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Continuidad de las funciones
En esta lección, vamos a aprender cómo analizar la continuidad de una función y a
determinar los intervalos en los que es continua.
Puede que ya estés familiarizado con el análisis de la continuidad de una función en
un punto e incluso con los diferentes tipos de discontinuidad que podemos
encontrar. Para comprobar si una función es continua en un punto usamos la siguiente
definición. Una función 𝑓 de 𝑥 es continua en el punto donde 𝑥 es igual a 𝑎 si el límite,
cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, es igual al valor de la función en 𝑥 igual a
𝑎.
El requisito implícito de esta condición es que ambas cosas deben existir. Para que exista el límite de la función, el límite izquierdo y el límite derecho
deben ambos existir cuando 𝑥 tiende a 𝑎 y deben ser igual al mismo número real
𝐿. Además de esto, para que haya continuidad, 𝑓 de 𝑎 debe estar definido y debe ser
igual al límite por la izquierda y al límite por la derecha y, por lo tanto, igual
al límite de la función. Y hemos dicho que este valor es 𝐿.
Pensemos ahora en la continuidad en un intervalo. La definición informal de esto suele ser que una función es continua si su gráfica se
puede dibujar sobre el intervalo sin levantar el bolígrafo. Una forma más rigurosa de pensar en esto puede ser decir que la función 𝑓 de 𝑥 es
continua en un intervalo si el requisito de continuidad en un punto se cumple para
todos los valores de 𝑥 dentro del intervalo. Esto puede parecer obvio, pero una forma de verificar la continuidad en un intervalo
es asegurarse de que no haya discontinuidades en dicho intervalo. Veamos un par de gráficas como ejemplos para tratar de entender todo esto
gráficamente.
Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. La función representada por la gráfica es una función continua.
Para esta cuestión, se nos ha dado una función 𝑔 de 𝑥, que está definida para todos
los valores de 𝑥 sobre los números reales, lo que se indica con estas flechas. Podemos ver casi de inmediato que nuestra función 𝑔 de 𝑥 no es continua, pues en el
punto de abscisa 𝑥 igual a tres, tenemos una brecha en nuestra gráfica. De hecho, reconocemos esto como una discontinuidad de salto, con 𝑔 de 𝑥 indefinida
en el punto tres, dos, lo que se indica con el punto hueco, y definida en el punto
tres, uno, lo que se indica con el punto lleno.
Si nos piden obtener los límites por el lado izquierdo y por el lado derecho cuando
𝑥 tiende a tres, hallaríamos que aunque ambos existen, sus valores no
coinciden. Y, por tanto, que el límite de la función no existe. Aquí debemos acordarnos de nuestra definición de continuidad en un punto, que dice
que el límite, cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎, de una función debe ser igual al valor de
la función evaluada donde 𝑥 es igual a 𝑎. En nuestro caso, el límite, cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑔 de 𝑥, no es igual a 𝑔 de
tres, porque tal límite no existe.
Y, por lo tanto, hemos demostrado que la función 𝑔 de 𝑥 tiene una discontinuidad en
𝑥 igual a tres. Por tanto, nuestra respuesta es «falsa». La función representada por la gráfica no es una función continua. Como puntualización final, podemos insistir en que nuestra función puede tener una
discontinuidad aunque la función esté definida sobre todos los números reales.
Veamos ahora otro ejemplo gráfico de cómo determinar si una función es continua o
no.
Determina si la función representada por la gráfica es continua o discontinua.
Para esta pregunta, se nos ha dado una función 𝑓 de 𝑥, que está definida para 𝑥
mayor o igual que cero y menor o igual que tres. Los puntos interesantes de esta función ocurren cuando 𝑥 es igual a uno y cuando 𝑥
es igual a dos. Aquí, vemos un cambio brusco en el gradiente. Y debemos reconocer que esto significa que nuestra función no es diferenciable en
estos puntos.
Sin embargo, a efectos de continuidad, este cambio brusco de gradiente no es
necesariamente motivo de preocupación. Tomando el punto donde 𝑥 es igual a uno como ejemplo, vemos que los límites por la
izquierda y por la derecha tienen el mismo valor. Y aquí será donde 𝑓 de 𝑥 es igual a uno. De esto se deduce que el límite cuando 𝑥 se acerca a uno tendrá este mismo
valor. Y es evidente que 𝑓 de uno también es igual a uno.
De hecho, estas dos cosas juntas son la condición de continuidad. Vemos que el límite cuando 𝑥 se acerca a uno de 𝑓 de 𝑥, es igual a 𝑓 de uno. La misma lógica se aplica al punto donde 𝑥 es igual a dos y, de hecho, a todos los
demás puntos del dominio de nuestra función. Esto nos pone en condiciones de responder nuestra pregunta. Concluimos que 𝑓 de 𝑥 es una función continua.
En las dos cuestiones anteriores nos dieron ejemplos gráficos de funciones que eran
continuas y funciones que no lo eran. En uno de estos ejemplos vimos una función con una discontinuidad de salto. Y, por supuesto, las funciones con cualquier otro tipo de discontinuidad, como
evitable o infinita, tampoco se clasifican como funciones continuas. Por otro lado, hay muchos tipos de funciones que son continuas. Y vamos a ver algunos ejemplos donde determinamos esto algebraicamente.
Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo su dominio: funciones
polinómicas, funciones racionales, funciones trigonométricas y funciones
exponenciales. Una puntualización importante aquí es que estamos diciendo que estas funciones son
continuas en todo su dominio y no para todos los valores de 𝑥 sobre los números
reales. Volveremos a este punto más tarde. Pero antes de hacerlo, otro detalle importante.
Las sumas, diferencias, productos, cocientes y composiciones de funciones continuas
también son continuas para todos los puntos 𝑥 donde las funciones están definidas
adecuadamente. Nuevamente, estos puntos deben están dentro de los dominios de las funciones recién
creadas. Ahora bien, la prueba de continuidad para todos estos tipos de funciones está fuera
del alcance de este video, pero vamos a examinar esto en la siguiente cuestión
mediante un ejemplo con una función polinómica.
¿Qué se puede decir sobre la continuidad de la función 𝑥 al cubo más cinco 𝑥 al
cuadrado menos dos 𝑥 más dos?
Conociendo el resultado general de que una función polinómica es continua en todo su
dominio y que el dominio de nuestra función son todos los números reales, casi de
inmediato podemos dar la siguiente respuesta. Esta función es continua en ℝ, los números reales, porque es un polinomio. Esta es, de hecho, la respuesta rápida a nuestra pregunta.
Pero en lugar de terminar aquí, vamos a presentar una demostración más detallada de
por qué este es el caso.
El caso con el que vamos a comenzar es el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de alguna
constante 𝑘. Claramente, el valor de 𝑥 no afecta a nuestra constante 𝑘. Así que, la respuesta a este límite es simplemente 𝑘. Aquí diremos que 𝑘 es cualquier número real. A continuación, pasamos al caso del límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎, de la función que
es simplemente 𝑥. Si aplicamos el método de sustitución directa para 𝑥 igual a 𝑎, vemos que, aquí, la
respuesta a nuestro límite es simplemente 𝑎. Y deberíamos estipular aquí que 𝑎 es también uno cualquiera de los números
reales.
Luego agregamos un exponente y hablamos del límite a medida que 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑥
elevado a 𝑛. Y aquí, 𝑛 es uno cualquiera de los números naturales, incluido el cero. Es decir, cero, uno, dos, tres, etcétera. Con el mismo argumento de sustitución directa, hallamos que este límite es igual a 𝑎
elevado a 𝑛. ¿Qué pasa si ponemos alguna constante 𝑘 junto a nuestro 𝑥 elevado a 𝑛? La propiedad del factor constante nos permite sacar nuestra constante 𝑘 fuera de
nuestro límite de la siguiente manera. Vemos que el límite que estamos buscando es el mismo que el de antes pero
multiplicado por 𝑘. Y nuestra respuesta es 𝑘 por 𝑎 elevado a 𝑛, nuevamente con el enfoque de
sustitución directa.
Bien, a continuación, vamos a ampliar esto un poco agregando dos nuevos términos a
nuestro límite y distinguiendo entre diferentes valores de 𝑘 y 𝑛, donde todos los
valores de 𝑘 y 𝑛 siguen estas mismas reglas. Usando las leyes adicionales de los límites, podemos separar nuestro límite en tres
límites individuales de la siguiente manera. Ahora, puedes notar que estos dos primeros términos tienen la misma forma que la
línea de trabajo anterior que acabamos de completar. Por lo tanto, podemos decir que son 𝑘 uno por 𝑎 elevado a 𝑛 uno, y 𝑘 dos por 𝑎
elevado a 𝑛 dos, respectivamente. Por supuesto, nuestro último término es simplemente una constante, la cual
consideramos en nuestro primer ejemplo. El límite de este término es, por supuesto, simplemente 𝑘 tres.
Hemos hallado, pues, que nuestro límite es 𝑘 uno por 𝑎 elevado a 𝑛 uno más 𝑘 dos
por 𝑎 elevado a 𝑛 dos más 𝑘 tres. Si ahora llamamos a la función que hemos creado aquí 𝑓 de 𝑥, podemos ver
inmediatamente que el límite que hemos encontrado es igual a nuestra función
evaluada en el punto donde 𝑥 es igual a 𝑎, en otras palabras, 𝑓 de 𝑎.
Nuestro paso final y crucial es reconocer la forma de la función 𝑓 de 𝑥 que hemos
creado. Dado que 𝑘 es un número real y 𝑛 es un número natural que incluye cero, cada uno de
estos términos nos da un múltiplo real de 𝑥 elevado a cualquier potencia entera
positiva o cero. Gracias a la propiedad del límite de una suma, podemos agregar tantos de estos
términos como queramos a nuestra función. Junto a esto, hemos cubierto la adición de una constante real cualquiera 𝑘. Nuestra función 𝑓 de 𝑥, por lo tanto, puede representar cualquier polinomio que nos
interese construir.
Finalmente, hemos demostrado que el límite, a medida que 𝑥 tiende a 𝑎 de nuestra
función 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑎. Dado que esta es la condición de continuidad y dado que 𝑓 de 𝑥 es cualquier
polinomio y 𝑎 es cualquier número real, acabamos de demostrar que una función
polinómica es continua en todo el conjunto de los números reales.
Hemos demostrado la condición de continuidad para polinomios. Y esta prueba puede ser extendida o alterada para cubrir otras funciones que
mencionamos anteriormente. Cuando dijimos que estas funciones son continuas, tuvimos cuidado en resaltar que son
continuas en su dominio, que no es lo mismo que en todo el conjunto de los números
reales. En realidad, el dominio de un polinomio son los números reales, sin embargo, este no
es necesariamente el caso de otras funciones, como las racionales. Veamos un ejemplo.
Halla el conjunto en el cual 𝑓 de 𝑥, que es igual a 𝑥 menos 22 todo sobre 𝑥 al
cuadrado menos dos 𝑥 menos 63, es continua.
En esta pregunta, tenemos una función racional en la forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de
𝑥. Y sabemos que una función racional es continua en su dominio. Y por tanto, nuestra pregunta se reduce a hallar el dominio de nuestra función 𝑓 de
𝑥. Básicamente queremos hallar valores de 𝑥 en los que nuestra función no esté definida
o en los que tienda hacia más o menos infinito. Viendo la forma de nuestra función, notamos que estos puntos problemáticos ocurrirán
cuando el denominador de nuestro cociente, 𝑄 de 𝑥, se evalúe a cero.
Así que nuestro siguiente paso en nuestra pregunta es factorizar 𝑄 de 𝑥. Inspeccionando un poco, Vemos que esta cuadrática factoriza a 𝑥 menos nueve por 𝑥
más siete ya que estos números suman menos dos y tienen un producto de 63. Aplicando el teorema del factor, podemos ver que cuando 𝑥 es nueve o cuando 𝑥 es
menos siete, 𝑄 de 𝑥 vale cero. Poniendo la versión factorizada de 𝑄 de 𝑥 en nuestra función, podemos concluir que
𝑥 igual a nueve y 𝑥 igual a menos siete no están en el dominio de nuestra
función. Esto es debido a que en estos valores, el denominador de nuestro cociente vale
cero. Y, por tanto, 𝑓 de 𝑥 no nos daría un valor numérico.
Como 𝑓 de 𝑥 se comporta bien con todos los demás valores reales de 𝑥, podemos
decir lo siguiente. El dominio de nuestra función 𝑓 de 𝑥 son los números reales menos el conjunto de
nueve y menos siete. Y así, 𝑓 de 𝑥 es continua sobre los números reales menos el conjunto de nueve y
menos siete. Y, por lo tanto, hemos respondido nuestra cuestión.
Para ampliar nuestra pregunta anterior, recordemos que cuando un factor común puede
cancelarse en la mitad superior e inferior de un cociente, como el que forma una
función racional, esto corresponde a una discontinuidad evitable en nuestra
gráfica. En este caso, dado que la función no está definida donde 𝑥 es igual a 𝑎, no
podemos, obviamente, cumplir con los criterios de continuidad. En los casos en que los factores comunes no pueden cancelarse en las mitades superior
e inferior de nuestros cocientes, esperamos que existan asíntotas, o sea, que los
valores de 𝑓 de 𝑥 se aproximen a más o menos infinito.
En estas asíntotas, incluso si los límites izquierdo y derecho coincidieran — como en
este caso, en el que podemos decir que el límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥,
es igual a infinito — esto, en realidad, es solo una forma de decir que el límite no
existe. Y, de hecho, el límite no existe en ninguna de estas asíntotas. Dado que tenemos lugares donde nuestro límite no existe, nuevamente, no podemos
cumplir con los criterios de continuidad. Y en estos puntos, 𝑓 de 𝑥 sería discontinua.
Pasemos ahora a considerar las funciones definidas a trozos, las cuales pueden tener
comportamientos diferentes en intervalos diferentes. Las mismas reglas de continuidad aplican entre los intervalos de nuestra función
definida a trozos, pero debemos prestar especial atención al examinar el punto de
frontera entre los intervalos. Para poder mantener la continuidad sobre la frontera, los extremos de los dos trozos,
o subfunciones, deben juntarse. Esto se entiende mejor con un ejemplo.
Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a cinco sen de 𝑥 menos tres sobre 𝑥 menos tres si 𝑥
es menor que tres e igual a cinco 𝑥 al cuadrado sobre nueve si 𝑥 es mayor o igual
que tres. Halla el conjunto en el cual 𝑓 es continua.
Aquí tenemos una función definida a trozos en dos intervalos. El punto de frontera de nuestros dos intervalos ocurre es 𝑥 igual a tres. Y por tanto, este es un punto importante. Para esta primera subfunción, tenemos una expresión trigonométrica en la parte
superior de nuestro cociente y una binómica en la parte inferior. Como sabemos que las funciones trigonométricas y los polinomios son continuos en sus
dominios, y los cocientes de funciones continuas también son continuos en sus
dominios, deducimos que esta subfunción también es continua en su dominio.
Aquí debemos tener un poco de cuidado ya que, en valores donde 𝑥 es igual a tres,
esta subfunción se evalúa a cero sobre cero, que es una forma indeterminada. Por suerte para nosotros, 𝑓 de 𝑥 solo se está definida por esta subfunción en
valores de 𝑥 que son estrictamente menores que tres, no donde 𝑥 es igual a
tres. En cambio, cuando 𝑥 es mayor o igual que tres, 𝑓 de 𝑥 está definida como cinco 𝑥
al cuadrado sobre nueve.
De nuevo, aquí vale la pena señalar que este monomio está definido y tiene como
dominio el conjunto de todos los números reales. Esto significa que el dominio de nuestra función 𝑓 de 𝑥 es el conjunto de todos los
números reales. Pero debemos tener cuidado de no apresurarnos a llegar a la conclusión de que 𝑓 de
𝑥 también es continua sobre todos los números reales. Y aún debemos verificar los criterios de continuidad en el punto frontera entre
nuestras subfunciones, o sea, en 𝑥 igual a tres.
Primero, hallemos 𝑓 de tres sustituyendo en cinco 𝑥 al cuadrado sobre nueve. Este valor es fácil de calcular. La respuesta es cinco. Después, debemos comprobar que nuestro límite existe y que también es igual a
cinco. Si este no es el caso, tendremos una discontinuidad en 𝑥 igual a tres. Y, por lo tanto, nuestra función no será continua en este punto.
Para seguir adelante primero reconocemos que, a cada lado de 𝑥 igual a tres, nuestra
función está definida por dos subfunciones diferentes. Para nuestro límite izquierdo, o cuando 𝑥 se aproxima desde el sentido negativo,
usamos nuestra primera subfunción. Aquí, ya hemos demostrado que una sustitución directa de 𝑥 es igual a tres nos lleva
a una forma indeterminada de cero sobre cero, por lo que tendremos que utilizar un
método diferente. Concretamente, podemos usar el resultado conocido de que el límite, cuando 𝑥 tiende
a cero de sen 𝑥 sobre 𝑥, es igual a uno.
Nuestra expresión no está en esta forma. Así que primero realizamos algunas alteraciones sacando un factor de cinco fuera de
nuestro límite usando la regla del factor constante. Después, realizamos una sustitución con 𝑢. Al hacer 𝑢 como 𝑥 menos tres, obtenemos lo siguiente. Nuestro límite se convierte en sen 𝑢 sobre 𝑢. Sin embargo, no debemos olvidar cambiar el valor donde se halla el límite. 𝑢 más tres es igual a 𝑥. Por lo tanto, 𝑢 más tres tiende a tres desde el sentido negativo, o sea, 𝑢 tiende a
cero desde el sentido negativo.
Mirando nuestra regla, sabemos que si el límite normal existe y es igual a uno, los
límites por la izquierda y por la derecha también existen y también son iguales a
uno. Ahora podemos usar nuestra regla para concluir que este límite es igual a uno. Por lo tanto, el límite por la izquierda, cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥, es
igual a cinco por uno, que es, por supuesto, cinco. Nuestro límite por la derecha es mucho más fácil de evaluar. Para esto, dado que nos acercamos a 𝑥 igual a tres desde la derecha, tomamos el
límite usando nuestra otra subfunción. Simplemente, por sustitución directa, obtenemos que este límite es igual a cinco.
Sabiendo que los límites por el lado izquierdo y por el derecho existen y tienen el
mismo valor, podemos concluir que el límite, cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥,
también es igual a cinco. Y hemos visto antes que 𝑓 de tres también es igual a cinco. Dado que el límite, cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥, es igual a 𝑓 de tres,
concluimos que 𝑓 de 𝑥 es continua en 𝑥 igual a tres.
Si analizamos esto visualmente, vemos que los dos puntos de frontera de nuestras
subfunciones están juntos. Recordemos ahora que, anteriormente, llegamos a la conclusión de que 𝑓 de 𝑥 era
continua en todos los números reales, tal vez excepto en tres, el cual todavía
teníamos que verificar. Y ya que la hemos comprobado en tres, podemos decir que nuestra función 𝑓 de 𝑥 es
continua en todos los números reales. Y esta es la respuesta a nuestra pregunta.
Para concluir, repasemos los puntos clave. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos de dicho
intervalo. Una función, que llamaremos 𝑓 de 𝑥, es continua en un punto, digamos en el punto de
abscisa 𝑥 igual a 𝑎, si el límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓
de 𝑎. Aquí notamos la implicación, en primer lugar, de que este límite existe y, en segundo
lugar, de que la función está definida en 𝑥 igual a 𝑎.
Las funciones polinómicas, racionales, trigonométricas y exponenciales son continuas
en sus dominios. Y hemos insistido en que esto no es necesariamente todos los números reales. Además, las sumas, diferencias, productos, cocientes y composiciones de funciones
continuas también son continuas en todos los puntos donde 𝑥 está definida
adecuadamente.
A menudo, las discontinuidades de una función se pueden hallar determinando los
valores de x que dan como resultado una división por cero. Y pueden ser discontinuidades evitables o esenciales. En las funciones definidas a trozos, el punto entre los intervalos se debe verificar
para asegurarse de que los extremos de las subfunciones se juntan. Si los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden en estos puntos,
entonces el resultado será una discontinuidad de salto. Si los límites de los lados izquierdo y derecho coinciden y ambos son iguales al
valor de la función en el punto frontera, entonces la función es continua.
