Vídeo de la lección: El argumento de un número complejo Matemáticas

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En este video, vamos a aprender cómo calcular el argumento de un número complejo. Vamos a aprender qué significan los términos argumento y argumento principal, y cómo calcularlos. Vamos a considerar las propiedades del argumento en relación con el complejo conjugado y vamos a aprender cómo hallar los argumentos de productos y cocientes de números complejos.

Sabemos que podemos representar números complejos en un plano, que llamamos plano complejo. A esta representación la llamamos diagrama de Argand, por el nombre de uno de los matemáticos que primero la usaron. Podemos usarla para representar en el plano un número complejo de la forma 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖. Recordemos que la parte real de este número complejo es 𝑎 y la parte imaginaria es 𝑏. Necesitamos ubicar la parte real 𝑎 en el eje real. Que es el eje horizontal. Podemos movernos hacia arriba o hacia abajo para ubicar la parte imaginaria 𝑏 en el eje imaginario. Que es el eje vertical. 𝑎 más 𝑏𝑖 puede ser representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son 𝑎, 𝑏, como se muestra.

Si tenemos una recta conectando este punto al origen, vemos que podemos obtener información adicional. Podemos, por ejemplo, calcular el ángulo que forma este segmento de recta con el semieje real positivo. Y llamamos a este ángulo el argumento del número complejo. Lo representamos como se muestra. Es importante que recordemos que tenemos que medir esto desde el semieje real positivo en sentido antihorario. Y generalmente se expresa en radianes. Hay una definición adicional requerida aquí. El valor principal del argumento 𝜃 en radianes es aquel valor de 𝜃 que es mayor que menos 𝜋 y menor o igual que 𝜋. Sin embargo, es perfectamente normal utilizar valores del argumento fuera de este rango.

Ya que los números complejos pueden estar en cuatro cuadrantes, podemos ver que los números complejos ubicados en el tercer y cuarto cuadrante tendrán argumentos medidos en la dirección incorrecta. En este caso, el argumento principal de nuestro número complejo será negativo. ¿Cómo calculamos el valor de un argumento? Supongamos que tenemos un número complejo de la forma cuatro más tres 𝑖. Vemos que podemos representarlo en el plano complejo como el punto cuyas condenadas cartesianas son cuatro, tres. El argumento de este número complejo es 𝜃. Es el ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje real positivo.

Y lo que podemos hacer a continuación es completar un triángulo rectángulo que tenga este ángulo interno 𝜃. Recordemos, ese es nuestro argumento. El lado opuesto a este ángulo mide tres unidades de longitud. Y el lado adyacente a este ángulo mide cuatro unidades de longitud. Al definir los lados de esta manera, podemos usar la trigonometría de triángulos rectángulos para calcular la medida de este ángulo, el argumento. Sabemos que tan 𝜃 es igual a opuesto sobre adyacente. Es decir que para nuestro triángulo rectángulo, tan 𝜃 es igual a tres sobre cuatro.

Resolvemos esta ecuación para 𝜃 hallando el inverso de tan o arcotangente de ambos lados. Y vemos que 𝜃 es igual a arcotangente de tres cuartos. Lo que nos da un valor de 0.64 radianes, con dos cifras significativas. Y. por lo tanto, el argumento de este número complejo es 0.64 radianes. Ahora bien, la función arcotangente de 𝑥 es una función que toma múltiples valores para cada valor de 𝑥. Por lo tanto, no podemos generalizar esto como una fórmula válida para todo número complejo. Veamos un ejemplo.

Sabiendo que 𝑧 es igual a menos un medio más la raíz de tres sobre dos 𝑖, halla el argumento principal de 𝑧.

Tenemos un número complejo representado de forma binómica o rectangular para el cual estamos tratando de calcular el argumento principal. Recordemos que este es el valor del argumento que es mayor que menos 𝜋 y menor o igual que 𝜋. Siempre es recomendable empezar por representar este número complejo en el plano complejo. Y esto nos ayudará a determinar en qué cuadrante se halla el número complejo. Recordemos que el eje horizontal en nuestro plano de Argand representa la parte real mientras que el eje vertical representa la parte imaginaria. La parte real de nuestro número complejo es menos un medio. Y la parte imaginaria es la raíz de tres sobre dos.

Así que podemos representar nuestro número complejo en el diagrama de Argand como un punto cuyas coordenadas cartesianas son menos un medio, raíz de tres sobre dos. Este se halla en el segundo cuadrante como se muestra. Añadimos un segmento de recta que une este punto con el origen. Y después recordamos la definición del argumento. Es el ángulo que hace este segmento de recta con el eje real positivo medido en sentido antihorario. Dado que los ángulos que forman una línea recta suman 𝜋 radianes, es mejor empezar por hallar el ángulo agudo que llamamos 𝛼. Y, de hecho, es una buena idea siempre tratar de hallar un ángulo agudo y trabajar desde ahí.

El lado opuesto a este ángulo agudo 𝛼 es raíz de tres sobre dos unidades. Y la longitud del lado adyacente es la mitad de una unidad. Recordemos que estamos trabajando con longitudes. Así que solo nos interesan los valores positivos. Estos valores positivos son los módulos de las partes real e imaginaria. Tan de 𝛼 es igual a opuesto sobre adyacente. Es raíz de tres sobre dos dividido por un medio. De hecho, esto se simplifica un poco de modo que tan de 𝛼 es igual a raíz de tres. Podemos resolver esta ecuación para 𝛼 aplicando el inverso de tan. 𝛼 es, pues, igual a arcotangente de raíz de tres que es 𝜋 partido por tres radianes.

Hemos dicho que los ángulos que forman una recta suman 𝜋 radianes. Así que podemos hallar el valor del argumento de 𝑧 restando 𝜋 sobre tres radianes de 𝜋. Y, por supuesto, otra forma de expresar 𝜋 es como tres 𝜋 sobre tres. Y esto nos ayudará a restar estas fracciones con normalidad. Tres 𝜋 sobre tres menos 𝜋 sobre tres es dos 𝜋 sobre tres radianes. Y si comparamos esto con la condición del argumento principal de ser mayor que menos 𝜋 y menor o igual que 𝜋, vemos que el valor de nuestro argumento de 𝑧 satisface este criterio. Es dos 𝜋 sobre tres radianes.

De hecho, si tratamos de aplicar la fórmula del ejemplo anterior y decimos que el argumento de 𝑧 es igual a arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎, que es el arcotangente de raíz tres sobre dos dividido por menos un medio, obtendremos menos 𝜋 partido por tres, lo cual es claramente incorrecto.

Veamos si podemos hallar una regla general para determinar el argumento de un número complejo ubicado en cualquier cuadrante.

Aquí tenemos cuatro diagramas de Argand, con un número complejo situado en cada uno de los cuatro cuadrantes. Para cada uno de estos ejemplos, podemos comenzar por hallar la medida del ángulo agudo. Podemos hallar el argumento de un número complejo trazado en el primer cuadrante hallando el arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎. Esto es arcotangente de la parte imaginaria dividido por la parte real. Esto es suficiente para el argumento de un número complejo situado en el primer cuadrante.

En el segundo cuadrante, sabemos que el ángulo agudo se halla por medio del arcotangente del módulo de 𝑏 dividido por el módulo de 𝑎. Recordemos que en el ejemplo anterior, dijimos que estamos trabajando con longitudes. De modo que deben ser positivas. Y después usamos el hecho de que los ángulos en una recta suman 𝜋 radianes. Y podemos hallar el argumento restando arcotangente del módulo de 𝑏 dividido por el módulo de 𝑎 de 𝜋.

Y para un número complejo en el tercer cuadrante, podemos igualmente calcular la medida del ángulo agudo. Y el método es casi idéntico al que hemos usado para calcular el argumento de un número complejo en el segundo cuadrante. La única diferencia es que es como un reflejo en el eje horizontal. Básicamente estamos moviéndonos en la dirección opuesta. Así que podemos decir que el argumento es igual a menos 𝜋 más arcotangente del módulo de 𝑏 dividido por el módulo de 𝑎. Y si distribuimos estos paréntesis, vemos que el argumento del número complejo trazado en el tercer cuadrante es el arcotangente del módulo de 𝑏 dividido por el módulo de 𝑎 menos 𝜋.

Y de igual manera, podemos decir que el argumento de un número complejo situado en el cuarto cuadrante es igual a menos arcotangente del módulo de 𝑏 dividido por el módulo de 𝑎. Cabe tener en cuenta que si el número complejo es imaginario puro y la parte imaginaria es mayor que cero, su argumento será 𝜋 sobre dos radianes. Y si la parte imaginaria es menor que cero, el argumento será menos 𝜋 sobre dos radianes. Si las partes real e imaginaria son ambas cero, el argumento de 𝑧 no está definido.

Hay una regla alternativa que podemos recordar. En el primer cuadrante, nuevamente, el argumento es igual a arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎. En el segundo cuadrante, es el arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎 más 𝜋. Y lo que es bastante bueno aquí es que podemos tomar las partes reales e imaginarias del número complejo. Y no debemos preocuparnos por hacer que ambas sean positivas. Para el número complejo en el tercer cuadrante, es el arcotangente de 𝑏 sobre 𝑎 menos 𝜋. Y en el cuarto cuadrante, es simplemente el arcotangente de 𝑏 sobre 𝑎.

Es muy útil tener reglas. Pero es mejor esbozar el diagrama de Argand para asegurarnos de que estamos escogiendo los valores correctos para el argumento de nuestro número complejo. Vamos a practicar cómo hallar el argumento de un número complejo ubicado fuera del primer cuadrante y vamos seguidamente a extender esto para hallar la relación entre el argumento de un número complejo y el argumento de su conjugado.

Considera el número complejo 𝑧 igual a menos cuatro menos cinco 𝑖. 1) Calcula el argumento de 𝑧, y expresa la respuesta con tres cifras significativas. 2) Calcula el argumento de 𝑧 asterisco, y expresa la respuesta con tres cifras significativas.

Para calcular el argumento del número complejo 𝑧, comencemos dibujándolo en el diagrama de Argand. Este número complejo está representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son menos cuatro, menos cinco. Está en el tercer cuadrante. Como el argumento se mide en sentido antihorario desde el eje real positivo, aquí nos interesa este ángulo. Y podemos comenzar hallando el valor del ángulo agudo. Llamémoslo 𝛼. Tenemos un triángulo rectángulo en el que el lado opuesto al ángulo agudo mide cinco unidades y el lado adyacente mide cuatro unidades.

Podemos, por lo tanto, hallar la medida de este ángulo 𝛼 usando la fórmula arcotangente de cinco dividido por cuatro. Recuerda que una forma de hacer esto es hallar arcotangente del módulo de la parte imaginaria dividida por el módulo de la parte real. Esto es 0.8960 radianes. Los ángulos en una recta suman 𝜋 radianes. Para hallar 𝜃, restamos 0.8960 etcétera de 𝜋. Esto es 2.2455. Y estamos midiendo en sentido negativo, es decir, estamos midiendo en sentido horario, que es el opuesto al antihorario. Por lo tanto, podemos decir que el argumento de 𝑧 es menos 2.25 radianes, con tres cifras decimales.

Y, alternativamente, podríamos haber aplicado la fórmula que dice que el argumento de un número complejo situado en el tercer cuadrante es el arcotangente de esta parte imaginaria dividido por su parte real menos 𝜋. La parte imaginaria de nuestro número complejo es menos cinco. Y la parte real es menos cuatro. Y si escribimos el arcotangente de menos cinco dividido por menos cuatro menos 𝜋 en nuestra calculadora, obtenemos menos 2.2455 etcétera, una vez más. Ambos métodos son correctos. Aquí se trata más de preferencias personales.

Para la segunda parte, necesitamos calcular el argumento del conjugado de 𝑧. Recuerda que hallamos el conjugado de un número complejo cambiando el signo de su parte imaginaria. Así que el conjugado de nuestro número complejo es menos cuatro más cinco 𝑖. Tracémoslo en el mismo diagrama de Argand. Y aquí tenemos un atajo muy evidente. Pero hagamos los cálculos solo para estar seguros. Y esta vez, vamos a usar una fórmula. El argumento de un número complejo trazado en el segundo cuadrante es arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎 más 𝜋. Para el conjugado de 𝑧, 𝑏 es cinco y 𝑎 es menos cuatro. Y usando nuestra calculadora, obtenemos 2.2455 etcétera. Con tres cifras significantes, es 2.25.

En realidad, podemos decir que la interpretación geométrica de este conjugado es que es el simétrico del número complejo 𝑧 con respecto al eje horizontal. Así que tiene sentido que el argumento de 𝑧 sea igual a menos el argumento del conjugado de 𝑧, y viceversa.

Pero ¿qué relación hay entre el argumento y la suma de números complejos? Bien, de hecho, no existe una relación sencilla entre la suma de dos números complejos y el argumento. Sin embargo, existe una relación entre el producto, o el cociente, y el argumento. Veamos cómo es esto.

Considera los números complejos 𝑧 igual a uno más raíz de tres 𝑖 y 𝑤 igual a dos menos dos 𝑖. 1) Halla el argumento de 𝑧 y el argumento de 𝑤. 2) Calcula el argumento de 𝑧𝑤. ¿Cómo se compara esto con el argumento de 𝑧 y el argumento de 𝑤? 3) Calcula el argumento de 𝑧 dividido por 𝑤. ¿Cómo se compara esto con el argumento de 𝑧 y el argumento de 𝑤?

Para responder a esta pregunta, vamos a comenzar representando los números complejos 𝑧 y 𝑤 en un diagrama de Argand. 𝑧 está representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son uno, raíz de tres. Y 𝑤 está representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son dos, menos dos. Usemos una de las reglas que discutimos anteriormente. Hemos dicho que para un número complejo trazado en el primer o cuarto cuadrante, podemos usar la fórmula arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎 para hallar su argumento. La parte imaginaria de 𝑧 es la raíz de tres y la parte real es uno. Por tanto, el argumento de 𝑧 es arcotangente de la raíz de tres sobre uno. Eso es 𝜋 sobre tres radianes. La parte imaginaria de 𝑤 es menos dos y su parte real es dos. Así que, el argumento de 𝑤 es el arcotangente de menos dos sobre dos. Y el argumento de 𝑤 es menos 𝜋 sobre cuatro radianes.

Para la segunda parte, vamos a tener que comenzar calculando el número complejo 𝑧𝑤. Ese es el producto de uno más raíz de tres 𝑖 y dos menos dos 𝑖. Distribuyamos estos paréntesis. Multiplicando el primer término en cada paréntesis, obtenemos dos. Multiplicando los términos externos, obtenemos menos dos 𝑖. Multiplicando los términos internos, obtenemos dos raíz de tres 𝑖. Y multiplicando los últimos términos, obtenemos menos dos raíz de tres 𝑖 al cuadrado. Pero, por supuesto, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Este último término se convierte en dos raíz de tres. Agrupamos las partes reales. Que son dos y dos raíz de tres. Y agrupamos las partes imaginarias. Y podemos ver que 𝑧𝑤 es igual a dos más dos raíz de tres más dos raíz de tres menos dos 𝑖.

Lo que nos queda por hacer es calcular el argumento de este número complejo. Las partes real e imaginaria de este número complejo son ahora mayores que cero. Por tanto 𝑧𝑤 estará en el primer cuadrante. El argumento es el arcotangente de la parte imaginaria dividido por la parte real. Y podemos simplificar esto usando las reglas para la división de números radicales. Necesitamos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado de dos más dos raíz de tres. Y al hacerlo, vemos que el argumento de 𝑧𝑤 es arcotangente de dos menos raíz de tres que es 𝜋 sobre 12. Y si comparamos esto con el argumento de 𝑧 y el argumento de 𝑤, podemos ver que el argumento de su producto es igual a la suma de sus argumentos.

Veamos la tercera parte. Necesitamos calcular 𝑧 dividido por 𝑤. Es uno más raíz de tres 𝑖 dividido por dos menos dos 𝑖. Y como antes, necesitamos reorganizar esto multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado de dos menos dos 𝑖. Eso es dos más dos 𝑖. Y al hacerlo, vemos que 𝑧 dividido por 𝑤 es igual a un cuarto de uno menos raíz de tres, esa es su parte real, más un cuarto de uno más raíz de tres, esa es su parte imaginaria, 𝑖. Esta vez, la parte real de 𝑧 dividido por 𝑤 es menor que cero. Pero su parte imaginaria es mayor que cero. Se encuentra en el segundo cuadrante.

Podemos usar la fórmula arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎 más 𝜋 para hallar su argumento. Eso nos da siete 𝜋 sobre 12. Y, de hecho, esta vez podemos ver que el argumento de 𝑧 dividido por 𝑤 es igual al argumento de 𝑧 menos el argumento de 𝑤. Y estas son reglas generales que se aplican a dos números complejos. El argumento de su producto es igual a la suma de sus argumentos. Y el argumento de su cociente es igual a la diferencia de sus argumentos. Y podemos usar estos hechos para resolver problemas relacionados con las propiedades del argumento. Y podemos usar estos hechos para resolver problemas relacionados con las propiedades del argumento.

Considera el número complejo 𝑧 igual a siete más siete 𝑖. 1) Halla el argumento de 𝑧. 2) Seguidamente, halla el argumento de 𝑧 a la cuarta.

Aquí, tenemos un número complejo cuyas partes real e imaginaria son ambas positivas. Esto significa que trazaremos este número complejo en el primer cuadrante del plano complejo. Y, por lo tanto, podemos hallar el argumento usando la fórmula arcotangente de 𝑏 dividido por 𝑎, en donde 𝑏 es la parte imaginaria y 𝑎 es la parte real. En nuestro caso, ese es el arcotangente de siete dividido por siete. Y eso es 𝜋 partido por cuatro radianes.

Pero, ¿cómo hallamos el argumento de 𝑧 a la cuarta? Bueno, lo que no vamos a hacer es elevar el número complejo 𝑧 a la cuarta potencia. En vez de eso, vamos a recordar el hecho de que el argumento del producto de dos números complejos es igual a la suma de sus argumentos. Vamos a extender esto y decir que el argumento de 𝑧 por 𝑧 por 𝑧 por 𝑧 es igual al argumento de 𝑧 más el argumento de 𝑧 más el argumento de 𝑧 más el argumento de 𝑧. Y, claro, esto equivale a cuatro veces el argumento de 𝑧. Y en nuestro ejemplo, eso equivale a cuatro veces 𝜋 partido por cuatro, que es simplemente 𝜋 radianes. Y podemos generalizar esta idea y decir que el argumento de 𝑧 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por el argumento de 𝑧.