientemente del color de la primera pelota, una ha sido sacada de la bolsa. Esto significa que el número total de bolas que quedan en la bolsa se ha reducido en uno. Así que ahora son 26. Si ocurrió el suceso 𝐴, es decir, si la primera pelota que tomamos fue blanca, entonces el número de pelotas negras en la bolsa no ha cambiado. Así que todavía hay nueve bolas negras.

La probabilidad de que la segunda bola sea negra dado que la primera era blanca es, por lo tanto, nueve de 26. Ahora podemos sustituir estas dos probabilidades en la fórmula de la intersección, y obtenemos que la probabilidad de la intersección de 𝐴 y 𝐵 es igual a dos tercios multiplicado por nueve sobre 26. Podemos cancelar en cruz un factor de tres del tres y del nueve y un factor de dos del dos y del 26. Nos queda uno multiplicado por tres sobre uno multiplicado por 13, que es tres sobre 13. Así que, usando la regla general de la multiplicación, hemos hallado que la probabilidad de que la segunda bola sea negra y la primera bola sea blanca es de tres sobre 13.

Resumamos ahora los puntos principales de este video. En primer lugar, dos sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Usando la notación de probabilidad, podemos expresar esto como que los eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si la probabilidad condicional del evento 𝐵 dado que el evento 𝐴 ha ocurrido es igual a la probabilidad de 𝐵. Y viceversa, la probabilidad condicional del suceso 𝐴 dado que el suceso 𝐵 ha ocurrido debe ser igual a la probabilidad de 𝐴.

La regla general de la multiplicación, o fórmula de la intersección de sucesos, nos dice que para dos eventos cualesquiera 𝐴 y 𝐵, independientemente de si son dependientes o independientes, la probabilidad de la intersección de los eventos 𝐴 y 𝐵, que es la probabilidad de que ocurran ambos eventos 𝐴 y 𝐵, es igual a la probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad condicional de 𝐵 dado que el evento 𝐴 ha ocurrido. Y finalmente, la regla de la multiplicación para sucesos independientes. Los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes si y solo si la probabilidad de la intersección de 𝐴 y 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 multiplicada por la probabilidad de 𝐵. Y recuerda, esta regla funciona en ambos sentidos. Podemos usarla para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes o, si conocemos estas tres probabilidades, podemos usarla para comprobar si dos eventos son independientes o no.