Vídeo: Simplificar razones

Vamos a repasar la notación de los dos puntos y la definición de razón entendida como la comparación entre una parte y otra parte, y luego vamos a ver una serie de ejemplos para explicar cómo expresar razones en su forma más simple.

08:12

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a repasar brevemente la notación y el concepto de razón, y luego vamos a expresar algunas razones en su forma más simple. Las razones son una forma de expresar la comparación de tamaños de dos o más cantidades. Son independientes de las unidades, y nos muestran el tamaño relativo de las cantidades. Pero debemos tener las unidades en cuenta en caso de que las haya. Por ejemplo, para hacer mortero para construir una pared de ladrillo, usamos una razón de dos partes de cemento a siete partes de arena en la mezcla. Eso son dos bolsas de cemento y siete bolsas de arena, o dos palas de cemento y siete palas de arena, o incluso dos toneladas de cemento y siete toneladas de arena. No importa qué unidades usemos siempre y cuando usemos las mismas unidades para los dos elementos. Por lo tanto, cuando está todo mezclado, un cargamento de mortero debe contener dos partes de cemento y siete partes de arena. Y eso son ciertas partes de mortero, pero ese es otro tema. A menudo se utiliza esta notación con los dos puntos en el medio, y es muy importante especificar de qué parte a qué parte es la razón. Por lo tanto, en este caso, dos partes de cemento, siete partes de arena, la razón es de cemento a arena.

Ahora bien, dependiendo de donde vivas, puede que representes las razones como fracciones: dos séptimos o siete medios. Pero hay que tener mucho cuidado a la hora de hacer esto, pues es importante dejar claro a qué se refieren estas fracciones. Por ejemplo, dos séptimos significa que hay dos séptimos de cemento por cada unidad de arena. Y siete sobre dos significa que hay siete medias unidades de arena por cada unidad de cemento, tres unidades y media de arena por cada unidad de cemento en la mezcla. Por lo tanto, si usamos fracciones para representar razones debemos recordar que estamos comparando partes con partes, no partes con el todo. Esto resulta especialmente confuso pues a menudo las fracciones se utilizan para comparar partes con el todo. Y así, en un cargamento de mortero compuesto de dos partes de cemento y siete partes de arena, hay nueve partes en total. Eso significa que dos novenos de la mezcla total del mortero es cemento y siete novenos de la mezcla de mortero es arena. Aquí puedes ver de dónde viene esta confusión. Tenemos dos fracciones distintas que significan dos cosas muy distintas. Así que es muy importante usar palabras para describir el significado de cada fracción si vamos a usar fracciones para representar razones. Por eso, muchos opinamos que es mejor usar una notación específica, esta de los dos puntos, para expresar razones.

Veamos otro ejemplo. En una receta para hacer galletas, se nos dice que necesitamos ocho onzas de mantequilla blanda, cuatro onzas de azúcar en polvo y diez onzas de harina. De este modo, la razón de mantequilla a azúcar a harina es ocho a cuatro a diez. Si vamos a hacer muchas galletas y vamos a usar ocho toneladas de mantequilla, entonces necesitamos cuatro toneladas de azúcar y diez toneladas de harina. Fíjate, todos estos números son divisibles por dos. Y si los dividimos por dos, obtenemos la razón cuatro a dos a cinco. Y esta es una razón equivalente. De hecho, es la misma razón pero en su forma más simple. Así que cuatro a dos a cinco representa la misma razón, pero estos números no tienen ningún factor común mayor que uno, y, por lo tanto, decimos que esta razón está en su forma más simple. Estos números están en la misma razón. Por ejemplo, si duplicamos cuatro obtenemos ocho, y si duplicamos dos obtenemos cuatro. Así que hay el doble de mantequilla que de azúcar. Si multiplicamos cuatro por dos y medio, y multiplicamos dos por dos y medio, obtenemos diez y cinco. Así que hay dos veces y media tanta harina como azúcar. Por lo tanto, las razones son una forma de comparar el tamaño relativo de las cantidades de distintos componentes.

Un ejemplo más, supongamos que vamos a hacernos un zumo de naranja, así que echamos una parte de jugo de naranja y cinco partes de agua, y luego lo mezclamos todo para hacernos la bebida. Una vez preparada la bebida, la razón de agua a jugo de naranja es cinco a uno. Y si estás en una de esas regiones en las que las razones se representan como fracciones, la razón de agua a jugo de naranja es cinco sobre uno, pues hay cinco veces tanta agua como hay de jugo de naranja. Y la razón de jugo de naranja a agua es un quinto, pues hay un quinto de jugo de naranja por cada unidad de agua en la bebida. Pero también podemos hablar de la proporción de toda la bebida que está compuesta de agua y de la proporción de toda la bebida que está compuesta de naranja. El zumo está compuesto de cinco partes de agua y una parte de naranja. Eso es seis partes en total. Por lo tanto, al expresar la proporción, vemos que el agua supone cinco sextos del zumo completo y que la naranja supone un sexto del zumo completo.

Aquí tenemos un problema en el que se nos pide que simplifiquemos una razón.

En una bolsa hay diez abalorios rojos y cinco abalorios azules. Expresa la razón de los abalorios rojos a los abalorios azules en su forma más simple. Primero es conveniente escribir la razón que estamos buscando, rojo a azul. Es importante tener los números en el orden correcto, de lo contrario obtendremos la respuesta incorrecta, así que rojo a azul. Y en la bolsa hay diez abalorios rojos y cinco azules, así que la razón es diez a cinco. Pero fíjate, los dos números son divisibles por cinco; cinco es el máximo común divisor. Y si los dividimos por cinco, obtenemos los números dos y uno. El máximo común divisor de dos y uno es uno. Y cuando tenemos una razón en la que el máximo común divisor de los dos elementos es uno, podemos decir que esa razón está en su forma más simple.

Aquí tenemos otro problema.

Expresa la razón treinta y dos a dieciocho en su forma más simple. Así que tenemos que hallar el máximo común divisor de treinta y dos y dieciocho, y luego dividir ambos números por el máximo común divisor. Una manera de determinar el máximo común divisor es hacer una descomposición en factores primos de cada número y hallar todos los factores primos que tengan en común. Y el único que tienen aquí es un dos. Así que dos es el máximo común divisor. Dividimos cada uno de los elementos por dos y obtenemos dieciséis a nueve. Así que esa es nuestra respuesta: la forma irreducible de la razón treinta y dos a dieciocho es dieciséis a nueve.

Por otro lado, como hemos visto en la introducción, a veces las razones tienen más de dos partes.

Y, en este problema, expresa la razón doce a veinticuatro a cuarenta y dos en su forma más simple, hay tres partes. Así que tenemos que hallar el máximo común divisor de los tres números. Hacemos una descomposición en factores primos de cada uno de los números y buscamos los factores primos comunes. Todos tienen un dos y un tres, y eso es todo. Dos por tres es el máximo común divisor. Y eso es seis, así que vamos a dividir cada número por seis. Doce dividido por seis es dos, veinticuatro entre seis es cuatro, y cuarenta y dos entre seis es siete. Por lo tanto, cuando expresamos la razón como doce a veinticuatro a cuarenta y dos, todos esos números son divisibles por seis. Y si los dividimos por seis, obtenemos dos, cuatro y siete. Y estos números tienen un máximo común divisor de uno, así que esa es la razón en su forma más simple: dos a cuatro a siete.

Para resumir el proceso de simplificar una razón, escribimos la razón y luego lo primero que debemos hacer es hallar el máximo común divisor. Si los números son fáciles, puede que veas directamente cuál es la respuesta. De lo contrario, puede que necesites hacer una descomposición en factores primos o enumerar todos los factores de cada uno de los números. Una vez que tengas el máximo común divisor, has de dividir cada uno de los componentes de la razón por ese número. Y si el máximo común divisor de todos los números en la razón es uno, entonces sabemos que la razón está en su forma más simple.

Nagwa usa cookies para asegurarse de que disfrutes de la mejor experiencia en nuestro sitio web. Descubrir más acerca de nuestra Política de privacidad.